第15讲 函数模型及其应用
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.递增 递增 递增
【对点演练】
1.[10,30] [解析] 设矩形花园另一边的长为y m,由相似三角形的性质可得=(02.S=+(x>0) [解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是 元,仓储费用是元,所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=+(x>0).
3.5500 m [解析] 设A1,A2两处的海拔高度分别为h1,h2,则====,故h1-h2=≈=5500(m).
4.[0,26] [解析] 令h=130t-5t2≥0,解得0≤t≤26,故所求定义域为[0,26].
5.8 ℃ [解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃).
6.s= [解析] 当0≤t≤2.5时,s=60t;当2.5● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.
B [解析] 根据函数图象可知函数图象具有对称性,故C错误;对于A,由等边三角形可知线段AP的长度先增大再减小,再增大,最后减小,故A错误;对于D,由圆可知线段AP的长度不会是线性变化,故D错误;对于B,由正方形可知线段AP的长度先增大再减小,且一开始线性增大,符合题意,故B正确.故选B.
变式题 C [解析] 刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,故A,D错误;开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,即时价格与平均价格同增同减,故B错误.故选C.
例2 [思路点拨] (1)根据已知条件列方程,化简求得正确答案.(2)利用指对数的互化可分别求得两次地震释放的能量,再应用指数的运算性质求得答案.
(1)C (2)C [解析] (1)根据题意得=1-0.6t0.27,整理得到=t0.27,两边取以10为底的对数,得到lg=0.27lg t,即1-lg 3-2lg 2=0.27lg t,又lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以lg t≈-,得到t≈1≈0.5,故选C.
(2)由题设,日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量E1=104.8+1.5×9,中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量E2=104.8+1.5×7.3,所以==102.55.故选C.
变式题 B [解析] 设开始记录时,甲、乙两种物质的质量均为1,则512天后,甲的质量为,乙的质量为,由题意可得=×=,所以2+=.故选B.
例3 [思路点拨] (1)利用待定系数法求得y关于x的函数解析式;(2)根据已知条件列不等式组,通过解不等式组求解.
解:(1)当0≤x≤8时,设y=kx+t,
依题意得解得所以y=2x+68,当x=8时,y=16+68=84.当8≤x≤40时,设y=a(x-20)2+100(a<0),将(8,84)代入上式得84=a×122+100,解得a=-,所以y=-(x-20)2+100.综上所述,y=
(2)由解得6≤x≤8,
由
即得
所以8变式题 A [解析] 设经过n层PP棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为y mg/L,则y=80×=80×.令80×≤2,解得≤,两边取常用对数得nlg≤lg,即nlg≥lg 40,即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2,所以n≥≈8.9,又n∈N*,所以n的最小值为9.故选A.
例4 [思路点拨] (1)根据题意,代入第10天的日销售收入为505元,即可得解;(2)先利用函数的单调性,结合题设条件排除①③④,从而利用待定系数法即可得解;(3)由题意得f(x)=P(x)·Q(x),从而结合基本不等式与函数的单调性,分段讨论f(x)的最小值,由此得解.
解:(1)因为每件的销售价格P(x)=10+,第10天的日销售量为50件,且第10天的日销售收入为505元,
所以×50=505,解得k=1.
(2)由表格中的数据知,当x增大时,Q(x)先增后减,而①③④函数模型都描述的是单调函数,不符合该数据模型,
所以选择模型②:Q(x)=a|x-m|+b.
由Q(15)=Q(25),可得|15-m|=|25-m|,解得m=20,
由解得
所以Q(x)=-|x-20|+60,定义域为{x∈N*|1≤x≤30}.
(3)由(1)知P(x)=10+,
又Q(x)=-|x-20|+60=
所以f(x)=P(x)·Q(x)=
当1≤x≤20,x∈N*时,f(x)=10x++401≥2+401=441,
当且仅当10x=,即x=2时等号成立;当20441.
综上可得,当x=2时,函数f(x)取得最小值441.
变式题 解:(1)由题意得y=1000(-300 t+9000)·(1≤t≤8,t∈N*),
即y=
当1≤t<4,t∈N*时,根据二次函数的性质可得,t=3时y取得最大值5400,当4≤t≤8,t∈N*时,同理可得,t=4时y取得最大值6240,所以4月份的月交易额最大.
(2)(i)①函数f(x)=kax是单调函数,不符合题意.
②二次函数f(x)=x2+bx+c的图象不具备先上升,后下降,再上升的特点,不符合题意.
③当A<0时,函数f(x)=Acosx+B的图象在[1,4]上是上升的,在[4,8]上是下降的,在[8,11]上是上升的,符合题意.应选③.
(ii)因为f(4)=8,f(8)=4,
所以所以
所以f(x)=-2cosx+6.
因为x∈[1,11],所以x∈,由-2cosx+6<5,得cosx>,所以≤x<或1.D [解析] 游泳池原有一定量的水,故函数图象不过原点,排除A,C;过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,故函数值有一段时间不变,排除B.故选D.
2.C [解析] 设购买的件数为x,花费为y元,则y=当x=107时,y=27×107=2889<2900,当x=108时,y=27×108=2916>2900,所以张师傅最多可购买这种玩具107件,故选C.
3.D [解析] 设该商场在一周内进货B种电器的台数为x,则x≥2,一周内进货A种电器的台数为6-x.设该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润为y万元,由题意可得可得2≤x≤4,且x∈N,则y=0.2(6-x)+0.25x=0.05x+1.2,故ymax=0.05×4+1.2=1.4.故选D.
4.B [解析] 由题意可得,Q0e-0.002 5t=Q0,则e-0.002 5t=,则e0.002 5t=4,所以0.002 5t=2ln 2≈1.38,可得t≈552,故臭氧含量减少初始量的大约需要552年.故选B.
5.61.6 [解析] 由题可得,两人把商品合并由小昭一次性付款,实际付款为(70+280)×0.8=280(元),他们分别支付共付款70+280×0.9=322(元),故节省了322-280=42(元),故小敏需要给小昭70-42×=61.6(元).
6.0.6 [解析] 设电价定为x元/(kW·h),x∈[0.55,0.75],则由题意可得(0.8-0.3)a×1.2≤(x-0.3),整理可得(x-0.5)(x-0.6)≥0,又x∈[0.55,0.75],故x∈[0.6,0.75],故最低的电价可定为0.6元/(kW·h).
7.D [解析] 结合图象逐一验证:当T=220,lg P=lg 1026>3时,由图象可知二氧化碳处于固态,故A错误;当T=270,lg P=lg 128∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于液态,故B错误;当T=300,lg P=lg 9987≈4时,由图象可知二氧化碳处于固态,故C错误;当T=360,lg P=lg 729∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D.
8.B [解析] 当d=20时,ΔL1=10lg(100π),当d=40时,ΔL2=10lg(400π),则ΔL2-ΔL1=10lg(400π)-10lg(100π)=20lg 2=20(lg 10-lg 5)≈20×(1-0.7)=6.故选B.
9.BC [解析] 对于A,当打车距离x满足310.BD [解析] 对于A,由题意得N(t)=N0,又N(t)=N0,故N0=N0,两边取对数得ln 0.5=-,则T=τln 2,故A错误;对于B,由A可知,T与τ成正比例关系,故B正确;对于C,由B可知,T与τ成正比例关系,因为铀234的τ值小于铀235的τ值,所以T11,故D正确.故选BD.
11.2.5 [解析] 设从t1开始观察,在t2时,该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍,则=3,所以=3,则有0.44(t2-t1)=ln 3,所以t2-t1=≈2.5,故需要的时间约为2.5天.
12.74 [解析] 由题知L=0.5×,依题意得0.4=0.5×,则D=,则L=0.5×.由L=0.5×<0.2,得G>18lo==≈73.9,所以所需的训练迭代轮数至少为74.
13.解:(1)由已知可得f(x)=
又g(x)=25x-f(x)-5,所以当x∈[10,20)时,g(x)=25x-(-x2+49x-205)-5=x2-24x+200,当x∈[20,+∞)时,g(x)=25x-(-30ln x+24x+5)-5=30ln x+x-10,
故g(x)=
(2)当x∈[10,20)时,g(x)=x2-24x+200=(x-12)2+56,g(x)min=g(12)=56.当x∈[20,+∞)时,g(x)=30ln x+x-10,所以g'(x)=+1>0,所以当x∈[20,+∞)时,g(x)单调递增,故g(x)min=g(20)=30ln 20+20-10=30ln 20+10≈100.
因为56<100,所以当生产量为12吨时,总利润最小,最小总利润为56千元.
14.解:(1)由题意可得,klg+60=klg,即klg+60=k,所以3k=60,解得k=20,故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL=20lg.
(2)不会干扰我们正常的学习,理由如下:当SPL=40时,由20lg=40,得lg=2,可得P1=P2=2×10-3,所以P==P1=2×10-3,
将其代入SPL=20lg可得SPL=20lg=20lg(×102)=40+10lg 2≈43<45,
故不会干扰我们正常的学习.第15讲 函数模型及其应用
【课标要求】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
1.三种函数模型的性质的比较
函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性 单调 单调 单调
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
(续表)
函数模型 函数解析式
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
题组一 常识题
1.[教材改编] 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的矩形花园(阴影部分),则其中x的取值范围是 .
2.[教材改编] 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x(x>0)件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S与x的函数关系式是 .
3.[教材改编] 大气压强p=,它的单位是“Pa”(1 Pa=1 N/m2),大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000 126 m-1),p0是海平面大气压强.已知在某高山A1,A2两处测得的大气压强分别为p1,p2,且=,那么A1,A2两处的海拔高度的差约为 .(参考数据:ln 2≈0.693)
题组二 常错题
◆索引:忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义等;分段函数模型的分界把握不到位.
4.一枚炮弹被发射后,其升空高度h与时间t的函数关系式为h=130t-5t2,则该函数的定义域是 .
5.某物体一天中的温度T(单位:℃)是关于时间t(单位:h)的函数,且T=t3-3t+60,其中t=0表示中午12时,其后t的值为正,则上午8时该物体的温度是 .
6.已知A,B两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地,则汽车与A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数表达式是 .
用函数图象刻画变化过程
例1 已知点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周.设点P运动的时间为x,线段AP的长度为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图所示,则该封闭图形可能是 ( )
总结反思
判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时:首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
变式题 在股票交易过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x).如f(2)=3表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元,以下四个图中,实线表示y=f(x)的图象,虚线表示y=g(x)的图象,其中正确的是 ( )
已知函数模型解决实际问题
例2 (1)[2024·北京西城区一模] 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事件的遗忘是有规律的,依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1-0.6t0.27近似描述,则记忆率为50%时经过的时间约为 ( )
A.2小时 B.0.8小时
C.0.5小时 D.0.2小时
(2)中国地震台网测定:2024年4月3日,中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=
4.8+1.5M,2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,则它所释放出来的能量是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震释放出来能量的 ( )
A.101.99倍 B.102.02倍
C.102.55倍 D.102.67倍
总结反思
用已知函数模型解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意义,根据已知条件确定模型中的待定系数,合理地运用函数的基本性质解决问题.
变式题 [2024·合肥二模] 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称为半衰期,记为T(单位:天).已知放射性物质质量M与时间t的关系为M=,某铅制容器中有甲、乙两种放射性物质,其半衰期分别为T1,T2.开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的质量的,则T1,T2满足的关系式为 ( )
A.-2+=
B.2+=
C.-2+log2=log2
D.2+log2=log2
构建函数模型解决实际问题
例3 注意力集中程度的研究,有助于大众提高自身办事效率.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度,注意力集中指数的值越大,注意力集中程度越高,越有利于学习.数据显示在一节40分钟的课中,高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响,开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高,随后学生的注意力集中指数开始降低.经过试验分析,得出某学生的注意力集中指数y与开始上课时间x(单位:分钟)的关系为:当0≤x≤8时,y是x的一次函数,其中开始上课1分钟时注意力集中指数为70,开始上课5分钟时注意力集中指数为78;当8≤x≤40时,y是x的二次函数,其中开始上课20分钟时注意力集中指数达到最大值,最大值为100.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)如果该学生的注意力集中指数不低于80,那么称该学生处于“理想听课状态”,则在一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长 (精确到1分钟,参考数据:≈2.236)
总结反思
构建函数模型解决实际问题的步骤:(1)认真审题,分析理解实际问题的题意,为解题找出突破口;(2)依题意确定变量间的关系,构建函数模型,将实际问题转化为数学问题;(3)利用数学知识求解构建的函数模型,得出结论解决问题.
变式题 [2024·江苏常州联盟调研] 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)( )
A.9 B.8 C.7 D.6
例4 某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=10+(k为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如下表所示:
x 10 15 20 25 30
Q(x) 50 55 60 55 50
已知第10天的日销售收入为505元.
(1)求k的值.
(2)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-m|+b;③Q(x)=a-bx;④Q(x)=a·logbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式及定义域;
(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.
总结反思
选择函数模型解决问题的方法步骤:首先根据给定的数据分析变量间的变化规律和趋势确定具体的函数模型,选择合适的数据求解函数解析式并验证,最后利用选择的函数模型解决实际问题.
变式题 甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.
(1)甲小组得出该种蔬菜在1~8月份的价格P(单位:元/千克)与月份t满足关系式P=8-|t-4|,月交易量Q(单位:吨)与月份t满足关系式Q=-300 t+9000,求月交易额y(单位:万元)与月份t的函数关系式,并求1~8月份中哪个月的月交易额最大.
(2)乙小组通过追踪得到该种蔬菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模型模拟价格f(x)(单位:元/千克)与月份x(x∈[1,11],且x∈N*)之间的函数关系:①f(x)=kax(a>0,且a≠1);②f(x)=x2+bx+c;③f(x)=Acosx+B.
(i)为准确研究其价格走势,应选哪种函数模型 并说明理由.
(ii)若f(4)=8,f(8)=4,求出所选函数f(x)的解析式,并求该种蔬菜价格在5元/千克以下的月份有几个.
第15讲 函数模型及其应用
(时间:45分钟)
1.游泳池原有一定量的水,打开进水阀进水,过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,直到水排完.已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变.用h表示游泳池的水深,t表示时间,则下列函数图象中能反映所述情况的是 ( )
2.[2024·云南昆明模拟] 下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:
一次购买件数 1~10 11~50 51~100 101~300 大于300
每件价格/元 37 32 30 27 25
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具,则张师傅最多可购买这种玩具 ( )
A.116件 B.110件
C.107件 D.106件
3.某大型家电商场在一周内计划销售A,B两种电器,已知这两种电器每台的进价都是1万元,若厂家规定一家商场在一周内进货B种电器的台数不高于A种电器台数的2倍,且进货B种电器至少2台,A,B两种电器每台的售价分别为1.2万元和1.25万元.若该家电商场每周用来进货A,B两种电器的总资金为6万元,所进电器都能销售出去,则该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润的最大值为(利润=售价-进价) ( )
A.1.2万元 B.2.8万元
C.1.6万元 D.1.4万元
4.有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,使臭氧含量Q随时间t(单位:年)呈指数型函数变化,当氟化物的排放量维持在某种水平时,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,则臭氧含量减少初始量的大约需要(取ln 2≈0.69) ( )
A.276年 B.552年
C.414年 D.483年
5.某超市在“五一”活动期间推出如下线上购物优惠方案:一次性购物在99元以内(含99元),不享受优惠;一次性购物在99元以上(不含99元),299元以内(含299元),一律享受九折优惠;一次性购物在299元以上(不含299元),一律享受八折优惠.小敏和小昭在该超市购物,分别挑选了原价为70元和280元的商品,如果两人把商品合并由小昭一次性付款,并把合并支付比他们分别支付节省的钱按照两人购买商品原价的比例分配,则小敏需要给小昭 元.
6.[2024·浙江金华模拟] 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后的新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为μ).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).已知μ=0.2a,为保证电力部门的收益比上年至少增长20%,则最低的电价可定为 元/(kW·h).
7.[2022·北京卷] 在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 ( )
A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
8.[2024·江苏苏州三模] 点声源在空中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离d(单位:米)之间的关系式为ΔL=10lg.若传播距离从20米变化到40米,则衰减量的增加值约为(参考数据:lg 5≈0.7) ( )
A.3 dB B.6 dB
C.9 dB D.12 dB
9.(多选题)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车距离x(单位:千米)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.当打车距离为8千米时,乘客选择乙方案省钱
B.当打车距离为10千米时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3千米以上时,甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.甲方案中,当打车距离在3千米内(含3千米)时,付费5元,当打车距离大于3千米时,每增加1千米费用增加0.7元
10.(多选题)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注,已知放射性物质数量随时间t的衰变公式为N(t)=N0,N0表示物质的初始数量,τ是一个具有时间量纲的数,研究放射性物质常用到半衰期,半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间.已知ln 2≈0.7,下表给出了铀的三种同位素τ的取值:若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1,T2,T3,则 ( )
物质 τ的量纲单位 τ的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A.T=τln 0.5
B.T与τ成正比例关系
C.T1>T2
D.T3>10 000T1
11.用指数模型y=e0.44t描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t(单位:天)的变化规律,则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为 天.(ln 3≈1.10,结果精确到0.1)
12.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为 .(参考数据:lg 2≈0.301 0)
13.某企业生产一种生活物资,单笔订单最少预定生产物资10吨,已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元,每生产x吨物资另需流动成本f(x)千元,当生产量小于20吨时,f(x)=-x2+49x-205,当生产量不小于20吨时,f(x)=-30ln x+24x+5.该企业为了提高企业的诚信度,赢得良好的社会效益,自愿将自身利润降到最低(仅够企业生产物资期间的开销),将每吨物资的售价降为25千元,已知生产的物资能全部售出.
(1)写出总利润g(x)(单位:千元)关于生产量x(单位:吨)的函数解析式(注:总利润=总收入-流动成本-固定成本).
(2)当生产量为多少时,总利润最小 最小总利润是多少(参考数据:ln 20≈3.0)
14.我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为“声压”,用P表示(单位:Pa),声压级SPL(单位:dB)表示声压的相对大小,已知SPL=klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时,声压P会变为原来的1000倍.
(1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式.
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,一般当声压级SPL<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习 请说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3)(共89张PPT)
第15讲 函数模型及其应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语
言和工具，在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变
化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一
元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”
“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模
型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的
现实意义.
1.三种函数模型的性质的比较
函数 性质
单调______ 单调______ 单调______
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
递增
递增
递增
◆ 知识聚焦 ◆
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型
二次函数模型
反比例函数模 型
指数函数模型
函数模型 函数解析式
对数函数模型
幂函数模型
续表
题组一 常识题
1.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，
欲建一个面积不小于 的矩形花园
（阴影部分），则其中 的取值范围是________.
◆ 对点演练 ◆
[解析] 设矩形花园另一边的长为 ，由相似三
角形的性质可得 ，即
，
矩形花园的面积
，，
即 ，解得，故的取值范围是 .
2.［教材改编］ 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为
800元.若每批生产件，则平均仓储时间为 天，且每件产品
每天的仓储费用为1元.则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之
和与 的函数关系式是__________________.
[解析] 由题意知，每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是
元，所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和
.
3.［教材改编］ 大气压强，它的单位是“ ”
，大气压强随海拔高度 的变化规律是
， 是海平面大气压强.已知在某高
山，两处测得的大气压强分别为，，且，那么 ，
两处的海拔高度的差约为________.（参考数据： ）
[解析] 设，两处的海拔高度分别为， ，则
，
故 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义等;分
段函数模型的分界把握不到位.
4.一枚炮弹被发射后，其升空高度与时间 的函数关系式为
，则该函数的定义域是_______.
[解析] 令，解得 ，故所求定义域为
.
5.某物体一天中的温度（单位：）是关于时间（单位： ）的函
数，且，其中表示中午12时，其后 的值为正，
则上午8时该物体的温度是_____.
[解析] 由题意知，上午8时即 ，因此所求温度
.
6.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从 地到
达地，在地停留后再以的速度返回地，则汽车与 地
的距离关于时间 的函数表达式是
_ _____________________________________________.
[解析] 当时，；当时， ；当
时，.
故关于 的函数表达式为
探究点一 用函数图象刻画变化过程
例1 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点 出发，沿其
边界顺时针匀速运动一周.设点运动的时间为，线段的长度为 ，
表示与 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据函数图象可知函数图象具有对称性，
故C错误；
对于A，由等边三角形可知线段 的长度先增大再减小，再增大，
最后减小，故A错误；
［思路点拨］ 根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.
对于D，由圆可知线段 的长度不会是线性变化，故D错误；
对于B，由正方形可知线段 的长度先增大再减小，且一开始线性增大，
符合题意，故B正确.故选B.
[总结反思]
判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴
与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化
快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的
情况,选出符合实际的答案.
变式题 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，
一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线 .如
表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元； 表示
2小时内的平均价格为3元，以下四个图中，实线表示 的图
象，虚线表示 的图象，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A，D错误；
开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价
格同增同减，故B错误.故选C.
探究点二 已知函数模型解决实际问题
例2（1）[2024·北京西城区一模]德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，
人类大脑对事件的遗忘是有规律的，依据实验数据绘制出“遗忘曲
线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间 （小时）变化的趋势可由函数
近似描述，则记忆率为 时经过的时间约为
（参考数据： ）( )
A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时
√
［思路点拨］根据已知条件列方程，化简求得正确答案.
[解析] 根据题意得，整理得到 ，两边取以10
为底的对数，得到，即 ，
又,，所以，得到 ，故
选C.
（2）中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生
里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量 （单位：焦耳）与地震里
氏震级之间的关系为 ，2011年3月11日，日本东
北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量是中国台湾花
莲县海域发生里氏7.3级地震释放出来能量的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍
√
[解析] 由题设，日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能
量 ，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放
出来的能量，所以 .故选C.
［思路点拨］利用指对数的互化可分别求得两次地震释放的能量，
再应用指数的运算性质求得答案.
[总结反思]
用已知函数模型解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际
意义,根据已知条件确定模型中的待定系数，合理地运用函数的基本
性质解决问题.
变式题 [2024·合肥二模] 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间
来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期，记为 （单位：天）.
已知放射性物质质量与时间的关系为 ，某铅制容器中有
甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为, .开始记录时，这两种
物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则 ,
满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，
甲的质量为，乙的质量为 ，
由题意可得，所以 .故选B.
探究点三 构建函数模型解决实际问题
例3 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.有一种
算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数
的值越大，注意力集中程度越高，越有利于学习.数据显示在一节40
分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响，
开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集
中指数开始降低.经过试验分析，得出某学生的注意力集中指数 与
开始上课时间（单位：分钟）的关系为：当时，是 的
一次函数，其中开始上课1分钟时注意力集中指数为70，开始上课5
分钟时注意力集中指数为78；当时，是 的二次函数，
其中开始上课20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100.
（1）求关于 的函数解析式.
解：当时，设 ，
依题意得解得所以，
当 时，.
当时，设 ，
将代入上式得,解得 ，所以
.
综上所述，
［思路点拨］利用待定系数法求得关于 的函数解析式；
（2）如果该学生的注意力集中指数不低于80，那么称该学生处于
“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态”
所持续的时间有多长？（精确到1分钟，参考数据： ）
解：由解得 ，
由 即
得 所以.
因为 ，所以一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态”
所持续的时间是27分钟.
［思路点拨］根据已知条件列不等式组，通过解不等式组求解.
[总结反思]
构建函数模型解决实际问题的步骤：（1）认真审题，分析理解实际
问题的题意，为解题找出突破口；（2）依题意确定变量间的关系，
构建函数模型，将实际问题转化为数学问题；（3）利用数学知识求
解构建的函数模型，得出结论解决问题.
变式题 [2024·江苏常州联盟调研] 净水机通过分级过滤的方式使自
来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 棉滤芯过滤，
其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）
构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种
大颗粒杂质，假设每一层 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂
质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为 ，现要满足过滤后水中
大颗粒杂质含量不超过，则 棉滤芯的层数最少为
（参考数据：， ）( )
A.9 B.8 C.7 D.6
√
[解析] 设经过层棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为 ，
则.
令，解得 ，两边取常用对数得，
即 ，即，所以，
又 ，所以 的最小值为9.故选A.
例4 某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：
该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格
（单位：元）与时间 （单位：天）的函数关系近似满足
为常数，且，日销售量 （单位：件）与
时间 （单位：天）的部分数据如下表所示：
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
已知第10天的日销售收入为505元.
（1）求 的值.
解：因为每件的销售价格 ，第10天的日销售量为50件，
且第10天的日销售收入为505元，
所以，解得 .
［思路点拨］根据题意，代入第10天的日销售收入为505元，即可得解；
（2）给出以下四个函数模型： ；
；； .请你
根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述
日销售量与时间 的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；
解：由表格中的数据知，当增大时， 先增后减，而①③④函数
模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择模型②： .
由，可得，解得 ，
由解得
所以，定义域为 .
［思路点拨］先利用函数的单调性，结合题设条件排除①③④，从
而利用待定系数法即可得解；
（3）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求 的最小值.
解：由（1）知 ，
又
所以
［思路点拨］由题意得 ，从而结合基本不等式与
函数的单调性，分段讨论 的最小值，由此得解.
当， 时，
，
当且仅当，即时等号成立；
当， 时， 为减函数，
所以函数的最小值为 .
综上可得，当时，函数 取得最小值441.
[总结反思]
选择函数模型解决问题的方法步骤：首先根据给定的数据分析变量
间的变化规律和趋势确定具体的函数模型，选择合适的数据求解函
数解析式并验证，最后利用选择的函数模型解决实际问题.
变式题 甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的一
种蔬菜价格进行追踪.
（1）甲小组得出该种蔬菜在月份的价格 （单位：元/千克）与
月份满足关系式，月交易量（单位：吨）与月份
满足关系式，求月交易额 （单位：万元）与月
份的函数关系式，并求 月份中哪个月的月交易额最大.
解：由题意得 ，
，
即
当，时，根据二次函数的性质可得，时 取得最
大值5400，
当，时，同理可得，时 取得最大值6240，
所以4月份的月交易额最大.
（2）乙小组通过追踪得到该种蔬菜上市初期和后期因供不应求使价
格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三
种函数模型模拟价格（单位：元/千克）与月份 ，且
之间的函数关系：，且 ；
； .
（ⅰ）为准确研究其价格走势，应选哪种函数模型 并说明理由.
解：①函数 是单调函数，不符合题意.
②二次函数 的图象不具备先上升，后下降，再上
升的特点，不符合题意.
③当时，函数的图象在 上是上升的，
在上是下降的，在 上是上升的，符合题意.应选③.
（ⅱ）若，，求出所选函数 的解析式，并求该
种蔬菜价格在5元/千克以下的月份有几个.
解：因为， ，
所以所以
所以 .
因为，所以，
由 ，得，所以或，
解得 或，
又，所以 ，7，8，9，即1月、7月、8月、9月该种蔬菜的
价格在5元/千克以下,所以该种蔬菜的价格在5元/千克以下的月份有4个.
【备选理由】例1、例2考查已知函数模型解决实际问题；
例1 ［配例2使用］ 某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本
260万元,生产千台空调时,需另投入资金 万元,且
经测算,当生产10千台空调时需另投
入的资金为4000万元.已知每台空调的售价为0.9万元,且当年生产的空
调能全部销售完.
（1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润 （万元）关于年产
量 （千台）的函数关系式.
解：由题意知,当时,,所以 .
当 时,
;
当时, .
所以
（2）当年产量为多少时,该企业所获年利润最大 最大年利润为多少
（注:利润 销售额-成本）
解：当时, ,
所以当时, 取得最大值,最大值为8740;
当 时,
,当且仅当
,即时, 取得最大值,最大值为8990.
因为 ,所以当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,
最大年利润为8990万元.
例2 ［配例2使用］ 垃圾分类是指按一定标准将垃圾分类储存、投
放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的
目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设
备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、
生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间 （单位：月）
满足函数关系式（其中， 为非零常数）．若经过12个
月，这种垃圾的分解率为 ，经过24个月，这种垃圾的分解率为
，则这种垃圾完全分解（分解率为 ）大约需要经过
（参考数据： ）( )
A.64个月 B.40个月 C.52个月 D.48个月
√
[解析] 依题意得两式相除得 ，则
，由得,即 .
由，得，则 ,所以
.故选B.
例3 ［配例3使用］ 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为
300万元,在此基础上,计划每年投入的研发资金比上年增加 ,则该
公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（参考数据:
,,, ）( )
A.2026 B.2028 C.2029 D.2032
√
【备选理由】例3、例4考查构建函数模型解决实际问题，考查学生
应用数学知识解决实际问题的能力.
[解析] 将2022年记为第1年,设第年该公司全年投入的研发资金为
万元,则,
由题意可得 ,即,
故 ,则 ,
故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029.故选C.
例4 ［配例4使用］ 小明在调查某网店每月的销售额时,得到了下列
一组数据:
2 3 4 5 6 …
1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
现用下列函数模型中的一个近似地模拟与 的变化关系,其中最接近
的一个是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据所给数据画出散点图,如图所示,
由图可知,散点大致分布在函数 的图
象上,故选B.
作业手册
1.游泳池原有一定量的水，打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水
阀，再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流
量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深， 表示时间，
则下列函数图象中能反映所述情况的是( )
◆ 基础热身 ◆
A. B.
C. D.
√
[解析] 游泳池原有一定量的水，故函数图象不过原点，排除A，C；
过了一段时间关闭进水阀，再过一段时间打开排水阀排水，故函数
值有一段时间不变，排除B.故选D.
2.[2024·云南昆明模拟]下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格:
一次购买件数 大于300
每件价格/元 37 32 30 27 25
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具,则张师傅最多可购
买这种玩具( )
A.116件 B.110件 C.107件 D.106件
√
[解析] 设购买的件数为,花费为元,则
时,，当 时,
,所以张师傅最多可购买这种玩具107件,
故选C.
3.某大型家电商场在一周内计划销售， 两种电器，已知这两种电
器每台的进价都是1万元，若厂家规定一家商场在一周内进货 种电
器的台数不高于种电器台数的2倍，且进货种电器至少2台，，
两种电器每台的售价分别为1.2万元和1.25万元.若该家电商场每周用
来进货， 两种电器的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，
则该商场在一周内销售， 两种电器的总利润的最大值为
（利润 售价-进价）( )
A.1.2万元 B.2.8万元 C.1.6万元 D.1.4万元
√
[解析] 设该商场在一周内进货种电器的台数为，则 ，一周
内进货种电器的台数为.
设该商场在一周内销售， 两种电器的总利润为万元，
由题意可得可得 ，且
，
则 ，
故 .故选D.
4.有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大
气上层的臭氧层，使臭氧含量随时间 （单位：年）呈指数型函数
变化，当氟化物的排放量维持在某种水平时，满足关系式
，其中 是臭氧的初始量，则臭氧含量减少初始量
的大约需要（取 ）( )
A.276年 B.552年 C.414年 D.483年
[解析] 由题意可得，，则 ，则
，所以，可得 ,故臭氧含
量减少初始量的 大约需要552年.故选B.
√
5.某超市在“五一”活动期间推出如下线上购物优惠方案：一次性购物
在99元以内（含99元），不享受优惠；一次性购物在99元以上
（不含99元），299元以内（含299元），一律享受九折优惠；一次
性购物在299元以上（不含299元），一律享受八折优惠.小敏和小昭
在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把
商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的
钱按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭_____元.
61.6
[解析] 由题可得，两人把商品合并由小昭一次性付款，实际付款为
（元），他们分别支付共付款
（元），
故节省了 （元），
故小敏需要给小昭 （元）.
6.[2024·浙江金华模拟] 某地区上年度电价为0.8元/ ，年用电
量为，本年度计划将电价下降到0.55元/ 至0.75元/
之间，而用户期望电价为0.4元/ .经测算，下调电价
后的新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比
（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/ .已知
，为保证电力部门的收益比上年至少增长 ，则最低的
电价可定为____元/ .
0.6
[解析] 设电价定为元/ ，则由题意可得
，整理可得
，
又，故 ，故最低的电价可定为0.6元/ .
7.[2022·北京卷]在北京冬奥会上，国家
速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化
碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬
奥作出了贡献.如图描述了一定条件下
二氧化碳所处的状态与和 的关系，
其中表示温度，单位是； 表示压强，
单位是 .下列结论中正确的是( )
◆ 综合提升 ◆
A.当， 时，二氧化碳
处于液态
B.当， 时，二氧化碳处
于气态
C.当， 时，二氧化碳
处于超临界状态
D.当， 时，二氧化碳
处于超临界状态
√
[解析] 结合图象逐一验证:当 ,
时,由图象可知二氧化碳
处于固态,故A错误;
当 , 时,由图象可知
二氧化碳处于液态,故B错误;
当 , 时,由图象可知二氧
化碳处于固态,故C错误;
当 , 时,由图象可知
二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D.
8.[2024·江苏苏州三模]点声源在空中传播时，衰减量（单位： ）
与传播距离（单位：米）之间的关系式为 .若传播距离
从20米变化到40米，则衰减量的增加值约为（参考数据： ）
( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，当 时，
，则 .故选B.
√
9.（多选题）某打车平台欲对收费标准进行改
革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其
支付费用（单位：元）与打车距离
（单位：千米）的函数关系大致如图所示，则
下列说法正确的是( )
A.当打车距离为8千米时，乘客选择乙方案省钱
B.当打车距离为10千米时，乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3千米以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多
D.甲方案中，当打车距离在3千米内（含3千米）时，付费5元，当打
车距离大于3千米时，每增加1千米费用增加0.7元
√
√
[解析] 对于A，当打车距离满足 时，
甲方案对应的函数图象在乙方案对应的函数图
象的下方，故当打车距离为8千米时，乘客选择
甲方案省钱，故A错误；
对于B，当打车距离为10千米时，支付费用均为12元，因此乘客选择
甲、乙方案均可，故B正确；
对于C，当打车距离为3千米以上时，甲方
案每千米增加的费用为 （元），
乙方案每千米增加的费用为 （元），
故甲方案每千米增加的费用比乙方案多，故C正确；
对于D，由题图可知，甲方案中，当打车距离在3千米内（含3千米）时，
付费5元，当打车距离大于3千米时，每增加1千米费用增加1元，故
D错误.故选 .
10.（多选题）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的
关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式为，
表示物质的初始数量， 是一个具有时间量纲的数，研究放射性物
质常用到半衰期，半衰期 指的是放射性物质数量从初始数量到衰变
成一半所需的时间.已知，下表给出了铀的三种同位素 的
取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，， ，则
( )
物质
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A. B.与 成正比例关系
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由题意得，又 ，故
，两边取对数得，则 ，故A错误；
对于B，由A可知，与 成正比例关系，故B正确；
对于C，由B可知，与 成正比例关系，因为铀234的 值小于铀235
的 值，所以，故C错误；
对于D， ，，
故 ，故D正确.故选 .
11.用指数模型描述累计一个池塘甲种微生物的数量 随时
间 （单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原
来的3倍需要的时间约为____天.，结果精确到
2.5
[解析] 设从开始观察，在 时，该池塘甲种微生物的数量增加到
原来的3倍，则，所以 ，
则有，所以 ，
故需要的时间约为2.5天.
12.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经
网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学
习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知
某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且
当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到0.2以下
（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为____.（参考数据：
）
74
[解析] 由题知，依题意得，
则 ，则.
由 ，得
，
所以所需的训练迭代轮数至少为74.
13.某企业生产一种生活物资，单笔订单最少预定生产物资10吨，已
知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产 吨物资另需流
动成本千元，当生产量小于20吨时， ，
当生产量不小于20吨时， .该企业为了提高
企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低
（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，
已知生产的物资能全部售出.
（1）写出总利润（单位：千元）关于生产量 （单位：吨）的
函数解析式（注：总利润 总收入 流动成本 固定成本）.
解：由已知可得
又，所以当 时，
，
当 时，
，
故
（2）当生产量为多少时，总利润最小？最小总利润是多少
（参考数据： ）？
解：当时， ，
.
当时， ，所以，
所以当时， 单调递增，故
.
因为 ，所以当生产量为12吨时，总利润最小，最小总利润
为56千元.
14.我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物
理学中称为“声压”，用表示（单位：）,声压级（单位： ）
表示声压的相对大小，已知是常数.当声压级
提高时，声压 会变为原来的1000倍.
（1）求声压级关于声压 的函数解析式.
解：由题意可得， ,即
,所以,解得 ,
故声压级关于声压的函数解析式为 .
（2）已知两个不同的声源产生的声压， 叠加后得到的总声压
，一般当声压级 时人类是可以正常的学习
和休息的.现窗外同时有两个声压级为 的声源，在不考虑其他因
素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？
请说明理由.（参考数据： ）
解：不会干扰我们正常的学习，理由如下：当 时，由
,得,可得 ,所以
,
将其代入 可得
,
故不会干扰我们正常的学习.
【知识聚焦】1.递增 递增 递增
【对点演练】1. [10,30] 2.S=+(x>0) 3. 5500 m 4. [0,26] 5. 8 ℃
6. s=
课堂考点探究
例1B 变式题C 例2(1)C (2)C 变式题B
例3(1) y= (2)27分钟 变式题A
例4(1)1 (2)Q(x)=-|x-20|+60,定义域为{x∈N*|1≤x≤30} (3)441
变式题 (1) y= 4月份 (2)(i)③ (ii) f(x)=-2cosx+6，4个
教师备用习题
例1 (1)W=100千台,8990万元 例2 B 例3C 例4 B
基础热身
1.D 2.C 3.D 4.B 5.61.6 6.0.6
综合提升
7.D 8.B 9.BC 10.BD 11.2.5 12.74
13. (
(2) 生产量为12吨,最小总利润为56千元
14. ( (2)不会干扰，理由略
