第三单元 一元函数的导数及其应用
第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1) 平均 斜率 (2)x=x0 斜率
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
2.αxα-1 cos x -sin x axln a
f'(x)±g'(x) f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) y'u·u'x
【对点演练】
1.24 [解析] f(6)=108,f(2)=12,所以平均变化率为===24.
2.-4.8 m/s [解析] ∵s'=-4t,∴该物体在1.2 s末的瞬时速度为(-4)×1.2=-4.8(m/s).
3.y=-+1 [解析] 由题得y'=,∴切线的斜率k=y'|x=π=-,则切线方程为y=-(x-π),即y=-+1.
4.2cos 2x [解析] 方法一:y'=
(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+
2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x.
方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x.
5.-8 [解析] f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,可得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,则f(2)=-8.
6.3(2x+3)2 6(2x+3)2
[解析] f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2.[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复合函数求导的方法求导.
解:(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
(2)y'='=(ln x)'+'=-.
(3)y'='=
=-.
(4)∵y=xsincos=xsin(4x+π)=-xsin 4x,∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x
=-sin 4x-2xcos 4x.
变式题 解:(1)y'=cos x-xsin x-.
(2)y'=(2x+2)e2-x-(x2+2x-1)e2-x=(3-x2)e2-x.
(3)f'(x)=·=.
(4)因为f(x)=sin=sin·=-sin x,所以f'(x)=-cos x.
例2 [思路点拨] (1)利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程;(2)设切点为(x0,+x0-16),利用导数的几何意义写出切线方程,根据切线过原点求出x0,即可求出切点坐标及切线方程.
解:(1)由f(x)=x3+x-16,得f'(x)=3x2+1,所以f'(2)=3×22+1=13,所以曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.
(2)设切点为(x0,+x0-16),由(1)得f'(x0)=3+1,所以切线方程为y-(+x0-16)=(3+1)(x-x0),因为切线经过原点,所以-(+x0-16)=-x0(3+1),所以2=-16,解得x0=-2,则f'(-2)=3×(-2)2+1=13,所以所求的切线方程为y=13x,切点为(-2,-26).
变式题 (1)B (2)y= y=-
[解析] (1)f(1)=0,则切点为(1,0).f'(x)=+,所以f'(1)=,所以切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0.故选B.
(2)当x>0时,y=ln|x|=ln x.设过坐标原点的直线与曲线y=ln x相切于点P(x0,ln x0),由y=ln x,得y'=,所以=,解得x0=e,所以P(e,1),则该切线的方程为y-1=(x-e),即y=,由曲线y=ln|x|的对称性,知另一条切线的方程为y=-.
例3 [思路点拨] (1)利用切点既在切线上又在曲线上,结合曲线在x=2处的切线斜率为4,解出a和b的值,从而可得答案.(2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),利用导数的几何意义,结合切线经过坐标原点得到关于x0的方程,根据此方程应有两个相异的非零实数根,求得a的取值范围即可.
(1)C (2)a<-4或a>0
[解析] (1)因为y=aex-2+x,所以y'=aex-2+1,由题意可得解得所以a+b=0.故选C.
(2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),则y0=(x0+a),由y'=(x+a+1)ex,知(x0+a+1)=,所以关于x的方程(x+a+1)ex=有两个相异的非零实数根,即关于x的方程x+a+1=有两个相异的非零实数根,即关于x的方程x2+ax-a=0有两个相异的非零实数根,所以Δ=a2+4a>0且a≠0,解得a<-4或a>0.
变式题 (1)-1或3 (2)C [解析] (1)由y=ex-ax,得y'=ex-a,所以y'e0-a=1-a,所以切线方程为y=(1-a)x+1.由
消去y整理得x2+(1-a)x+1=0,又直线y=(1-a)x+1与曲线y=-x2只有一个交点,所以关于x的方程x2+(1-a)x+1=0有两个相等的实数根,即Δ=(1-a)2-4=0,解得a=-1或a=3.
(2)由y=ln(x+2a),得y'=,令=e,则x=-2a,又ln=-1,所以e-2b=-1,可得ae+b=1.因为a,b为正实数,所以+=(ae+b)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即b=ea=时,等号成立,故+的取值范围是[4,+∞).故选C.
例4 [思路点拨] (1)根据导数的几何意义可知公切线的斜率为2x1和4,则2x1=4,分类讨论公切线与曲线C1,C2的切点相同与不相同的情况,求出对应的切点,结合直线的点斜式方程即可求解.(2)先利用导数结合切点求出两曲线公切线的斜率,然后根据公切线的性质,找到两切点坐标之间的关系,从而构造出关于一个切点横坐标的函数,转化为值域问题求解.
(1)A (2)(-ln 2-1,+∞)
[解析] (1)由y=x2,得y'=2x,由y=4ex-2得y'=4ex-2,设曲线C1,C2的公切线与曲线C1的切点为(x1,),则切线的斜率为2x1,与曲线C2的切点为(x2,4),则切线的斜率为4,所以2x1=4.当公切线与曲线C1,C2的切点相同时,x1=x2,=4,可得x1=x2=2,所以切点为(2,4),此时公切线的方程为4x-y-4=0;当公切线与曲线C1,C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=,得x1=2x2-2,所以4x2-4=4,即x2-1=,解得x2=2,此时x1=2,与x1≠x2矛盾,故不存在切点不同的情况.综上可得,切点的坐标为(2,4),公切线的方程为4x-y-4=0.故选A.
(2)设f(x)=ln x,g(x)=x2+2x+a(x<0),则f'(x)=,g'(x)=2x+2(x<0).设公切线与曲线y=x2+2x+a(x<0)的切点为(s,t),s<0,与曲线y=ln x的切点为(m,n),m>0,则2s+2==,又t=s2+2s+a,n=ln m,∴a=s2-1-ln(2s+2).设h(s)=s2-1-ln(2s+2)(-1-ln 2-1,∴a>-ln 2-1,即a的取值范围为(-ln 2-1,+∞).
变式题 (1)0 (2)ln [解析] (1)设切点坐标为(x0,y0),x0>0,则-m=ln x0+x0①,由f(x)=x2-m可得f'(x)=2x,由g(x)=ln x+x可得g'(x)=+1,故2x0=+1②,由①②可得x0=1,m=0.
(2)设公切线与f(x)=x2,g(x)=a+ln x的图象的切点分别为(x1,),(x2,a+ln x2),因为f'(x)=2x,g'(x)=,所以2x1=,公切线的方程为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-,也可写成y-(a+ln x2)=(x-x2),即y=x-1+a+ln x2,
由消去x1得+a+ln x2-1=0,即1-a=+ln x2.令h(x)=+ln x,则h'(x)=,当0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)≥h=+ln,所以1-a≥+ln,即a≤-ln=ln,故a的最大值为ln.第三单元 一元函数的导数及其应用
第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算
1.D [解析] 对于A,4'=0,故A错误;对于B,(3x)'=3x·ln 3,故B错误;对于C,(ln x)'=,故C错误;对于D,(x5)'=5x4,故D正确.
2.B [解析] 函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
3.B [解析] 由函数f(x)=x4-3x2,可得f'(x)=4x3-6x,所以f'(-1)=2且f(-1)=-2,所以所求切线方程为y+2=2(x+1),即2x-y=0.故选B.
4.C [解析] 因为f(x)=2xf'+sin x,所以f'(x)=2f'+cos x,令x=,则f'=2f'+cos,解得f'=-.
5.D [解析] 令y=f(x)=aex+xln x,则f'(x)=aex+ln x+1,由题意知即解得
6.A [解析] f'(x)=
,则切线的斜率k=f'(0)=3,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1,从而可知切线与x轴、y轴的交点分别为,(0,1),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=××1=.
7. [解析] 由题得f'(x)=2x-,∴f'(1)=1,∴==f'(1)=.
8.D [解析] 因为y'=
=
,所以y'=0,又曲线y=在原点处的切线与直线3x-ay+1=0垂直,所以直线3x-ay+1=0的斜率不存在,即a=0.故选D.
9.A [解析] 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),两边求导,可得[f(x)]'=[f(-x)]',即f'(x)=f'(-x)·(-x)',所以f'(x)=-f'(-x).又f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,所以f'(1)=,所以f'(-1)=-f'(1)=-.故选A.
10.A [解析] 设直线y=kx+b与曲线y=ln x相切于点(x1,ln x1)且x1>0,与曲线y=-ln(-x)相切于点(x2,-ln(-x2))且x2<0,因为y'=(ln x)'=,y'=[-ln(-x)]'=-,所以曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1,曲线y=-ln(-x)在点(x2,-ln(-x2))处的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2),则
解得故k==,b=ln x1-1=0,故选A.
11.ABC [解析] 对于A,由f(x)=sin x+cos x,得f'(x)=cos x-sin x,则f″(x)=-sin x-cos x=
-(sin x+cos x),因为x∈,所以sin x>0,cos x>0,所以f″(x)=-(sin x+cos x)<0,所以此函数在上是凸函数;对于B,由f(x)=ln x-2x,得f'(x)=-2,则f″(x)=-,因为x∈,所以f″(x)=-<0,所以此函数在上是凸函数;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则f″(x)=-6x,因为x∈,所以f″(x)=-6x<0,所以此函数在上是凸函数;对于D,由f(x)=-xe-x,得f'(x)=-e-x+xe-x,则f″(x)=e-x+e-x-xe-x=(2-x)e-x,因为x∈,所以f″(x)=(2-x)e-x>0,所以此函数在上不是凸函数.故选ABC.
12. [解析] 设f(x)=,则f'(x)=,设切点为,则f'(x0)=,所以切线方程为y-=(x-x0),又该切线过原点,所以0-=(0-x0),整理得a+x0+1=0①.因为曲线y=f(x)有且仅有一条过原点的切线,所以方程①只有一个解,故Δ=1-4a=0,解得a=.
13.- [解析] 由题意得M(ln m,m),则圆心M在曲线y=ex上,又圆M的半径为,故|PQ|的最小值等于|MQ|的最小值减去.设Q(n,ln n),因为曲线y=ex与曲线y=ln x关于直线y=x对称,所以|MQ|的最小值等于Q到直线y=x的距离的最小值的2倍,由y=ln x,可得y'=,令=1,解得n=1,故曲线y=ln x在点Q(1,0)处的切线与直线y=x平行,此时Q(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为=,故|MQ|的最小值为×2=,则|PQ|的最小值为-.
14.解:因为f(x)=ax+sin x,
所以f'(x)=a+cos x.
因为函数f(x)=ax+sin x的图象上存在两条互相垂直的切线,所以不妨设在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,则(a+cos x1)·(a+cos x2)=-1,
即a2+(cos x1+cos x2)a+cos x1cos x2+1=0①.
因为a的值一定存在,即方程①一定有解,所以Δ=(cos x1+cos x2)2-4(cos x1cos x2+1)≥0,
即(cos x1-cos x2)2≥4,解得cos x1-cos x2≥2或cos x1-cos x2≤-2,
又|cos x|≤1,所以有cos x1=1,cos x2=-1或cos x1=-1,cos x2=1,所以方程①变为a2=0,所以a=0.
15.解:(1)因为f'(x)=6x2-3,所以f'(0)=-3,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x.
(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),将y0=2-3x0代入,整理可得y=3(2-1)x-4,
又点P(-1,t)在切线上,
所以t=-3(2-1)-4=-4-6+3(*).
要使过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则方程(*)有3个解,令g(x)=-4x3-6x2+3,则g'(x)=-12x2-12x=-12x(x+1).
令g'(x)>0,可得-1令g'(x)<0,可得x<-1或x>0,所以g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减.所以g(x)在x=-1处取得极小值,在x=0处取得极大值,
又g(-1)=1,g(0)=3,所以116.ACD [解析] 由题得
所以kx=ln x,即k=有两个根x1,x2.令f(x)=,则f'(x)=,故当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)的极大值为f(e)=,又当01时,f(x)>0,直线y=k与f(x)的图象有两个交点,所以0=
=y0+1,故C正确.因为kx1=y1,所以ln k+ln x1=ln y1,所以ln k+y1=ln y1,同理得ln k+y2=ln y2,则ln y1-y1=ln y2-y2,则=1,由均值对数不等式得>,所以y1y2<1,故D正确.故选ACD.
17.63 [解析] 因为二次函数f(x)有两个不相等的零点b,c,所以设f(x)=a(x-b)(x-c)(a≠0),则f'(x)=a(2x-b-c),所以f'(xn)=a(2xn-b-c),所以f(x)的图象在x=xn处的切线方程为y-f(xn)=a(2xn-b-c)(x-xn),其中f(xn)=a(xn-b)(xn-c),令y=0,则xn+1==
=.因为==
=,所以ln=2ln,即an+1=2an,所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以{an}的前6项和为=63.第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算
【课标要求】 1.导数的概念及其意义
(1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
(2)体会极限思想.
(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.导数运算
(1)能根据导数的定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如y=f(ax+b))的导数.
(3)会使用导数公式表.
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念 对于函数y=f(x),把比值 = 叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的 变化率
几何意义 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上对应的图象的两端点连线的
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
概念 在x0处 ==k, 我们称常数k为函数y=f(x)在 处的导数,记作f'(x0)或y'
几何 意义 f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的 ,其切线方程是
物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率
(3)导函数
当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称y=f'(x)为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.
2.导数的运算
基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 特例或推广
常函数 c'=0(c为常数)
幂函数 (xα)'= (α∈R,且α≠0) '=-
三角函数 (sin x)'= ,(cos x)'= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数
指数函数 (ax)'= (a>0,且a≠1) (ex)'=ex
对数函数 (logax)'= (a>0,且a≠1) (ln x)'=,(ln|x|)'=
(续表)
四则运算法则 加减法 [f(x)±g(x)]'= '=f'i(x)
乘法 [f(x)·g(x)]'= [cf(x)]'=cf'(x)
除法 '=(g(x)≠0) '=-
复合函数 求导 复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知函数f(x)=3x2,则y=f(x)在[2,6]上的平均变化率为 .
2.[教材改编] 如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为 m,t的单位为 s),那么该物体在1.2 s末的瞬时速度为 .
3.[教材改编] 曲线y=在点M(π,0)处的切线方程为 .
题组二 常错题
◆索引:求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆f'(x0)与[f(x0)]';忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.
4.已知函数y=sin 2x,则y'= .
5.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .
6.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .
导数的运算
例1 求下列函数的导数:
(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+;(3)y=;(4)y=xsincos.
总结反思
(1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
变式题 求下列函数的导数.
(1)y=xcos x-;(2)y=(x2+2x-1)e2-x.
(3)f(x)=;(4)f(x)=sin.
导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
总结反思
(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.
变式题 (1)已知函数f(x)=-,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.3x+2y-3=0 B.3x-2y-3=0
C.2x-3y-2=0 D.2x-3y+2=0
(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 , .
角度2 求参数的值(范围)
例3 (1)[2024·福建漳州一模] 若曲线y=aex-2+x(a为常数)在点(2,2+a)处的切线方程为y=4x+b,则a+b= ( )
A.3 B.-3
C.0 D.1
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
总结反思
(1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
变式题 (1)曲线y=ex-ax(a为常数)在点(0,1)处的切线与曲线y=-x2只有一个交点,则a= .
(2)[2025·武汉模拟] 若曲线y=ln(x+2a)(a为常数)的一条切线的方程为y=ex-2b(e为自然对数的底数),其中a,b为正实数,则+的取值范围是 ( )
A.[2,e) B.(e,4]
C.[4,+∞) D.[e,+∞)
两曲线的公切线
例4 (1)若直线l既和曲线C1相切,又和曲线C2相切,则称l为曲线C1和C2的公切线.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为 ( )
A.4x-y-4=0 B.x-2y-4=0
C.x-y+1=0 D.2x-y-2=0
(2)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2x+a(a为常数,x<0)有公切线,则实数a的取值范围是 .
总结反思
既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线叫两曲线的公切线,这类问题的解法步骤是:
(1)设直线与曲线y=f(x)相切于点P(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)相切于点Q(x2,g(x2));
(2)切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切线方程也为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2);
(3)由解出x1,x2,从而得出切线方程.
变式题 (1)已知函数f(x)=x2-m与函数g(x)=ln x+x的图象在它们的公共点处的切线相同,则实数m的值为 .
(2)已知f(x)=x2与g(x)=a+ln x的图象有公切线,则实数a的最大值为 . 第三单元 一元函数的导数及其应用
第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算
(时间:45分钟)
1.下列求导运算中正确的是 ( )
A.4'=2
B.(3x)'=x·3x-1
C.(ln x)'=
D.(x5)'=5x4
2.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= ( )
A. B.1
C.2 D.
3.[2024·辽阳期末] 函数f(x)=x4-3x2的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为 ( )
A.2x+y+4=0
B. 2x-y=0
C.x-2y-3=0
D. x+2y+5=0
4.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+sin x,则f'= ( )
A. B.
C.- D.-
5.已知曲线y=aex+xln x(a为常数)在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b(b为常数),则 ( )
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
6.[2024·全国甲卷] 设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)=x2+,则= .
8.若曲线y=在原点处的切线与直线3x-ay+1=0垂直,则实数a的值是 ( )
A.3 B.-1
C.1 D.0
9.[2024·湖北八市联考] 已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f'(x),则f'(-1)= ( )
A.- B.
C.-2 D.2
10.[2024·福州质检] 已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则 ( )
A.k=,b=0
B.k=1,b=0
C.k=,b=-1
D.k=1,b=-1
11.(多选题)设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.以下四个函数在上是凸函数的是 ( )
A.f(x)=sin x+cos x
B.f(x)=ln x-2x
C.f(x)=-x3+2x-1
D.f(x)=-xe-x
12.若曲线 y=(a为常数,a>0)有且仅有一条过坐标原点的切线,则a的值为 .
13.[2024· 青岛期末] 已知动点P,Q分别在圆M:(x-ln m)2+(y-m)2=和曲线y=ln x上,则|PQ|的最小值为 .
14.已知函数f(x)=ax+sin x的图象上存在两条互相垂直的切线,求实数a的值.
15.已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.
16.(多选题)[2024·广州一模] 已知直线y=kx与曲线y=ln x相交于不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),曲线y=ln x在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x0,y0),则 ( )
A.0C.y1+y2=1+y0 D.y1y2<1
17.[2024·大庆三模] 已知二次函数f(x)有两个不相等的零点b,c,其中c>b.在函数f(x)图象上横坐标为x1的点处作f(x)图象的切线,切线与x轴交点的横坐标为x2,用x2代替x1重复上面的过程得到x3,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,其中xn>c.若an=ln,a1=1,则{an}的前6项和是 . (共94张PPT)
第16讲 导数的概念及其意义、导数
的运算
单元教学设计
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.导数的概念及其意义
（1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了
解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会
导数的内涵与思想.
（2）体会极限思想.
（3）通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.导数运算
（1）能根据导数的定义求函数,,,, ,
的导数.
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,
求简单函数的导数;能求简单的复合函数（限于形如 ）
的导数.
（3）会使用导数公式表.
◆ 知识聚焦 ◆
1.变化率与导数
（1）平均变化率：
概念
几何 意义
平均
斜率
（2）函数在 处的导数：
概 念
几何 意义
物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率
斜率
续表
（3）导函数
当时,是一个唯一确定的数.这样，当变化时,
就是的函数，我们称为 的导函数（简称导数）
的导函数有时也记作，即 .
2.导数的运算
基本初 等函数 的导数 公式 原函数 导函数 特例或推广
常函数
幂函数
基本初 等函数 的导数 公式 三角函 数 偶（奇）函数的导数
是奇（偶）函数，周
期函数的导数是周期
函数
续表
基本初 等函数 的导数 公式 指数函 数
对数函 数
续表
四则运 算法则 加减法
乘法
续表
四则运 算法则 除法
续表
复合函数求导
续表
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，则在 上的平均
变化率为____.
24
[解析] , ,所以平均变化率为
.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 如果某物体的运动方程为 的单位为
，的单位为 ，那么该物体在 末的瞬时速度为__________.
[解析] ， 该物体在 末的瞬时速度为
.
3.［教材改编］ 曲线在点 处的切线方程为_________
______.
[解析] 由题得， 切线的斜率 ，则
切线方程为，即 .
题组二 常错题
◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆 与
;忽视与 的区别.
4.已知函数，则 ________.
[解析] 方法一：
.
方法二： .
5.已知，则 ____.
[解析] ，令，可得 ，所以
，则 .
6.已知，则___________，
____________.
[解析] ，所以
.
探究点一 导数的运算
例1 求下列函数的导数：
（1） ；
解： .
［思路点拨］ 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复
合函数求导的方法求导.
（2） ；
解： .
［思路点拨］ 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复
合函数求导的方法求导.
（3） ；
解：
.
［思路点拨］ 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复
合函数求导的方法求导.
（4） .
解： ，
.
［思路点拨］ 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复
合函数求导的方法求导.
[总结反思]
（1）对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规
则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算
速度;（2）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要
与求导的乘法公式混淆.
变式题 求下列函数的导数.
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ;
解： .
（4） .
解：因为 ,所
以 .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2 已知函数 ．
（1）求曲线在点 处的切线方程；
［思路点拨］利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程；
解：由，得 ，所以
，
所以曲线在点 处的切线方程为，
即 .
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线 的方程及
切点坐标．
［思路点拨］设切点为 ，利用导数的几何意义写出
切线方程，根据切线过原点求出 ，即可求出切点坐标及切线方程.
解：设切点为，由（1）得 ，所以
切线方程为 ，
因为切线经过原点，所以，
所以 ，解得，
则 ，所以所求的切线方程为，
切点为 ．
[总结反思]
（1）曲线在点处的切线方程为
;（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某
点处的切线的区别.
变式题（1）已知函数，则曲线在点
处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] ，则切点为,所以 ，所
以切线方程为，即 .故选B.
√
（2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线
方程分别为_______，________.
[解析] 当时， .
设过坐标原点的直线与曲线相切于点,
由,得,所以 ，解得,所以,
则该切线的方程为,即 ，
由曲线的对称性，知另一条切线的方程为 .
角度2 求参数的值（范围）
例3（1）[2024·福建漳州一模]若曲线（ 为常数）在点
处的切线方程为，则 ( )
A.3 B. C.0 D.1
［思路点拨］利用切点既在切线上又在曲线上，结合曲线在 处
的切线斜率为4，解出和 的值，从而可得答案.
[解析] 因为，所以 ，由题意可得
解得所以 .故选C.
√
（2）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线 有两条过坐标原点
的切线，则 的取值范围是_______________.
或
［思路点拨］设切点为 ,利用导数的几何意义,结合切
线经过坐标原点得到关于 的方程,根据此方程应有两个相异的非零
实数根,求得 的取值范围即可.
[解析] 设切点为,则 ,
由，知，
所以关于 的方程有两个相异的非零实数根，
即关于 的方程有两个相异的非零实数根，
即关于 的方程有两个相异的非零实数根，
所以 且,解得或 .
[总结反思]
（1）利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切
线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的
不等式（组）,进而求出参数的值或取值范围.（2）注意曲线上点的
横坐标的取值范围.
[解析] 由，得，所以 ，
所以切线方程为.
由 消去整理得，
又直线 与曲线只有一个交点，
所以关于的方程 有两个相等的实数根，
即，解得或 .
变式题（1）曲线（为常数）在点 处的切线与曲线
只有一个交点，则 _______.
（2）[2025·武汉模拟]若曲线（ 为常数）的一条切线
的方程为（为自然对数的底数），其中, 为正实数，
则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，令，则 ，
又，所以 ，可得.
因为, 为正实数，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
故 的取值范围是 .故选C.
探究点四 两曲线的公切线
例4（1）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线 和
的公切线.曲线和曲线 的公切线方程为
( )
A. B.
C. D.
√
［思路点拨］根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和 ，
则，分类讨论公切线与曲线， 的切点相同与不相同
的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解.
[解析] 由，得，由得 ，
设曲线, 的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为 ，
与曲线的切点为，则切线的斜率为 ，所以
.
当公切线与曲线，的切点相同时， ,，
可得，
所以切点为 ，此时公切线的方程为；
当公切线与曲线， 的切点不同时， ,，
得，
所以 ，即，解得，此时，
与 矛盾，故不存在切点不同的情况.
综上可得，切点的坐标为 ，公切线的方程为 .故选A.
（2）若曲线与曲线为常数， 有公
切线，则实数 的取值范围是_______________.
［思路点拨］先利用导数结合切点求出两曲线公切线的斜率,然后根
据公切线的性质,找到两切点坐标之间的关系,从而构造出关于一个切
点横坐标的函数,转化为值域问题求解.
[解析] 设,,则 ，
.
设公切线与曲线 的切点为，，
与曲线的切点为， ，则，
又, , .
设 ，
则，在 上单调递减，
，，即 的取值范围为
.
[总结反思]
既与曲线相切又与曲线相切的直线叫两曲线的公切
线,这类问题的解法步骤是:
（1）设直线与曲线相切于点,与曲线相
切于点;
（2）切线方程为,即
,同理切线方程也为,即
;
（3）由解出, ,从而得出切
线方程.
变式题（1）已知函数与函数 的图象在
它们的公共点处的切线相同，则实数 的值为___.
0
[解析] 设切点坐标为，，则 ，
由可得,由 可得
，故，由①②可得， .
（2）已知与的图象有公切线，则实数 的
最大值为_______．
[解析] 设公切线与， 的图象的切点分别为
，，
因为，，所以 ，
公切线的方程为，即 ，也可写成
，即 ，
由消去得 ，即
.
令，则 ，当时，，
单调递减，当时， ，单调递增，
所以，所以 ，
即，故的最大值为 .
例1 ［配例2使用］ [2024·山东潍坊三模] 牛顿
迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程
的根就是函数的零点 ，取初始值
,的图象在点处的切线与 轴的
交点的横坐标为,的图象在点 处
A.1 B. C. D.
的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到,, , ，
它们越来越接近．设函数， ，用牛顿迭代法得到
，则实数 ( )
√
【备选理由】例1考查求切线方程;
[解析] 由题得，则 ，
又，所以的图象在点
处的切线方程为 ，
由题意得该切线过点 ，所以
，解得 ，故选D.
例2 ［补充使用］ 过点作函数 的图象的两条切线，
切点坐标分别为，，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 由题意得，过点作函数 的
图象的切线，
设切点坐标为，则 ，即，
因为，所以 ，则.
由题意可知,为 的两个根，故 ，故选D.
√
【备选理由】例2考查导数的几何意义,涉及两条切线的切点坐标;
例3 ［配例3使用］ 若关于的方程且
有实数解，则 的值可以为( )
A.10 B. C.2 D.
[解析] 由选项可知我们只需讨论时关于的方程
的解的情况，
若关于的方程 有实数解，则
与 的图象有交点.
因为与 互为反函数，所以
与的图象关于直线 对称.
√
【备选理由】例3考查求参数的取值范围；
如图所示，设函数 的图象
与直线相切，切点为 ，
因为，所以 解得
由图可知，当 时，函数的图象与直线
有交点，
则 与的图象有交点，
即方程 有解.故选D.
例4 ［补充使用］ [2024·新乡二模] 定义：若函数 的图象上恰
好存在相异的两点，满足曲线在和 处的切线重合，则
称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线 的“双
重切线”．
（1）直线是否为函数 图象的“双重切线”？请说
明理由.
【备选理由】例4是新定义的切线问题.
解：的定义域为 ，求导得
，直线 的斜率为2，
令，解得 ，
不妨设切点分别为, ，
则的图象在点处的切线方程为，即 ，
的图象在点处的切线方程为，即 ，
所以直线是函数 图象的“双重切线”.
（2）已知函数求曲线 的“双重切线”
的方程.
解：由函数得
显然函数在上单调递增，函数在 上单调
递减.
设切点分别为,，则存在 ，使得
，
曲线在点处的切线方程为 ，曲
线在点处的切线方程为 ，
因此消去 可得
.
令 ，则
，
所以函数在上单调递增，
又，所以 ,所以 ，
所以曲线的“双重切线”的方程为 .
（3）已知函数，直线为曲线 的“双重切线”，
记直线的斜率的所有可能取值为，， ， ，若
，证明： ．
证明：设对应的切点为,,， 对应的切
点为,, ，
由，得， ，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑 ，
，其中, ，
由及余弦函数在上单调递增知， ，
则 ，
，
因此，
又 ， ，
所以 ，同理
.
令 ，则
，
所以在上单调递增，显然 ，且
，
函数在上的取值范围为，则函数
在上存在零点，所以 ，
由，同理可得，而 ，因此
，
于是，即 ，
所以，即 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.下列求导运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D， ，故D正确.
√
2.函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时变
化率，则 ( )
A. B.1 C.2 D.
[解析] 函数在区间 上的平均变化率等于
.
由，得，所以 .
因为函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时变化
率，所以，解得 .
√
3.[2024·辽阳期末]函数的图象在点 处的
切线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由函数，可得 ，所以
且，所以所求切线方程为 ，
即 .故选B.
√
4.已知函数的导函数为，且 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，令
，则，解得 ．
√
5.已知曲线为常数在点 处的切线方程为
为常数 ，则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 令,则 ，
由题意知即解得
√
6.[2024·全国甲卷]设函数,则曲线在点 处
的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] ,则切线的斜率
,则曲线在点处的切线方程为 ，
从而可知切线与轴、轴的交点分别为, ，所以切线与
两坐标轴所围成的三角形的面积 .
√
7.已知函数，则 __.
[解析] 由题得，， ．
◆ 综合提升 ◆
8.若曲线在原点处的切线与直线 垂直，则
实数 的值是( )
A.3 B. C.1 D.0
[解析] 因为 ，所以
，
又曲线在原点处的切线与直线 垂直，
所以直线的斜率不存在，即 .故选D.
√
9.[2024·湖北八市联考]已知函数为偶函数，其图象在点
处的切线方程为，记的导函数为 ，则
( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为为偶函数，所以 ，两边求导，可得
，即 ，所以
又的图象在点 处的切线方程为，
所以，所以 .故选A.
√
10.[2024·福州质检]已知直线既是曲线 的切线，也
是曲线 的切线，则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 设直线与曲线相切于点且 ，
与曲线相切于点且 ，
因为，，所以曲线 在点
处的切线方程为 ，即，
曲线在点 处的切线方程为
，即 ，
则 解得故, ，
故选A.
11.（多选题）设函数在上的导函数为，在
上的导函数为，若在上恒成立，则称函数
在上为“凸函数”.以下四个函数在 上是凸函数的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，则
，
因为 ，所以,,
所以 ，所以此函数在上是凸函数；
对于B，由，得 ，则，
因为，所以 ，所以此函数在上是凸函数；
，所以此函数在 上是凸函数；
对于D，由，得 ，则
，
因为 ，所以，
所以此函数在上不是凸函数.故选 .
12.若曲线为常数， 有且仅有一条过坐标原点的切
线，则 的值为__.
[解析] 设，则，设切点为 ，则
，所以切线方程为 ，
又该切线过原点，所以 ，整理得
.
因为曲线 有且仅有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故，解得 .
13.[2024· 青岛期末] 已知动点， 分别在圆
和曲线上，则 的最小值为
_ ______．
[解析] 由题意得，则圆心在曲线上，又圆 的半
径为，故的最小值等于的最小值减去.
设 ，因为曲线与曲线关于直线对称，
所以 的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得 ，令，解得，
故曲线在点 处的切线与直线平行，
此时到直线 的距离最小，最小值为，
故的最小值为，则 的最小值为 .
14.已知函数 的图象上存在两条互相垂直的切线，
求实数 的值.
解：因为 ，所以 .
因为函数 的图象上存在两条互相垂直的切线，所以
不妨设在和 处的切线互相垂直，
则 ，
即 .
因为 的值一定存在，即方程①一定有解，所以
，
即，解得 或
，
又，所以有，或 ，
，所以方程①变为，所以 .
15.已知函数 .
（1）求曲线在 处的切线方程；
解：因为，所以，又 ，所以曲线
在处的切线方程为 .
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求 的取值范围.
解：设切点为，则 ，所以切线方程为
，
将 代入，整理可得 ，
又点 在切线上，
所以 .
要使过点存在3条直线与曲线相切，则方程 有3个
解，令 ，则 .
令，可得，所以在 上单调递增；
令，可得或，所以在和
上单调递减.
所以在处取得极小值，在 处取得极大值，
又，，所以 .
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）[2024·广州一模] 已知直线与曲线 相交
于不同的两点，，曲线在点 处的切线与
在点处的切线相交于点 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题得 所以,即有两个根,.
令 ，则，故当时，, 单调递增，当时，,单调递减，所以 的极大值为，
又当时，,当时， ，直线
与的图象有两个交点，所以 ，故A正确.
,
由 得，解得 ,即，
因为 ，所以，即，故B错误.
因为 ，所以.
，
所以
，故C正确.
因为 ，所以，所以，同理得 ，则，则 ，
由均值对数不等式得，所以，故D正确.故选 .
17.[2024·大庆三模] 已知二次函数有两个不相等的零点, ，其
中.在函数图象上横坐标为的点处作 图象的切线，切
线与轴交点的横坐标为，用代替重复上面的过程得到 ，一
直继续下去，得到,, ,，其中.若， ,
则 的前6项和是____.
63
[解析] 因为二次函数有两个不相等的零点, ，所以设
，则 ，所以
,
所以的图象在 处的切线方程为
，其中，
令 ，则 .
，
所以，即 ，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以 的前6项和为
.
【知识聚焦】1.(1) 平均 斜率 (2)x=x0 斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
2.αxα-1 cos x -sin x axln a f'(x)±g'(x) f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) y'u·u'x
【对点演练】1. 24 2.-4.8 m/s 3.y=-+1 4. 2cos 2x 5.-8 6. 3(2x+3)2 6(2x+3)2
课堂考点探究
例1(1) 2xsin x+x2cos x (2) - (3)- (4)-sin 4x-2xcos 4x
变式题(1) cos x-xsin x- (2)(3-x2)e2-x (4)-cos x
例2(1)13x-y-32=0 (2)切线方程为y=13x,切点为(-2,-26) 变式题(1)B (2) y= y=-
例3(1)C (2) a<-4或a>0 变式题(1) -1或3 (2)C 例4 (1)A (2)(-ln 2-1,+∞)
变式题(1)0 (2)ln
教师备用习题
例1 D 例2 D 例3D 例4 (1)是，理由略 (2) y= (3)略
基础热身
1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.
综合提升
8.D 9.A 10.A 11.ABC 12. 13. 14. a=0
15.(1) y (2) 16.16
能力拓展
16.ACD 17.63
