第17讲 导数与函数的单调性
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
递增 递减 ≥0 ≤0 充分
【对点演练】
1.(0,+∞) [解析] 由f'(x)=ex-1>0,解得x>0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
2.> > [解析] 设f(x)=ex-1-x,x≠0,则f'(x)=ex-1,由f'(x)>0,得x>0,由f'(x)<0,得x<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>e0-1-0=0,故ex>1+x,x≠0.设g(x)=x-ln x,x∈(1,+∞),则g'(x)=1->0,所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>1-ln 1=1,所以x>ln x,x∈(1,+∞).
3.(-∞,2] [解析] 因为当x≤2时,ef'(x)≤1,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2].
4.(0,2] [解析] 方法一:由y'=1-≥0,得x≤-a或x≥a,∴函数y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-a],[a,+∞).∵函数在[2,+∞)上单调递增,∴[2,+∞) [a,+∞),∴a≤2,又a>0,∴0
方法二:y'=1-,依题意知1-≥0对任意x∈[2,+∞)恒成立,即a2≤x2对任意x∈[2,+∞)恒成立,∵x∈[2,+∞),∴x2≥4,∴a2≤4,又a>0,∴05.(-∞,1) [解析] 由2-x>0,得x<2,则函数f(x)的定义域为(-∞,2).易知f'(x)=1-,令f'(x)>0,可得<1,结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,所以函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为(-∞,1).
6.a>0,a=0,a<0 [解析] 因为y'=3ax2-1,所以对a应分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)首先根据题意求出f'(x),再根据f'(x)<0及f(x)的定义域求得f(x)的单调递减区间.(2)求导后结合三角函数知识可得结果.(3)求出函数f(x)的导函数f'(x)=,令m(x)=ex-(x+1)(x>-1),利用m(x)的单调性得到f'(x)≥0,即得f(x)的单调递增区间.
解:(1)由题可知,f(x)=2x+-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=2--==,令f'(x)<0,得x∈(0,1),故函数f(x)=2x+-ln x的单调递减区间为(0,1).
(2)由题知f'(x)=(x-1)sin x,因为当x∈时,sin x<0,当x∈时,sin x>0,所以当x∈∪时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为(0,1).
(3)由题意,函数f(x)=ln(x+1)+e-x的定义域为(-1,+∞),且f'(x)=.易知(x+1)ex>0,令m(x)=ex-(x+1)(x>-1),则m'(x)=ex-1,由m'(x)=0,得x=0,可得当x∈(-1,0)时,m'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,m'(x)>0,所以m(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以m(x)≥m(0)=e0-1=0,即f'(x)≥0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).
变式题 (1) (2)D
[解析] (1)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定义域为,且f'(x)=-2x+1==,令f'(x)>0,解得(2)易知f'(x)的图象过点(0,0)与点,当x<0或1f(x),即g'(x)=>0,则函数g(x)=的单调递增区间为(-∞,0),(1,4).
(3)解:g(x)的定义域为R,g'(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)=2ex(x-sin x).
令p(x)=x-sin x,则p'(x)=1-cos x,因为cos x∈[-1,1],所以p'(x)=1-cos x≥0恒成立,所以函数p(x)在R上单调递增,又p(0)=0,所以当x<0时,p(x)<0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当x>0时,p(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.
综上,函数g(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
例2 [思路点拨] 求导得f'(x)的分子是可分解因式的二次函数型,需讨论零点的大小以及和定义域的关系.
解:f(x)=2aln x+x2-(a+3)x的定义域为(0,+∞),f'(x)=+x-a-3=.
若a≤0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;若00,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;若a=3,则f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,f(x)单调递增;若a>3,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2);当03时,f(x)的单调递增区间为(0,2)和,单调递减区间为.
变式题 解:(1)f'(x)=2e2x+(2-2a)ex-2a=2(ex+1)(ex-a).
①当a≤0时,因为ex>0,所以f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a,由f'(x)>0,得x∈(ln a,+∞),则f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得x∈(-∞,ln a),则f(x)在(-∞,ln a)上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增,当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=ax2-ln x-x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=2ax--1=.当a≤0时,2ax2-x-1≤-x-1<-1<0,
故2ax2-x-1<0恒成立,所以f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,令2ax2-x-1=0,解得x=(舍去负根),令f'(x)>0,得x>,此时f(x)单调递增,令f'(x)<0,得0当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
例3 [思路点拨] (1)求导, 分析可得x2-2x≥-2a对任意x∈(1,2)恒成立,根据恒成立问题结合二次函数的性质分析求解;(2)分析可得存在x∈(1,2),使得x2-2x<-2a成立,根据存在性问题结合二次函数的性质分析求解;(3)分析可得f'(1)·f'(2)<0,从而解得a的取值范围.
解:(1)f(x)=x2+2aln x-2x,则f'(x)=x+-2(x>0),函数f(x)在区间(1,2)上单调递增等价于对任意x∈(1,2),f'(x)=x+-2≥0恒成立,可得x2-2x≥-2a对任意x∈(1,2)恒成立.设g(x)=x2-2x,可知g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=1,g(x)在(1,2)上单调递增,
∵g(1)=-1,∴-1≥-2a,解得a≥,故a的取值范围为.
(2)由(1)可得f'(x)=x+-2(x>0),函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递减区间等价于存在x∈(1,2),使得f'(x)=x+-2<0成立,可得存在x∈(1,2),使得x2-2x<-2a成立.
由(1)知g(x)=x2-2x的图象开口向上,对称轴方程为x=1,g(x)在(1,2)上单调递增,∵g(1)=-1,∴-1<-2a,解得a<,则a的取值范围为.
(3)由(1)可得f'(x)=x+-2(x>0),函数f(x)在区间(1,2)上不单调等价于f'(x)在(1,2)上存在变号零点,∴f'(1)·f'(2)<0,即a(2a-1)<0,解得0变式题 (1)C (2)D [解析] (1)由题可知f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≥对任意x∈(1,2)恒成立.令h(x)=xex(x∈(1,2)),可得h'(x)=ex+xex=(1+x)ex>0,所以h(x)=xex在区间(1,2)上单调递增,所以h(x)>h(1)=e,故<,所以a≥,所以a的最小值为e-1.故选C.
(2)由f(x)=-x2+6x-8ln x,可得f'(x)=-x+6-=-,可得函数f(x)=-x2+6x-8ln x的极值点为x=2,x=4.由f(x)=-x2+6x-8ln x在[m,m+1]上不单调,可得m<2例4 [思路点拨] (1)由函数的单调性与奇偶性将原不等式转化为常规不等式后再求解.(2)首先将a,b,c化成统一形式,再构造函数f(x)= (x>0),研究其单调性即可比较大小.
(1)(-4,1) (2)A [解析] (1)由f(x)=2x-sin 2x得f'(x)=2-2cos 2x=2(1-cos 2x)≥0,所以函数f(x)=2x-sin 2x是R上的增函数,又由f(-x)=-2x-sin(-2x)=-(2x-sin 2x)=-f(x)得函数f(x)是奇函数,所以由f(x2)+f(3x-4)<0得f(x2)<-f(3x-4)=f(4-3x),所以x2<4-3x,即x2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4(2)由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<2变式题 (1)B (2)CD [解析] (1)因为f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在R上单调递增,而且f(0)=2.由f(2x+4)≥2,得f(2x+4)≥f(0),则2x+4≥0,解得x≥-2.故选B.
(2)由α+β->sin β-cos α,得β-sin β>-α-sin,令f(x)=x-sin x,x∈,则f'(x)=1-cos x>0,∴f(x)在上单调递增.∵α,β均为锐角,f(β)>f,∴β>-α,∴cos βsin,即cos βcos α.故选CD.第17讲 导数与函数的单调性
1.D [解析] 由图象可得f(x)在[1,5]上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,所以f'(2)<0,f'(3)<0,f'(6)>0.故选D.
2.C [解析] 函数f(x)=x2-3x-4ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-3-==,令f'(x)<0,得03.B [解析] 当f(x)在(a,b)上单调递减时,f'(x)<0在(a,b)上不一定恒成立,例如f(x)=-x3,显然f(x)在(-1,1)上单调递减,但f'(0)=-3×02=0;若f'(x)<0在(a,b)上恒成立,设x0∈(a,b),则f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0)<0,所以f(x)在(a,b)上单调递减.所以“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的必要不充分条件.故选B.
4.A [解析] f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,∴-1+3=-,-1×3=,∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.故选A.
5.D [解析] f'(x)=-sin x+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>ln 2>ln=,所以f6. [解析] 由已知得f'(x)=1-2sin x,x∈,令f'(x)<0,即1-2sin x<0,得7.[-3,3] [解析] 由f(x)=x3-tx2+3x,得f'(x)=3x2-2tx+3,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0恒成立,即3x2-2tx+3≥0恒成立,则Δ=4t2-36≤0,解得-3≤t≤3.
8.D [解析] 因为函数f(x)=sin 2x-acos x在(0,π)上单调递增,所以f'(x)=cos 2x+asin x≥0在(0,π)上恒成立,即1-2sin2x+asin x≥0对任意x∈(0,π)恒成立.令t=sin x,x∈(0,π),则t∈(0,1],所以a≥2t-对任意t∈(0,1]恒成立,又因为y=2t-在(0,1]上单调递增,所以a≥2-1=1.
9.D [解析] 对于A,若x0,则>,不满足要求,故A错误;对于B,由x+ln y+ln x,得x-ln x0),则F'(x)=1-=,令F'(x)<0,得0F(y),不满足要求,故B错误;对于C,若xsin x=sin y,不满足要求,故C错误;对于D,由x-cos ycos x,则f'(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在定义域上单调递增,故x10.D [解析] 观察图象知,函数f(x)单调递减,所以f'(x)<0,于是a<0.函数图象与y轴相切,则x从大于0的方向趋于0时,f'(x)趋于负无穷大,也即1+bf(0)趋于0,又f(0)>0,所以b<0,所以a<0,b<0.故选D.
11.CD [解析] 由题意,f'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1),令f'(x)>0,解得-12,所以f(x)在(-1,2)上单调递增,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减.若函数f(x)=-x3+x2+2x+1在区间(m-1,m+4)上单调,则m+4≤-1或m-1≥2或所以m≤-5或m≥3.故选CD.
12.(-∞,4) [解析] 因为函数f(x)=2ln x-ax2-2x在上存在单调递增区间,所以f'(x)=-ax-2>0在区间上有解,即->a对x∈有解.令t=∈,则2t2-2t>a对t∈有解.令h(t)=2t2-2t,t∈,因为h(t)的图象开口向上,对称轴方程为t=,所以由二次函数的性质可得h(t)13. [解析] 不妨设x10,所以f(x)在上单调递增,所以f(x1)-,即f(x2)+>f(x1)+,令g(x)=f(x)+=x+
aln x+,则g(x2)>g(x1),所以g'(x)=≥0在上恒成立,得a≥-x对任意x∈恒成立.令h(x)=-x,易知h(x)在上单调递减,所以当x∈时,h(x)14.解:f'(x)=-a+2x=.
因为x>0,所以当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,对于y=2x2-ax+1,Δ=a2-8,若02,令2x2-ax+1=0,得x=>0,
当00,f(x)单调递增,当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
15.解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,则f'(x)=ex-1-1.当x>1时,f'(x)=ex-1-1>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增;当0故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)由题知f'(x)=ex-1-a(1+ln x)+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立,即ex-1-aln x-1≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=ex-1-aln x-1,则g'(x)=ex-1-(x>0).
①当a≤0时,g'(x)=ex-1->0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,所以当0②当a>0时,令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1+>0,所以g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=1-a.
(i)当00,所以存在x0∈(a,1),使得g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,因此当x∈(x0,1)时,g'(x)>0,此时g(x)(ii)当a=1时,g'(1)=1-a=0,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(1)=0,符合题意.
(iii)当a>1时,g'(a)=ea-1-1>0,g'(1)=1-a<0,所以存在x1∈(1,a),使得g'(x1)=0,且当x∈(0,x1)时,g'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g'(x)>0,因此当x∈(1,x1)时,g'(x)<0,此时g(x)16.BCD [解析] 对于A,f(x)=sin x·ln x,x>0,则f'(x)=cos x·ln x+,故f'(π)=cos π·ln π+
=-ln π,A错误.对于B,y=sin x为周期函数,当x→+∞时,ln x→+∞,故f(x)=sin x·ln x的大致图象如图所示,结合图象可知,当x增大到一定数值x0满足f(x0)=2024后,大于x0的数将有无数个满足f(x)=2024,B正确.对于C,设P(x,sin x·ln x)为y=f(x)的图象上任意一点,则kOP=(x>0),当01时,kOP=≤,设g(x)=(x>1),则g'(x)=,当10,g(x)在(1,e)上单调递增,当x>e时,g'(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(e)=,因为sin x≤1取等号的条件和g(x)≤g(e)=取等号的条件不一致,所以kOP<,C正确.对于D,设u(x)=ln x-x+1,x>1,则u'(x)=-1=<0,故u(x)在(1,+∞)上单调递减,则u(x)1.设h(x)=f(x)-,x>1,则h'(x)=f'(x)-x=cos x·ln x+-x17.ABD [解析] 因为g(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,所以f(x)是定义域为R的可导函数.因为g(x)+g(2-x)=0,所以g(x)的图象关于点(1,0)对称,且f(x)=f(2-x)+C(C为常数),所以f(1)=f(1)+C,解得C=0,故f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为>0,所以当x>1时,f(x)+g(x)>0,所以f(x)+f'(x)>0,设h(x)=exf(x),则当x>1时,h'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增,同理h(x)在(-∞,1)上单调递减.对于A,因为f(x)=f(2-x),所以f(0)=1=f(2),故A正确;对于B,h(3)=e3f(3)>h(2)=e2f(2)=e2,故f(3)>,故B正确;对于C,当x>1时,h(x)>h(1)=ef(1)=0,当x<1时,h(x)>h(1)=0,而x=1时,h(1)=0,故h(x)≥0恒成立,故C错误;对于D,当01,故f(x)∈(0,1),故D正确.故选ABD.第17讲 导数与函数的单调性
【课标要求】 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性与导数
导数到 单调性 单调递增 在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调
单调递减 在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调
单调性 到导数 单调递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)
单调递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)
“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“y=f(x)在区间(a,b)上单调递增(减)”的 条件
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=ex-x的单调递增区间是 .
2.[教材改编] 比较大小: ex 1+x,x≠0;x ln x,x∈(1,+∞).
3.[教材改编] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=ef'(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是 .
题组二 常错题
◆索引:弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件致误;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.
4.若函数y=x+(a>0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
5.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 .
6.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,对参数a应分 三种情况讨论.
不含参函数的单调区间
例1 (1)求函数f(x)=2x+-ln x的单调递减区间.
(2)求函数f(x)=sin x+(1-x)cos x,x∈的单调区间.
(3)求函数f(x)=ln(x+1)+e-x的单调递增区间.
总结反思
求函数f(x)单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
变式题 (1)[2024·浙江Z20联盟二联] 函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是 .
(2)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的单调递增区间为 ( )
A.(0,4)
B.(-∞,-1),
C.
D.(-∞,0),(1,4)
(3)求函数g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)的单调区间,其中e是自然对数的底数.
讨论含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)=2aln x+x2-(a+3)x(a∈R),讨论f(x)的单调性.
总结反思
(1)利用导数讨论含参函数单调性的关键是确定导数的符号,对于含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.
(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内.
变式题 讨论下列函数的单调性.
(1)f(x)=e2x+(2-2a)ex-a(2x+1),a∈R.
(2)f(x)=ax2-ln x-x.
已知函数单调性确定参数的取值范围
例3 已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,求a的取值范围.
总结反思
(1)f(x)在区间D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间D上恒成立即可.如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的关系.
(2)二次函数的值在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴x=x0与区间D的相对位置,一般分x0在区间左侧、内部、右侧三类情况进行讨论.
变式题 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( )
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
(2)已知m>0,若f(x)=-x2+6x-8ln x在[m,m+1]上不单调,则实数m的取值范围是 ( )
A.(1,2)
B.(3,4)
C.(1,2]∪[3,4)
D.(1,2)∪(3,4)
利用函数的单调性比较大小或解不等式
例4 (1)已知函数f(x)=2x-sin 2x,则不等式f(x2)+f(3x-4)<0的解集为 .
(2)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则 ( )
A.bC.a总结反思
利用导数比较大小或解不等式,常常需要把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.
变式题 (1)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2,则不等式f(2x+4)≥2的解集是 ( )
A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2}
C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2}
(2)(多选题) 已知α,β均为锐角,且α+β->sin β-cos α,则一定有 ( )
A.sin α>sin β B.cos α>cos β
C.sin β>cos α D.sin α>cos β第17讲 导数与函数的单调性
(时间:45分钟)
1.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则 ( )
A.f'(2)>0 B.f'(6)<0
C.f'(3)=0 D.f'(3)<0
2.函数f(x)=x2-3x-4ln x的单调递减区间为 ( )
A.(4,+∞) B.(0,1)
C.(0,4) D.(1,4)
3.已知f(x)在R上可导,f'(x)是函数f(x)的导函数,则“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= ( )
A.-12 B.-10
C.8 D.10
5.[2025·长沙六校联考] 已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f,c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.c6.函数f(x)=x+2cos x,x∈的单调递减区间为 .
7.若函数f(x)=x3-tx2+3x在R上单调递增,则实数t的取值范围是 .
8.[2024·江苏泰州模拟] 若函数f(x)=sin 2x-acos x在(0,π)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
9.[2024·浙江台州二模] 已知x,y为正实数,则“xA.<
B.x+ln yC.sin xD.x-cos y10.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧,如图,分别以,为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,屋顶剖面的曲线与x轴、y轴均相切,A,B两点间的曲线可近似看成函数f(x)的图象,f(x)的导函数为f'(x),为了让雨水最快排出,需要满足f'(x)=a,其中a,b为常数,则 ( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
11.(多选题)[2024·广东茂名一模] 若f(x)=-x3+x2+2x+1在区间(m-1,m+4)上单调,则实数m的值可以是 ( )
A.-4 B.-3
C.3 D.4
12.[2025·重庆八中月考] 已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 .
13.已知函数f(x)=x+aln x,其中a>0,若对任意实数x1,x2∈,x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|>,则a的取值范围是 .
14.[2024·武汉模拟] 已知函数f(x)=ln x-ax+x2,讨论f(x)的单调性.
15.已知函数f(x)=ex-1-axln x+(a-1)x(x>0).
(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)为定义域内的增函数,求实数a的取值集合.
16.(多选题)[2024·济南三模] 已知函数f(x)=sin x·ln x,则 ( )
A.曲线y=f(x)在x=π处的切线斜率为ln π
B.方程f(x)=2024有无数个实数根
C.曲线y=f(x)上任意一点与坐标原点O连线的斜率均小于
D.y=f(x)-在(1,+∞)上单调递减
17.(多选题)[2024·浙江台州一模] 已知g(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,f(0)=1,f(1)=0,g(x)+g(2-x)=0,>0,则下列说法正确的是 ( )
A.f(2)=1
B.f(3)>(e为自然对数的底数)
C.存在x0∈R,使得f(x0)<0
D.当x∈(0,1)时,f(x)∈(0,1)(共81张PPT)
第17讲 导数与函数的单调性
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
◆ 知识聚焦 ◆
函数的单调性与导数
导数到单调性 单调递增
单调递减
单调性到导数 单调递增
单调递减
递增
递减
续表
充分
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是________.
[解析] 由,解得,故 的单调递增区间是
.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 比较大小: ___，；___ ,
.
[解析] 设，,则，
由 ，得，由，得，则在 上
单调递减，在上单调递增，
故，故, .
设,,则,所以函数 在
上单调递增,所以,所以 , .
3.［教材改编］ 已知是定义在上的可导函数，函数
的图象如图所示，则 的单调递减区间是________.
[解析] 因为当时,,所以当时,,所以
的单调递减区间是 .
题组二 常错题
◆ 索引：弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件致误;求
单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.
4.若函数在上单调递增，则 的取值范围是
______.
[解析] 方法一：由，得或， 函数
的单调递增区间为，
函数在上单调递增，，
,又 ， .
方法二：，依题意知对任意 恒成立，
即对任意恒成立，
， ，，又， .
5.函数 的单调递增区间为________.
[解析] 由,得,则函数的定义域为 .
易知,令,可得,结合,得 ,
解得,所以函数的单调递增区间为 .
6.讨论函数在上的单调性时,对参数 应分____________
_____________ 三种情况讨论.
，，
[解析] 因为,所以对应分,, 三种情况讨论.
探究点一 不含参函数的单调区间
例1 （1）求函数 的单调递减区间.
［思路点拨］首先根据题意求出,再根据及 的定义
域求得 的单调递减区间.
解：由题可知,的定义域为 ,
,令,得 ，
故函数的单调递减区间为 .
（2）求函数, 的单调区间.
［思路点拨］求导后结合三角函数知识可得结果.
解：由题知,因为当时， ，
当时，，所以当时， ，
当时，，
所以的单调递增区间为 和，单调递减区间为 .
（3）求函数 的单调递增区间.
［思路点拨］求出函数的导函数 ，令
，利用的单调性得到 ，
即得 的单调递增区间.
解：由题意,函数的定义域为 ,且
.
易知,令 ,则,
由,得,可得当 时, ，
当时,，
所以在 上单调递减,在上单调递增,
所以 ,即,
所以的单调递增区间为 .
[总结反思]
求函数单调区间的步骤:
（1）确定函数的定义域.
（2）求.
（3）解不等式,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解
不等式,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
变式题（1）[2024· 浙江 联盟二联] 函数
的单调递增区间是_ ________.
[解析] 函数的定义域为 ，且
，
令，解得，所以的单调递增区间为 .
（2）已知函数与 的图象如图所示，
则函数 的单调递增区间为( )
A. B.，
C. D.，
[解析] 易知的图象过点与点，当或
时，，即，则函数 的单
调递增区间为， .
√
（3）求函数的单调区间，其中 是
自然对数的底数.
解：的定义域为 ，
.
令，则，因为 ，所以
恒成立，所以函数在 上单调递增，
又，所以当时，，，函数 单调递减，当时，，，函数 单调递增.
综上，函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为
.
探究点二 讨论含参函数的单调性
例2 已知函数，讨论 的
单调性.
［思路点拨］ 求导得 的分子是可分解因式的二次函数型，需讨
论零点的大小以及和定义域的关系.
解：的定义域为 ，
.
若，则当时，， 单调递减，当
时，，单调递增；
若 ，则当时，，单调递增，
当 时，，单调递减，当时，
， 单调递增；
若，则在上恒成立， 单调递增；
时，，单调递减，当 时，
，单调递增.
综上所述，当时， 的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时， 的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当 时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为和，
单调递减区间为 ．
[总结反思]
（1）利用导数讨论含参函数单调性的关键是确定导数的符号，对于
含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于
（或小于）零的不等式的解.
（2）所有求解和讨论都必须在函数的定义域内.
变式题 讨论下列函数的单调性.
（1）， .
解： .
①当时，因为，所以在 上恒成立，
所以在 上单调递增；
②当时，令，得,
由 ，得，则在上单调递增，
由 ，得，则在 上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，当时， 在
上单调递减，在 上单调递增.
（2） .
解：因为, ，所以
.
当 时， ，
故恒成立，所以，所以在 上
单调递减；
当时，令，解得 （舍去负根），
，此时单调递减．
综上所述，当时， 在 上单调递减;
当时，在上单调递减，在 上单调
递增．
探究点三 已知函数单调性确定参数的取值范围
例3 已知函数 .
（1）若函数在区间上单调递增，求 的取值范围；
[思路点拨] 求导, 分析可得x2-2x≥-2a对任意x∈(1,2)恒成立,
根据恒成立问题结合二次函数的性质分析求解;
解：，则 ，
函数在区间上单调递增等价于对任意 ，
恒成立，
可得对任意 恒成立.
设，可知 的图象开口向上，对称轴方程为，
在 上单调递增，
，，解得，故的取值范围为 .
（2）若函数在区间上存在单调递减区间，求 的取值范围；
解：由（1）可得，函数在区间
上存在单调递减区间等价于存在 ，使得
成立，
可得存在 ，使得 成立.
由（1）知的图象开口向上，对称轴方程为 ，
在上单调递增，
，，解得 ，则的取值范围为 .
[思路点拨] 分析可得存在x∈(1,2),使得x2-2x<-2a成立,根据存在性问题
结合二次函数的性质分析求解;
（3）若函数在区间上不单调，求 的取值范围.
解：由（1）可得，
函数在区间 上不单调等价于在上存在变号零点，
，即，解得，
则的取值范围为 .
[思路点拨] 分析可得f'(1)·f'(2)<0,从而解得a的取值范围.
[总结反思]
（1）在区间上单调递增（减）,只要满足
在区间上恒成立即可.如果能够分离参数,则分离参数后可转化为参
数值与函数最值之间的关系.
（2）二次函数的值在区间上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数
的图象的对称轴与区间的相对位置,一般分在区间左侧、
内部、右侧三类情况进行讨论.
变式题（1）[2023· 新课标Ⅱ卷]已知函数 在区间
单调递增，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知在区间 上恒成立，即
对任意恒成立.
令 ，可得，
所以在区间 上单调递增，
所以，故，所以，所以 的最小值为 .
故选C.
√
（2）已知，若在 上不单
调，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得
，可得函数
的极值点为， .
由在 上不单调，可得
或，解得 ．
√
探究点四 利用函数的单调性比较大小或解不等式
例4（1）已知函数，则不等式
的解集为_______.
［思路点拨］由函数的单调性与奇偶性将原不等式转化为常规不等
式后再求解.
[解析] 由 得
，所以函数
是 上的增函数，
又由得函数 是
奇函数，
所以由 得，
所以 ，即，即，
解得 .
（2）已知，，，其中 为自然对
数的底数，则( )
A. B. C. D.
［思路点拨］首先将,, 化成统一形式，再构造函数
，研究其单调性即可比较大小.
√
[解析] 由题意得， ，
.
设，则，当 时，，
所以单调递增，
又 ，所以，
即，所以 .
[总结反思]
利用导数比较大小或解不等式,常常需要把比较大小或求解不等式的
问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或
解不等式.
变式题（1）已知函数 ，则不等式
的解集是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，当且仅当
，即时，等号成立，所以在 上单调递增，而且
.
由，得，则 ，解
得 .故选B.
（2）（多选题） 已知 , 均为锐角,且 ,
则一定有( )
A. B.
C. D.
[解析] 由 ,得,
令, ,则,
在上单调递增.
, 均为锐角, , , ,
,即 , .故选 .
√
√
例1 ［配例2使用］ 已知函数，讨论函数
在 上的单调性.
解：由，得 .
①当时，,在 上单调递减；
②当时，,在 上单调递减；
③当时，令，得 ，
【备选理由】例1考查含参函数的单调性；
当时，,在上单调递减，当
时，,在 上单调递增；
④当时，,在 上单调递增.
综上，当时，在 上单调递减；
当时，在上单调递减，在 上单调递增；
当时，在 上单调递增.
例2 ［配例3使用］ [2025·江苏南通模拟] 已知函数 ，
对任意,，当时，都有，则实数
的取值范围是________.
[解析] 函数的定义域为 ，因为
，所以在 上单调递增，
所以在上恒成立，即在 上恒成
立，则，故实数的取值范围是 .
【备选理由】例2考查已知函数的单调性求参数的取值范围；
例3 ［配例4使用］ 已知函数 ，若
,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，
令 ，则恒成立，所以当时，
，即，
又因为在 上单调递增，所以当时，
，
所以在 上恒成立，则在上单调递增.
√
【备选理由】例3考查利用函数的单调性比较大小.
构造函数, ，则，
令，解得，令 ，解得，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以，即.
由 ，可得，则，
则 ，可得，即；
由 ，可得，即，
则 ，可得，即.
综上所述， .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.函数 的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由图象可得在上单调递减，在 上单调递增，
所以，， .故选D.
√
2.函数 的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
，令，得 ，
则函数的单调递减区间为 .故选C.
√
3.已知在上可导，是函数的导函数，则“在
上单调递减”是“在 上恒成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当在上单调递减时，在 上不一定恒成立，
例如，显然在 上单调递减，但；
若在上恒成立，设 ，则的图象
在点处的切线的斜率 ，所以在上单调递减.
所以“在上单调递减”是“ 在 上恒成立”的
必要不充分条件.故选B.
√
4.若函数的单调递减区间为 ，则
( )
A. B. C.8 D.10
[解析] ，由题意知，，3是 的两个
根，,，， ，
.故选A.
√
5.[2025·长沙六校联考]已知函数，且 ，
，，则，， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] ，当时，，所以 在
上单调递增，
因为 ，所以，
即 .故选D.
√
6.函数, 的单调递减区间为______.
[解析] 由已知得，，令 ，即
，得，则的单调递减区间为 .
7.若函数在上单调递增，则实数 的取值范围
是_______.
[解析] 由，得 ，
因为函数在上单调递增，所以恒成立，
即 恒成立，则，解得 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·江苏泰州模拟]若函数在 上单调
递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在 上单调递增，所以
在 上恒成立，即
对任意恒成立.
令 , ，则，所以对任意
恒成立,
又因为在上单调递增，所以 .
√
9.[2024· 浙江台州二模]已知，为正实数，则“ ”的充要条件可
以是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，若，则，则 ，不满足要求，
故A错误；
对于B，由，得 ，
令，则，
令 ，得，则在上单调递减，
若 ，则，不满足要求，故B错误；
对于C，若，取 , ，则 ，不满足要求，
故C错误；
对于D，由，得，
令 ，则，
所以在定义域上单调递增，故 ，
反之时也有 成立，满足要求，故D正确.故
选D.
10.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如图，分别
以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与
轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，
的导函数为 ，为了让雨水最快排出，需要满足
，其中， 为常数，则( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 观察图象知，函数单调递减，所以，于是 .
函数图象与轴相切，则从大于0的方向趋于0时， 趋于负无穷
大，也即趋于0，
又，所以，所以 ， .故选D.
11.（多选题）[2024·广东茂名一模] 若
在区间上单调，则实数 的值可以是( )
A. B. C.3 D.4
[解析] 由题意， ，
令，解得，令，解得或 ，
所以在上单调递增，在， 上单调递减.
若函数在区间 上单调，则
或或所以或 .故选 .
√
√
12.[2025·重庆八中月考] 已知函数在
上存在单调递增区间，则实数 的取值范围为________.
[解析] 因为函数在 上存在单调递增区
间，所以在区间上有解，即 对
有解.
令，则对 有解.
令，，因为 的图象开口向上，对称轴方程
为，所以由二次函数的性质可得，所以 ，
即实数的取值范围是 ．
13.已知函数,其中，若对任意实数 ,
，,都有,则 的取值范围
是_ _________.
[解析] 不妨设,因为,所以 ,
所以在上单调递增，所以 .
根据题意得,即 ,
令,则 ,所以
在上恒成立，得对任意
恒成立.
令，易知在 上单调递减，
所以当时，,所以 .
14.[2024·武汉模拟] 已知函数，讨论 的单调性.
解： .
因为，所以当时，,在 上单调递增.
当时，对于,，若 ，即
，则,在上单调递增，
若 ，令，得 ，
当时，,单调递增，当 时，
, 单调递增，
当时，, 单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当 时，在， 上单调递增，在
上单调递减.
15.已知函数 .
（1）若,求函数 的单调区间;
解：当时,,则.
当 时,,所以在上单调递增;
当 时,,所以在 上单调递减.
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为 .
（2）若函数为定义域内的增函数,求实数 的取值集合.
解：由题知在 上恒
成立,即对任意 恒成立.
令,则 .
①当时, ,
所以在 上单调递增,
又,所以当时, ,不符合题意.
②当时,令,则,所以 在
上单调递增,且 .
当时,, ,所以存在
,使得,且当时, ,当
时,,
因此当时, ,此时 ,不符合题意.
当时,,所以当时, ,当
时,,
所以在上单调递减,在 上单调递增,故 ,
符合题意.
当时,, ,所以存在
,使得,且当时, ,当
时,,
因此当时, ,此时,不符合题意.
综上所述,的取值集合为 .
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）[2024·济南三模] 已知函数 ，则
( )
A.曲线在 处的切线斜率为
B.方程 有无数个实数根
C.曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
D.在 上单调递减
√
√
√
[解析] 对于A，, ，则
，故
，A错误.
对于B，为周期函数，当 时，
，故 的大致图象如图所示，
结合图象可知，当增大到一定数值满足后，大于 的数将有无数个满足，B正确.
对于C，设为 的图象上任意一点，
则，当 时，，故；
当 时，，设 ，
则，
当时， ，在上单调递增，当时，，在 上单调递减，故，
因为 取等号的条件和 取等号的条件不一致，所以 ，C正确.
对于D，设, ，则，
故 在上单调递减，则 ，则
,.
设， ,
则 ，
故在 上单调递减，D正确.故选 .
17.（多选题）[2024·浙江台州一模] 已知是定义域为 的函数
的导函数，，， ，
，则下列说法正确的是( )
A. B.为自然对数的底数
C.存在，使得 D.当时，
√
√
√
[解析] 因为是定义域为的函数的导函数，所以 是定
义域为的可导函数.
因为，所以 的图象关于点对称，
且为常数 ，
所以，解得，故，所以 的图象
关于直线对称.
因为，所以当 时，，所以，
设 ，则当时，，
故在 上单调递增，同理在上单调递减.
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，，故 ，故B正确；
对于C，当时，，当 时，
，
而时，，故 恒成立，故C错误；
对于D，当时， 单调递减，，，
所以，
故当 时，，而，故，
故D正确.故选 .
【知识聚焦】递增 递减 ≥0 ≤0 充分
【对点演练】1.(0,+∞) 2.> > 3.(-∞,2] 4.(0,2] 5.(-∞,1) 6.a>0,a=0,a<0
课堂考点探究
例1(1)(0,1) (2)f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为(0,1). (3)(-1,+∞)
变式题(1) (2)D (3)函数g(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
例2当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2);当0单调递减区间为;当a=3时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>3时,f(x)的单调递增区间为
(0,2)和,单调递减区间为.
变式题(1)当a≤0时,f(x)在R上单调递增,当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
例3(1) (2) (3) 变式题(1)C (2)D 例4(1)(-4,1) (2)A 变式题(1)B (2)CD
教师备用习题
例1当a≤时,f(x)在[1,2]上单调递减;当f(x)在[1,2]上单调递增. 例2(-∞,2] 例3D
基础热身
1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 6. 7.[-3,3]
综合提升
8.D 9.D 10.D 11.CD 12.(-∞,4) 13.
14.当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,f(x)在,上单调递增,
在上单调递减.
15.(1)函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2){1}
能力拓展
16.BCD 17.ABD