第18讲 导数与函数的极值、最值
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)f'(x)<0 f'(x)>0 (2)f'(x)>0
f'(x)<0
2.(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
【对点演练】
1.-3 [解析] f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3.
2.e-1 [解析] f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1=0,得x=0.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.故函数f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值是max{f(-1),f(1)}=max=e-1.
3. [解析] 设弯成圆的铁丝的长为x cm,则弯成正方形的铁丝的长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为S cm2,则S=π+(0
0,S单调递增,故当x=时S取得最小值,即当弯成圆的铁丝的长为 cm时,正方形与圆的面积之和最小.
4.x=1 不存在 [解析] 因为f'(x)=-=,所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是函数f(x)的极小值点.因为g'(x)=3(x-1)2≥0,即g'(x)无变号零点,所以函数g(x)=(x-1)3不存在极值点.
5.1,4 不存在 [解析] 易知g(x)在[1,2]上单调递增,故g(x)在[1,2]上的最小值为g(1)=1,最大值为g(2)=4.根据最值的定义,可得g(x)在(1,2)上的最小值和最大值均不存在.
6.[1,+∞) [-1,+∞) [解析] 对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则(sin x)max≤a,即a≥1.存在实数x,使不等式sin x≤a成立,则(sin x)min≤a,即a≥-1.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 由y=(1-x)f'(x)的图象可以得出f'(x)在各区间上的正负情况,从而可得f(x)在各区间上的单调性,进而可得极值.
AD [解析] 由图可知,当x∈(-∞,-2)时,1-x>0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增;当x∈(-2,1)时,1-x>0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)在区间(-2,1)上单调递减;当x∈(1,2)时,1-x<0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)在区间(1,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,1-x<0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)在区间(2,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的极大值为f(-2),极小值为f(2).
例2 [思路点拨] (1)利用导数求函数的单调区间和极值即可.(2)根据函数极值点的定义,结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可.
解:(1)因为f(x)=ln x+x2-3x+2,所以f'(x)=+2x-3==,令f'(x)=0,得x=或1.当00,当1时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)极大值=f=-ln 2+,f(x)极小值=f(1)=0.故f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为;f(x)的极大值为-ln 2+,极小值为0.
(2)f'(x)=,x>0,令g(x)=x2-2x+a,易知关于x的方程x2-2x+a=0的判别式Δ=4-4a.
①当Δ≤0,即a≥1时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点.
②当Δ>0,即a<1时,函数g(x)有两个零点x1=1-,x2=1+.
(i)当a≤0时,x1≤0,x2>1,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有一个极值点;
(ii)当01,当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有两个极值点.
综上,当a≥1时,f(x)无极值点;当0例3 [思路点拨] (1)依题意知,f'(1)=0,f(1)=10,求得a,b,进行检验即可求解.(2)将函数f(x)有两个极值点转化为f'(x)=0有两个不同的实数根,令g(x)=,则问题等价于函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点,数形结合求得a的取值范围即可.
(1)- (2)
[解析] (1)∵f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,∴f'(x)=3x2+2ax+b,又f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),当1时,f'(x)>0,∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符;当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),当x<1时,f'(x)>0,当1(2)由f(x)=2ax-,得f'(x)=2a+,因为函数f(x)有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不同的实数根,即关于x的方程-2a=有两个不同的实数根.令g(x)=,则函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点.因为g'(x)=,所以当x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=.作出函数g(x)的图象如图所示,由图可知,0<-2a<,解得-【应用演练】
1.BCD [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--=,由函数f(x)既有极大值也有极小值,得方程f'(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根.令h(x)=ax2-bx-2c,则h(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根,故所以ab>0,ac<0,bc<0,故选BCD.
2.AD [解析] f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1时,f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,故f(x)的极大值为f(0)=1>0,极小值为f(a)=1-a3<0,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)有三个零点,A正确.对于B,当a<0时,f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,故x=0是f(x)的极小值点,B错误.对于C,函数f(x)=2x3-3ax2+1的图象为中心对称图形,不是轴对称图形,C错误.对于D,方法一:令g(x)=f'(x)=6x2-6ax,则g'(x)=12x-6a,令g'(x)=0,得x=,则曲线y=f(x)的对称中心为,当a=2时,点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确.
方法二:f(1)=3-3a,假设存在a,使得点(1,3-3a)为曲线y=f(x)的对称中心,则f(x)+f(2-x)=6-6a,事实上,f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,由解得a=2,即存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确.故选AD.
3.a>2 [解析] f(x)=x2-ax+ln x的定义域为{x|x>0},f'(x)=x-a+.若函数f(x)=x2-ax+ln x在(0,2)上有极值,则f'(x)=x-a+在(0,2)上有变号零点,即a=x+对x∈(0,2)有解.令g(x)=x+,x∈(0,2),则g(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,所以a≥2.当a=2时,f'(x)=x-a+=x+-2≥0,函数f(x)单调递增,则函数f(x)在(0,2)上没有极值,故a>2.
4.-e [解析] 由f(x)=(x2+ax-1)ex,得f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax-1)ex,因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex的极值点,所以f'(-2)=(-4+a)e-2+(4-2a-1)e-2=0,即-4+a+(3-2a)=0,解得a=-1.f'(x)=(2x-1)ex+(x2-x-1)ex=(x2+x-2)ex,令f'(x)=0,得x=-2或x=1.当x<-2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-21时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=(12-1-1)e1=-e.
例4 [思路点拨] (1)求导后,分a≤1,1解:(1)f'(x)=-=,x>0.若a≤1,则f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,所以f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=a=,不满足题意;若10,解得a综上所述,a=.
(2)由(1)可知若a≤1,则f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;若1综上,当a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;当a>时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a.
变式题 (1)0 -ln 2 (2)[-2,1) (3)1 [解析] (1)∵函数f(x)=x2+ln(x+1),∴f'(x)=2x+=(x>-1),当x∈时,f'(x)>0,∴f(x)在区间上单调递增,∴f(x)在区间上的最小值为f=-ln 2,最大值为f(0)=0.
(2)∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0得x=±1.当x<-1时,f'(x)>0,当-11时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又f(-1)=2,f(1)=-2,令f(x)=x3-3x=-2,解得x=-2或x=1,∴f(x)的图象如图所示.由图可知,若当x∈(a,a+4)时f(x)存在最小值,则-2≤a<1(3)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增,因此函数f(x)在R上没有最小值;当a>0时,若x>ln a,则f'(x)>0,所以函数f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,若x0时,f(x)min=f(ln a)=a-aln a.由g(x)=ax-ln x,得g'(x)=a-=,x>0.当a≤0时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,因此函数g(x)在(0,+∞)上没有最小值;当a>0时,若x>,则g'(x)>0,所以函数g(x)在上单调递增,若00时,g(x)min=g=1+
ln a.由题意可知a-aln a=1+ln a(a>0),即=ln a,即-ln a=0.设h(a)=-ln a(a>0),则h'(a)=-=<0,所以函数h(a)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,所以方程-ln a=0的解为1,则a=1.
例5 [思路点拨] (1)根据题意得利润为g(x)=-x3+ax2-1,根据g(2)=2.5得a=2,再利用导数研究其单调性即可得答案.(2)将无盖圆柱的表面积表示成关于圆柱底面半径的函数,利用导数求函数的最值,从而可得结果.
(1)A (2)3 [解析] (1)设利润为g(x)万元,则g(x)=f(x)-1-x=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,0(2)设圆柱的高为h,底面半径为r,则由圆柱的体积公式可得πr2h=27π,解得h=,则无盖圆柱的表面积f(r)=πr2+2πrh=πr2+2πr·.易知f'(r)=2πr-=,令f'(r)>0,可得r>3,令f'(r)<0,可得0变式题 (1)C (2)A
[解析] (1)如图,作出轴截面,设圆柱的底面半径为r(0(2)设行驶速度为x km/h,甲、乙两城的距离为a km,比例系数为k,总费用为f(x)元,则f(x)=(kx3+200)=a(00,f(x)单调递增,∴当x=10时,f(x)取得最小值,∴要使总费用最少,行驶速度应为10 km/h.第18讲 导数与函数的极值、最值
1.B [解析] f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1)=ln 1-1=-1.
2.A [解析] ∵f(x)=-xex,∴f'(x)=-(x+1)ex,令f'(x)=0可得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,∴f(x)极大值=f(-1)=,故选A.
3.C [解析] f'(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,无最大值和最小值,也无极值.故选C.
4.C [解析] 由f(x)=cos x+xsin x得f'(x)=-sin x+xcos x+sin x=xcos x,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在[0,π]上的最大值为f=.
5.ABD [解析] 由f(x)=(x+1)ex,可得f'(x)=(x+2)ex,令f'(x)<0,得x<-2,令f'(x)>0,得x>-2,故f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值为f(-2)=-,故A,B正确;方程f(x)=2的解的个数,即为g(x)=(x+1)ex-2的零点个数,易知g(x)的单调性与f(x)的单调性相同,且g(-2)=--2<0,g(1)=2e-2>0,即g(1)·g(-2)<0,故由函数零点存在定理得到存在x0∈(-2,1),使得g(x0)=0,而当x→-∞时,g(x)→-2,显然g(x)在(-∞,-2)上无零点,故g(x)=(x+1)ex-2只有1个零点,即f(x)=2只有1个解,故C错误;令h(x)=f'(x)=(x+2)ex,则h'(x)=(x+3)ex,令h'(x)=0,解得x=-3,令h'(x)>0,得x>-3,令h'(x)<0,得x<-3,所以x=-3是h(x)的极值点,即导函数f'(x)的极值点为-3,故D正确.故选ABD.
6.3 [解析] g(x)的定义域为(0,+∞),由图可得当x∈(0,1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,3)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=1为函数f(x)的极大值点.当x∈(3,10)时,g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=3为函数f(x)的极小值点.当x∈(10,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=10为函数f(x)的极大值点.所以f(x)的极小值点为3.
7.π [解析] 由题意,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有c2+b2=4,该圆锥的体积V=π·b2·c=π·(4-c2)·c.设f(x)=x·(4-x2)(00,当x∈时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f,所以Vmax=π××=π.
8.B [解析] 由图可知,两个函数图象都在x轴及其上方,所以f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增,所以实线为y=f(x)的图象,虚线为y=f'(x)的图象,f(0)=f'(0)=1.对于A,y'=f'(x)+1>0,则y=f(x)+x在R上单调递增,无最大值,A错误;对于B,y'=,则y'|x=0==0,由图可知,当x<0时,f(x)-f'(x)<0,当x>0时,f(x)-f'(x)>0,所以y=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以当x=0时,函数y=取得最小值=1,B正确;对于C,y'=[f'(x)+f(x)]ex,由图可知f(x)+f'(x)>0,所以y=f(x)·ex在R上单调递增,无最大值,C错误;对于D,y'=,则y'|x=0==0,由图可知,当x<0时,f'(x)-f(x)>0,当x>0时,f'(x)-f(x)<0,所以函数y=在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,函数y=取得最大值=1,D错误.故选B.
9.C [解析] 由题意得, a,b∈[0,2](a≠b),不妨设a0,当x∈(1,2)时,g'(x)<0,故g(x)=在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,最大值为g(1)=,故实数λ的最大值为.
10.BCD [解析] 对于A,由题意知f'(x)=3x2-6x.令f'(x)>0,解得x<0或x>2,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,解得011.ABC [解析] f(x)=(kx2+1)ex,当k=0时, f(x)=ex,A选项正确.f'(x)=(kx2+2kx+1)ex,令g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),则Δ=4k2-4k,当01时,Δ>0,则f'(x)=(kx2+2kx+1)ex=0有两个不等根x1,x2,且x1x2=,x1+x2=-2,所以x1<0,x2<0,C选项正确;当k<0时,Δ>0,则f'(x)=(kx2+2kx+1)ex=0有两个不等根x3,x4,且x3x4=,x3+x4=-2,不妨令x30,B选项正确.故选ABC.
12.(3e,+∞) [解析] 由f(x)=3x-tln x=0,x>0,可得=,令g(x)=,依题意,函数f(x)=3x-tln x存在两个零点,等价于函数y=与函数g(x)=的图象有两个交点.g'(x)=,当00,g(x)单调递增,当x>e时,g'(x)<0,g(x)单调递减,故当x=e时,g(x)取得最大值,且当x→0+时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0且g(x)>0,故要使函数y=与函数g(x)=的图象有两个交点,只需0<<,解得t>3e.
13.(-∞,-3) [解析] 由f(x)=ax2-2x+ln x(x>0),求导得f'(x)=2ax-2+=,由函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,得方程2ax2-2x+1=0有两个不相等的正实根,则解得00,故函数h(a)=--1-ln(2a)在上单调递增,则h(a)14.解:(1)f'(x)=-a,则f'(1)=1-a,f(1)=-a,故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1.
当a=1时,切线方程为y=-1,不符合要求;当a≠1时,令x=0,得y=-1,
令y=0,得x=,故=-1,解得a=2.综上,a的值为2.
(2)∵f(x)=ln x-ax,
∴f'(x)=-a=(x>0).
①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增,
∴f(x)在(0,e]上的最大值是f(e)=1-ae=-3,解得a=>0,舍去;
②当a>0时,由f'(x)==0,得x=,当0<时,当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)在(0,e]上的最大值为f=-1-ln a=-3,解得a=e2;
当e≤,即0解得a=>,舍去.综上所述,存在a符合题意,此时a=e2.
15.解:(1)因为f(x)=x-x3eax+b,
所以f'(x)=1-(3x2+ax3)eax+b,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1,
所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1,则解得
(2)由(1)得g(x)=f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1(x∈R),
则g'(x)=-x(x2-6x+6)e-x+1,令x2-6x+6=0,解得x=3±,不妨设x1=3-,x2=3+,则0易知e-x+1>0恒成立,所以令g'(x)<0,解得0x2,令g'(x)>0,解得x<0或x1即g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+,+∞),单调递增区间为(-∞,0)和(3-,3+).
(3)因为f(x)=x-x3e-x+1(x∈R),所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1,由(2)知f'(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)单调递增,因为f'(-1)=1-4e2<0,f'(0)=1>0,即f'(-1)f'(0)<0,所以f'(x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-10,则f(x)单调递增,
所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点;当x∈(0,x1)时,f'(x)单调递减,因为f'(x1)=f'(3-)0,则f(x)单调递增,当x4当x∈(x1,x2)时,f'(x)单调递增,因为f'(x2)=f'(3+)>f'(3)=1>0,即f'(x1)f'(x2)<0,所以f'(x)在(x1,x2)上存在唯一零点,不妨设为x5,则x10,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点;当x>x2=3+>3时,3x2-x3=x2(3-x)<0,所以f'(x)=1-(3x2-x3)e-x+1>0,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点.综上,f(x)共有3个极值点.
16.D [解析] f(x)=-ae2x+(a-1)ex+x+a2-(a>0)的定义域为R,且f'(x)=-ae2x+(a-1)ex+1=(aex+1)(-ex+1).当x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,当x>0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=a2+-,又当x→-∞时,f(x)→-∞,所以函数f(x)的值域为.令t=f(x),则t∈,要使函数y=f[f(x)]的值域为,只需a2+-≥0,解得a≥1或a≤-,又a>0,所以a≥1.故选D.
17.BD [解析] 易知f(x)的零点为x=a,x=b.①当-ab<0且a②当-ab<0且b③当-ab>0且b④当-ab>0且a对于A,若ab>a2,则当a>0时,00时,0【课标要求】 1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 .则a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 .则b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最小值为 ,最大值为 ;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为 ,最小值为 .
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.
常用结论
利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下:
不等式类型 与最值的关系
x∈[a,b],f(x)>M f(x)min>M,x∈[a,b]
x∈[a,b],f(x)(续表)
不等式类型 与最值的关系
x0∈[a,b],f(x0)>M f(x)max>M,x∈[a,b]
x0∈[a,b],f(x0) x1,x2∈[a,b],f(x1)-f(x2) x∈[a,b],f(x)>g(x) [f(x)-g(x)]min>0,x∈[a,b]
x∈[a,b],f(x) x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)min>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d]
x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)min>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d]
x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)max>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d]
x1∈[a,b], x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)max>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d]
(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应与最值的关系对应的不等号也改变)
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为 .
2.[教材改编] 函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是 .
3.[教材改编] 将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小,则弯成圆的铁丝的长是 cm.
题组二 常错题
◆索引:混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.
4.函数f(x)=ln x+的极值点为 ;函数g(x)=(x-1)3的极值点 (填“存在”或“不存在”).
5.已知函数g(x)=x2,则g(x)在[1,2]上的最小值和最大值分别是 ;g(x)在(1,2)上的最小值和最大值均 (填“存在”或“不存在”).
6.对任意实数x,若不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是 ;若存在实数x,使不等式sin x≤a成立,则实数a的取值范围是 .
利用导数解决函数的极值问题
微点1 由图象判断函数极值
例1 (多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)有极大值f(-2)
B.函数f(x)有极大值f(2)
C.函数f(x)有极小值f(1)
D.函数f(x)有极小值f(2)
总结反思
可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2 已知函数求极值
例2 (1)[2024·九省联考节选] 已知函数f(x)=ln x+x2-3x+2,求f(x)的单调区间和极值.
(2)已知函数f(x)=aln x-2x+x2(x>0),讨论函数f(x)的极值点个数.
总结反思
求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.
微点3 已知极值求参数
例3 (1)若f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为 .
(2)已知函数f(x)=2ax-有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
总结反思
根据函数的极值情况求参数的两个要领:
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:求解后验证根的合理性.
1.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 ( )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
2.(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 ( )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
3.[2024·广东潮州期末] 若函数f(x)=x2-ax+ln x在(0,2)上有极值,则实数a的取值范围是 .
4.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex的极值点,则f(x)的极小值为 .
利用导数解决函数的最值问题
例4 已知函数f(x)=ln x+,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值;
(2)讨论f(x)在[1,e]上的最大值.
总结反思
(1)连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最小(大)的即为最小(大)值.若连续函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)由函数的最值确定参数的值(或范围),一般是利用最值或最值点列出含参数的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可.(3)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题 (1)已知函数f(x)=x2+ln(x+1),则f(x)在区间上的最大值为 ,最小值为 .
(2)已知函数f(x)=x3-3x,x∈(a,a+4)存在最小值,则实数a的取值范围为 .
(3)已知函数 f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,则a= .
利用导数解决实际问题
例5 (1)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元. 已知销售额f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 ( )
A.6万斤 B.8万斤
C.3万斤 D.5万斤
(2)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为 .
总结反思
(1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.
(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.
变式题 (1)一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内,其底面放在圆锥底面上,则圆柱的体积最大为 ( )
A.π B.π
C.π D.π
(2)某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当行驶速度为20 km/h时,每小时电力消耗费用为40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h.要使从甲城开往乙城的总费用最少,则行驶速度应为 ( )
A.10 km/h
B.20 km/h
C.5 km/h
D. km/h第18讲 导数与函数的极值、最值
(时间:45分钟)
1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 ( )
A.1-e B.-1
C.-e D.0
2.已知函数f(x)=-xex,那么f(x)的极大值是 ( )
A. B.-
C.-e D.e
3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )
A.有最值,但无极值
B.有最值,也有极值
C.既无最值,也无极值
D.无最值,但有极值
4.函数f(x)=cos x+xsin x在[0,π]上的最大值为 ( )
A.0 B.
C. D.π
5.(多选题)[2024·浙江五校协作体二联] 已知函数f(x)=(x+1)ex,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增
B.f(x)的最小值为-
C.方程f(x)=2的解有2个
D.导函数f'(x)的极值点为-3
6.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),若g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点为 .
7.已知Rt△ABC的斜边BC的长为2,若以直角边AB所在直线为轴,将Rt△ABC旋转一周形成一个圆锥,则该圆锥体积的最大值为 .
8.在同一平面直角坐标系内,定义域为R的函数y=f(x)及其导函数y=f'(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则 ( )
A.函数y=f(x)+x的最大值为1
B.函数y=的最小值为1
C.函数y=f(x)·ex的最大值为1
D.函数y=的最小值为1
9.[2025·哈尔滨九中月考] 拉格朗日中值定理又称拉氏定理:如果函数f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导,那么必存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).已知函数f(x)=, a,b∈[0,2](a≠b),λ=,那么实数λ的最大值为 ( )
A.1 B.- C. D.0
10.(多选题)若函数f(x)=x3-3x2,则 ( )
A.f(x)的极大值点为2
B.f(x)有且仅有2个零点
C.f(x)的图象关于点(1,-2)对称
D.f+f+f+…+f+f=-8094
11.(多选题)函数f(x)=(kx2+1)ex的图象可能是 ( )
12.已知函数f(x)=3x-tln x存在两个零点,则实数t的取值范围为 .
13.已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围为 .
14.[2024·湖南长郡中学月考] 已知函数f(x)=ln x-ax,其中a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a的值.
(2)是否存在实数a,使得f(x)在(0,e]上的最大值是-3 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
15.[2023·北京卷] 设函数f(x)=x-x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+1.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(3)求f(x)的极值点个数.
16.[2024·河北沧州三模] 已知函数f(x)=-ae2x+(a-1)ex+x+a2-(a>0)的值域与函数y=f[f(x)]的值域相同,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.[1,+∞)
17.(多选题)[2024·江西新余模拟] 已知函数f(x)=ab(x-a)2(b-x)(ab≠0),现添加一个条件,使得f(x)的极大值点同时为其零点,则这个条件可以是 ( )
A.ab>a2
B.<
C.a2+b2-4a+4b+7≤0
D.eb=a+1(共106张PPT)
第18讲 导数与函数的极值、最值
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过
三次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
1.函数的极值
（1）函数的极小值：
函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处
的函数值都小，；而且在点 附近的左侧__________，
右侧__________.则叫作函数的极小值点， 叫作函数
的极小值.
◆ 知识聚焦 ◆
（2）函数的极大值：
函数在点处的函数值比它在点 附近其他点处
的函数值都大，；而且在点 附近的左侧__________，
右侧__________.则叫作函数的极大值点， 叫作函数
的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
（1）如果在区间上函数 的图象是一条连续不断的曲线，
那么 必有最大值与最小值.
（2）若函数在上单调递增，则在 上的最小值为
______，最大值为______；若函数在上单调递减，则
在 上的最大值为______，最小值为_____.
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解
结果回答实际问题.
常用结论
利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函
数最值的关系如下：
不等式类型 与最值的关系
， ，
， ，
， ，
， ，
, , ，
， ，
， ，
， ， ， ，
不等式类型 与最值的关系
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
续表
（注：上述的大于、小于分别改为不小于、不大于，相应与最值的
关系对应的不等号也改变）
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的极小值为____.
[解析] ，令，得 或
.
当时，；当时， ；
当时，.
故在 处取得极小值 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 函数在区间 上的最大值是______.
[解析] ，令，得.
当 时，；当时，.
故函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以在区间 上的最大值是
, .
3.［教材改编］ 将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方
形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的
铁丝的长是_____ .
[解析] 设弯成圆的铁丝的长为 ,则弯成正方形的铁丝的长为
,记正方形与圆的面积之和为 ，则
， .
令，得 ，当时，， 单调递减，
当时，，单调递增，
故当时 取得最小值，即当弯成圆的铁丝的长为 时，
正方形与圆的面积之和最小.
题组二 常错题
◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间 上不
一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.
4.函数的极值点为 ______；函数 的极
值点________（填“存在”或“不存在”）.
不存在
[解析] 因为，所以当 时，，
单调递增，当时，， 单调递减，
所以是函数的极小值点.
因为 ,即无变号零点,所以函数
不存在极值点.
5.已知函数，则在 上的最小值和最大值分别是___
___；在 上的最小值和最大值均________（填“存在”或“不
存在”）.
1，4
不存在
[解析] 易知在上单调递增，故在 上的最小值为
，最大值为.
根据最值的定义,可得在 上的最小值和最大值均不存在.
6.对任意实数，若不等式恒成立，则实数 的取值范围是
_________；若存在实数，使不等式成立，则实数 的取值
范围是__________.
[解析] 对任意实数，不等式恒成立，则 ，
即.
存在实数，使不等式成立，则 ，即
.
探究点一 利用导数解决函数的极值问题
微点1 由图象判断函数极值
例1 （多选题）设函数在 上可导，其导函数为，若函数
的图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.函数有极大值
B.函数有极大值
C.函数有极小值
D.函数有极小值
√
√
［思路点拨］ 由 的图象可以得出在各区间上的正负
情况,从而可得 在各区间上的单调性,进而可得极值.
[解析] 由图可知，当时， ，
且，则， 在区间
上单调递增；
当 时，，且，
则 ，在区间上单调递减；
，且，则，在
区间 上单调递减；
当时，，且 ，则，
在区间上单调递增.
所以函数 的极大值为，极小值为 .
[总结反思]
可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点
还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.
微点2 已知函数求极值
例2（1）[2024· 九省联考节选] 已知函数 ，
求 的单调区间和极值.
［思路点拨］利用导数求函数的单调区间和极值即可.
解：因为 ,所以
,令,得 或1.
当时,,当时,,当 时,,
所以在上单调递增,在 上单调递减,在上单调递增,
所以 ,.
故的单调递增区间为, ,单调递减区间为;
的极大值为 ,极小值为0.
（2）已知函数，讨论函数 的极
值点个数.
解：，，
令,易知关于 的方程的判别式
.
①当，即时，，在 上单调递增，
无极值点.
［思路点拨］根据函数极值点的定义,结合一元二次方程根的判别式
分类讨论进行求解即可.
②当，即时，函数有两个零点 ，
.
当时，，，当时，， 单调
递减，当时，，单调递增， 有一个极值点；
当时，，，当 时，，
单调递增，当时，， 单调递减，当
时，，单调递增， 有两个极值点.
综上，当时，无极值点；当时， 有两个极值
点；当时， 有一个极值点.
[总结反思]
求函数极值的一般步骤:
①先求函数的定义域,再求函数的导函数;
②求的根;
③判断在的根的左、右两侧的符号,确定极值点;
④求出具体极值.
微点3 已知极值求参数
例3（1）若在 处取得极大值10，
则 的值为____.
［思路点拨］依题意知，，，求得, ，进行检
验即可求解.
[解析] ， ，
又在 处取得极大值10，
， ，
，,或,．
当 , 时，，
当 时，，当时，，
在 处取得极小值，与题意不符；
当, 时，，
当时， ，当时，，
在 处取得极大值，符合题意.
故 .
（2）已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围
是_ ________.
［思路点拨］将函数 有两个极值点转化为 有两个不同
的实数根，令，则问题等价于函数 与 的
图象有两个不同的交点，数形结合求得 的取值范围即可.
[解析] 由 ，得，
因为函数 有两个极值点，所以 有两个不同的实数根，
即 关于的方程有两个不同的实数根.
令 ，则函数与的图象有两个不同的交点.
因为 ，所以当时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以当时，取得最大值.
作出函数 的图象如图所示，由图可知， ，解得
，
所以实数 的取值范围是 .
[总结反思]
根据函数的极值情况求参数的两个要领：
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待
定系数法求解.
②验证:求解后验证根的合理性.
应用演练
1.（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 若函数
既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 函数的定义域为 ，，
由函数 既有极大值也有极小值，得方程在 上有
两个不等实根.
令，则在 上有两个不等实根，
故
所以,, ，故选 .
2.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 设函数 ，则
( )
A.当时， 有三个零点
B.当时，是 的极大值点
C.存在，，使得为曲线 的对称轴
D.存在，使得点为曲线 的对称中心
[解析] .对于A，当时，在 , 上单调递增，在上单调递减，故 的极大值为,极小值为, 又当 时， ,当 时， ,所以 有三个零点,A正确.
√
√
对于B，当时，在,上单调递增，在
上单调递减，故是 的极小值点，B错误.
对于C，函数 的图象为中心对称图形，不是轴对称图形，C错误.
对于D，方法一：令 ,则,令,得,则曲线的对称中心为 , 当时，点为曲线 的对称中心，D正确.
方法二：，假设存在，使得点 为曲线
的对称中心，则，事实上，
，于是
，
由解得，即存在，使得点 为曲线的对称中心，D正确.故选 .
3.[2024·广东潮州期末] 若函数在 上有极
值，则实数 的取值范围是______.
[解析]的定义域为 ,.
若函数在 上有极值，则
在上有变号零点，即对 有解.
令,，则 ，当且仅
当时等号成立，所以.
当 时，，函数单调递增，
则函数 在上没有极值，故 .
4.若是函数的极值点，则 的极小
值为____.
[解析]由 ,得,
因为 是函数 的极值点，所以
，即
，解得
，
令，得或.当时，，函数 单
调递增；当时，，函数单调递减；当
时，，函数单调递增.
所以当时，函数 取得极小值 .
探究点二 利用导数解决函数的最值问题
例4 已知函数, .
（1）若函数在上的最小值是，求 的值；
［思路点拨］求导后，分，， 讨论求得最小值，
从而可求得 的值；
解：,.
若，则在 上恒成立，所以在上单调递增，
所以在 上的最小值为，不满足题意；
若则当 时,令解得令解得
,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以在
上的最小值为解得满足题意；
若 ，则在上恒成立，所以在 上单调递减，所以
在上的最小值为，解得 ，不满足题意.
综上所述， .
（2）讨论在 上的最大值.
［思路点拨］分，，， 讨论求得
在 上的最大值.
解：由(1)可知若，则在上单调递增，所以 在
上的最大值为；
若则在 上单调递减,在上单调递增,
当即时， 在上的最大值为,
当即 时,在上的最大值为
若则在 上单调递减,所以在上的最大值为
.
综上，当时，在上的最大值为 ;当
时，在上的最大值为 .
[总结反思]
（1）连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,
上述值中最小（大）的即为最小（大）值.若连续函数在一个区间上
（不论区间的类型）有唯一的极值点,则该点也是最值点.
（2）由函数的最值确定参数的值（或范围）,一般是利用最值或最值
点列出含参数的方程（或不等式）,解方程（或不等式）即可.
（3）注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
变式题（1）已知函数，则在区间
上的最大值为___，最小值为_ _______.
0
[解析] 函数 ，
，
当 时，，在区间上单调递增，
在区间上的最小值为，
最大值为 .
（2）已知函数，存在最小值，则实数
的取值范围为_______.
[解析] ,
令得.
当 时,当时,
当 时,在 上单调递增,
在上单调递减，在上单调递增，
又, ,令解得或，
的图象如图所示.
由图可知，若当时 存在最小值，则
，解得，即实数的取值范围为 .
（3）已知函数和 有相同的最小值，
则 ___.
1
[解析] 由，得.
当时， ，所以函数在上单调递增，因此函数
在 上没有最小值;
当时，若，则，所以函数在 上单
调递增，若，则，所以函数在 上单
调递减，因此当时， .
由，得,.
所以函数在上单调递减,因此函数
在上没有最小值；
当时，若，则 ，所以函数在上单调
递增，若，则 ，所以函数在上单调递减，
因此当 时,.
由题意可知 ,即即.
设 ，则，
所以函数在 上单调递减，
又，所以方程的解为1，则 .
探究点三 利用导数解决实际问题
例5（1）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种
植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额
（ 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额
的单位：万元； 是常数），若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则
要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤
√
［思路点拨］根据题意得利润为 ,根据
得 ，再利用导数研究其单调性即可得答案.
[解析] 设利润为 万元，则
， ，
由题意得，解得 ，
， .
易知函数在上单调递增，在上单调递减,
当 时，函数 取得极大值，也是最大值，故选A.
（2）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，
则圆柱的底面半径为___.
3
［思路点拨］将无盖圆柱的表面积表示成关于圆柱底面半径的函数，
利用导数求函数的最值，从而可得结果.
[解析] 设圆柱的高为，底面半径为 ，则由圆柱的体积公式可得
，解得 ，
则无盖圆柱的表面积 .
易知，
令,可得，令 ,可得，
在上单调递减，在 上单调递增，
则当时， 取得最小值，即用料最省.
[总结反思]
（1）利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取
合适的自变量建立函数模型.
（2）注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果
“翻译”为实际问题的答案.
变式题（1）一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放
在圆锥底面上，则圆柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,作出轴截面,设圆柱的底面半径为高为
则由 ，得 ，
所以圆柱的体积为 ，
则.令，得 ，
易知当时，单调递增，
当时， 单调递减，
所以 .
（2）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已
知当行驶速度为 时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用
每小时需200元，火车的最高速度为 .要使从甲城开往乙城
的总费用最少，则行驶速度应为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设行驶速度为甲、乙两城的距离为 ,比例系数为总
费用为 元,则 .
由已知条件，得，， .
令，解得，
当 时，，单调递减，
当时，, 单调递增，
当时，取得最小值，
要使总费用最少，行驶速度应为 ．
例1 ［配例1使用］ （多选题）如图所示是 的导函数
的图象，则下列结论中正确的是( )
A.在区间, 上单调递增
B.是 的极小值点
C.在区间 上单调递减
D.是 的极小值点
√
√
√
【备选理由】例1考查利用导函数的图象判断函数的单调性和极值,考
查学生识图和用图的能力;
[解析] 由图可知当时，
，函数 在,上单
调递增，
当时， ，函数在,上单
调递减，
所以当时， 取得极小值，即是的极小值点，
当时， 取得极大值，即是的极大值点，
故A,B,C正确，D错误.故选 .
例2 ［配例2使用］ （多选题）已知函数
（ 是不为零的常数），则( )
A.函数的极大值点为负 B.函数 的极小值点为正
C.函数的极大值为正 D.函数 的极小值为负
[解析] 函数的定义域为 ,求导得
设 ,因为
所以方程 一定有两个根,不妨令
则.显然当或 时,当
时,因此函数 的极大值点为负，A正确.
√
√
√
【备选理由】例2考查利用导数求极值，因为函数中有参数，所以在
判断极值的符号时需要对参数进行分类讨论；
可正可负，因此函数 的极小值点可正可负，B错误.
函数在, 上单调递增，在上单调递减，且
，无论 是正还是负，均有，因此函数
的极小值 为负，D正确.
因为,所以函数有两个零点，当 小于最小的零
点时，,，即恒有 .由
，可得或.当时， 的最小零点为0，因为
，所以；当时， 的最小零点为，
，而，即 ,所以
,从而小于 最小的零点，则有.
综上，的极大值为正，C正确.故选 .
例3 ［配例3使用］ [2024·辽宁葫芦岛一模] 已知函数
在上无极值，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查根据极值的情况求参数的取值范围；
[解析] 由题意得，，故 ，
因为函数在上无极值，所以在上恒成立.
当 时，恒成立，
设 ，则，
当时， ，当时，，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
从而，故.
当时， 恒成立，因为，所以.
综上， .故选D.
例4 ［配例4使用］ [2024·广州二模] 设函数
的零点为，则当的值为___时， 取得最大值__．
[解析] 由题意得，所以，即 ，所
以，即.
令 ，则，
当时，，当时， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当 时，取得最大值，最大值为 .
【备选理由】例4考查利用导数解决函数的最值问题；
例5 ［配例5使用］ [2024·四川达州二模] 如图，
灯笼的主体可看作是将一个椭圆绕短轴旋转得到的，
这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆
绕短轴旋转得到的椭圆体的
A. B. C. D.
体积和表面积可以用公式和 计算.若灯笼主
体的体积为 , ，则该灯笼主体表面积的取值范围为( )
√
【备选理由】例5考查利用导数解决实际问题.
令 ，可得，故当时，，所以函数在 上
单调递增，
又当 时， ,
当 时，，
所以 .故选C.
[解析] 由题意可得 ，可得 ，所以 ，
所以该灯笼主体的表面积 ，
则，
作业手册
1.函数在区间 上的最大值为( )
A. B. C. D.0
[解析] ，令，得，
当 时，，当时，，
所以在区间 上的最大值为 .
√
◆ 基础热身 ◆
2.已知函数，那么 的极大值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
令 可得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在 上单调递减，
，故选A.
√
3.函数 ( )
A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值
C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值
[解析] ，当 时，
，所以在 上单调递减，无最大值和最小值，也
无极值.故选C.
√
4.函数在 上的最大值为( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由 得
，
当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以在上的最大值为 .
√
5.（多选题）[2024·浙江五校协作体二联] 已知函数
，则下列结论正确的是( )
A.在区间 上单调递增
B.的最小值为
C.方程 的解有2个
D.导函数的极值点为
[解析] 由，可得，令 ，
得，令，得，故在 上单调递减，
√
√
√
在上单调递增，故的最小值为 ，故A，B
正确；
方程的解的个数，即为 的零点个数，
易知的单调性与 的单调性相同，且，
，即 ，故由函数零点存在定理得
到存在，使得 ，而当 时，，
显然在 上无零点，故只有1个零点，
即 只有1个解，故C错误；
令，则，令 ，解
得，令,得,令,得 ,所以
是的极值点，即导函数的极值点为 ，故D正确.
故选 .
6.已知定义域为的函数 的导函数为
，若 的图象如图所示，则
的极小值点为___.
3
[解析] 的定义域为 ,由图可得当
时，,则,单调递增，当 时，
,则,单调递减，故为函数 的极大值点.
当时，,则,单调递增，故 为函数
的极小值点.
当时，,则, 单调递减，故为函
数的极大值点.所以 的极小值点为3.
7.已知的斜边的长为2，若以直角边 所在直线为轴，
将 旋转一周形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为
_ ______.
[解析] 由题意，设的内角,,所对的边分别为,, ，则有
，该圆锥的体积 .
设 ,
则
故当 时,，当时，，
故在 上单调递增，在上单调递减，
所以 ,所以 .
◆ 综合提升 ◆
8.在同一平面直角坐标系内，定义域为 的函数
及其导函数 的图象如图所示，
已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 ，
则( )
A.函数的最大值为1 B.函数 的最小值为1
C.函数的最大值为1 D.函数 的最小值为1
√
[解析] 由图可知，两个函数图象都在 轴及
其上方，所以，在 上单调递
增，所以实线为的图象，虚线为
的图象，.
在 上单
调递增,无最大值,A错误；
对于B， ,则
由图可知,当 时,当
时,所以在 上单
调递减,在上单调递增,所以当 时,函数取得最小
值 ,B正确；
对于C，，由图可知 ，所以
在 上单调递增，无最大值，C错误；
对于D， ，则,由图可知，当
时，，当时， ，所以函数
在 上单调递增，在上单调递减，所以当
时，函数取得最大值 ，D错误.故选B.
9.[2025·哈尔滨九中月考]拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函
数在上连续，且在上可导，那么必存在 ，使
得.已知函数， ,
,，那么实数 的最大值为( )
A.1 B. C. D.0
√
[解析] 由题意得，,，不妨设 ，则存在
，使得，又，所以 .
因为，所以 ，
又所以令则 ,当
时,当时,故 在
上单调递增，在上单调递减，故在 处取得极大值，
也是最大值，最大值为，故实数 的最大值为 .
10.（多选题）若函数 ，则( )
A. 的极大值点为2
B. 有且仅有2个零点
C.的图象关于点 对称
D.
√
√
√
[解析] 对于A，由题意知.令，解得
或，所以在上单调递增，在 上单调递增；
令，解得，所以在 上单调递减，所以
在处取得极大值，所以 的极大值点为0，故A错误.
对于B，因为的极小值为，极大值为 ，所以 有且仅有2个零点，故B正确.
对于C，，所以 的图象关于点 对称，故C正确.
对于D，由C选项可知，，故D正确.
故选 .
11.（多选题）函数 的图象可能是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] ，当时, ,A选项正确.
令 ,则
当时, ,则,
单调递增;当时,则
有两个不等根 , ,且,所以, ,
C选项正确；
当时,，则有两个不等根 ，
,且,,不妨令,则, ,B选项正
确.故选 .
12.已知函数存在两个零点，则实数 的取值范围为
_________.
[解析] 由可得 ,令，
依题意，函数 存在两个零点，等价于函数与函
数的图象有两个交点.
，当时，，单调递增，当
时， ，单调递减，故当时，取得最大值，且
当 时， ，当 时，且 ，
故要使函数与函数的图象有两个交点，只需 ，
解得 .
13.已知函数有两个不同的极值点, ，则
的取值范围为__________.
[解析] 由 ，求导得
，
由函数 有两个不同的极值点,，得方程 有两个不相等的正实根，则解得，
于是 .
令，求导得 ，当
时，,故函数在 上单
调递增，则，又当时， ,所以
的取值范围为 .
14.[2024·湖南长郡中学月考] 已知函数，其中 .
（1）若曲线在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，
求 的值.
解：，则,，故曲线 在
处的切线方程为，即 .
当时，切线方程为，不符合要求；
当时,令 ,得 ,令得故解得.
综上， 的值为2.
（2）是否存在实数，使得在上的最大值是 若存在，
求出 的值;若不存在，说明理由.
解： , .
①当时，,在 上单调递增，
在上的最大值是解得 ,舍去;
②当时，由，得，当，即
时，当时，，当时，，
在上单调递增，在 上单调递减，
在上的最大值为,解得 ;
当，即时，在上单调递增，在 上
的最大值为 ，解得，舍去.
综上所述，存在符合题意，此时 .
15.[2023·北京卷] 设函数，曲线 在点
处的切线方程为 ．
（1）求, 的值；
解：因为 ,所以 ，
因为曲线在点处的切线方程为 ，
所以，，
则 解得
（2）设函数，求 的单调区间；
解：由(1)得 ，则
，令 ，解得，
不妨设，，则 .
易知恒成立，所以令，解得或 ,
令，解得或,
所以在 上单调递减,在 上单调递增，
即的单调递减区间为和 ，单调递增区间
为和 .
（3）求 的极值点个数．
解:因为 ,所以
由（2）知在， 上单调递减，在，
上单调递增.
当时，单调递增，因为 ，
，即，所以在 上存在唯一
零点，不妨设为，则，此时，当时， ，
则单调递减，当时，，则 单调递增，
所以在上有一个极小值点；
当时， 单调递减,因为
,即，所以在上存在唯一零点，
不妨设为 ，则，此时,当时,则
单调递增,当时,则单调递减,所以 在
上有一个极大值点；
当时, 单调递增,因为
，即 ，所以在上存在唯一零点，
不妨设为，则 ，此时，当时，，
则单调递减，当 时，，则单调递增，
所以在 上有一个极小值点；
当时， ，所以
，则单调递增，所以 在
上无极值点.
综上， 共有3个极值点.
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024·河北沧州三模]已知函数
的值域与函数
的值域相同，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的定义域为
，且.
当 时，，在上单调递增，
当 时，，在上单调递减，
所以当时， 取得最大值，
又当时, ,所以函数的值域为.
令则 ,要使函数的值域为
，只需 ，解得或，
又，所以 .故选D.
17.（多选题）[2024· 江西新余模拟] 已知函数
，现添加一个条件，使得 的
极大值点同时为其零点，则这个条件可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知的零点为, .
①当且 时，用“穿针引线法”可以得
到函数 的大致图象如图，与题意不符；
√
√
②当且 时，用“穿针引线法”可以得到
函数 的大致图象如图，与题意相符，此时
或 ；
③当且 时，用“穿针引线法”可以得到
函数 的大致图象如图，与题意不符；
④当且 时，用“穿针引线法”可以得到
函数 的大致图象如图，与题意相符，此时
.
综上所述，或或 .
对于A，若，则当时， ，故A错误；
对于B，若，则当 时，或，当 时，
，故B正确；
对于C，若 ，则
，所以点在圆心为 ，半径为1的圆
内（包括边界），所以，故C错误；
对于D，若 ，作出函数和函数
的图象如图，由图可得，
或，故D正确.
故选 .
【知识聚焦】1.(1)f'(x)<0 f'(x)>0 (2)f'(x)>0 f'(x)<0 2.(2)f(a) f(b) f(a) f(b)
【对点演练】1. -3 2. e-1 3. 4. x=1 不存在 5. 1,4 不存在 6. [1,+∞) [-1,+∞)
课堂考点探究
例1 AD 例2 (1)f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为;f(x)的极大值为-ln 2
+,极小值为0 (2)当a≥1时,f(x)无极值点;当0例3 (1)- (2)
【应用演练】1.BCD 2.AD 3.a>2 4.-e
例4(1) (2)当a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;当a>时,f(x)在[1,e]上的最大值为
f(1)=a 变式题(1)0 -ln 2 (2)[-2,1) (3)1 例5(1)A (2)3 变式题(1)C (2)A
教师备用习题
例1 ABC 例2 ACD 例3 D 例4 e 例5 C
基础热身
1.B 2.A 3.C 4.C 5.ABD 6.3 7.π
综合提升
8.B 9.C 10.BCD 11.ABC 12.(3e,+∞) 13.(-∞,-3)
14. (1)a的值为2 (2) 存在a符合题意,此时a=e2
15.(1)a=-1,b=1 (2) g(x)的单调递减区间为(0,3-)和(3+,+∞),单调递增区
间为(-∞,0)和(3-,3+) (3) f(x)共有3个极值点
能力拓展
16.D 17.BD