增分微课4 利用切线解决最值范围问题
例1 (1)D (2)C [解析] (1)由题得g'(x)=2x-,当函数g(x)=x2-2ln x的图象在点Q处的切线与f(x)=3x-4的图象平行时,令g'(x)=2x-=3,解得x=2或x=-(舍),所以切点为Q(2,4-2ln 2),由点到直线的距离公式得,|PQ|的最小值为=,所以|PQ|2的最小值为=(1-ln 2)2.
(2)由(a+1)2+(b-2)2=1可得点(a,b)在以(-1,2)为圆心,1为半径的圆上,(x-a)2+(ln x-b)2表示点(a,b)与点(x,ln x)的距离的平方,即表示圆(x+1)2+(y-2)2=1上的动点到函数y=ln x的图象上动点距离的平方.设(m,ln m)为y=ln x的图象上一点,且y=ln x的图象在点(m,ln m)处的切线与点(m,ln m)和点(-1,2)的连线垂直,由y=ln x得y'=,则·=-1,可得ln m+m2+m=2.由f(x)=ln x+x2+x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=2,可得m=1,所以切点为(1,0),圆心与切点的距离d==2,由此可得(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为(2-1)2=9-4.
变式题 [解析] 因为曲线y=ln(x-1)是由曲线y=ln x向右平移1个单位长度得到的,曲线y=ex-1是由曲线y=ex向右平移1个单位长度得到的,所以|PQ|的最小值可以看成曲线y=ln x上的点与曲线y=ex上的点间的距离的最小值.因为y=ex与y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,所以所求的最小值为曲线y=ex上的点A到直线y=x的最小距离的2倍,设与直线y=x平行的直线与曲线y=ex相切于点M(x0,),因为y'=ex,所以由=1,得x0=0,所以切点为M(0,1),所以点A到直线y=x的最小距离d==,所以|PQ|的最小值为.
例2 (1)A (2)D
[解析] (1)依题意可知,y=f(x)的图象与y=kx的图象有两个公共点,画出f(x)的图象与y=kx的图象如图所示.由图可知,y=kx的图象与y=e-x(x≤0)的图象相切,设切点为(t,e-t),因为(e-x)'=-e-x,所以切线的斜率为-e-t,所以-e-t=,解得t=-1,则k=-e-(-1)=-e.
(2)f(x)=eln x-|x-a|,x∈[1,e2]的图象与x轴有且仅有两个交点,等价于函数y=eln x与y=|x-a|的图象在[1,e2]上有且仅有两个交点.由y=eln x,得y'=.当直线y=x-a与y=eln x的图象相切时,有=1,得x=e,即切点为(e,e),此时a=0;当直线y=x-a过点(e2,2e)时,得a=e2-2e.要使函数y=eln x与y=|x-a|的图象在[1,e2]上有且仅有两个交点,只需a∈(0,e2-2e].
变式题 (1)A (2)C [解析] (1)由题知f'(x)=ex,当函数g(x)的图象与f(x)的图象相切时,设切点为(x0,)(x0<1),则切线方程为y-=(x-x0),将点(-2,0)的坐标代入,可得x0=-1,则k=e-1=.当函数g(x)的图象过点(1,e)时,可得k=.要使函数f(x)与g(x)的图象恰有两个不同的交点,只需
(2)由题意,关于x的方程f(x)=g(x)有2个不相等的实数解,即y=f(x)与y=kx-1的图象有2个交点.当k=0时,直线y=-1与y=的图象交于点(-2,-1),又当x≥0时,ex-1≥0,所以直线y=-1与y=ex-1(x≥0)的图象无公共点,故当k=0时,y=f(x)与y=kx-1的图象只有1个交点,不符合题意;当k>0时,若直线y=kx-1与y=ex-1(x≥0)的图象相切,则y=f(x)与y=kx-1的图象有2个交点,设切点为(x0,-1),则k=,又直线y=kx-1过点(0,-1),所以=,解得x0=1,所以k=e;当k<0时,若直线y=kx-1与y=(x<0)的图象相切,则由=kx-1,得kx2-x-2=0,所以Δ=1+8k=0,可得k=-,所以当-类型一 两曲线上点的距离
例1 (1)[2024·合肥期中] 点P,Q分别是函数f(x)=3x-4,g(x)=x2-2ln x图象上的动点,则|PQ|2的最小值为 ( )
A.(2+ln 2)2
B.(2-ln 2)2
C.(1+ln 2)2
D.(1-ln 2)2
(2)若x,a,b为任意实数,且(a+1)2+(b-2)2=1,则(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为 ( )
A.2 B.9
C.9-4 D.2-1
总结反思
导数中与切线有关的“距离”问题,利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题,再利用导数法来求距离的最值.
具体方 法 是 转 化 化 归,将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题,而这个“点”一般就是利用导数求得的切点.
变式题 [2024·哈尔滨三中期中] 设点P在曲线y=ln(x-1)上,点Q在曲线y=ex-1上,则|PQ|的最小值为 .
类型二 零点(交点)求参
例2 (1)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-kx有两个零点,则实数k等于 ( )
A.-e B.-1
C.2 D.2e
(2)已知函数f(x)=eln x-|x-a|,x∈[1,e2],若y=f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点,则实数a的取值范围是 ( )
A.[1,e]
B.(0,e]
C.[1,e2-2e]
D.(0,e2-2e]
总结反思
函数的零点问题可以转化为两函数图象(一般是一条直线和一支曲线)的交点问题,从而直线与曲线相切往往是问题的关键,可以设切点,借助导数的几何意义来突破.
变式题 (1)已知函数f(x)=ex(x<1),函数g(x)=k(x+2),若两函数的图象恰有两个不同的交点,则实数k的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.(-∞,e]
(2)已知函数f(x)=g(x)=kx-1,若关于x的方程f(x)=g(x)有2个不相等的实数解,则实数k的取值范围是 ( )
A.{e}
B.[e,+∞)
C.∪{e}
D.∪{e}增分微练4 利用切线解决最值范围问题
1.C [解析] 因为f'(x)=,所以当00,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,在同一坐标系中作出直线y=x+2和f(x)的图象如图.由f'(x)==1,得x2+ln x-1=0,易得函数y=x2+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,且x=1为其零点,所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线y=x+2平行,则当M的坐标为(1,0)时,点M到直线y=x+2的距离最小,由点到直线的距离公式可得M到直线y=x+2的距离的最小值为.
2.C [解析] 易知y=k(x-1)的图象过定点(1,0),且点(1,0)在y=ln x的图象上.∵y=ln x,∴y'=,∴y=ln x的图象在x=1处的切线斜率k=y'=1,作出y=ln x的图象如图.结合图象可得,当k≤0时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则k≤0符合题意;当01时,y=k(x-1)与y=ln x的图象有两个公共点,则k>1不符合题意.综上所述,实数k的取值范围为k=1或k≤0.
3.A [解析] 由圆的对称性可得,只需考虑圆心M(1,0)到函数f(x)=ex的图象上任意一点的距离的最小值.设f(x)的图象上任意一点为N(m,em),f(x)的图象在点N(m,em)处的切线为l,因为f'(x)=ex,所以切线l的斜率为em,当MN⊥l时,圆心M(1,0)到点N的距离最小,此时=-e-m,则有e2m+m-1=0.设g(x)=e2x+x-1,则g'(x)=2e2x+1>0,g(x)在R上单调递增,又g(0)=0,所以m=0,所以N(0,1),所以圆心M(1,0)到f(x)的图象上任意一点的距离的最小值为,则线段PQ长度的最小值为-1.
4.A [解析] 设g(x)=ax,由题知函数y=f(x)与g(x)=ax的图象有3个公共点,当a≤0时,显然不符合题意,所以a>0,作出y=f(x)与g(x)=ax的图象如图所示.当x∈时,函数y=f(x)与g(x)=ax的图象必有1个公共点,则a≤-ln,得a≤3ln 3;当x∈(1,3]时,只需函数y=f(x)与g(x)=ax的图象有2个公共点.设过原点且与曲线y=ln x相切的切线为l,切点为(x0,ln x0),则l的斜率k==,得x0=e,则k=,故a<且3a≥ln 3,所以a∈.综上,a的取值范围是.
5.D [解析] (x-m)2+(aex-3m)2表示点A(x,aex)与点B(m,3m)的距离的平方,点A在曲线y=aex上,点B在直线y=3x上,∴a>0.设与直线y=3x平行的直线与曲线y=aex相切于点P(x0,a),∵y'=aex,∴a=3①.点A(x,aex)与点B(m,3m)的距离的平方的最小值等于点P(x0,a)到直线y=3x的距离的平方,则=,∴|a-3x0|=3②.由①②得x0=0,a=3或x0=2,a=3e-2.故选D.
6.C [解析] 因为函数f(x)=ln x与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,所以方程ln x=ax2-ax有两个不同的解,所以=a(x-1)有两个不同的解,所以函数y=与函数y=a(x-1)的图象有两个不同的交点.设h(x)=,则h'(x)=,当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)=在(e,+∞)上单调递减,当00,函数h(x)=在(0,e)上单调递增,又h(1)=0,h(e)=,当x>1时,h(x)>0,所以函数h(x)=的图象如图.因为h'(1)=1,所以函数h(x)=的图象在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.观察图象可得,当a=1时,y=a(x-1)与h(x)=的图象有且只有一个交点;当a≤0时,y=a(x-1)与h(x)=的图象有且只有一个交点;当a>1或07.D [解析] 令g(x)=f(x)-x+a=0,得f(x)=x-a,则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数y=x-a的图象的交点个数,作出函数f(x)与函数y=x-a的图象,如图所示.当直线y=x-a与曲线y=ex相切时,因为y=ex,所以y'=ex,则ex=1,得x=0,所以切点坐标为(0,1),此时a=-1.因为g(x)存在3个零点,所以函数f(x)与函数y=x-a的图象有3个交点,所以解得-1-≤a<-1,所以a的取值范围是.
8.ACD [解析] 设A,B的横坐标分别为x1,x2,则=ln x2+1=m,因为>0,所以m>0,故A正确;当m=1时,x1=0,x2=1,因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以f'(x1)=f'(0)=1,g'(x2)=g'(1)=1,所以曲线y=f(x)在A处的切线与曲线y=g(x)在B处的切线斜率相等,两切线不相交,故B错误;|AB|=x2-x1=em-1-ln m,设h(m)=em-1-ln m(m>0),则h'(m)=em-1-(m>0),易知h'(m)在(0,+∞)上是增函数,且h'(1)=0,所以当m∈(0,1)时,h'(m)<0,h(m)单调递减,当m∈(1,+∞)时,h'(m)>0,h(m)单调递增,所以|AB|min=h(m)min=h(1)=1,故C正确;曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-=(x-x1),若此切线同时也是曲线y=g(x)的切线,可设切点坐标为(x0,y0),则
消去x0,y0得(x1-1)-x1=0,设φ(x)=(x-1)ex-x,则φ(-1)=-+1>0,φ(0)=-1<0,φ(2)=e2-2>0,因为φ(x)的图象是连续的,所以φ(x)至少有两个零点,故(x1-1)-x1=0有解,进而得到m的值是存在的且大于零的,故D正确.故选ACD.
9.(-4,4) [解析] 由函数f(x)=xex,可得f'(x)=(x+1)ex,设斜率为1的直线与f(x)的图象相切于点M(x0,y0),则f'(x0)=1,即(x0+1)=1,解得x0=0,则切点为M(0,0).当点M(0,0)到直线y=x+a的距离为2时,可得=2,解得a=4或a=-4.由f'(x)=(x+1)ex可得,当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又当x→-∞时,f(x)→0且f(x)<0,当x=0时,f(0)=0,当x→+∞时,f(x)→+∞,所以f(x)的图象如图所示.当a=-4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x-4不相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有一个点到直线y=x-4的距离为2;当a=4时,函数f(x)=xex的图象与直线y=x+4相交,从而函数f(x)=xex的图象上有且仅有三个点到直线y=x+4的距离为2.综上,要使到直线y=x+a的距离为2的点P有且仅有两个,则-410.[1,e] [解析] 设f(x)=2+ln x,g(x)=ex,依题意知只需求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线斜率.f'(x)=,g'(x)=ex,设切点分别为(x1,2+ln x1),(x2,),则切线方程为y-(2+ln x1)=(x-x1),即y=x+1+ln x1,y-=(x-x2),即y=x+(1-x2),所以=①,1+ln x1=(1-x2)②,由①得x2=-ln x1,代入②得(1+ln x1)=0,则x1=1或x1=,故公切线的斜率为1或e.作出曲线y=f(x)与曲线y=g(x)如图,由图可知a∈[1,e].增分微练4 利用切线解决最值范围问题
(时间:45分钟)
1.点M是函数f(x)=的图象上的动点,则点M到直线y=x+2的距离的最小值为 ( )
A.+ B.-
C. D.
2.函数y=k(x-1)与y=ln x的图象有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为 ( )
A.k=1
B.k≥e
C.k=1或k≤0
D.k≤0或k=1或k≥e
3.已知点P为函数f(x)=ex的图象上任意一点,点Q为圆M:(x-1)2+y2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为 ( )
A.-1 B.1
C. D.-1
4.已知函数f(x)=|ln x|,若在区间内,函数y=f(x)-ax有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·广西桂林二模] 已知函数f(x)=(x-m)2+(aex-3m)2(m∈R)的最小值为,则正实数a的值为 ( )
A.3 B.3e-2
C.3e2 D.3或3e-2
6.若函数f(x)=ln x与g(x)=ax2-ax的图象有两个不同交点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,+∞)
7.[2024·湖南益阳期中] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·湖北黄冈模拟] 已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x+1的图象与直线y=m分别交于点A,B,则 ( )
A.m>0
B.对任意m>0,曲线y=f(x)在A处的切线总与曲线y=g(x)在B处的切线相交
C.|AB|的最小值为1
D.存在m>0,使得曲线y=f(x)在点A处的切线也是曲线y=g(x)的切线
9.[2024·山西大学附中月考] 已知点P在函数f(x)=xex的图象上,若到直线y=x+a的距离为2的点P有且仅有两个,则实数a的取值范围是 .
10.若关于x的不等式组2+ln x≤ax+b≤ex恒成立,则实数a的取值范围是 . (共47张PPT)
增分微课4 利用切线解决最值范围
问题
类型一
类型二
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
类型一 两曲线上点的距离
例1（1）[2024·合肥期中]点,分别是函数 ,
图象上的动点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题得，
当函数 的图象在点处的切线与的图
象平行时，令 ，解得或（舍），
所以切点为 ，
由点到直线的距离公式得，的最小值为 ，
所以的最小值为 .
（2）若，，为任意实数，且 ，则
的最小值为( )
A. B.9 C. D.
√
[解析] 由可得点在以 为圆心，1
为半径的圆上，表示点与点 的距
离的平方，即表示圆上的动点到函数
的图象上动点距离的平方．
设为 的图象上一点，且的图象在点
处的切线与点和点 的连线垂直，
由得，则 ，可得.
由在 上单调递增,且可得，
所以切点为 ,圆心与切点的距离，
由此可得 的最小值为 ．
[总结反思]
导数中与切线有关的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想
可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数
法来求距离的最值．
具体方法是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离
问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点.
变式题 [2024·哈尔滨三中期中] 设点在曲线上，点
在曲线上，则 的最小值为____.
[解析] 因为曲线是由曲线 向右平移1个单位长
度得到的，曲线是由曲线 向右平移1个单位长度得到
的，所以的最小值可以看成曲线上的点与曲线 上
的点间的距离的最小值.
因为与 互为反函数，其图象关于直线对称，所以
所求的最小值为曲线上的点 到直线的最小距离的2倍，
设与直线平行的直线与曲线 相切于点，
因为，所以由，得 ，所以切点为，所以
点到直线的最小距离 ，所以的最小值为 .
类型二 零点（交点）求参
例2（1）已知函数 若函数
有两个零点，则实数 等于( )
A. B. C.2 D.
[解析] 依题意可知，的图象与 的图象有两个公共点，
画出的图象与的图象如图所示.
由图可知， 的图象与的图象相切，
设切点为 ,因为所以切线的斜率为
，所以 ，解得，
则 .
√
（2）已知函数，，若 的图
象与轴有且仅有两个交点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] ，的图象与 轴有且仅有两个
交点，等价于函数与的图象在 上有且仅有
两个交点.由，得.
当直线与 的图象相切时，有，得，即切
点为，此时 ；
当直线过点时，得.
要使函数 与的图象在 上有且仅有两个交点，
只需 .
√
[总结反思]
函数的零点问题可以转化为两函数图象（一般是一条直线和一支曲
线）的交点问题，从而直线与曲线相切往往是问题的关键，可以设
切点，借助导数的几何意义来突破.
变式题（1）已知函数，函数 ，若
两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，当函数的图象与 的图象相切时，
设切点为，则切线方程为 ，将
点的坐标代入，可得，则.
当函数 的图象过点时，可得.要使函数与 的图
象恰有两个不同的交点，只需 .
（2）已知函数，若关于 的方
程有2个不相等的实数解，则实数 的取值范围是( )
A.{} B.
C.} D. }
[解析] 由题意，关于的方程 有2个不相等的实数解，即
与的图象有2个交点.
当时,直线 与的图象交于点，又当时，
，所以直线 与的图象无公共点，
故当 时,与的图象只有1个交点，不符合题意；
√
当 时，若直线与的图象相切，则
与的图象有2个交点，设切点为，则
，又直线过点，所以，解得
，所以；
当时，若直线与 的图象相切，则由
，得，所以 ，可得，
所以当时，直线与 的图象有2个交点．
综上所述，实数的取值范围是 ．
例1 ［配例1使用］ 若，分别是函数 的图象与圆
上的点，则 的最小值为_______．
[解析] 设圆的圆心为，半径为,则 ，
，易知当垂直于的图象在点处的切线，且 为圆
与线段的交点时， 取得最小值，最小值为
.
【备选理由】例1是抛物线和圆上两点之间距离的最值问题；
设点，当与 轴垂直时，显然不符合题意，所以,则
直线的斜率为，且.由知 ，所以的
图象在点处的切线的斜率，
因为直线 与切线垂直，所以，所以 ，
所以，即 ，
又恒成立，所以 ，得
，此时 ，
所以，
即 的最小值为 ．
例2 ［配例2使用］ 已知函数 有4
个不同的零点，则 的取值可能为( )
A. B. C. D.0
[解析] 由题意可得，方程 有4个不同的根.
因为方程的2个根为,，所以方程
有2个不同的根，且，即函数与函数 的图象有
2个不同的交点.
当直线与函数 的图象相切时，设切点为，
√
【备选理由】例2考查根据函数的零点求参数的取值范围.
因为，所以 解得
要使函数与函数 的图象有2个不同的交点，
只需直线的斜率大于，即 ，即.
设则 ,
由得，由，得，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
所以 的最大值为.
所以，即，即.
故 的取值范围为 ,故选A.
作业手册
1.点是函数的图象上的动点，则点到直线 的
距离的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以当 时，
，单调递增，当时， ，
单调递减，
在同一坐标系中作出直线 和的图象如图．
由 ，得，
易得函数在 上单调递增，且为其零点，
所以的图象在点 处的切线与直线平行，
则当的坐标为时，点到直线 的距离最小，
由点到直线的距离公式可得 到直线的距离的最小值为 .
2.函数与的图象有且只有一个公共点，则实数
的取值范围为( )
A. B.
C.或 D.或或
[解析] 易知的图象过定点 ，且点在
的图象上.
，，
的图象在 处的切线斜率，
√
作出 的图象如图.结合图象可得，
当时，与 的图象有且
只有一个公共点，则 符合题意；
当时，与 的图象
有两个公共点，则 不符合题意；
当时，与 的图象有且只有一个公共点，
则符合题意；
当 时，与 的图象有两个公共点，则
不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为或 .
3.已知点为函数的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 长度的最小值为( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 由圆的对称性可得，只需考虑圆心到函数 的
图象上任意一点的距离的最小值．设 的图象上任意一点为
，的图象在点处的切线为，
因为 ，所以切线的斜率为，当时，圆心到
点 的距离最小，此时，则有.
设 ，则，在上单调递增，
又 ,所以所以，所以圆心到 的图象上
任意一点的距离的最小值为，则线段长度的最小值为 .
4.已知函数，若在区间内，函数 有3
个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,由题知函数 与的图象有3个公
共点，当 时，显然不符合题意，所以，
作出 与的图象如图所示.
当时，函数与 的图象必有1个公共点，则
，得；
当 时，只需函数与 的图象有2个公共点.
设过原点且与曲线相切的切线为 ，切点为，则的
斜率 ，得，则，故且 ，所以
.
综上，的取值范围是 .
5.[2024·广西桂林二模]已知函数
的最小值为，则正实数 的值为( )
A.3 B. C. D.3或
√
[解析] 表示点与点 的距离
的平方，点在曲线上，点在直线上， .
设与直线平行的直线与曲线相切于点 ，
，.
点与点 的距离的平方的最小值等于点到
直线 的距离的平方，则，.
由①②得， 或， .故选D.
6.若函数与 的图象有两个不同交点，则
实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数与 的图象有两个不同交
点，所以方程 有两个不同的解，所以
有两个不同的解，所以函数 与函数 的图象有两
个不同的交点.
√
设，则，当 时，，函数
在 上单调递减，当时， ，函数
在上单调递增，又 ，，当时， ,所以函数的图象如图.
因为 ，所以函数的图象在
点 处的切线方程为.
观察图象可得，当 时，与
的图象有且只有一个交点；
当时，与 的图象有且只有一个交点；
当或 时,与 的图象有两个交点.
综上可得，的取值范围是 .
7.[2024·湖南益阳期中]已知函数
，若 存在3个零点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令 ，得，则函数
的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数，
作出函数与函数 的图象，如图所示.
因为 存在3个零点,所以函数与函数 的图象有3个交点，
所以解得，
所以 的取值范围是 .
当直线与曲线相切时，
因为，所以，
则 ，得，所以切点坐标为，
此时.
8.（多选题）[2024·湖北黄冈模拟] 已知函数 ，
的图象与直线分别交于点， ，则( )
A.
B.对任意，曲线在处的切线总与曲线在 处
的切线相交
C. 的最小值为1
D.存在，使得曲线在点处的切线也是曲线
的切线
√
√
√
[解析] 设，的横坐标分别为，，则 ，因
为，所以，故A正确；
当时，, ,因为,, 所以
, ,所以曲线在处的切线与曲线
在 处的切线斜率相等，两切线不相交，故B错误；
,设,则
,易知在上是增函数,且,所
以当 时，,单调递减，当时,
, 单调 递增，所以,故C正确；
曲线 在点处的切线方程为 ,若此切线
同时也是曲线的切线，可设切点坐标为 ,则
消去，得,设 ,则
,,,因为 的
图象是连续的，所以至少有两个零点，故
有解，进而得到的值是存在的且大于零的，故D正确.
故选 .
9.[2024·山西大学附中月考] 已知点在函数 的图象上，若
到直线的距离为的点有且仅有两个，则实数 的取值
范围是_______.
[解析]由函数 ,可得，设斜率为1的直线
与 的图象相切于点则 ,即，
解得 ，则切点为.当点到直线 的距离为
时，可得，解得或 .
由可得,当时,，
单调递减，当时,，单
调递增,又当 时， 且，
当时，，当 时，
，所以 的图象如图所示.
当时，函数 的图象与直线
不相交，从而函数 的图
象上有且仅有一个点到直线 的距离
为；
当时，函数 的图象与直线
相交，从而函数 的图象
上有且仅有三个点到直线 的距离为.
综上，要使到直线 的距离为的点有且仅有两个，则
，即实数的取值范围为 .
10.若关于的不等式组恒成立，则实数 的取
值范围是______.
[解析] 设， ，依题意知只需求曲线
与曲线 的公切线斜率.
， ，设切点分别为， ，
则切线方程为 ，即，
，即，所以 ①，
，由①得 ，
代入②得，则或 ，
故公切线的斜率为1或.
作出曲线 与曲线如图，
由图可知 .
例1 (1)D (2)C 变式题
例2 (1)A (2)D 变式题 (1)A (2)C
教师备用习题
例1 -1 例2 A
1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.ACD 9.(-4,4) 10.[1,e]