增分微课5 构造法在解决函数、导数问题中的应用
例1 (1)B (2)C [解析] (1)构造函数y=sin x-x,x∈,则y'=cos x-1<0,所以函数y=sin x-x在上单调递减,又当x=0时,y=0,所以当x∈时,sin x-x<0,即sin x
log0.30.3=1,且log0.30.530=1,所以a(2)构造函数f(x)=,x∈(0,+∞),则f'(x)=,令f'(x)>0,解得0e,∴f(x)在(0,e)上单调递增,在[e,+∞)上单调递减.∵c==,b==,且e<3<4,∴f(e)>f(3)>f(4),即<<,∴c变式题 A [解析] 因为=4tan,当x∈时,sin x,即>1,所以c>b;设f(x)=cos x+x2-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=-sin x+x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f>f(0)=0,即cos->0,所以b>a.所以c>b>a,故选A.
例2 (1)B (2)D (3)ABC
[解析] (1)构造函数g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x>0,所以g(x)在R上单调递增,且g(1)=f(1)-1=1.由f(2x)-4x2-1>0可得f(2x)-(2x)2>1,即g(2x)>g(1),所以2x>1,解得x>,故选B.
(2)由xf'(x)=(1-x)f(x)变形得=x,从而有=,即'=,所以=k·ex,因为f(1)>0,所以k=>0,则f(x)=,则f'(x)==,故当00,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f2.73≈19.7>16,所以>4,所以f>f(2).综上,f(2)(3)因为x∈,所以cos x>0,所以由f'(x)-tan x·f(x)<0,得cos x·f'(x)-sin x·f(x)<0,即[cos x·f(x)]'<0,所以函数y=cos x·f(x)在上单调递减.因为0<<<<,所以cos 0·f(0)>cos ·f>cos·f>cos·f,即f(0)>f>f>f,所以f>f,A正确;2f(0)>f,B正确;f>f,C正确;f>f,D错误.故选ABC.
变式题 (1)(0,+∞) (2)A
[解析] (1)构造函数F(x)=f(x)·e2x,则F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,所以F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),所以x>0,所以原不等式的解集为(0,+∞).
(2)由题意知,当x∈(-∞,0)时,xf'(x)-2f(x)>0.令g(x)=,x∈(-∞,0),则g'(x)==<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.不等式f(x+2024)-(x+2024)2f(-1)<0等价于<,即g(x+2024)例3 (1)C (2)B [解析] (1)∵f(x)=aex+ln-2>0,∴ex+ln a+ln a>ln(x+2)+2,两边同时加上x得,ex+ln a+(x+ln a)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln(x+2).构造函数g(x)=x+ex,则g'(x)=1+ex>0,∴g(x)在R上单调递增,∴x+ln a>ln(x+2),即ln a>ln(x+2)-x.令k(x)=ln(x+2)-x,则k'(x)=-1=-,∵k(x)的定义域是(-2,+∞),∴当x∈(-2,-1)时,k'(x)>0,k(x)单调递增,当x∈(-1,+∞)时,k'(x)<0,k(x)单调递减,∴当x=-1时,k(x)取得极大值,也是最大值,k(x)max=k(-1)=1,∴ln a>k(x)max=1,∴a>e.
(2)由题意λ>0,x>1,则不等式即为2λe2λx≥ln x,进而可得2λxe2λx≥eln xln x.令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x>0时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.不等式等价于g(2λx)≥g(ln x),因为λ>0,x>1,所以2λx>0,ln x>0,所以2λx≥ln x对任意x>1恒成立,即2λ≥对任意x>1恒成立.设h(t)=(t>1),则h'(t)=,当10,h(t)单调递增,当t>e时,h'(t)<0,h(t)单调递减,所以当t=e时,h(t)取得最大值h(e)=,于是2λ≥,解得λ≥.
变式题 (1)B (2)A [解析] (1)因为x1>0,x2>0,所以>1,由题意可得-ln x1=-x2,整理可得-ln x1=-ln ,即f(x1)=f().因为y=,y=-ln x在(0,+∞)上均单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,可得x1=,则=.构建函数h(x)=,x>0,则h'(x)=,当01时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则h(x)≥h(1)=e,所以的最小值为e.
(2)正实数t,m满足tln-met+t(t+1)≥0,则ln-et+t+1≥0,所以ln+t+1≥et,即ln+t+1≥,令ln+t=x,则x+1≥ex.设f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1,令f'(x)=0得x=0,易知f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(0)=0,所以ex≥x+1,即≥ln+t+1,又因为ln+t+1≥,所以ln+t+1==1,所以ln+t=0,所以ln =-t,则=e-t,则m=.令g(t)=(t>0),则g'(t)=,令g'(t)=0得t=1,易知g(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(t)≤g(1)=,故m的最大值为.增分微课5 构造法在解决函数、导数问题中的应用
导数中构造函数大多以小题方式考查.函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想方法中比较重要的两个思想,而导数中的构造函数的解题思路恰好是这两种思想的体现.
类型一 具体函数构造
例1 (1)[2024·温州二模] 已知a=sin 0.5,b=30.5,c=log0.30.5,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.c(2)[2024·佛山模拟] 若a=,b=,c=,则 ( )
A.cC.c总结反思
解决这类问题的一般方法是根据题干中的信息,找出结构上的共性(或者先通过相应的转化),构造函数,利用导数求函数的单调性加以解决.
变式题 [2022·全国甲卷] 已知a=,b=cos,c=4sin,则 ( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
类型二 逆用导函数思维
例2 (1)已知定义域为R的函数f(x),对任意的x∈R都有f'(x)>2x,且f(1)=2,则不等式f(2x)-4x2-1>0的解集为 ( )
A.(0,+∞) B.
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
(2)[2024·嘉兴二模] 已知定义在(0,+∞)上且无零点的函数f(x)满足xf'(x)=(1-x)f(x),且f(1)>0,则 ( )
A.fB.f(2)C.fD.f(2)(3)(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),若当x∈时,f'(x)-tan x·f(x)<0,则下列结论正确的是 ( )
A.f>f
B.2f(0)>f
C.f>f
D.f总结反思
逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以及四则运算法则,最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模型.
模型1:对于不等式f'(x)>g'(x),构造函数h(x)=f(x)-g(x).
模型2:对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x).
模型3:对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=.
模型4:对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x).
拓展:对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数g(x)=xnf(x).
模型5:对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=(x≠0).
模型6:对于不等式>0,若f(x)>0,则构造函数h(x)=ln f(x).
模型7:当cos x>0时,对于不等式f'(x)>f(x)tan x(或f'(x)0(或f'(x)cos x-f(x)sin x<0),构造函数h(x)=f(x)cos x.
模型8:对于不等式f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=.
变式题 (1)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 .
(2)[2024·吉林二模] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2024)-(x+2024)2f(-1)<0的解集为 ( )
A.(-2025,-2024) B.(-2024,0)
C.(-∞,-2024) D.(-∞,-2025)
类型三 同构
例3 (1)[2024·广东深圳模拟] 已知函数f(x)=aex+ln-2,若f(x)>0恒成立,则正实数a的取值范围是 ( )
A.0e2
C.a>e D.a>2e
(2)已知λ>0,对任意的x>1,不等式e2λx-≥0恒成立,则λ的取值范围为 ( )
A.[2e,+∞) B. C.[e,+∞) D.
总结反思
与ex和ln x相关的常见同构模型:
①aea≤bln b ealn ea≤bln b,构造函数f(x)=xln x或g(x)=xex;
②< <,构造函数f(x)=或g(x)=;
③ea±a>b±ln b ea±ln ea>b±ln b,构造函数f(x)=x±ln x或g(x)=ex±x.
变式题 (1)[2024·江苏淮安期末] 函数f(x)=-ln x,g(x)=e-x-x,若存在正数x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则的最小值为 ( )
A. B.e
C.1 D.ee-1
(2)若存在正实数t,m满足tln-met+t(t+1)≥0,则m的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.e增分微练5 构造法在解决函数、导数问题中的应用
1.B [解析] 设f(x)=(x>0),则f'(x)=,当00,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.原不等式可化为>,即f(x)>f(2),结合f(2)=f(4),可得22.B [解析] 由f(x)ex>e,f(1)=1,可得f(x)ex>ef(1),令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],又f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.原不等式等价于g(x)>g(1),所以x>1,则原不等式的解集为(1,+∞).
3.D [解析] 因为2024m=2025,所以m=log20242025>1.构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2025],则f'(x)=mxm-1-1.令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,则g(x)=f'(x)在[1,2025]上单调递增,得f'(x)≥f'(1)=m-1>0,则f(x)在[1,2025]上单调递增.又f(2024)=0,f(2023)=x,f(2025)=y,所以x<04.A [解析] 构造函数f(x)=,则f'(x)=,当x=1时,f'(1)=0,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)=在[1,+∞)上单调递减.因为a==f(1),b===f(ln 3),c=e-2+ln 2==f(2),且1f(ln 3)>f(2),即a>b>c.
5.D [解析] 设g(x)=[f(x)]2-2cos x,则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin x>0,故y=g(x)在定义域R上是增函数,所以g>g,即>,所以>.
6.D [解析] 由xx-1≥ln x+(x>0),得xx≥xln x+a,所以exln x-xln x≥a对任意x>0恒成立.令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,得x=,当0时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)≥f=-,即xln x≥-.令t=xln x,g(t)=et-t,则g'(t)=et-1在上单调递增,令g'(t)=0,得t=0,所以当-≤t<0时,g'(t)<0,当t>0时,g'(t)>0,所以g(t)在上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(0)=1,所以a≤1,所以a的最大值为1.故选D.
7.ACD [解析] 设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,A正确;令x=e,y=1,则ln x-ln y=1,而x-y=e-1>1,所以ln x-ln y0),则h'(x)=-=,当01时,h'(x)=>0,函数h(x)单调递增,则h(x)=ln x-1+在x=1处取得最小值,最小值为h(1)=ln 1-1+=0,所以ln x≥1-,C正确;设g(x)=x·ex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=x·ex在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以g(x)>g(y),即x·ex>y·ey,即>,D正确.故选ACD.
8.AC [解析] 对于A,F(x)=exf(x),则F(-x)=e-xf(-x),由f(-x)+e2xf(x)=0可得e-xf(-x)+exf(x)=0,所以F(x)+F(-x)=0,又F(x)的定义域为R,所以F(x)=exf(x)为奇函数,A正确;对于B,因为[e2xf(x)-e2x]'=2e2xf(x)+e2xf'(x)-2e2x=e2x[2f(x)+f'(x)-2]=0,所以e2xf(x)-e2x=c,c为常数,则f(x)=,又在f(-x)+e2xf(x)=0中,令x=0,得f(0)=0,故f(0)==0,故c=-1,所以f(x)=,由exf(x)-<0可得e2xf(x)-3<0,又f(x)=,所以e2x-4<0,则x2a, C正确;对于D,由2f(x)+f'(x)=2得2f(0)+f'(0)=2,因为f(0)=0,所以f'(0)=2,所以f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=2x,D错误.故选AC.
9.(-∞,-1)∪(1,+∞)
[解析] 当x>0时,因为xf'(x)+f(x)>0,所以[xf(x)]'>0.令F(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=-x[-f(x)]=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为f(1)=2,所以F(1)=f(1)=2,所以F(-1)=2,作出F(x)的大致图象如图所示.由图可知,使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
10.a≥e [解析] 由-<0,得<,两边取自然对数,得x1x2ln11.(1,2] [解析] 设g(x)=,x∈[-4,4],则g'(x)==,因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上为增函数.不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等价于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,故g(1+x)-g(2x)<0,即g(1+x)12. [解析] 根据题意得axeax≥(x+1)ln x-ax,即ax(eax+1)≥(x+1)ln x=(eln x+1)ln x,令n(x)=x(ex+1),则n(ax)≥n(ln x),n'(x)=ex+1+xex,令m(x)=n'(x),则m'(x)=(x+2)ex,当x∈(-∞,-2)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)=n'(x)=ex+1+xex≥n'(-2)=1->0,所以n(x)在R上单调递增.因为n(ax)≥n(ln x),所以ax≥ln x,所以a≥.令φ(x)=(x>0),则φ'(x)=(x>0),当00,当x>e时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ(e)==,所以a≥,所以实数a的取值范围为.增分微练5 构造法在解决函数、导数问题中的应用
(时间:45分钟)
1.不等式2ln x>xln 2的解集是 ( )
A.(1,2) B.(2,4)
C.(2,+∞) D.(4,+∞)
2.[2024· 江苏扬州期末] 已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意实数x,都有f(x)+f'(x)>0,且f(1)=1,则f(x)ex>e的解集为 ( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.[2025·南京六校联考] 已知2024m=2025,2023m=x+2024,2025m=y+2026,则 ( )
A.0C.y4.[2024·昆明模拟] 设a=,b=,c=e-2+ln 2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
5.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),若f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立,则 ( )
A.fB.f>f
C.<
D.>
6.已知xx-1≥ln x+对任意x>0恒成立,则a的最大值为 ( )
A.0 B.
C.e D.1
7.(多选题)已知x>y>0,则下列结论正确的有 ( )
A.ex-ey>x-y
B.ln x-ln y>x-y
C.ln x≥1-
D.>
8.(多选题)[2024·浙江温州一模] 定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意实数x,都有f(-x)+e2xf(x)=0,且满足2f(x)+f'(x)=2,则下列说法正确的有 ( )
A.函数F(x)=exf(x)为奇函数
B.不等式exf(x)-<0的解集为(0,ln 2)
C.若方程f(x)-(x-a)2=0有两个根x1,x2,则x1+x2>2a
D.f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x
9.[2024·福建厦门三模] 已知奇函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(1)=2,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是 .
10.对任意x1,x2,当111.已知定义在[-4,4]上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x).若ex-1f(1+x)-f(2x)<0,则x的取值范围是 .
12.[2025·重庆八中月考] 若aeax≥ln x-a对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为 . (共55张PPT)
增分微课5 构造法在解决函数、导
数问题中的应用
类型一
类型二
类型三
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
导数中构造函数大多以小题方式考查.函数与方程思想、转化与
化归思想是高中数学思想方法中比较重要的两个思想，而导数中的
构造函数的解题思路恰好是这两种思想的体现.
类型一 具体函数构造
例1（1）[2024· 温州二模]已知,, ，则
,, 的大小关系是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 构造函数，，则 ，
所以函数在上单调递减，又当时， ，
所以当时，，即 ，所以
.
因为 ，且
，所以 ，
又，所以 .故选B.
（2）[2024·佛山模拟]若,, ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 构造函数，，则 ，
令，解得，令，解得，
在 上单调递增，在上单调递减.
， ，且，
，即 ， .
√
[总结反思]
解决这类问题的一般方法是根据题干中的信息，找出结构上的共性
（或者先通过相应的转化），构造函数，利用导数求函数的单调性
加以解决.
变式题 [2022·全国甲卷] 已知,, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,当时, ，所以
,即,所以；
设, ，则，
所以在 上单调递增，则,即，
所以.所以 ，故选A.
√
类型二 逆用导函数思维
例2（1）已知定义域为的函数，对任意的 都有
，且，则不等式 的解集为
( )
A. B. C. D.
[解析] 构造函数，则 ，所以
在上单调递增，且.
由 可得，即，
所以，解得 ，故选B.
√
（2）[2024·嘉兴二模]已知定义在上且无零点的函数 满
足，且 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由变形得 ，从而有
，即，所以，因为 ，
所以，则，则 ，
故当时，，当时，，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，，
又 ，而，
所以，所以 .
综上， .故选D.
（3）（多选题）已知函数的导函数为，若当 时，
，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为，所以 ，所以由，
得 ，即，所以函数
在 上单调递减.因为 ，所以
，即
，所以 ，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D错误.故选 .
[总结反思]
逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以
及四则运算法则，最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模型.
模型1：对于不等式，构造函数.
模型2：对于不等式，构造函数
模型3：对于不等式，构造函数.
模型4：对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数.
模型5：对于不等式，构造函数.
模型6：对于不等式，若，则构造函数
.
模型7：当时，对于不等式（或
，即（或
），构造函数.
模型8：对于不等式，构造函数
．
变式题（1）若定义在上的函数满足 ，且
，则不等式 的解集为________.
[解析] 构造函数 ，则
，所以
在上单调递增，且.
不等式 可化为，即，所以 ，
所以原不等式的解集为 .
（2）[2024·吉林二模]已知函数的定义域为 ，其导函数
满足 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，当时， .
令， ，则
，所以在 上单调
递减.
不等式 等价于
，即，所以
解得 .
类型三 同构
例3（1）[2024·广东深圳模拟]已知函数 ，若
恒成立，则正实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
，两边同时加上 得，
.
构造函数，则，在 上单调递
增，，即 .
令，则， 的定义域
是， 当时，， 单调递增,当
时,，单调递减, 当时, 取得极大值，
也是最大值， ， .
（2）已知，对任意的，不等式 恒成立，则
的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，，则不等式即为 ，进而可
得
令，则，当 时，，所以
在 上单调递增.不等式等价于，
因为,，所以, ，所以对任意
恒成立，即对任意 恒成立.
设，则，当时,, 单
调递增,当时,,单调递减，所以当时, 取得
最大值，于是，解得 ．
[总结反思]
与和相关的常见同构模型：
，构造函数或
；
，构造函数或；
，构造函数
或.
变式题（1）[2024· 江苏淮安期末]函数 ，
，若存在正数，，使得，则 的最小值为( )
A. B. C.1 D.
√
[解析] 因为,，所以 ，由题意可得
，整理可得 ，即.
因为,在 上均单调递减，所以在上
单调递减，可得，则 .
构建函数,，则，当时，
,当时，，所以在上单调递减，在
上单调递增，则，所以的最小值为 .
（2）若存在正实数,满足，则 的最大
值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 正实数,满足 ，则
，所以 ，即
,令，则 .
设，则，
令得 ，
√
易知 在上单调递减，在 上单调递增，
故，所以，即 ，
又因为，所以 ，所以
，所以，则，则 .
令，则，令得，
易知 在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，故的最大值为 .
【备选理由】例1考查根据条件构造函数，从而比较大小；
例1 ［配例1使用］ [2024·湖南邵阳一模] 设,, ，
则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，设,,则 ，
，在上单调递减，又, ,
，设,则 ,当
时，,在 上单调递减，
,.
综上， .
例2 ［配例2使用］ 已知函数的定义域为,为 的导函
数.若，且在 上恒成立，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
[解析] 设函数 ，则
，所以函数在 上单调递减.
由，可得 ，即
，即，所以 ，即不等式的
解集为 .
√
【备选理由】例2考查导函数的逆用；
例3 ［配例3使用］ 已知, ，
当时，，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查利用同构解恒成立问题，难度较大，适合优
秀学生提升.
[解析] 由题意得，当 时，
，即
，
令 ，则.
因为 恒成立，所以在上单调递增，
故 ，即.
令，则 ，当时，，
单调递增，当 时，，
单调递减，故在 处取得极大值，也是最大值，
最大值为，
故 ，解得 .
作业手册
1.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,则,
当 时，，当时，,
所以在 上单调递增，在上单调递减.
原不等式可化为,即 ，结合,
可得,所以原不等式的解集为 .故选B.
√
2.[2024· 江苏扬州期末]已知函数的导函数为 ，对任意实数
都有，且，则 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，,可得 ，
令，则,
又 ，所以，所以在上单调递增.
原不等式等价于 ,所以则原不等式的解集为 .
√
3.[2025·南京六校联考]已知， ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
构造函数，，则 .
令 ，则
，则在 上单调递增，得
，则在 上单调递增.
又，，，所以 .故选D.
√
4.[2024·昆明模拟]设，，，则，， 的大
小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 构造函数，则，当时， ,
当时，，所以函数在 上单调递减.
因为， ，
且，所以，即 .
√
5.已知函数的定义域为，设的导函数是 ，若
恒成立，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 设 ，则
，故在定义域 上是增函
数，所以，即 ，所以
.
√
6.已知对任意恒成立，则 的最大值为( )
A.0 B. C. D.1
√
[解析] 由,得 ,所以
对任意恒成立.
令 ,则在上单调递增，令,
得 ,当时，,当时，,所以在
上单调递减，在上单调递增，所以 ,即
.
令,,则 在上单
调递增，
令,得,所以当 时，,当时，
,所以在 上单调递减，在上单调递增，
所以,所以,所以 的最大值为1.故选D.
7.（多选题）已知 ，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，则，所以 在
上单调递增，又,所以 ，即
，即，A正确；
令， ，则，而，所以
，B不正确；
√
√
√
设，则 ，当
时，，函数单调递减,当 时，，
函数单调递增,则在 处取得最小值，最小
值为，所以 ，C正确；
设，则 ，所以
在上单调递增，又所以 ,即，
即，D正确.故选 .
8.（多选题）[2024·浙江温州一模] 定义在上的函数 的导函数
为，对于任意实数，都有 ，且满足
，则下列说法正确的有( )
A.函数 为奇函数
B.不等式的解集为
C.若方程有两个根，，则
D.的图象在点处的切线方程为
√
√
[解析] 对于A，,则 ，由
可得 ，所以，又的定义域为，所以 为奇函数，A正确；
对于B，因为，所以,为常数，则 ,又在中，令，得，故 ，故，所以，由 可得又，所以，则 ,B错误；
对于C，在 上为增函数，而为图象开口向上，且对称轴方程为 的二次函数，由题知,是与 的图象的两个交点的横坐标，不妨令,设直线与 的图象的两个交点的横坐标为,，则，且 ，所以，正确；
对于D，由 得，因为,所以，所以 的图象在点处的切线方程为，D错误.故选 .
9.[2024·福建厦门三模] 已知奇函数及其导函数 的定义域均
为，，当时， ，则使不等式
成立的 的取值范围是___________________.
[解析] 当时，因为 ，所以.令
，则当时,，在 上单调递增.
因为 是奇函数,所以 ,所以
所以 为偶函数,其图象关于轴对称.
因为所以 ,所以，
作出 的大致图象如图所示.
由图可知，使不等式成立的的
取值范围是 .
10.对任意，，当时，，则
的取值范围为______.
[解析] 由，得 ，两边取自然
对数，得，即 ，则
.
令，则在 上单调递减，所以在
上恒成立，而，则 对任意恒成立，
所以对任意恒成立，可得 .
11.已知定义在上的函数的导函数为 ，且满足
.若，则 的取值范围是______.
[解析] 设 ,则，
因为 ，所以，故在 上为增函数.
不等式等价于 ，
故，即，
因为在 上为增函数，所以，
解得 .
12.[2025·重庆八中月考] 若 对任意
恒成立，则实数 的取值范围为_ _______．
[解析] 根据题意得 ，即
，
令 ，则，，
令 ,则,当时，,
单调递减，当时，, 单调递增，
所以，
所以在 上单调递增.
因为，所以，所以 .
令，则，当 时，
，当时，，所以在 上单调递增，
在上单调递减，所以，所以 ，
所以实数的取值范围为 ．
例1(1)B (2)C 变式题 A
例2(1)B (2)D (3)ABC 变式题(1)(0,+∞) (2)A
例3(1)C (2)B 变式题(1)B (2)A
教师备用习题
例1 D 例2 D 例3 B
1.B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.ACD 8.AC
9.(-∞,-1)∪(1,+∞) 10.a≥e 11.(1,2] 12.