培优专题(一) 必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应
例1 解:方法一(端点效应+分类讨论):
由题知,f'(x)=-aln(x+1)+-1,令g(x)=-aln(x+1)+-1,则g'(x)=+=
,令g'(0)=0,则a=-.当a≤-,x≥0时,-a(x+1)-a-1≥-a-a-1=-2a-1≥0,
∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g(0)=0,从而f'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,
而f(0)=0,∴当x≥0时,f(x)≥0,故当a≤-时,满足题意;当a≥0时,g'(x)<0恒成立,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴当x≥0时,g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,∴当x≥0时,f(x)≤f(0)=0,不满足题意;当-
0,则g(x)在上单调递减,在上单调递增,又f'(0)=0,∴当0方法二(巧妙变形+分类讨论+数形结合):由题知当x≥0时,f(x)=(1-ax)ln(x+1)-x≥0,显然,当x=0时不等式成立.以下考虑当x>0时的情况:
将(1-ax)ln(x+1)-x≥0变形为1-ax≥,令m(x)=(x>0),则m'(x)=,
令h(x)=ln(x+1)-(x>0),则h'(x)=-=>0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0,从而m(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→+∞时,m(x)→+∞.当a≥0时,数形结合可知,当x∈(0,+∞)时,1-ax≥不恒成立,不满足题意.当a<0时,将不等式变形为ln(x+1)≥(此时1-ax>0),令n(x)=ln(x+1)+(x>0),则n'(x)=-=
=,
当≤0,即a≤-时,n'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,∴n(x)在(0,+∞)上单调递增,此时n(x)>n(0)=0,满足题意;当>0,即-【自测题】
解:(1)当a=-时,f(x)=-x-ln x-,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--+=
=,令f'(x)>0得0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)在x=处取得极大值,极大值为f=-×-ln -=-2+ln 3,无极小值.
(2)当x≥1时,不等式ax-ln x-≥0恒成立,令g(x)=ax-ln x-,x≥1,
则g(1)≥0,故a-≥0,解得a≥.当a≥时,g(x)=ax-ln x-≥x-ln x-.令t(x)=x-ln x-,x≥1,则t'(x)=-+==≥0,
故t(x)=x-ln x-在[1,+∞)上单调递增,故t(x)≥t(1)=0,故ax-ln x-≥0,满足要求.当a<时,g(1)=a-<0,不合要求.
综上,a的取值范围是.
例2 解:由题意知f'(x)=aex-1-1.注意到f(1)=a-1-(a-1)=0,则当x=1时,函数f(x)取得最小值,同时取得极小值,所以f'(1)=a-1=0,所以a=1.当a=1时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1-1,当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,此时f(x)>f(1)=0.当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,此时f(x)>f(1)=0.故f(x)≥0在R上恒成立,所以a=1.
【自测题】
解:f(x)的定义域为(0,+∞),
设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0.
因为g(x)≥0,g(1)=0,所以当x=1时,函数g(x)取得最小值,同时也是函数g(x)的极小值,所以g'(1)=0.
又g'(x)=a-,则g'(1)=a-1=0,得a=1.若a=1,则g'(x)=1-.当0当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.
例3 解:令f(x)=aex+-2a-2,由f(1)=ae+a+1-2a-2≥0成立,得到对任意的x>0,f(x)≥0恒成立的一个必要条件为a≥.当a=时,f(x)=ex+-2×-2=,易证ex≥ex恒成立,当且仅当x=1时取等号,故当x>0时,ex+-2e≥ex+-2e≥2-2e=0,当且仅当x=1时两个等号同时成立,故当a=时,对任意的x>0,f(x)≥0恒成立,所以正数a的最小值为.
【自测题】
解:f(x)≥1-sin x,即aex-2x+sin x≥1.令x=0,则a≥1,下面证明:当a=1时,ex-2x+sin x≥1恒成立.
设g(x)=ex-2x+sin x,则g'(x)=ex+cos x-2,当x<0时,ex<1,cos x≤1,故g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,0)上单调递减.令m(x)=ex+cos x-2,则m'(x)=ex-sin x,当x>0时,ex>1,sin x≤1,∴m'(x)>0,∴g'(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g'(x)>g'(0)=0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上,g(x)≥g(0)=1,即ex-2x+sin x≥1恒成立.当a≥1时,∵aex-2x+sin x≥ex-2x+sin x,
∴aex-2x+sin x≥1恒成立,故实数a的取值范围是[1,+∞).培优专题(一) 必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应
类型一 端点效应
若函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零,则当x>x0时,f(x)>0成立的一个必要条件为端点x0处的导数值f'(x0)>0;若函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零,则当x>x0时,f(x)<0成立的一个必要条件为x0处的导数值f'(x0)<0.
但是,需要注意的是f'(x0)>0(或f'(x0)<0)只是当x>x0时,f(x)>0(或f(x)<0)成立的一个必要条件,如果此时二阶导不变号,那么这种方法没有问题;但如果二阶导变号,那么计算出的结果极有可能不是正确答案.
端点效应在解决求参数范围问题时能够帮助我们得出分类的依据,简化问题的处理.
例1 [2024·全国甲卷节选] 已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
总结反思
端点效应的题目一般具有两个特点:
(1)区间的端点不等式恰好是等式,例如例1中区间的端点值是x=0,且f(0)=0;
(2)对函数求导以后,会发现导函数一般是一个单调函数(要么导函数单调递增,要么导函数单调递减),而答案往往就是导函数全部都是非负数(原函数单调递增)或者导函数全部都是非正数(原函数单调递减)时取得.
自测题
[2025·广州模拟] 已知函数f(x)=ax-ln x-.
(1)当a=-时,求f(x)的极值;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
类型二 极点效应
若函数f(x)在某一点x0处的函数值f(x0)恰好为零,则当x>a时(其中a 如果f'(x0)<0,那么函数会在x0右侧的一个小区间内先单调递减,会出现如图②所示的情况,而这种情况不能保证函数值非负,同理f'(x0)>0也不满足.把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零,这就是极点效应.
例2 若函数f(x)=aex-1-x-(a-1),且f(x)≥0在R上恒成立,求a的值.
总结反思
函数在开区间内取得最值的点必然是极值点,可以通过这种方法先猜出参数范围,再进行验证.
自测题
若函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0恒成立,求a的值.
类型三 特殊点效应
在求解恒成立问题时如果充分利用函数在一些特殊点(包括上面说到的端点、极值点,或原点、零点、二阶导数零点等)处的函数值得到不等式恒成立的一个必要条件, 再验证或证明, 就可巧妙得到参数的取值范围. 由于特殊点处的函数值(导函数值、二阶导函数值)对最终求得的参数范围有直接影响, 因此我们把这个影响称之为“特殊点效应”.
例3 已知对任意的x>0,不等式aex+-2a-2≥0恒成立,求正数a的最小值.
总结反思
常用的两个特殊点为0或1.例3先利用特殊点1得到不等式恒成立的一个必要条件,再进行验证.
自测题
设函数f(x)=aex-2x,其中a为常数.若f(x)≥1-sin x恒成立,求实数a的取值范围.
(共45张PPT)
培优专题（一） 必要性探路法之端
点效应、极点效应、特殊点效应
类型一
类型二
类型三
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
类型一 端点效应
若函数在某一点处的函数值恰好为零，则当
时，成立的一个必要条件为端点处的导数值 ；
若函数在某一点处的函数值恰好为零，则当 时，
成立的一个必要条件为处的导数值 .
但是，需要注意的是（或）只是当
时，（或 ）成立的一个必要条件，如果此时二阶导
不变号，那么这种方法没有问题；但如果二阶导变号，那么计算出
的结果极有可能不是正确答案.
端点效应在解决求参数范围问题时能够帮助我们得出分类的依
据，简化问题的处理.
例1 [2024·全国甲卷节选] 已知函数 .当
时，,求 的取值范围.
解：方法一（端点效应 分类讨论）:
由题知， ,
令,则
,
令,则.
当， 时, ,
在上单调递增，又,从而在 上
恒成立，在 上单调递增，而, 当时，
,故当 时，满足题意；
当时，恒成立,在上单调递减, 当
时，,即在上恒成立， 当
时，,不满足题意；
当时，令 ,得,则在
上单调递减，在 上单调递增，又, 当
时，,单调递减，而,
不恒成立，不满足题意.
综上可得的取值范围为 .
方法二（巧妙变形分类讨论数形结合）由题知当 时，
，显然，当 时不等式成立.以
下考虑当 时的情况：
将变形为 ,
令,则 ,
令,则 ,
在上单调递增，,从而 在
上单调递增,当 时， .
当 时，数形结合可知，当时， 不恒
成立，不满足题意.
当时，将不等式变形为（此时 ）,
令,则
,
当,即时，在上恒成立， 在
上单调递增，此时,满足题意；
当 ,即时，在上单调递减，在
上单调递增，而,不恒成立，故不满足
题意.
综上，实数 的取值范围为 .
[总结反思]
端点效应的题目一般具有两个特点:
（1）区间的端点不等式恰好是等式,例如例1中区间的端点值是,
且;
（2）对函数求导以后,会发现导函数一般是一个单调函数（要么导函
数单调递增,要么导函数单调递减）,而答案往往就是导函数全部都是
非负数（原函数单调递增）或者导函数全部都是非正数（原函数单
调递减）时取得.
自测题
[2025·广州模拟] 已知函数 ．
（1）当时，求 的极值；
解：当时，， 的定义域为
， ，
令得，令 得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故 在 处取得极大值，极大值为
，无极小值.
（2）当时，不等式恒成立，求 的取值范围．
解：当时，不等式 恒成立，令
， ，则，故，解得.
当 时，.令
,则 ，故
在上单调递增，故 ，故
，满足要求.
当时， ，不合要求.
综上，的取值范围是 .
类型二 极点效应
若函数在某一点处的函数值恰好为零，则当
时（其中），成立的一个必要条件为 处的导数值
，如图①所示.
如果，那么函数会在 右侧的一个小区间内先单调递
减，会出现如图②所示的情况，而这种情况不能保证函数值非负，
同理 也不满足.把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间
中某一点处的导数值为零，这就是极点效应.
例2 若函数，且在 上恒成立，
求 的值.
解：由题意知.注意到 ，
则当时，函数 取得最小值，同时取得极小值，所以
，所以.
当时, ，，当时，，
单调递减，此时.当时，， 单
调递增，此时.
故在上恒成立，所以 .
[总结反思]
函数在开区间内取得最值的点必然是极值点，可以通过这种方法先
猜出参数范围，再进行验证.
自测题
若函数，且恒成立，求 的值.
解：的定义域为 ，
设则 等价于 .
因为，，所以当时，函数 取得最小值，
同时也是函数的极小值，所以 .
又，则，得.
若 ，则.当时，， 单调递减；
当时，， 单调递增.
所以是的极小值点，故.
综上， .
类型三 特殊点效应
在求解恒成立问题时如果充分利用函数在一些特殊点（包括上
面说到的端点、极值点，或原点、零点、二阶导数零点等）处的函数
值得到不等式恒成立的一个必要条件, 再验证或证明, 就可巧妙得到
参数的取值范围. 由于特殊点处的函数值（导函数值、二阶导函数值）
对最终求得的参数范围有直接影响, 因此我们把这个影响称之为“特殊
点效应”.
例3 已知对任意的，不等式 恒成立，求正数 的最小值.
解：令 ，由
成立，得到对任意的 ，恒成立的一个必要条件为.
当 时， ，
易证恒成立，当且仅当时取等号，故当 时，
，当且仅当 时两
个等号同时成立，故当时，对任意的， 恒成立，
所以正数的最小值为 .
[总结反思]
常用的两个特殊点为0或1.例3先利用特殊点1得到不等式恒成立的一
个必要条件，再进行验证.
自测题
设函数，其中为常数.若 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：,即.令，则 ，
下面证明：当时， 恒成立.
设，则，
当 时，,，故，
在 上单调递减.
令，则，
当时， , ,，在 上单调
递增，此时，在 上单调递增.
综上，，即恒成立.
当 时， ，
恒成立，
故实数的取值范围是 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.[2024· 云南昆明模拟] 已知函数 ．若
有极值且恒成立，求 的取值范围.
解：由题意得的定义域为，．
当 时，，在上单调递减， 无极值，
不合题意，舍去.
当时，，当时，，在
上单调递减，当时，，在 上单调
递增，所以存在极小值，且 ．
令， ，则，
因为，所以，所以 在上单调递增，
又，所以由 得 ，
所以的取值范围为 ．
2.已知函数．若对任意 ，
不等式恒成立，求实数 的取值范围．
解：由题意知，注意到 ，要使对任
意,不等式恒成立，则需满足 ，即
，解得 ．
下面证明：当时，对任意,不等式 恒成立．
当， 时，
，
在上单调递减， ．
当时，，必存在，使得 在
上单调递增， 当时，均有 ，矛
盾．
综上所述，实数的取值范围为 ．
3.已知函数．当时，恒成立，求
的取值范围.
解：方法一：由题知 ,
设,则 .
因为,，所以只需，解得 .
下面证明：当时，对恒成立.
当 时，只需证对恒成立，
只需证对 恒成立.
令，则，只需证对 恒成立.
设，则 ，
所以在上单调递增，故，
则 对 恒成立.
当时，，必存在，使得 在
上单调递增，所以当时，，则
在上单调递增，所以当时， ，不
满足题意.
综上所述，故的取值范围为 .
方法二:设,则 , ,
由题知，当时， 恒成立.
设,则,若 ,则
,必存在,使得在 上单调递
增,故当时， ,
则在上单调递增,故当时， ,与
题设矛盾.
若,则 .
下证对任意,总有 成立,
设,则 ,
故在 上单调递减,故，即 .
由上述不等式有 ,
故总成立,即在 上单调递减,
所以当时， .
当，时, ,
所以在上单调递减,所以当时， .
综上,的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
4.已知函数，若 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：若恒成立，则必有，解得 .
下面证明：当时， 恒成立.
由及 ，得
.
要证不等式 ，只需证 ，
又，所以只需证 .
令 ，则
.
令 ，则
.
①当时，， ，则
；
②当时，， ，则
．
由①②可知，故函数单调递增，
又 ，可知当时，，即；
当时， ，即.
可得函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为，
故 ．
当时，，不满足题意.
综上，若 恒成立，则实数的取值范围为 .
5.［2024· 新课标Ⅰ卷］ 已知函数 .
（1）若,且,求 的最小值；
解：当时，,的定义域为 ,
,当且仅当时取等号，
若,则只需，解得,
故的最小值为 .
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
证明：由的图象关于点中心对称， 的图象关于
点中心对称，的图象关于点 中心对称，得曲
线关于点 中心对称，证明如下：
, 曲线关于点 中心对称，
故曲线 是中心对称图形.
（3）当时，的取值范围是,求 的取值范围.
解：方法一：由函数连续及题意知,故 ,
. .
若,则在上恒成立，故在 上单调递
增，则,满足题意.
当或 时，令，可得.
若，则当 时,,单调递减,当
时,, 单调递增,则
,不满足题意，舍去.
若 ,则,当时，，
故 ,满足题意.
综上，的取值范围是 .
方法二：由函数连续及题意知，故 ，故
, , .
令,则 .
在 上单调递减，由复合函数的单调性知
在 上单调递增.
若即,即 ,则当时,,
则,在 上单调递增,在
上单调递增, 当时， ，满足题意.
若，即,即 ，当时, ，
则存在，使得 ，
当时，,当时，,
在上单调递减，在上单调递增，
当 时, ，在上单调递减，
当 时， ,不满足题意.
综上，的取值范围为 .
例1
自测题 (1)极大值为f=-×-ln -=-2+ln 3,无极小值 (2)
例2 a=1 自测题 a=1
例3 [1,+∞)
基础热身
[1,+∞) 2. [3,+∞) 3.
综合提升
4. [1,+∞) 5. (1) -2 (2) 略 (3)培优专训(一) 必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应
1.解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+a.当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)无极值,不合题意,舍去.
当a>0时,f'(x)=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增,
所以f(x)存在极小值,且f(x)min=f=ln a+a2-1.
令g(a)=ln a+a2-1,a∈(0,+∞),
则g'(a)=+2a,因为a∈(0,+∞),所以g'(a)>0,所以g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=ln 1+1-1=0,所以由g(a)≥0得a≥1,
所以a的取值范围为[1,+∞).
2.解:由题意知f'(x)=2cos x+-a,注意到f(0)=0,要使对任意x∈[0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,则需满足f'(0)≤0,即2+1-a≤0,解得a≥3.
下面证明:当a≥3时,对任意x∈[0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立.
当a≥3,x≥0时,f'(x)=2cos x+-a≤2cos x+-3≤-1=≤0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)≤f(0)=0.
当a<3时,f'(0)=3-a>0,必存在x1∈(0,+∞),使得f(x)在(0,x1)上单调递增,∴当x∈(0,x1)时,均有f(x)>f(0)=0,矛盾.综上所述,实数a的取值范围为[3,+∞).
3.解:方法一:由题知f'(x)=(ax+1)eax-ex,设g(x)=f'(x)=(ax+1)eax-ex,则g'(x)=(a2x+2a)eax-ex.因为f(0)=-1,f'(0)=0,所以只需g'(0)=2a-1≤0,解得a≤.
下面证明:当a≤时,xeax-ex<-1对x>0恒成立.当a≤时,只需证x-ex<-1对x>0恒成立,只需证x<-对x>0恒成立.
令t=>1,则x=2ln t,只需证2ln t1恒成立.设p(t)=t--2ln t(t>1),则p'(t)=1+-=>0,所以p(t)在(1,+∞)上单调递增,故p(t)>p(1)=0,则2ln t1恒成立.
当a>时,g'(0)=2a-1>0,必存在x0∈(0,+∞),使得f'(x)在(0,x0)上单调递增,所以当x∈(0,x0)时,f'(x)>f'(0)=0,则f(x)在(0,x0)上单调递增,所以当x∈(0,x0)时,f(x)>f(0)=-1,不满足题意.综上所述,故a的取值范围为.
方法二:设h(x)=xeax-ex+1,则h(0)=0,h'(x)=(1+ax)eax-ex,由题知,当x>0时,h(x)<0恒成立.
设g(x)=(1+ax)eax-ex,则g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,若a>,则g'(0)=2a-1>0,必存在x0∈(0,+∞),使得g(x)在(0,x0)上单调递增,故当x∈(0,x0)时,g(x)>g(0)=0,
则h(x)在(0,x0)上单调递增,故当x∈(0,x0)时,h(x)>h(0)=0,与题设矛盾.
若0下证对任意x>0,总有ln(1+x)0),则S'(x)=-1=<0,
故S(x)在(0,+∞)上单调递减,
故S(x)由上述不等式有eax+ln(1+ax)-ex所以当x>0时,h(x)当a≤0,x>0时,h'(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,h(x)综上,a的取值范围是.
4.解:若g(x)≥0恒成立,则必有g(1)=2a-2≥0,解得a≥1.
下面证明:当a≥1时,g(x)≥0恒成立.
由g(x)=x3-x2+ax+-xln x-2及a≥1,得g(x)≥x3-x2+x+-xln x-2.要证不等式g(x)≥0,只需证x3-x2+x+-xln x-2≥0,
又x>0,所以只需证x2-x+1+-ln x-≥0.令h(x)=x2-x+1+-ln x-,则h'(x)=2x-1--+=.
令φ(x)=2x2-x-+-1(x>0),则φ'(x)=4x-1+-=.
①当04x4-1-2+4=4x4+1>0;
②当x≥1时,x4≥x3,2x4≥2x,则4x4-x3-2x+4=(x4-x3)+(2x4-2x)+x4+4≥x4+4>0.
由①②可知φ'(x)>0,故函数φ(x)单调递增,又φ(1)=0,可知当01时,φ(x)>0,即h'(x)>0.可得函数h(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞),故h(x)≥h(1)=0.
当a<1时,g(1)=2a-2<0,不满足题意.综上,若g(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围为[1,+∞).
5.解:(1)当b=0时,f(x)=ln+ax,f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=+a.∵+a≥2+a,当且仅当x=1时取等号,∴若f'(x)≥0,则只需2+a≥0,解得a≥-2,故a的最小值为-2.
(2)证明:由y=ln的图象关于点(1,0)中心对称,y=ax的图象关于点(1,a)中心对称,y=b(1-x)3的图象关于点(1,0)中心对称,得曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称,证明如下:
∵f(1+x)+f(1-x)=ln+a(1+x)+bx3+ln+a(1-x)+b(-x)3=2a,∴曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称,故曲线y=f(x)是中心对称图形.
(3)方法一:由函数f(x)连续及题意知f(1)=-2,故a=-2,
∴f(x)=ln-2x+b(x-1)3.
f'(x)=.
若-≤b≤0,则f'(x)>0在(1,2)上恒成立,故f(x)在(1,2)上单调递增,则f(x)>f(1)=-2,满足题意.当b<-或b>0时,令f'(x)=0,可得x=1+.若b<-,则当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f0,则1+>2,当x∈(1,2)时,f'(x)>0,故f(x)>f(1)=-2,满足题意.综上,b的取值范围是.
方法二:由函数f(x)连续及题意知f(1)=-2,故a=-2,故f(x)=ln-2x+b(x-1)3,f'(x)=-2+3b(x-1)2,f'(1)=0.
令m(x)=f'(x),则m'(x)=(x-1).
y=x(2-x)在(1,2)上单调递减,由复合函数的单调性知g(x)=+6b在(1,2)上单调递增.
若g(1)≥0,即4+6b≥0,即b≥-,
则当x∈(1,2)时,g(x)>g(1)≥0,则m'(x)>0,∴f'(x)在(1,2)上单调递增,∴f'(x)>f'(1)=0,∴f(x)在(1,2)上单调递增,∴当1f(1)=-2,满足题意.
若g(1)<0,即4+6b<0,即b<-,
当x→2时,g(x)→+∞,
则存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,
当10,∴f'(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,2)上单调递增,∴当x∈(1,x0)时,f'(x)综上,b的取值范围为.培优专训(一) 必要性探路法之端点效应、极点效应、特殊点效应
(时间:45分钟)
1.[2024·云南昆明模拟] 已知函数f(x)=-ln x+ax+a2-2.若f(x)有极值且f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
2.已知函数f(x)=2sin x+ln(x+1)-ax.若对任意x∈[0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
3.已知函数f(x)=xeax-ex.当x>0时,f(x)<-1恒成立,求a的取值范围.
4.已知函数g(x)=x3-x2+ax+-xln x-2,若g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
5.[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.
(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)当1