第3课时 放缩法证明不等式
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 先证明不等式ex≥x+1,再证明不等式x+1≥ln(x+2),进而可证f(x)>ln(x+2).
证明: 设g(x)=f(x)-(x+1)=ex-x-1(x>-2),则g'(x)=ex-1,
当-2
0时,g'(x)>0,故g(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=0,所以f(x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号).
设h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),则h'(x)=1-=,当-2-1时,h'(x)>0,故h(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(-1)=0,所以x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时取等号).
因为f(x)≥x+1与x+1≥ln(x+2)的等号不能同时取到,所以当x>-2时,f(x)>ln(x+2).
变式题 证明:构造函数g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,令g'(x)>0,得x>0,
令g'(x)<0,得x<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以g(x)≥g(0)=0,则ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号).
构造函数h(x)=ln x-x+1,x>0,则h'(x)=-1=,x>0,令h'(x)>0,得01,
故h(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)≤h(1)=0,则ln x≤x-1(当且仅当x=1时取等号).因为a≥,所以aex=ex+ln a≥x+ln a+1≥x+ln +1=x,又ln x+1≤x-1+1=x,所以aex≥ln x+1,当且仅当a=,x=1时等号成立,所以当a≥时,f(x)≥0.
例2 [思路点拨] (1)利用导数研究函数f(x)的单调性,进而可求得最大值;(2)由(1)得到ln(x+1)≤x(x+1),令x=,得到ln<,进而证明.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1=.令g(x)=1-x2-ln x,x>0,则g'(x)=-2x-<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,∵g(1)=0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)max=f(1)=-1.
(2)证明:由(1)知f(x)=-x≤-1,即ln x≤x(x-1),当且仅当x=1时等号成立,即ln(x+1)≤x(x+1),当且仅当x=0时等号成立.
令x=,∵n∈N*,∴ln<=,即ln<,∴++…+>ln 2+ln+…+ln=ln(n+1),即ln(n+1)<++…+,n∈N*.
变式题 解:(1)当a=0时,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1,当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以函数f(x)在[-e,0]上单调递减,在[0,e]上单调递增,所以函数f(x)在[-e,e]上的最小值为f(0)=e0-0=1.易知f(e)=ee-e>f(-e)=e-e+e=+e,则函数f(x)在[-e,e]上的最大值为f(e)=ee-e.
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,即ex≥(a+1)x恒成立.当x∈(0,+∞)时,可得a≤-1恒成立.
令g(x)=-1,x>0,则g'(x)=.令g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得0所以当x=1时,g(x)取得最小值g(1)=e-1,所以a∈(-∞,e-1].当x∈(-∞,0]时,若a≥-1,则ex≥(a+1)x恒成立;若a<-1,取x=<0,则<1,不满足题意,所以a≥-1.
综上,a的取值范围为[-1,e-1].
(3)证明:在(2)中,令a=e-1,可知对任意x∈R,都有ex≥ex,当且仅当x=1时取等号,两边同时取对数得x≥1+ln x,当且仅当x=1时取等号,故ln x≤x-1,可得ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时取等号,所以ln<,
即ln<(n∈N*),则ln+ln+ln+…+ln<+++…+(n∈N*),
即1+++…+>ln(n+1).
例3 [思路点拨] (1)对函数g(x)求导,根据切线斜率为2,求出切点坐标,进而得到切线方程,即可证明;(2)先证明g(x)≤2x+2,再利用放缩法证明f(x)+π>2x+2即可.
证明:(1)由g(x)=ln x+x+3,得g'(x)=+1.设切点坐标为(x0,g(x0)),由+1=2,得x0=1,所以g(x0)=4,则切点坐标为(1,4),则切线方程为y-4=2(x-1),即y=2x+2,所以直线y=2x+2是曲线y=g(x)的一条切线.
(2)令h(x)=g(x)-(2x+2)=ln x-x+1,则h'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)≤h(x)max=h(1)=0,即g(x)≤2x+2.要证f(x)+π>g(x),只需证f(x)+π>2x+2,即证2xsin x+π>2x+2.令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x>0在上恒成立,所以m(x)=x-sin x在上单调递增,所以当x∈时,m(x)>m(0)=0,即x>sin x,所以当x∈时,2xsin x>2sin2x,故只需证明当x∈时,2sin2x+π≥2x+2.
令F(x)=2sin2x-2x+π-2,则F'(x)=4sin xcos x-2=2sin 2x-2≤0,所以F(x)在上单调递减,所以当x∈时,F(x)≥F=2×12-2×+π-2=0,即2sin2x+π≥2x+2.综上,当x∈时,f(x)+π>g(x).
变式题 证明:(1)令g(x)=cos x+x2-1,则g'(x)=-sin x+x,令k(x)=g'(x),则k'(x)=-cos x+1≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立,故g'(x)在[0,+∞)上单调递增,所以当x≥0时,g'(x)≥g'(0)=0,故g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,即当x≥0时,cos x≥1-x2.
(2)当x∈[0,+∞)时,由(1)得x≥sin x,且cos x≥1-x2.对于a≥1,x∈[0,+∞),要证xeax+xcos x+1≥(1+sin x)2,只需证xex+x+1≥(1+x)2,即证xex-x3-x2-x≥0.当x=0时,显然成立;当x>0时,即证ex-x2-x-1≥0.令h(x)=ex-x2-x-1,x>0,则h'(x)=ex-x-1.令φ(x)=h'(x),x>0,则φ'(x)=ex-1,当x>0时,φ'(x)>0,故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,h'(x)>h'(0)=0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即ex-x2-x-1>0.
综上,当a≥1时,不等式f(x)≥(1+sin x)2对任意x∈[0,+∞)恒成立.第3课时 放缩法证明不等式
1.证明:令φ(x)=ln x-x+1,其定义域为(0,+∞),则φ'(x)=-1=.
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
∴φ(x)max=φ(1)=0,∴φ(x)≤0,
即ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.当x>2时,ln(x-1)0,∴aln(x-1)即证ex-x->0.令h(x)=ex-x-,x>2,则h'(x)=ex-1+.∵x>2,∴h'(x)>0恒成立,
∴h(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴h(x)>h(2)=e2-4>0,∴当x>2时,f(x)2.解:(1)证明:要证f(x)<1,即证<1(x∈(0,π]),只需证sin x-x<0(x∈(0,π]).令h(x)=sin x-x,x∈(0,π],则h'(x)=cos x-1<0,∴h(x)在(0,π]上单调递减,
故h(x)(2)g(x)=+ax2,x∈(0,π],
则g'(x)=.
∵g(x)在(0,π]上单调,∴当x∈(0,π]时,g'(x)≤0恒成立或g'(x)≥0恒成立.令m(x)=xcos x-sin x
+2ax3,x∈(0,π],则m'(x)=6ax2-xsin x=x(6ax-sin x).
①当a≤0时,6ax≤0,sin x≥0,∴当x∈(0,π]时,m'(x)≤0,即m(x)在(0,π]上单调递减,∴当x∈(0,π]时,m(x)②当a≥时,m'(x)=x(6ax-sin x)>x(6ax-x)=(6a-1)x2≥0,
∴m(x)在(0,π]上单调递增,∴m(x)>m(0)=0,故g'(x)>0在(0,π]上恒成立,故g(x)在(0,π]上单调递增,满足题意.
③当00,故存在x1∈(0,π),使得n'(x1)=0,当x∈(0,x1)时,n'(x)<0,当x∈(x1,π]时,n'(x)>0,故n(x)在 (0,x1)上单调递减,在(x1,π]上单调递增,又∴存在x2∈(x1,π),使得n(x2)=0,当x∈(0,x2)时,m'(x)<0,当x∈(x2,π]时,m'(x)>0,∴m(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,π]上单调递增,故m(x2)∴只需m(π)≤0,可得0综上所述,a的取值范围是∪.
3.解:(1)由题可知f'(x)=ex-1-a-ln x-,则f'(1)=1-a.
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,所以1-a=,解得a=.
(2)证明:令h(x)=ln x-(x-1),x∈(1,+∞),则h'(x)=-1=,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,则h(x)即ln x要证当x∈(1,+∞)时,f(x)>a,只需证当x∈(1,+∞)时,ex-1-(x+1)-(x-1)ln x>0,只需证当x∈(1,+∞)时,ex-1-(x+1)-(x-1)2>0.
令F(x)=ex-1-(x+1)-(x-1)2,x∈(1,+∞),则F'(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞).令t(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞),则t'(x)=ex-1-2,令t'(x)=0,得x=1+ln 2,
当x∈(1,1+ln 2)时,t'(x)<0,F'(x)单调递减,当x∈(1+ln 2,+∞)时,t'(x)>0,F'(x)单调递增,
所以F'(x)min=F'(1+ln 2)=-2ln 2=,因为e3>16,所以F'(x)min>0,则F'(x)>0,则F(x)在(1,+∞)上单调递增,故F(x)>F(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,f(x)>a.
4.解:(1)令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则h'(x)=-1=-.当-10,则函数h(x)在(-1,0)上单调递增;当x>0时,h'(x)<0,则函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.所以h(x)max=h(0)=0,故ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时等号成立,所以当a≥0时,ln(x+1)≤x≤ax2+x,即f(x)≤g(x);当a<0时,取x0=->0,因为ln(x0+1)>ln 1=0,且a+x0=a·-=0,所以ln(x0+1)>a+x0,故f(x0)>g(x0),不合题意.综上所述,实数a的取值范围为[0,+∞).
(2)证明:由(1)可得,当x>-1时,ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时等号成立,则当x>0时,ln x≤x-1,可得ln≤-1,即-ln x≤-1,即ln x≥1-,当且仅当x=1时等号成立,故当x>1时,ln x>1-.
令=1-,t>1,则x=,所以ln>,即ln t-ln(t-1)>(t>1),所以0),则φ'(x)=1-cos x≥0,且φ'(x)不恒为零,所以函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,故φ(x)>φ(0)=0,则sin x0),所以sin<[ln(n+2)-ln(n+1)]+…+[ln(2n)-ln(2n-1)]=ln(2n)-ln n=ln=ln 2,得证.第3课时 放缩法证明不等式
放缩法证明不等式,即把要证的不等式一边适当地放大(或缩小),使之得出明显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方法.
常用的放缩方式有三类:一是利用不等式放缩.根据函数结构,选择不同的不等式,如指数不等式、对数不等式、三角不等式、基本不等式等进行放缩,使函数简单化,从而降低难度.从图象角度看,是以直代曲的思路.二是利用已证结论放缩.解答题的上一问中证明的不等式,或者推导过程中证明出的结论,为后续的证明提供放缩依据,即利用已证结论进行放缩,化繁为简.三是利用参数范围放缩.函数解析式中含有参数,且已知参数范围,证明不等式成立,可以从参数的范围入手,在参数给定的范围内,结合不等式的结构进行第一步放缩,达到减少变量,使函数结构简单的目的.
提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:(1)舍去一些正项(或负项);(2)在和或积中换大(或换小)某些项;(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母);(4)构造基本不等式(通常结合代换法,注意对指数的变换).
指对放缩证明一元不等式
例1 已知函数f(x)=ex,当x>-2时,求证:f(x)>ln(x+2).
总结反思
利用导数证明不等式时,经常会遇到ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下:
(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号;
(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.
变式题 已知函数f(x)=aex-ln x-1.证明:当a≥时,f(x)≥0.
指对放缩证明数列不等式
例2 已知函数f(x)=-x.
(1)求f(x)的最大值;
(2)求证:ln(n+1)<++…+,n∈N*.
总结反思
用导数方法来证明形如a1+a2+a3+…+an变式题 已知函数f(x)=ex-(a+1)x(其中e为自然对数的底数).
(1)当a=0时,求函数f(x)在[-e,e]上的最值;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明:1+++…+>ln(n+1).
三角放缩证明不等式
例3 已知函数f(x)=2xsin x,g(x)=ln x+x+3.求证:
(1)直线y=2x+2是曲线y=g(x)的一条切线;
(2)当x∈时,f(x)+π>g(x).
总结反思
对于含有三角函数的不等式的证明,其三角函数部分可以采用有界性或常见的三角不等式进行放缩处理,为整个不等式的证明创造条件.常见的三角放缩不等式有:
(1)x>sin x,x∈(0,+∞);(2)sin x≤x≤tan x,x∈;(3)sin x≥xcos x,x∈;(4)cos x≥1-,x∈R;(5)sin x≥,x∈.
变式题 已知函数f(x)=xeax+xcos x+1.
(1)证明:当x≥0时,cos x≥1-x2;
(2)当a≥1时,证明:不等式f(x)≥(1+sin x)2对任意x∈[0,+∞)恒成立.第3课时 放缩法证明不等式
(时间:45分钟)
1.已知函数f(x)=aln(x-1)+,其中a为正实数.证明:当x>2时,f(x)2.已知函数f(x)=,x∈(0,π].
(1)证明:f(x)<1;
(2)若g(x)=f(x)+ax2,且g(x)在(0,π]上单调,求a的取值范围.
3.已知函数f(x)=ex-1-ax-(x-1)ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)证明:当x∈(1,+∞)时,f(x)>a.
4.已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ax2+x.
(1)当x>-1时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若n∈N*,证明:sin+sin+…+sin第19讲 导数与不等式
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教师备用习题
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放缩法证明不等式，即把要证的不等式一边适当地放大
（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小
的传递性，从而使不等式得到证明的方法.
常用的放缩方式有三类：一是利用不等式放缩.根据函数结构，
选择不同的不等式，如指数不等式、对数不等式、三角不等式、基
本不等式等进行放缩，使函数简单化，从而降低难度.从图象角度看，
是以直代曲的思路.二是利用已证结论放缩.解答题的上一问中证明的
不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩依
据，即利用已证结论进行放缩，化繁为简.
三是利用参数范围放缩.函 数解析式中含有参数，且已知参数范围，
证明不等式成立，可以从参数的范围入手，在参数给定的范围内，
结合不等式的结构进行第一步放缩，达到减少变量，
使函数结构简单的目的.
提示:在构造函数证明不等式时,常会用到一些放缩技巧:
（1）舍去一些正项（或负项）;
（2）在和或积中换大（或换小）某些项;
（3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）;
（4）构造基本不等式（通常结合代换法,注意对指数的变换）.
探究点一 指对放缩证明一元不等式
例1 已知函数，当时，求证： .
［思路点拨］ 先证明不等式 ，再证明不等式
，进而可证 .
证明： 设 ，
则 ，当时，，当时，，
故 在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
所以（当且仅当 时取等号）.
设，则 ，
当时，，当时，，
故 在上单调递减，在 上单调递增，
所以，
所以（当且仅当 时取等号）.
因为与 的等号不能同时取到，
所以当时， .
[总结反思]
利用导数证明不等式时，经常会遇到和与其他代数式结合的问
题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，
简化后再构造函数进行证明.常见的放缩公式如下：
（1），当且仅当时取等号；
（2），当且仅当时取等号.
证明：构造函数，则，
令 ，得 ，令，得，
故在上单调递增，在 上单调递减，
所以，则（当且仅当 时取等号）.
变式题 已知函数．证明：当 时， ．
构造函数，，则， ，
令，得，令，得 ，
故在上单调递增，在 上单调递减，
所以，则（当且仅当 时取等号）.
因为，所以 ，
又，所以，
当且仅当 ，时等号成立，所以当时， .
探究点二 指对放缩证明数列不等式
例2 已知函数 .
（1）求 的最大值；
［思路点拨］利用导数研究函数 的单调性，进而可求得最大值；
解：的定义域为， .
令，，则，
在上单调递减，
， 当时， ，， 单调递增，
当时，，， 单调递减，
.
（2）求证：， .
［思路点拨］由（1）得到，令 ,得到
，进而证明.
证明：由（1）知，即 ，
当且仅当时等号成立，即，
当且仅当 时等号成立.
令，， ，即 ，
，
即， .
[总结反思]
用导数方法来证明形如
（或）的数列型不等式,对于多数同学来说构造
是难点,即构造一个不等式,它的一般解题思路为:
①令（注:有时需要简单放缩或变形，
若证<，则令其中）;
②证明,而这一步基本上用导数法来完成（即把作为自变量
,构造函数,然后用导数法证明）;
③自累加（若,则采用累乘法）,得证.
变式题 已知函数（其中 为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数在 上的最值；
解：当时，，，
当 时，；当时，．
所以函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以函数在 上的最小值为.
易知 ，
则函数在上的最大值为 ．
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围；
解：若对任意,不等式恒成立,即 恒成立.
当时,可得 恒成立．
令，，则．
令，得 ，令，得，
所以在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当时,取得最小值 ,所以．
当时，若，则 恒成立；
若，取，则 ，不满足题意，所以 .
综上，的取值范围为 .
（3）设，证明： .
证明：在（2）中，令，可知对任意，
都有 ，当且仅当时取等号，
两边同时取对数得 ，当且仅当时取等号，
故，可得 ，当且仅当时取等号，
所以 ，即 ，
则 ，
即 .
探究点三 三角放缩证明不等式
例3 已知函数， .求证：
（1）直线是曲线 的一条切线；
［思路点拨］对函数 求导，根据切线斜率为2，求出切点坐标，
进而得到切线方程，即可证明；
证明：由，得 .
设切点坐标为，由，得，所以 ，
则切点坐标为，则切线方程为，即 ，
所以直线是曲线 的一条切线.
（2）当时， .
［思路点拨］先证明 ，再利用放缩法证明
即可.
证明：令 ，
则，当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
所以，即 .
要证 ，只需证 ，
即证.
令，则 在上恒成立，
所以在 上单调递增，
所以当时，，即，
所以当 时，，
故只需证明当 时， .
令 ，
则，
所以在 上单调递减，所以当 时，
，即 .
综上，当时， .
[总结反思]
对于含有三角函数的不等式的证明，其三角函数部分可以采用有界
性或常见的三角不等式进行放缩处理，为整个不等式的证明创造条
件.常见的三角放缩不等式有:
（1），；（2）,；
（3）,；（4）,；
（5）,.
变式题 已知函数 .
（1）证明：当时， ；
证明：令，则 ，
令，则对任意 恒成立，
故在上单调递增，所以当时， ，
故在上单调递增，所以当时， ，
即当时， .
（2）当时，证明：不等式 对任意
恒成立.
证明：当时,由（1）得,且 .
对于,,要证 ,
只需证,即证 .
当时,显然成立；当时,即证 .
令,,则 .
令 ，，则，
当时， ，故在上单调递增，
所以当时， ，故在上单调递增，
所以 ，即 .
综上，当时，
不等式对任意 恒成立.
【备选理由】例1考查利用指对放缩、三角函数的简单放缩证明不等式；
例1 ［配例1、例3使用］ 已知函数，其中 .
（1）若在上恒成立，求 的取值范围；
解：令，，则 ，
当时，恒成立，在 上单调递增，
所以，满足题意.
当 时，令，则，
所以当 时，，则在 上单调递增，
又因为， ，
所以由函数零点存在定理可知，存在，使得，
所以当时， ，单调递减，
此时，不满足题意.
综上所述， 的取值范围为 .
（2）证明：对任意 ，都有 .
证明：由（1）知，当时，在 上恒成立.
先证，，令，
，则恒成立，
所以在 上单调递增，故，
即,,当且仅当 时等号成立，
所以当时， 恒成立，
故 恒成立.
要证对任意 ，都有 ，
只需证对任意，都有.
令 ，，
则 ，
所以在上单调递减,所以,即 .
综上可得,对任意 ,都有 .
例2 ［配例2使用］ 已知函数，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
解：函数的定义域为， .
①当时，，所以在 上单调递增.
②当时，令，得 ．
【备选理由】例2考查利用指对放缩证明数列不等式；
当时,，
所以,所以 在 上单调递减；
当时,，
所以,所以 在 上单调递增．
综上,当时,函数在 上单调递增；
当时,函数在上单调递减,在 上单调递增．
（2）当时，求证： ；
证明：当时，，要证 ，
即证，即证 ．
设，则，令，得 ．
当时，，当时， ．
所以为 的极大值点，也为最大值点，
所以，即，故 ．
（3）求证：对任意的且 ，
都有…
（其中 为自然对数的底数）．
证明：由（2）得（当且仅当 时等号成立），
令，则 ，
所以
，
即 ，
所以… ．
例3 ［配例2、例3使用］ 设函数 ．
（1）当时，证明： ；
证明：由题意可知函数的定义域为，且 为偶函数，
当时， ，
又，所以 .
令，,则，
故 在 上单调递增，所以，
【备选理由】例3考查利用三角放缩证明数列不等式.
所以当时， ，故在 上单调递增，
所以 .
又为偶函数，所以当时， 也成立.
综上， .
（2）证明： ．
证明： 由（1）可知，当时， ，
即，当且仅当 时，等号成立.
令，，可得 ，
故 .
由（1）可得，当时，，当且仅当 时等号成立.
因为，所以 ，可得，
即 ，所以 ，
所以
，
即 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知函数，其中为正实数.
证明：当 时， .
证明：令，其定义域为 ，
则 .
当时，，当时，，
在上单调递增，在 上单调递减，
， ，
即，当且仅当时取等号.
当 时，，
又， .
要证 ，
即证 ，
只需证 ，即证.
令， ，则.
， 恒成立，在 上单调递增，
，
当 时， .
2.已知函数, .
（1）证明： ;
证明：要证，即证 ，
只需证.
令, ,则，
在 上单调递减,故， .
（2）若,且在上单调，求 的取值范围.
解：, ，则 .
在上单调，
当时, 恒成立或恒成立.
令, ，
则 .
①当时，,，
当时, ，即在上单调递减，
当时, ，
故在上恒成立，故在 上单调递减，满足题意.
②当 时， ，
在上单调递增，，
故 在上恒成立，故在 上单调递增，满足题意.
③当时，令,则 ，
在上单调递增，且 ，
，故存在，使得 ，
当时，，当时，，
故 在上单调递减，在 上单调递增，
又 存在,使得 ，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故 ，又 ，
只需，可得 .
综上所述，的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
3.已知函数，曲线 在点
处的切线与直线 垂直.
（1）求 的值；
解：由题可知，则 .
因为曲线在点处的切线与直线 垂直，
所以，解得 .
（2）证明：当时， .
证明：令， ，则，
当时，， 单调递减，则 ，
即，则当时， .
要证当时，,
只需证当 时，，
只需证当 时， .
令， ，
则，.
令 ，,则，
令，得 ，
当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增，
所以，
因为 ，所以，则,
则在 上单调递增，故，
故当时， .
4.已知函数， .
（1）当时，恒成立，求实数 的取值范围；
解：令，则 .
当时，，则函数在 上单调递增；
当时，，则函数在 上单调递减.
所以，
故，当且仅当 时等号成立，
所以当时，，即；
当 时，取，
因为 ，且，
所以 ，故，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为 .
（2）若，证明： .
证明：由（1）可得，当时，，
当且仅当 时等号成立，则当时，，
可得 ，即，即，
当且仅当 时等号成立，故当时， .
令，,则，所以 ，
即 ，
所以 ，,,2, ,.
令 ，则，
且不恒为零，所以函数在 上单调递增，
故，则 ，
所以，
,,2, , ，
所以当 时， ，得证.
课堂考点探究
例1 略 变式题略
例2(1)-1 (2)略 变式题(1) (2) [-1,e-1] (3)略
例3(1)略 (2)略 变式题(1)略 (2)略
教师备用习题
例1 (1) (2)略 例2 (1)当时,函数在 上单调递增；
当时,函数在上单调递减,在 上单调递增 (2)略 (3)略
例3(1) (2)略
基础热身
1.(1)略 2.(1) (2)
综合提升
3.(1) (2)略 4.(1) (2) 略