第四单元 三角函数、解三角形
第22讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)端点 (2)正角 负角 象限角
(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1)半径长 (2)|α|r |α|r2
3.(2)
【对点演练】
1.①④ [解析] 锐角一定是第一象限角,①正确;终边相同的角不一定相等,②错误;小于90°的角除锐角外还有零角、负角,③错误;钝角一定是第二象限角,④正确.故填①④.
2. [解析] 与角-终边相同的角是2kπ+(k∈Z),令k=1,可得与角-终边相同的角是.
3. [解析] 由已知得r==,所以sin α-cos α+tan α=-+=-+=-2=.
4.-4π [解析] 时钟的分针顺时针旋转,所得的角为负角,又考试时间为120分钟,所以从考试开始到结束,时钟的分针旋转了-4π弧度.
5.1或4 [解析] 设扇形的半径为r,圆心角为α(α>0),则扇形的弧长l=rα,由题得解得或所以扇形的圆心角的弧度数为1或4.
6.cos θ [解析] ∵sin θ<0,tan θ<0,∴θ是第四象限角,∴cos θ>0,∴|sin θ-cos θ|+sin θ=-sin θ+cos θ+sin θ=cos θ.
● 课堂考点探究
例1 (1)BCD (2)B [解析] (1)与-835°终边相同的角可表示为α=-835°+360°k,k∈Z,当k=1时,α=-475°;当k=2时,α=-115°;当k=3时,α=245°;当k=4时,α=605°.故选BCD.
(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角α满足+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z,即终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是.故选B.
变式题 (1)AB (2)135°(或-225°)
[解析] (1)因为α的终边与-α的终边关于x轴对称,而α是第二象限角,所以-α是第三象限角,所以π-α是第一象限角,故A正确;因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z,故是第一或第三象限角,故B正确;因为α是第二象限角,所以π+α是第一象限角,故C错误;因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α的终边可能在y轴负半轴上,故D错误.故选AB.
(2)∵-2025°=-6×360°+135°,∴在-360°~360°范围内,角-2025°的终边与角135°的终边相同.∵-2025°=-5×360°-225°,∴在-360°~360°范围内与角-2025°终边相同的另一个角是-225°.
例2 [思路点拨] (1)由弧长公式即可得出弧长,弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积;(2)由周长为定值可得出弧长l和半径R的关系,再把扇形的面积用R表示出来,运用函数的知识求解即可.
解:设扇形的弧长为l.
(1)由α=,R=10,得l=×10=,S=××10-×102=-25.
(2)易知l+2R=20,则l=20-2R(0变式题 (1)D (2)C
[解析] (1)如图,由题意得AB=2CD,弧田面积S=×(2CD·CD+CD2)=4+2,可得CD=2.设圆的半径为r,则有AO2=AD2+OD2,即r2=(2)2+(r-2)2,解得r=4,∴OD=2,则在Rt△AOD中,∠AOD=,∴∠AOB=,∴所求弧长为4×=.故选D.
(2)显然△AOB为等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,则cos∠OAB==,sin∠OAB=,即∠OAB≈37°,于是∠AOB≈106°=,所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2-OD2)≈××(52-32)≈14.8(cm2).故选C.
例3 [思路点拨] (1)对于A选项,利用三角函数的定义计算即可;对于B,C选项,先判断角α的终边所过的点,再用三角函数的定义求解;对于D选项,利用定义求出三角函数值,再判断点所在象限.(2)首先由角β的终边与单位圆的交点得出cos β,进而求出角α的终边与单位圆的交点 P(x,y),可得cos α的值,由点在单位圆上,得m的值,进而得sin β的值,即可求出cos αsin β的值.
(1)ACD (2)± [解析] (1)因为角θ的终边经过点(2,-),所以sin θ=-,故A正确;因为θ与α的终边关于原点对称,所以角α的终边经过点(-2,),所以α为第二象限角,但不一定为钝角,故B错误;cos α=-,故C正确;因为tan θ=-<0,sin α=>0,所以点(tan θ,sin α)在第二象限,故D正确.故选ACD.
(2)由角β的终边与单位圆交于点,得cos β=,又sin αcos β<0,所以sin α<0,因为角α的终边落在直线y=x上,所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点,设P(x,y)(x<0,y<0),则x2+y2=1,又y=x,所以x=-,y=-,即cos α=-.因为点在单位圆上,所以+m2=1,解得m=±,即sin β=±,所以cos αsin β=±.
变式题 ± [解析] 在角θ的终边所在的直线y=-2x上任取一点P(a,-2a)(a≠0),则|OP|=|a|(O为坐标原点),由三角函数的定义知sin θ=,cos θ=.当a>0时,2sin θ+cos θ=2×+=-;当a<0时,2sin θ+cos θ=2×+=.
例4 [思路点拨] (1)根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负即可求解. (2)由题可知α为第四象限角,由此可得角α的三角函数值的正负,再依次判断各选项的正负即可.
(1)D (2)BD [解析] (1)因为α是第二象限角,所以00,sin(cos α)<0,所以点(cos(sin α),sin(cos α))在第四象限.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(1,m)(m<0),所以α为第四象限角,则sin α<0,cos α>0,tan α<0,所以sin α+cos α的正负无法判断,cos α-sin α>0,sin αcos α<0,>0.故选BD.
变式题 (1)D (2)BC
[解析] (1)∵-+2kπ<α<2kπ(k∈Z),∴-π+4kπ<2α<4kπ(k∈Z),故sin 2α<0.
(2)因为sin α>0,tan α<0,所以α为第二象限角,cos α<0,+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),故A错误;因为+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z),所以+kπ<<+kπ(k∈Z),所以为第一或第三象限角,故B正确;sin 2α=2sin αcos α<0,故C正确;若sin α=,则cos α=-=-,故D错误.故选BC.第四单元 三角函数、解三角形
第22讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
1.A [解析] 将钟表校正的过程中,时针顺时针旋转了15°,故时针旋转的弧度数为-,故选A.
2.D [解析] 由已知可得α=-+2kπ,k∈Z,观察选项可得只有-=--4π,所以α可能是-.故选D.
3.C [解析] 点P(-3,1)到原点的距离为=,所以由三角函数的定义可知cos α=-=-,故选C.
4.B [解析] 对于A,由可得θ为第一象限角,所以A不符合题意;对于B,由可得θ为第三象限角,反之也成立,所以B符合题意;对于C,由可得θ为第二象限角,所以C不符合题意;对于D,由可得θ为第四象限角,所以D不符合题意.故选B.
5.D [解析] 由P,可得P,且P在单位圆上,所以sin α=,tan α==,故sin αtan α=.故选D.
6. [解析] 在△ABO中,AB2=OA2+OB2=18,故∠AOB=,故弧长l=×3=.
7.①②③ [解析] 对于①,因为-180°<-100°<-90°,所以-100°是第三象限角,所以sin(-100°)<0;对于②,因为-270°<-220°<-180°,所以-220°是第二象限角,所以cos(-220°)<0;对于③,因为-<-10<-3π,所以-10是第二象限角,所以tan(-10)<0;对于④,因为是第一象限角,所以cos>0.故填①②③.
8.D [解析] 由cos α=,0<α<,得sin α==,所以y=sin=(sin α+cos α)=×=.故选D.
9.B [解析] 依题意知,伞面的曲线为弧AB,人体为圆心O,点O,C,D共线,因为∠AOB=60°,所以△AOB为等边三角形,所以OC=3,CD=6-3=3(2-),所以s=6+=6+×(7-4)≈6+×(7-4×1.7)=6.3.故选B.
10.ABC [解析] 对于A,因为角α的终边过点P,所以角α为第一象限角,由三角函数的定义知tan α=,所以角α的终边与的终边相同,所以角α的集合是,故A选项正确;对于B,因为角α是第四象限角,所以sin α<0,tan α<0,所以点P(sin α,tan α)在第三象限,故B选项正确;对于C,因为-2024°=-44°-11×180°,所以集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为-44°,故C选项正确;对于D,设扇形的半径为r cm,则扇形的弧长为l=2r,所以扇形的周长为l+2r=2r+2r=4r=8,可得r=2,所以D选项不正确.故选ABC.
11.BD [解析] 由题意,得2kπ+<α<2kπ+π,k∈Z,故kπ+<0,故C错误,D正确.当k为偶数时,为第一象限角,此时0,所以A错误,B正确.故选BD.
12.π [解析] 由已知得,经过t s,A1,A2第一次相遇,此时A1比A2多走一圈,所以4t-2t=2π×1,所以t=π.
13.解:∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cos α=x,∴cos α==x.
∵x≠0,∴x=±,∴r=2.
当x=时,点P的坐标为(,-),由三角函数的定义,得sin α=-,=-,
∴sin α+=--=-;
当x=-时,同理可求得sin α+=.
14.解:(1)因为点A运动的路程为,OA=1,所以∠AOx=,又OB=2,所以∠BOx=,所以
∠AOB=.
在△AOB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,可得AB=.
(2)设∠AOx=2α,则∠BOx=α,所以A(cos 2α,sin 2α),B(2cos α,2sin α),则x1+y2=cos 2α+
2sin α=-2sin2α+2sin α+1=-2+,
所以当sin α=时,x1+y2取得最大值.
15. [解析] 点A走过的路径是由9段圆心角均为的劣弧组成的,其中6段劣弧所在圆的半径为1,3段劣弧所在圆的半径为,所以点A走过的路径的长度为×(1++1+1++1+1++1)=.
16.ld-αd2 [解析] 由题意知,大扇形的半径为,小扇形的半径为-d,梯形的上底为·α,下底为l,高为d,由题意可知该图形的面积等于梯形的面积,即S=d=ld-αd2.第四单元 三角函数、解三角形
第22讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
【课标要求】 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.任意角
(1)定义:一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= .
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.
(2)公式:
角α的弧度数的绝对值 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°= rad,②1 rad=°
弧长公式 弧长l=
扇形的面积公式 S=lr=
3.任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义
(1)单位圆定义法:
如图,设α是一个任意角,角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=y, cos α=x, tan α=(x≠0).
(2)终边上任意点定义法:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,点P到原点O的距离r=|OP|=,则sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0).
常用结论
(1)象限角
(2)轴线角
(3)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图所示).
(4)若x∈,则tan x>x>sin x.
题组一 常识题
1.[教材改编] 下列四个说法中正确的是 .(填序号)
①锐角一定是第一象限角;
②终边相同的角一定相等;
③小于90°的角一定是锐角;
④钝角一定是第二象限角.
2.[教材改编] 在0到2π范围内,与角-终边相同的角是 .
3.[教材改编] 若角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α= .
题组二 常错题
◆索引:忽视角的旋转方向致误;扇形的弧长和面积公式记忆不牢致误;不熟悉角的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误.
4.某次考试时间为120分钟,则从考试开始到结束,时钟的分针旋转了 弧度.
5.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数为 .
6.若sin θ<0且tan θ<0,则|sin θ-cos θ|+sin θ的化简结果为 .
象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选题)与-835°终边相同的角有 ( )
A.-245° B.245°
C.-475° D.-115°
(2)如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是 ( )
A.
B.
C.
D.
总结反思
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.已知角α的终边所在的象限,确定kα,(k∈N*)的终边所在位置的方法:先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
变式题 (1)(多选题)[2024·安徽阜阳模拟] 若α是第二象限角,则 ( )
A.π-α是第一象限角
B.是第一或第三象限角
C.π+α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角
(2)在-360°~360°范围内,与角-2025°终边相同的一个角是 .
扇形的弧长、面积公式
例2 已知一扇形的圆心角的弧度数为α(α>0),所在圆的半径为R.
(1)若α=,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积S;
(2)若扇形的周长为20,则当α等于多少时,这个扇形的面积最大
总结反思
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
(3)解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
变式题 (1)[2025·唐山五校联考] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积S=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为4+2,且弦是矢的2倍,按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·青岛一模] 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(如图①)璜身满刻勾云纹,体扁平,呈扇面状,璜身外镂空雕饰“S”型双龙,造型精美.玉璜的示意图如图②,其中AB≈8 cm,AD≈2 cm,AO≈5 cm,若sin 37°≈,π≈3.14,则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为 ( )
A.6.8 cm2 B.9.8 cm2
C.14.8 cm2 D.22.4 cm2
三角函数的概念
角度1 三角函数定义的应用
例3 (1)(多选题)已知角θ的终边经过点(2,-),且θ与α的终边关于原点对称,则下列结论正确的是 ( )
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ,sin α)在第二象限
(2)若角α的终边落在直线y=x上,角β的终边与单位圆交于点,且sin αcos β<0,则cos αsin β= .
总结反思
三角函数的定义主要应用于两方面:
(1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,再用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,则一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
变式题 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=-2x上,则2sin θ+cos θ= .
角度2 三角函数值的符号判定
例4 (1)已知α是第二象限角,则点(cos(sin α),sin(cos α))所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(多选题)若角α的终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式一定为正的是 ( )
A.sin α+cos α
B.cos α-sin α
C.sin αcos α
D.
总结反思
判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
变式题 (1)若α为第四象限角,则 ( )
A.cos 2α>0 B.cos 2α<0
C.sin 2α>0 D.sin 2α<0
(2)(多选题)已知sin α>0,tan α<0,则 ( )
A.<α<π
B.为第一或第三象限角
C.sin 2α<0
D.若sin α=,则cos α=第四单元 三角函数、解三角形
第22讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
(时间:45分钟)
1.教室里的钟表慢了30分钟,在同学将它校正的过程中,时针需要旋转的弧度数为 ( )
A.- B. C.- D.
2.若角α与角-的终边相同,则α可能是 ( )
A. B.-
C. D.-
3.[2024·吉林长春实验中学月考] 已知点P(-3,1)是角α终边上一点,则cos α= ( )
A.- B.
C.- D.
4.[2024·安徽芜湖质检] 角θ为第三象限角的充要条件是 ( )
A. B.
C. D.
5.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.若角α终边上一点P的坐标为,则sin αtan α= ( )
A.- B.- C. D.
6.已知半径为3的扇形OAB的弦长AB=3,则该扇形的弧长是 .
7.给出下列各三角函数值:①sin(-100°);②cos(-220°);③tan(-10);④cos.其中符号为负的是
(填序号).
8.[2024·北京朝阳区质检] 在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆O交于点P(x,y),若cos α=,则y= ( )
A.- B.- C. D.
9.[2024·长郡中学一模] “会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法,如图所示,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB,则的弧长的近似值s的计算公式为s=AB+.利用上述公式解决如下问题:现有一自动伞在空中受人的体重影响,自然缓慢下降,伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧,若伞打开后绳长为6米,该圆弧所对的圆心角为60°,则伞的弧长大约为(≈1.7) ( )
A.5.3米 B.6.3米
C.8.3米 D.11.3米
10.(多选题)下列说法正确的有 ( )
A.若角α的终边过点P,则角α的集合是
B.若角α是第四象限角,则点P(sin α,tan α)在第三象限
C.集合A={α|α=-2024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为-44°
D.若扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,则此扇形的半径是4 cm
11.(多选题)[2024·唐山五校联考] 已知角α为第二象限角,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.sin>cos
B.>
C.sin<0
D.tan>0
12.[2025·广东五校联考] 已知质点A1,A2从点P(1,0)处分别以ω1=4 rad/s,ω2=2 rad/s的速度同时在圆x2+y2=1上做逆时针运动,若经过t s,A1,A2第一次相遇,则t= .
13.已知角α的终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x,求sin α+的值.
14.如图,已知圆心在坐标原点O的两个同心圆的半径分别为1和2,点A和点B分别从初始位置(1,0)和(2,0)处按逆时针方向做圆周运动,且相同时间内运动的路程(弧长)相等.
(1)当点A运动的路程为时,求线段AB的长度;
(2)记A(x1,y1),B(x2,y2),求x1+y2的最大值.
15.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为 .
16.刘徽是我国古代著名数学家,他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证,树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成,那么以这些同心圆的周长为底边也可以叠成一个等腰三角形(如图①),该圆(周长为L,半径为R)的面积与等腰三角形的面积相等,即S圆=S等腰三角形=L·R.若某图形由圆心角为α,弧长为l的扇形剪去一个小扇形得到,且两个扇形所在圆的半径差为d(如图②),运用这种积线成面的方法,该图形的面积S= (用α,l,d表示). (共75张PPT)
第22讲 任意角和弧度制、三角函数
的概念
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互
化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
◆ 知识聚焦 ◆
1.任意角
（1）定义:一条射线绕着它的______旋转所成的图形.
（2）分类:按旋转方向分为______、______和零角;按终边位置分为
________和轴线角.
（3）终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成
一个集合 __________________________.
端点
正角
负角
象限角
,}
2.弧度制的定义和公式
（1）定义:长度等于________的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧
度单位用符号 表示.
（2）公式:
半径长
角 的弧度数的绝对值 （弧长用 表示）
角度与弧度的换算 ,
弧长公式 弧长 _____
扇形的面积公式 _______
3.任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义
（1）单位圆定义法：
如图，设 是一个任意角，角 的终边与单位
（2）终边上任意点定义法：设是角 终边上异于原点的任意一
点，点到原点的距离,则___, ___,
__ .
圆相交于点，则，， .
常用结论
（1）象限角
（2）轴线角
（3）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、
四余弦（如图所示）.
（4）若,则 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 下列四个说法中正确的是______.（填序号）
①锐角一定是第一象限角；
②终边相同的角一定相等；
③小于 的角一定是锐角；
④钝角一定是第二象限角.
①④
[解析] 锐角一定是第一象限角，①正确；
终边相同的角不一定相等，②错误；
小于 的角除锐角外还有零角、负角，③错误；
钝角一定是第二象限角，④正确.故填①④.
2.［教材改编］ 在0到 范围内，与角 终边相同的角是___．
[解析] 与角终边相同的角是，
令 ，可得与角终边相同的角是 .
3.［教材改编］ 若角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴
重合，终边经过点，则 _ ______．
[解析] 由已知得 ，所以
.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视角的旋转方向致误；扇形的弧长和面积公式记忆不牢
致误;不熟悉角的终边在不同象限时对应的三角函数值的符号致误.
4.某次考试时间为120分钟，则从考试开始到结束，时钟的分针旋转
了_____弧度.
[解析] 时钟的分针顺时针旋转，所得的角为负角，又考试时间为120
分钟，所以从考试开始到结束，时钟的分针旋转了 弧度.
5.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数为______.
1或4
[解析] 设扇形的半径为，圆心角为 ，则扇形的弧长
，
由题得解得或 所以扇形的圆心角的弧度
数为1或4.
6.若且,则 的化简结果为
______.
[解析] ,, 是第四象限角, ,
.
探究点一 象限角及终边相同的角
例1（1）（多选题）与 终边相同的角有( )
A. B. C. D.
[解析] 与 终边相同的角可表示为， ，
当时， ；当时， ；当 时，
；当时， .故选 .
√
√
√
（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 终边落在阴影部分（包括边界）的角 满足
， ，即终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是
．故选B.
√
[总结反思]
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出
与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数
赋值来求得所需的角.
2.已知角 的终边所在的象限，确定 ，的终边所在位
置的方法：先写出 或的范围，然后根据的可能取值确定 或
的终边所在位置．
变式题（1）（多选题）[2024·安徽阜阳模拟] 若 是第二象限角，
则( )
A. 是第一象限角 B. 是第一或第三象限角
C. 是第二象限角 D. 是第三或第四象限角
√
√
[解析] 因为 的终边与 的终边关于轴对称，而 是第二象限
角，所以 是第三象限角，所以 是第一象限角，故A正确；
因为 是第二象限角，所以 ， ，所以
，，故 是第一或第三象限角，故B正确；
因为 是第二象限角，所以 是第一象限角，故C错误；
因为 是第二象限角，所以 ， ，所以
，，所以 的终边可能在 轴负半
轴上，故D错误．故选 .
（2）在 范围内,与角 终边相同的一个角是
___________________.
（或）
[解析] , 在 范围内,
角 的终边与角 的终边相同.
, 在 范围内与角
终边相同的另一个角是 .
探究点二 扇形的弧长、面积公式
例2 已知一扇形的圆心角的弧度数为，所在圆的半径为 .
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 ；
［思路点拨］由弧长公式即可得出弧长,弓形的面积等于扇形的面积
减去三角形的面积;
解：设扇形的弧长为 .
由，，得 ，
.
（2）若扇形的周长为20，则当 等于多少时，这个扇形的面积最大
［思路点拨］由周长为定值可得出弧长和半径 的关系,再把扇形的
面积用 表示出来,运用函数的知识求解即可.
解：易知，则 ，
，
当时，取得最大值25，此时， .因此当
时，这个扇形的面积最大.
[总结反思]
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的
三角形.
（3）解决面积等最值问题时经常转化为二次函数在给定区间上的最
值问题来解决.
变式题（1）[2025·唐山五校联考]《九章算术》
是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方
田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧
A. B. C. D.
田面积（弦×矢矢 ），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，
公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现
已知弧田面积为，且弦是矢的 倍，按照上述经验公式计算
所得弧田的弧长是( )
√
[解析] 如图，由题意得 ，弧田面
积 ，
可得.
设圆的半径为 ，则有 ，
即，解得，
，则在 中，，，
所求弧长为 .故选D.
（2）[2024·青岛一模]出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉
璜”（如图①）璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕
饰“”型双龙，造型精美．玉璜的示意图如图②，其中 ，
，，若， ，则璜身
（即曲边四边形 ）面积近似为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 显然为等腰三角形，, ，则
，，即 ，
于是 ，所以璜身的面积近似为
.故选C.
探究点三 三角函数的概念
角度1 三角函数定义的应用
例3（1）（多选题）已知角 的终边经过点，且 与 的
终边关于原点对称，则下列结论正确的是( )
A. B. 为钝角
C. D.点 在第二象限
［思路点拨］对于A选项，利用三角函数的定义计算即可；
对于B，C选项，先判断角 的终边所过的点，再用三角函数的定义求解；
对于D选项，利用定义求出三角函数值，再判断点所在象限.
√
√
√
[解析] 因为角 的终边经过点，所以 ，故A正确；
因为 与 的终边关于原点对称，所以角 的终边经过点，
所以 为第二象限角，但不一定为钝角，故B错误；
，故C正确；
因为， ，
所以点在第二象限，故D正确.故选 .
（2）若角 的终边落在直线上，角 的终边与单位圆交于
点，且，则 _ ____．
［思路点拨］首先由角 的终边与单位圆的交点得出 ，
进而求出角 的终边与单位圆的交点，可得 的值，
由点在单位圆上，得的值，进而得 的值，即可求出
的值.
[解析] 由角 的终边与单位圆交于点，得 ，
又，所以，
因为角 的终边落在直线 上，所以角 只能是第三象限角．
记为角 的终边与单位圆的交点，
设，则，
又 ，所以，，即.
因为点 在单位圆上，所以，解得，
即 ，所以 .
[总结反思]
三角函数的定义主要应用于两方面:
（1）已知角 的终边上一点的坐标,则可先求出点 到原点的距离,
再用三角函数的定义求解三角函数值.特别地,若角 的终边落在某条
直线上,则一般要分类讨论.
（2）已知角 的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角 终边
上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
[解析] 在角 的终边所在的直线 上任取一点，
则（ 为坐标原点）,
由三角函数的定义知，.
当 时，；
当 时， .
变式题 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边在直线上，则 _ _____.
角度2 三角函数值的符号判定
例4（1）已知 是第二象限角，则点 所在的
象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
［思路点拨］根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负即可求解.
[解析] 因为 是第二象限角，所以， ，
所以，，
所以点 在第四象限.故选D.
√
（2）（多选题）若角 的终边经过点 ,则下列各式一
定为正的是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］由题可知 为第四象限角,由此可得角 的三角函数值
的正负，再依次判断各选项的正负即可.
[解析] 因为角 的终边经过点,所以 为第四象限角,
则,,，所以 的正负无法判
断，，，.故选 .
√
√
[总结反思]
判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三
角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不
要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
变式题（1）若 为第四象限角，则( )
A. B. C. D.
[解析] ,
,故 .
√
（2）（多选题）已知， ，则( )
A.
B. 为第一或第三象限角
C.
D.若，则
√
√
[解析] 因为，，所以 为第二象限角，
， ，故A错误；
因为，所以 ，
所以为第一或第三象限角，故B正确；
，故C正确；
若，则 ，故D错误.故选 .
【备选理由】例1考查象限角及终边相同的角；
例1 ［配例1使用］ （多选题）下列结论正确的是( )
A.终边落在轴的非负半轴的角的集合为 ， }
B.终边落在轴上的角的集合为 ， }
C.第三象限角的集合为
D.在 范围内所有与 角终边相同的角为 和
√
√
[解析] A选项显然正确；对于B，终边落在 轴上的角的集合为
，角度与弧度不能混用，故B错误；
对于C，第三象限角的集合为 ，
故C错误；
对于D，所有与 角终边相同的角可表示为 ，
，令 ，解得
，所以或，故 或 ，
故D正确.故选 .
例2 ［配例2使用］ [2025·山西大学附中月考] 我国古
代的数学著作《九章算术》中有一个“圆材埋壁”问题，
现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱
材料的截面圆的半径长为3，圆心为，墙壁截面
为矩形，且劣弧 的长等于半径 长的2倍，则圆材
埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是( )
A. B. C. D.9
√
【备选理由】 例2考查扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、三角形面积公式及其应用；
[解析] 由题意得，劣弧 ，
故扇形的面积为 ，
设圆心角为， 则 ，
故 ，
故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为 2.故选A.
例3 ［配例3使用］ （多选题）已知函数
且的图象经过定点，且点 在角 的终边上，则
的值可能是( )
A.2 B.3 C. D.
√
√
【备选理由】 例3考查三角函数定义的应用；
[解析] 由题意可知或.
当点的坐标是 时，由三角函数的定义有，，
所以 ；
当点的坐标是时，由三角函数的定义有， ，
所以.故选 .
例4 ［配例4使用］ 已知角 的终边经过点 ，且
，，则实数 的取值范围是_______．
[解析] ，， 角 的终边落在第二象限或 轴
的非负半轴上， .
【备选理由】 例4考查三角函数值的符号判定与应用.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋
转的弧度数为( )
A. B. C. D.
[解析] 将钟表校正的过程中，时针顺时针旋转了 ，故时针旋转
的弧度数为 ，故选A.
√
2.若角 与角的终边相同，则 可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得 , ，观察选项可得只有
，所以 可能是 .故选D.
√
3.[2024· 吉林长春实验中学月考]已知点是角 终边上一点，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 点到原点的距离为 ，所以由三角函数的
定义可知 ，故选C.
√
4.[2024·安徽芜湖质检]角 为第三象限角的充要条件是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，由可得 为第一象限角，所以A不符合题意；
对于B，由可得 为第三象限角，反之也成立，所以
B符合题意；
对于C，由可得 为第二象限角，所以C不符合题意；
对于D，由可得 为第四象限角，所以D不符合题意.故选B.
5.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合．
若角 终边上一点的坐标为，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得，且 在单位圆上，所以
，，故 .故选D.
√
6.已知半径为3的扇形的弦长 ，则该扇形的弧长是_ __．
[解析] 在中，，故 ，故弧
长 .
7.给出下列各三角函数值：； ；
； .其中符号为负的是________（填序号）.
①②③
[解析] 对于①，因为 ，所以 是第三
象限角，所以 ；
对于②，因为 ，所以 是第二象限角，
所以；
对于③，因为 ，所以 是第二象限角，
所以；
对于④，因为 是第一象限角，所以 .故填①②③.
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·北京朝阳区质检]在平面直角坐标系中，锐角 以 为顶
点，为始边.将 的终边绕逆时针旋转后与单位圆 交于点
，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，，得 ，所
以 .故选D.
√
9.[2024· 长郡中学一模]“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，
如图所示，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，
在上，，则的弧长的近似值 的计算公式为
.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受
人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的
曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该
圆弧所对的圆心角为 ，则伞的弧长大约为 ( )
A.5.3米 B.6.3米 C.8.3米 D.11.3米
√
[解析] 依题意知，伞面的曲线为弧,人体为圆心,点,, 共线，
因为 ,所以为等边三角形，所以 ，
，所以
.故选B.
10.（多选题）下列说法正确的有( )
A.若角 的终边过点，则角 的集合是
B.若角 是第四象限角，则点 在第三象限
C.集合 ,}中的最大负角 为
D.若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
√
√
√
[解析] 对于A，因为角 的终边过点，所以角 为第一象
限角，由三角函数的定义知，所以角 的终边与 的终边
相同，所以角 的集合是 ，故A选项正确；
对于B，因为角 是第四象限角，所以， ，所以点
在第三象限，故B选项正确；
对于C，因为 ，所以集合
,}中的最大负角 为 ，故C选项正确；
对于D，设扇形的半径为，则扇形的弧长为 ，所以扇形的周长
为，可得 ，所以D选项不正确．故选 .
11.（多选题）[2024·唐山五校联考] 已知角 为第二象限角，则下
列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意，得 ，，
故，，则 的终边所在的
范围如图中阴影部分所示（不包含边界），故
的符号不确定， ，故C错误，D正确.
当为偶数时，为第一象限角，此时；
当 为奇数时， 为第三象限角，此时.
故 ，所以A错误，B正确.故选 .
12.[2025·广东五校联考] 已知质点，从点 处分别以
，的速度同时在圆 上做逆时针
运动，若经过，，第一次相遇，则 ___．
[解析] 由已知得，经过，，第一次相遇，此时比 多走一
圈，所以，所以 .
13.已知角 的终边经过点，且 ，求
的值．
解：， 点到原点的距离 ．
又， ．，， ．
当时，点的坐标为 ，
由三角函数的定义，得，，
；
当时，同理可求得 ．
14.如图，已知圆心在坐标原点 的两个同心圆的半径
分别为1和2，点和点 分别从初始位置和
处按逆时针方向做圆周运动，且相同时间内运动的路
程（弧长）相等.
（1）当点运动的路程为时，求线段 的长度；
解：因为点运动的路程为，，所以 ，
又，所以，所以 .
在 中，由余弦定理得，
可得 .
（2）记，，求 的最大值.
解：设 ,则 ，所以
，，
则
◆ 能力拓展 ◆
15.圆的半径为1， 为圆周上一点，现将如图
放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的
顶点和点 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过
若干次滚动，点第一次回到点 的位置，则点
走过的路径的长度为_ _______.
[解析] 点走过的路径是由9段圆心角均为 的
劣弧组成的，其中6段劣弧所在圆的半径为1，3
段劣弧所在圆的半径为，
所以点 走过的路径的长度为
.
16.刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面
积计算公式的正确性进行验证，树立了中国数学史上对数学命题进
行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆
叠合而成，那么以这些同心圆的周长为底边也可以叠成一个等腰三
角形（如图①），该圆（周长为，半径为 ）的面积与等腰三角形
的面积相等，即.若某图形由圆心角为 ，弧
长为的扇形剪去一个小扇形得到，且两个扇形所在圆的半径差为
（如图②），运用这种积线成面的方法，该图形的面积 _ _______
_____（用 ,, 表示）.
[解析] 由题意知，大扇形的半径为，小扇形的半径为 ，梯形
的上底为 ，下底为，高为 ，
由题意可知该图形的面积等于梯形的面积，
即 .
【知识聚焦】1.(1)端点 (2)正角 负角 象限角 (3){β|β=α+k·360°,k∈Z}
2.(1)半径长 (2)|α|r |α|r2 3.(2)
【对点演练】1.①④ 2. 3. 4. 4π 5.1或4 6.cos θ
课堂考点探究
例1(1)BCD (2)B 变式题(1)AB (2) 135°(或225°)
例2(1)25 (2)2 变式题(1)D (2)C
例3(1)ACD (2) ± 变式题± 例4(1)D (2)BD 变式题(1)D (2)BC
教师备用习题
例1 AD 例2 A 例3AC 例4 (2,3]
基础热身
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6. 7. ①②③
综合提升
8.D 9.B 10.ABC 11.BD 12. π
13.当x=时,sin α+= ;当x=时, sin α+=.
14.(1) (2)
能力拓展
15. 16. ldαd2
