第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)sin2α+cos2α=1
(2)tan α=,α≠kπ+(k∈Z)
2.-sin α tan α
【对点演练】
1.- - [解析] ∵sin α=,且α为第二象限角,∴cos α=-=-,∴tan α==-.
2. [解析] 原式===.
3.- [解析] ∵cos(π+α)=-cos α=-,∴cos α=,∴sin=-cos α=-.
4.- [解析] 因为tan α=k,α为钝角,所以k<0,sin α>0,且=k①,又sin2α+cos2α=1②,所以由①②可得sin α=-.
5.sin α [解析] 原式=·cos α=sin α.
6. [解析] ∵tan α=,<α<π,∴α=,∴cos α=-,sin α=-,∴cos α-sin α=--=.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:根据条件设出角θ终边上一点P的坐标为(2,1),进而利用三角函数的定义求出sin θ,cos θ即可得结果;思路二:根据商数关系与平方关系求sin θ与cos θ,进而可得结果;思路三: 根据条件得到(sin θ-cos θ)2的值,缩小角θ的范围,进而得到sin θ与cos θ的大小关系,即可求解.(2)利用平方关系式,把分子、分母中的1代换为sin2α+cos2α整理化简即可.
(1)- (2)1 [解析] (1)方法一:因为θ∈,tan θ=,所以可设θ终边上一点P的坐标为(2,1),则|OP|==(O为坐标原点),所以sin θ==,cos θ==,故sin θ-cos θ=-.
方法二:因为θ∈,tan θ=,所以可得
所以sin θ-cos θ=-.
方法三:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ(2)===1.
变式题 (1)A (2)0 [解析] (1)由三角函数的定义,得tan α=,所以=,则2(1-cos2α)=3cos α,所以(2cos α-1)(cos α+2)=0,则cos α=.
(2)∵cos α=-<0且cos α≠-1,∴α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角,则sin α===,
∴tan α===-,此时13sin α+5tan α=13×+5×=0.
②若α是第三象限角,则sin α=-=-=-,∴tan α===,此时13sin α+5tan α=13×+5×=0.综上,13sin α+5tan α=0.
例2 [思路点拨] (1)利用同角三角函数关系将原式化为关于sin α,cos α的齐次式,再利用同角公式化为关于tan α的表达式求解即可.(2)①将=2利用同角公式化为关于tan α的表达式,求出tan α,进而得到tan(π-α);②将sin αcos α化为,再化为关于tan α的表达式求解.
(1)D (2)①- ②
[解析] (1)因为tan α=3,所以==
==,故选D.
(2)①由=2,得=2,解得tan α=,所以tan(π-α)=-tan α=-.
②sin αcos α===.
变式题 (1)-4 (2)-
[解析] (1)因为tan α=2,所以==
==-4.
(2)由=-1得tan α=,所以==-,sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=.
例3 [思路点拨] 根据同角三角函数关系结合角的范围判断即可.
ABD [解析] ∵α∈(0,π),sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=1+2sin α·cos α=,解得sin αcos α=-,故B正确;∵α∈(0,π),sin αcos α=-<0,∴<α<π,cos α<0,故A正确,C错误;由<α<π可知,cos α-sin α<0,且(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,可得cos α-sin α=-,故D正确.故选ABD.
变式题 (1)D (2) [解析] (1)由题意可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0,又α∈,所以α∈,即sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α>0,因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,所以sin α+cos α=,所以==.故选D.
(2)∵0<θ<π,sin θcos θ=-<0,∴sin θ>0,cos θ<0,sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ==
===.
例4 [思路点拨] (1)由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简,进而求目标式的值.(2)由已知利用诱导公式求sin,cos的值,进而求目标式的值.
(1)-1 (2)- [解析] (1)原式==
=-·=-1.
(2)sin=sin=sin=-,cos=sin=sin=-,所以原式=-.
变式题 (1)D (2)cos α [解析] (1)因为角α为第三象限角,所以sin α<0,cos α<0.对于A,sin(π+α)=-sin α>0;对于B,cos(π-α)=-cos α>0;对于C,cos=-sin α>0;对于D,sin=cos α<0.故选D.
(2)=
=
=cos α.
例5 [思路点拨] (1)运用诱导公式和tan α=化简即可;(2)sin2α-3sin αcos α=,再化为关于tan α的式子求解即可;(3)令α-=θ,则α=θ+,则有tan=tan,用诱导公式可得tan θ=-,再用同角关系式联立即可求解.
解:(1)f(α)====tan α.
(2)由(1)得tan α=2,所以sin2α-3sin αcos α==
==-.
(3)由(1)得tan=3,令α-=θ,则α=θ+,则tan=tan===-=3,所以tan θ=-,又tan θ==-,所以cos θ=-3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1,得sin θ=±.当sin θ=时,sin=;当sin θ=-时,sin=-.综上,sin的值为或-.
变式题 (1)D (2)18 [解析] (1)由诱导公式可得,sin α=sin +cos(π-α)=-2cos α,所以tan α=-2,所以2sin2α-sin αcos α====2.
(2)由sin(3π+θ)=,可得sin θ=-,∴+
=+=
+=
===18.第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.A [解析] cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=.故选A.
2.C [解析] 因为tan 3α=-12,所以tan(π-3α)=-tan 3α=12.故选C.
3.B [解析] 因为tan α=2,所以===.故选B.
4.C [解析] 由sin θ+cos θ=,可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,可得2sin θcos θ=-,则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=,因为2sin θcos θ=-<0,所以sin θ与cos θ异号,可得θ为第二或第四象限.当θ为第二象限角时,可得sin θ-cos θ=;当θ为第四象限角时,可得sin θ-cos θ=-.故选C.
5.A [解析] 因为角α的终边在函数y=2x的图象上,所以tan α=2,故1-2sin αcos α-3cos2α=
=
=
==-.故选A.
6.-3 [解析] 因为角α为第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,所以原式=+=-3.
7.- [解析] 由sin+3cos(α-π)=1,得cos α-3cos α=1,∴cos α=-.∵角α是第二象限角,∴sin α=,∴tan(π+α)=tan α==-.
8.B [解析] 由诱导公式得sin=sin=-sin=-cos α=,所以cos α=-,又因为α∈,所以sin α=,所以tan α==-.故选B.
9.A [解析] 因为2cos2α-sin2α-4cos α=3,所以3cos2α-4cos α-4=0,所以cos α=-.又因为α∈(0,π),所以sin α===.故选A.
10.AC [解析] ∵角α的终边与单位圆交于点,∴+=1,∴y0=±,∴tan α==±.当tan α=时,==;当tan α=-时,==-.故选AC.
11.AC [解析] 在△ABC中,B+C=π-A.对于A,sin A-sin(B+C)=sin A-sin(π-A)=0,故A正确;对于B,cos A-cos(B+C)=cos A-cos(π-A)=2cos A,cos A不一定为0,故B错误;对于C,cos-sin=cos-sin=0,故C正确;对于D,cos-cos=cos-cos=cos-sin,cos-sin不一定为0,故D错误.故选AC.
12.2 [解析] ∵tan(3π+α)=2,∴tan α=2,∴原式==
==2.
13.4 [解析] 方法一:由=,得=,解得tan α=2-,故tan α+=2-+=2-+2+=4.
方法二:由=,可得=3,故cos αsin α=,故tan α+=+==4.
14.解:(1)由tan α+=-,得3tan2α+10tan α+3=0,解得tan α=-3或-,因为<α<π,所以-1(2)===-.
(3)2sin2α-sin αcos α-3cos2α=
=
=
=-.
15.解:(1)f(x)=
=
,
∴f(α)==-1,整理得tan α=1,又0<α<π,∴α=.
(2)∵sin β=,<β<π,∴cos β=-=-,则sin 2β=2sin βcos β=2××=-,∴cos(2α+2β)=cos=-sin 2β=.
16.B [解析] 因为sin 310°<0,cos 310°>0,所以角α为第二象限角,又因为tan α======tan 140°,且0°<α<360°,所以α=140°.故选B.
17.BCD [解析] versin=1-cos=1-cos=1+cos=,故A错误;versin(2025π-θ)-coversin=1-cos(2025π-θ)-1+sin=cos θ-cos θ=0,故B正确;因为==tan x=2,
所以=====-,故C正确;f(x)=versin+coversin=1-cos+1-sin=2-sin-sin=2-2sin,所以当sin=-1时,f(x)取得最大值4,故D正确.故选BCD.第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【课标要求】 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x(cos x≠0).
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: .
(2)商数关系: . 2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α -α +α
与角α终 边的关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α
正切 tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
记忆规律 奇变偶不变,符号看象限
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);
cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)sin α=tan αcos α;cos α=.
(3)sin2α==;
cos2α==;
sin αcos α==.
其中α≠+kπ,k∈Z.
2.sin(kπ+α)=(-1)ksin α(k∈Z);cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知sin α=,且α为第二象限角,则cos α= ,tan α= .
2.[教材改编] 已知tan α=2,则= .
3.[教材改编] 已知cos(π+α)=-,则sin= .
题组二 常错题
◆索引:运用平方关系时不考虑角为第几象限角导致出错;运用诱导公式时没注意符号导致出错;利用同角三角函数的基本关系式求值时,不能根据角的取值范围判断出所求函数值的符号而出错.
4.若tan α=k,α为钝角,则sin α= .
5.化简·cos(2π-α)的结果为 .
6.已知tan α=, <α<π,则cos α-sin α的值为 .
同角三角函数的基本关系
角度1 同角公式灵活应用
例1 (1)[2023·全国乙卷] 若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ= .
(2)化简:= .
总结反思
(1)知一求二问题,注意判断角的范围,另外熟记以下常见勾股数,可以提高解题速度:32+42=52,62+82=102,92+122=152,52+122=132,82+152=172,72+242=252.
(2)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,注意公式的逆用及变形应用.
变式题 (1)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)已知cos α=-,则13sin α+5tan α= .
角度2 切弦互化
例2 (1)已知tan α=3,则= ( )
A.- B. C.- D.
(2)已知=2,则①tan(π-α)= ;②sin αcos α= .
总结反思
若已知正切值,求一个关于正弦和余弦的齐次式的值,则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型,形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.
变式题 (1)已知tan α=2,则= .
(2)已知=-1,则= ,sin2α+sin αcos α+2= .
角度3 和积转换
例3 (多选题)已知α∈(0,π),且sin α+cos α=,则下列结论正确的是 ( )
A.<α<π
B.sin αcos α=-
C.cos α=
D.cos α-sin α=-
总结反思
对于已知sin α±cos α的求值问题,一般应用三角恒等式,利用整体代入的方法来解,涉及的三角恒等式有(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α等.
变式题 (1)已知sin α-cos α=,α∈,则= ( )
A.- B.
C.- D.
(2)若0<θ<π,sin θcos θ=-,则sin θ-cos θ= .
诱导公式
例4 (1)计算:= .
(2)已知sin=-,则sin+cos= .
总结反思
1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数锐角的三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了;
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
3.常见的互余的角:-α与+α,+α与-α,+α与-α等.常见的互补的角:+α与-α,+α与-α,+α与-α等.
变式题 (1)若角α为第三象限角,则下列三角函数值中小于零的是 ( )
A.sin(π+α) B.cos(π-α)
C.cos D.sin
(2)化简:= .
基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=2,求sin2α-3sin αcos α的值;
(3)若f=3,求sin的值.
总结反思
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
变式题 (1)已知sin+cos (π-α)=sin α,则2sin2α-sin αcos α等于 ( )
A. B.
C. D.2
(2)若sin(3π+θ)=,则+= . 第23讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
(时间:45分钟)
1.cos 300°= ( )
A. B.-
C. D.-
2.若tan 3α=-12,则tan(π-3α)= ( )
A.-12 B. -
C. 12 D.
3.[2024·河南二十名校模拟] 已知tan α=2,则= ( )
A. B.
C. D.2
4.[2024·湖北荆州中学三模] 已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为 ( )
A. B.
C.± D.±
5.[2025·广东揭阳质检] 已知角α的终边在函数y=2x的图象上,则1-2sin αcos α-3cos2α的值为 ( )
A.- B.±
C.-2 D.±2
6.若角α为第三象限角,则+= .
7.已知角α是第二象限角,且满足sin+3cos(α-π)=1,则tan(π+α)= .
8.[2024·泰安质检] 已知sin=且<α<π,则tan α= ( )
A.- B.- C. D.3
9.已知α∈(0,π),且2cos2α-sin2α-4cos α=3,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
10.(多选题)已知角α的终边与单位圆交于点,则的值可能为 ( )
A. B.-
C.- D.
11.(多选题)[2024·四川德阳模拟] 在△ABC中,下列等式恒成立的是 ( )
A.sin A-sin(B+C)=0
B.cos A-cos(B+C)=0
C.cos-sin=0
D.cos-cos=0
12.已知tan(3π+α)=2,则
= .
13.[2024·湖北武汉模拟] 已知=,则tan α+= .
14.已知<α<π, tan α+=-.
(1)求tan α的值;
(2)求的值;
(3)求2sin2α-sin αcos α-3cos2α的值.
15.已知f(x)=,且f(α)=-1(0<α<π).
(1)求α;
(2)若sin β=,<β<π,求cos(2α+2β)的值.
16.已知角α(0°<α<360°)终边上一点A的坐标为(sin 310°,cos 310°),则α= ( )
A.130° B.140°
C.220° D.230°
17.(多选题)在数学史上,为了三角计算的简便及计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义1-cos θ为角θ的正矢,记作versin θ,定义1-sin θ为角θ的余矢,记作coversin θ.下列说法正确的是 ( )
A.versin=
B.versin(2025π-θ)-coversin=0
C.若=2,则=-
D.函数f(x)=versin+coversin的最大值为4(共79张PPT)
第23讲 同角三角函数的基本关系式
与诱导公式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.理解同角三角函数的基本关系式:,
.
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式
◆ 知识聚焦 ◆
1.同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:_________________.
（2）商数关系:_ ____________________________.
,
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角
与角 终边的关 系 相同 关于原 点对称 关于 轴对称 关于 轴对称 关于直线 对称
正弦
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
余弦 ________
正切 ______
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符 号看象限
记忆规律 奇变偶不变，符号看象限
续表
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1）;
;
.
（2）；
.
（3） ;
；
.
其中 ， .
2. ;
.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知，且 为第二象限角，则 ____，
____．
[解析] ，且 为第二象限角，
， .
2.［教材改编］ 已知，则 __.
[解析] 原式 .
3.［教材改编］ 已知，则 ____.
[解析] ， ，
.
题组二 常错题
◆ 索引：运用平方关系时不考虑角为第几象限角导致出错；运用诱
导公式时没注意符号导致出错；利用同角三角函数的基本关系式求
值时,不能根据角的取值范围判断出所求函数值的符号而出错.
4.若， 为钝角，则 _ _______.
[解析] 因为， 为钝角，所以, ，且
①,
又,所以由①②可得 .
5.化简 的结果为______．
[解析] 原式 .
6.已知， ，则 的值为_ ____．
[解析] ， ，，
，，
.
探究点一 同角三角函数的基本关系
角度1 同角公式灵活应用
例1（1）[2023·全国乙卷] 若,,则_ ____.
[解析] 方法一：因为，，所以可设 终边上一点
的坐标为，则（ 为坐标原点），
所以，，故 ．
［思路点拨］思路一：根据条件设出角 终边上一点 的坐标为，进而利用三角函数的定义求出 ， 即可得结果;
[解析] 方法二：因为，，
所以 可得 所以 ．
［思路点拨］ 思路二：根据商数关系与平方关系求 与 ，进而可得结果；
方法三：
,
因为,,所以,所以 ,所以
.
［思路点拨］ 思路三： 根据条件得到的值，缩小角
的范围，进而得到 与 的大小关系，即可求解.
（2）化简： ___.
1
[解析] .
［思路点拨］利用平方关系式,把分子、分母中的1代换为
整理化简即可.
[总结反思]
（1）知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，
可以提高解题速度：，，
，，，.
（2）利用可以实现角 的正弦、余弦的互化，注
意公式的逆用及变形应用.
变式题（1）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重
合，终边上一点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数的定义，得，所以 ，
则 ，所以 ，
则 .
√
（2）已知，则 ___．
0
[解析] 且， 是第二或第三象限角．
①若 是第二象限角，则 ，
，
此时 .
②若 是第三象限角，
则 ，
，
此时 .
综上， .
角度2 切弦互化
例2（1）已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以
,故选D.
√
［思路点拨］利用同角三角函数关系将原式化为关于 ，
的齐次式，再利用同角公式化为关于 的表达式求解即可.
（2）已知，则____；
___．
[解析] ①由，得，解得 ，所以
.
② .
［思路点拨］①将利用同角公式化为关于 的表
达式，求出 ，进而得到；
②将 化为，再化为关于 的表达式求解.
[总结反思]
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过
分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的
分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关
系中的一类基本题型，形如，
等类型可进行弦化切.
变式题（1）已知，则 ____．
[解析] 因为，所以
.
（2）已知，则 _____，
___.
[解析] 由得，所以 ，
.
角度3 和积转换
例3 （多选题）已知，且 ，则下列结论正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
［思路点拨］ 根据同角三角函数关系结合角的范围判断即可.
[解析] ， ，
，解得 ，故B正确；
，， ，
，故A正确，C错误；
由 可知， ，
且 ，
可得，故D正确．故选 .
[总结反思]
对于已知 的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整
体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有
，
，
等.
变式题（1）已知,，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 ，整理得
，又，所以，
即 , ，所以 ，
因为，所以 ，
所以 .故选D.
√
（2）若 ,，则 ___．
[解析] ,,, ,
，
.
探究点二 诱导公式
例4（1）计算： ____.
[解析] 原式
.
［思路点拨］由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简，进而求
目标式的值.
（2）已知，则 ____.
[解析] ，
，所以原式 .
［思路点拨］由已知利用诱导公式求， 的值，
进而求目标式的值.
[总结反思]
1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数
的角的三角函数锐角
的三角函数.
2.诱导公式的两个应用
（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
（2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
3.常见的互余的角： 与 , 与 , 与 等.
常见的互补的角: 与 , 与 , 与 等.
变式题（1）若角 为第三象限角，则下列三角函数值中小于零的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为角 为第三象限角，所以， .
对于A，；
对于B， ；
对于C，；
对于D， .故选D.
√
（2）化简： ______.
[解析]
.
探究点三 基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 已知 .
（1）化简 ；
解： .
［思路点拨］运用诱导公式和 化简即可；
（2）若，求 的值；
解：由（1）得 ，
所以 .
［思路点拨］ ，再化为关于
的式子求解即可；
（3）若，求 的值.
［思路点拨］令 ，则 ，则有
，用诱导公式可得 ，再用同角关系式联立即可
求解.
解：由（1）得，令 ，则 ，则
，所以，
又，所以 ，
代入，得.
当 时，；当时， .
综上，的值为或 .
[总结反思]
（1）利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键
是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
（2）注意角的范围对三角函数值符号的影响.
变式题（1）已知 ，则
等于( )
A. B. C. D.2
[解析] 由诱导公式可得，
，所以 ，
所以 .
√
（2）若 ，则
____．
18
[解析] 由，可得，
.
【备选理由】例1考查平方关系、商数关系的灵活运用,考查了利用切
弦互化求值;
例1 ［配例2使用］ [2021·新高考全国Ⅰ卷] 若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由已知得 ，则
.故选C.
方法二： .故选C.
例2 ［配例1、例3使用］ 若，则
___.
[解析] 由，两边平方得 ，
，
.
【备选理由】 例2考查和积互化、利用平方关系式化简求值,考查了化归转化及运算求解能力;
例3 ［配例4、例5使用］ 已知 是第四象限角，且角 的终边在
直线 上.
（1）求 ， 和 的值；
解：因为点在直线 上，且位于第四象限，
所以点在角 的终边上，所以 ，
， .
【备选理由】 例3考查三角函数的定义、诱导公式与同角三角函数的基本关系式的综合应用；
（2）求 的值.
解：原式
.
例4 ［配例2、例5使用］ 在， 两
个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答.
已知角 ，且________.
【备选理由】 例4考查同角公式、切弦互化、诱导公式的综合应用.
（1）求 的值；
解：若选①，因为，所以 ，
则，解得或，
因为角 ，所以 .
若选②，因为， ，
所以，所以 .
（2）求 的值.
解：由（1）可知， ，所以
. 。。。.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
2.若，则 ( )
A. B. C.12 D.
[解析] 因为，所以 .故选C.
√
3.[2024·河南二十名校模拟]已知，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 因为，所以 ．故
选B.
√
4.[2024·湖北荆州中学三模]已知，则
的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 ，可得
，可得 ，
则 ，
因为，所以 与 异号，可得 为第
二或第四象限.
当 为第二象限角时，可得；
当为第四象限角时，可得 .故选C.
5.[2025·广东揭阳质检]已知角 的终边在函数 的图象上，则
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为角 的终边在函数的图象上，所以 ，
故
.故选A.
√
6.若角 为第三象限角，则 ____.
[解析] 因为角 为第三象限角，所以， ，所以原
式 .
7.已知角 是第二象限角，且满足 ，
则 _____.
[解析] 由，得 ，
.
角 是第二象限角， ，
.
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·泰安质检]已知且 ，则
( )
A. B. C. D.3
[解析] 由诱导公式得
，所以，
又因为，所以 ，所以 .故选B.
√
9.已知，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以，所以.
又因为 ，所以 .故选A.
√
10.（多选题）已知角 的终边与单位圆交于点，则
的值可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 角 的终边与单位圆交于点, ,
,.
当 时，;
当 时，.故选 .
√
√
11.（多选题）[2024·四川德阳模拟] 在 中，下列等式恒成立的
是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 在中， .
对于A， ，故A正确；
对于B，，
不一定为0，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，
不一定为0，故D错误.故选 .
12.已知，则
___.
2
[解析] ，，
原式 .
13.[2024·湖北武汉模拟] 已知，则 ___.
4
[解析] 方法一：由，得 ，
解得 ，
故 .
方法二：由，可得，故 ，
故 .
14.已知 ， .
（1）求 的值；
解：由，得 ，解得
或，
因为 ，所以 ，所以 .
（3）求 的值.
解：
.
（2）求 的值；
解： .
15.已知，且 .
（1）求 ；
解： ，
，整理得，
又 ， .
（2）若， ，求 的值.
解：， ， ，
则 ，
.
◆ 能力拓展 ◆
16.已知角终边上一点 的坐标为
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以角 为第二象限角，
又因为 ，且 ，所以 .故选B.
√
17.（多选题）在数学史上,为了三角计算的简便及计算的精确性,曾经
出现过下列两种三角函数：定义 为角 的正矢,记作
,定义 为角 的余矢,记作 .下列说法正
确的是( )
A.
B.
C.若,则
D.函数 的最大值为4
√
√
√
[解析] ,
故A错误;
,故B正确;
因为,所以 ,故C正确;
,
所以当 时, 取得最大值4,故D正确.故选 .
【知识聚焦】1.(1)sin2α+cos2α=1 (2)tan α=,α≠kπ+(k∈Z) 2. sin α tan α
【对点演练】1. 2. 3. 4. 5.sin α 6.
课堂考点探究
例1(1) (2)1 变式题(1)A (2) 0
例2(1)D (2) ① ② 变式题(1) 4 (2)
例3ABD 变式题(1)D (2) 例4(1) 1 (2) 变式题(1)D (2) cos α
例5(1) f(α)=tan α (2) (3) 或 变式题(1)D (2)18
教师备用习题
例1 C 例2 例3 (1) sin α= ,cos α=,tan α= 2. (2)
例4 (1) 2 (2)
基础热身
1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6. 7.
综合提升
8.B 9.A 10.AC 11.AC 12. 2 13.4
14.(1) (2) (3) 15.(1) (2)
能力拓展
16. B 17.BCD
