第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β (2)cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β
(3)
2.sin(α+φ)
3.(1)2sin αcos α (2)cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α (3)
【对点演练】
1. [解析] 方法一:cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°=cos 42°cos 18°-cos (90°-42°)sin 18°=cos 42°cos 18°-sin 42°sin 18°=cos (42°+18°)=cos 60°=.
方法二:原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18°=sin(48°-18°)=sin 30°=.
2. [解析] sin(α-π)=-sin α=,故sin α=-,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
3.-3 - [解析] tan===-3,tan 2θ===-.
4.- [解析] cos=cos=-cos=-cos=-=-=-.
5. [解析] ==
tan(45°-15°)=tan 30°=.
6. [解析] tan(α+β)===-1,因为α,β均为锐角,所以0<α+β<π,所以α+β=.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)结合tan αtan β的值可得cos αcos β,sin αsin β的关系,根据两角和与差的余弦公式可求cos(α-β)的值.(2)由已知式展开化简得2sin θ=-cos θ,化弦为切得tan θ=-,利用倍角公式与同角三角函数关系式将所求式整理成齐次式,化弦为切,代入计算即得.(3)思路一:运用两角和的正切公式计算出tan α=-2,再结合cos2α+sin2α=1求得sin α;思路二:运用两角和的正切公式计算出tan α=-2,再用同角公式求出cos α,进而求得sin α.
(1)A (2)B (3)A
[解析] (1)∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
(2)由3sin=cos展开可得,sin θ+cos θ=cos θ-sin θ,整理得2sin θ=-cos θ,即tan θ=-,则cos 2θ====.故选B.
(3)方法一:由tan==-,解得tan α=-2.因为α是第二象限角,所以由可得sin α=.故选A.
方法二:由tan==-,解得tan α=-2.因为α是第二象限角,所以cos α=-=-,sin α=cos αtan α=×(-2)=,故选A.
变式题 (1)D (2)B (3)
[解析] (1)由倍角公式可知cos α=1-2sin2,则sin2===.因为α为锐角,所以∈,则0(2)因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-,所以tan α==-.因为tan(π-β)=,所以tan β=-,则tan(α-β)==-.故选B.
(3)tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则有tan α+tan β=3,tan αtan β=-3,因此tan(α+β)==,所以tan(2α+2β)===.
例2 [思路点拨] (1)思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公式对已知等式进行化简可求出α-β,进而可求;思路二:根据等式恒成立,取角α,β为特殊角分别判断各选项.(2)先利用诱导公式变形,再逆用两角差的正切公式化简即可.(3)先由两角和的正弦公式和已知条件解得sin β+cos β=,进而得sin 2β=-,再利用两角差的正弦公式化简所求式子即可求解.
(1)C (2)B (3) [解析] (1)方法一:由sin(α+β)+cos(α+β)=sin=2cossin β,可知sin=2cossin β,即sincos β+cossin β=2cossin β,即sincos β-cossin β=0,即sin=0,所以α-β+=kπ,k∈Z,所以α-β=-+kπ,k∈Z,所以tan(α-β)=tan=-1,k∈Z,故选C.
方法二:取β=0,则sin α+cos α=0,取α=π,则tan(α+β)=tan(α-β)=tanπ=-1,排除B,D;取α=0,则sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,则tan(α+β)=tan=1,排除A.故选C.
(2)tan 8°+tan 127°+tan 8°tan 233°=tan 8°+tan(180°-53°)+tan 8°tan(180°+53°)=tan 8°-tan 53°+tan 8°tan 53°=tan(8°-53°)(1+tan 8°tan 53°)+tan 8°tan 53°=-1.故选B.
(3)因为sin=-,所以由两角和的正弦公式得sin β+cos β=,两边平方得1+2sin βcos β=1+sin 2β=,即sin 2β=-,故sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α=sin(α-2β)cos α-cos(α-2β)sin α=sin(α-2β-α)=-sin 2β=.
变式题 (1)C (2) [解析] (1)由-=4可得λ=cos 10°==
==
=,故选C.
(2)因为0<β<α<,所以0<α-β<,因为sin(α-β)=,所以cos(α-β)==,因为2=tan α-tan β=-=
=,所以cos αcos β=.因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+sin αsin β=,所以sin αsin β=.
例3 [思路点拨] (1)由tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]利用两角和的正切公式计算可得.(2)思路一:利用α=-,α+=+及两角和与差的正弦公式化简即可求得sin=,再利用二倍角公式即可求解;思路二:利用两角和的正弦公式将sin α+sin=展开,可得sin α+cos α=,再利用辅助角公式求得sin=,最后利用二倍角公式即可求解.
(1)D (2) [解析] (1)因为tan α=3,tan(α+β)=-5,所以tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]===-.故选D.
(2)方法一:由sin α+sin=,得sin+sin=,得sincos-cossin+sincos+cossin=,得sin=,所以sin=,所以cos=1-2sin2=.
方法二:将sin α+sin=,展开得sin α+sin αcos+cos αsin =,整理得sin α+cos α=,即sin=,所以cos=1-2sin2=.
变式题 (1)B (2) [解析] (1)因为sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,2sin β=cos(α+β)sin α,所以2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=cos(α+β)sin α,即2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,则2tan(α+β)=3tan α,因为tan α=2,所以tan(α+β)=tan α=3,又tan(α+β)===3,故2+tan β=3-6tan β,解得tan β=.故选B.
(2)由题意可得α+∈,β-∈,所以cos=-,sin=-,所以sin(α-β)=-sin=-×+×=.第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.D [解析] 1-2sin2750°=cos 1500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=,故选D.
2.A [解析] 原式=cos 40°sin 160°-sin 40°cos 160°=sin(160°-40°)=sin 120°=sin 60°=,故选A.
3.D [解析] ∵5π<θ<6π,∴∈,∈,故sin<0,又cos=a,∴sin=-=-.故选D.
4.A [解析] 因为α∈,所以α+∈,所以sin==,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选A.
5.D [解析] 因为sin β+cos β=,β∈(0,π),所以sin2β+cos2β+2sin βcos β=,故2sin βcos β=-<0,又β∈(0,π),所以β∈,所以sin β>0,cos β<0.又(sin β-cos β)2=1-2sin βcos β=,所以sin β-cos β=,所以sin β=,cos β=-,故tan β=-,故tan==-,故选D.
6.- [解析] 由sin α-cos α=,得sin=,所以cos=sin=sin=-.
7.- [解析] 由tan=-tan θ,且θ∈,得=-tan θ,整理得2tan2θ-5tan θ-3=0,解得tan θ=3(负值舍去),所以tan 2θ===-.
8.C [解析] 由2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,两边平方后相加得4sin2α+4cos2α+cos2β+sin2β-4sin αsin β-4cos αcos β=4,即5-4sin αsin β-4cos αcos β=4,
得sin αsin β+cos αcos β=,即cos(α-β)=,故选C.
9.A [解析] 因为tan(α+β)=7,所以tan(α+β)tan(α-β)=7tan(α-β),又tan(α+β)tan(α-β)=·==21,所以21=7tan(α-β),即tan(α-β)=3,故tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-.故选A.
10.BC [解析] 对于A,sin 20°cos 10°+cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°-cos 20°sin 10°
=sin 10°≠,故A错误;对于B,(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°
+tan 18°tan 27°=1+tan(18°+27°)(1-tan 18°tan 27°)+tan 18°tan 27°=2,故B正确;对于C,===cos 60°=,故C正确;对于D,
sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°=cos 20°cos 40°cos 80°=···=,故D错误.故选BC.
11.ABC [解析] 对于A,因为∠AOx=α,∠BOx=β,0<α<β<,所以∠AOB=β-α,故A正确;对于B,由M为线段AB的中点,得OM⊥AB,则∠AOM=,又|OA|=1,所以|OM|=
|OA|cos∠AOM=cos,故B正确;对于C,易得C为的中点,所以∠COx=α+=,又|OC|=1,所以点C的坐标为,故C正确;对于D,xM=(xA+xB)=(cos α+
cos β)===×2coscos=coscos=coscos,yM=(yA+yB)=(sin α
+sin β)===×2sincos=sincos=sincos,所以点M的坐标为,故D错误.故选ABC.
12.9+4 [解析] 将sin θ-cos θ=两边平方,得1-2sin θcos θ=,即sin 2θ=-,因为θ∈,所以2θ∈,所以cos 2θ=,故==9+4.
13.- [解析] 由=2可得tan α=2tan β,所以=,则sin αcos β=2sin βcos α,因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=cos αsin β=-,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
2cos αsin β+cos αsin β=3cos αsin β=-.
14.解:(1)因为α,β∈,所以-<α-β<,又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0,
则sin(α-β)<0,由sin2(α-β)+cos2(α-β)=1及=-,可得sin(α-β)=-.
(2)由(1)可得,cos(α-β)>0,
所以cos(α-β)===.因为α为锐角,sin α=,
所以cos α===,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+
sin αsin(α-β)=×+×=.
15.解:(1)证明:连接PA,P1P2,易知|PA|=|P1P2|,∴[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=(cos α-
cos β)2+(sin α+sin β)2,即2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β,∴cos(α+β)=
cos αcos β-sin αsin β.
(2)由(1)知,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
∴cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],
故cos 37.5°cos 37.5°=[cos(37.5°+37.5°)+cos(37.5°-37.5°)]=(cos 75°+1)
=(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°)+=+.
16.C [解析] tan=3tan,设m=tan,则tan=3m,显然tan>0,tan>0,即m>0,所以+=+=+=+=+=10m+≥2×=4,当且仅当10m=,即m=tan=时等号成立,故+的最小值为4.故选C.第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
【课标要求】 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= ;
sin(α-β)= .
(2)两角和与差的余弦公式
cos(α+β)= ;
cos(α-β)= .
(3)两角和与差的正切公式
tan(α-β)= ;
tan(α+β)= .
2.辅助角公式
asin α+bcos α= ,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式)
3.二倍角公式
(1)sin 2α= ;
(2)cos 2α= ,cos 2α= ,cos 2α= ;
(3)tan 2α= .
4.半角公式
(1)公式:sin =±;
(2)公式:cos =±;
(3)公式:tan =±(符号由角的范围确定).
5.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan .
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
常用结论
(1)两角和与差的公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);
tan αtan β=1-=-1.
(2)降幂公式:cos2α=;sin2α=.
(3)升幂公式:1-cos α=2sin2;1+cos α=2cos2;
1±sin α=.
(4)万能公式:sin α=,cos α= ,tan α= .
题组一 常识题
1.[教材改编] cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°= .
2.[教材改编] 已知sin(α-π)=,则cos 2α= .
3.[教材改编] 若tan θ=2,则tan= ,tan 2θ= .
题组二 常错题
◆索引:已知角与待求角之间的关系不清致误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误;已知三角函数值求角时范围不清致误.
4.已知sin=,则cos= .
5.计算:= .
6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β= .
公式的基本应用
例1 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( )
A.-3m B.-
C. D.3m
(2)已知3sin=cos,则cos 2θ= ( )
A.- B.
C. D.
(3)[2025·内蒙古呼和浩特质检] 若tan=-,α是第二象限角,则sin α= ( )
A. B.-
C. D.-
总结反思
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的.
变式题 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知α为锐角,cos α=,则sin= ( )
A. B.
C. D.
(2)已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
(3)[2025·广西南宁三中月考] 已知tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两个实数根,则tan(2α+2β)= .
公式的逆用及变形
例2 (1)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 ( )
A.tan(α+β)=-1
B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1
D.tan(α-β)=1
(2)[2024·河南二十名校调研] tan 8°+tan 127°+tan 8°tan 233°= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
(3)[2024·浙江温州模拟] 已知sin=-,则sin(α-2β)cos α-cos(2β-α)sin α= .
总结反思
两角和与差的三角函数公式活用技巧:①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
变式题 (1)[2025·杭州一模] 已知-=4,则λ= ( )
A.1 B.
C. D.2
(2)已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan α-tan β=2,则sin αsin β= .
角的变换问题
例3 (1)已知tan α=3,tan(α+β)=-5,则tan(2α+β)= ( )
A.8 B.-8
C. D.-
(2)[2024·辽宁丹东二模] 已知sin α+sin=,则cos= .
总结反思
三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=-=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-等.
变式题 (1)[2024·江苏镇江三模] 已知角α,β满足tan α=2,2sin β=cos(α+β)sin α,则tan β= ( )
A. B. C. D.2
(2)已知α,β∈,若sin=,cos=,则sin(α-β)的值为 . 第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
(时间:45分钟)
1.1-2sin2750°= ( )
A.- B.-
C. D.
2.sin 50°sin 160°-sin 40°cos 160°= ( )
A. B.
C.- D.-
3.[2024·浙江湖州质检] 设5π<θ<6π,cos=a,则sin等于 ( )
A. B.
C.- D.-
4.已知α∈,cos=-,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·安徽池州二模] 已知sin β+cos β=,β∈(0,π),则tan= ( )
A.7 B. -7
C. D. -
6.[2025·浙南名校联盟联考] 已知sin α-·cos α=,则cos= .
7.[2024·安徽合肥模拟] 已知θ∈,tan=-tan θ,则tan 2θ= .
8.已知2sin α-sin β=,2cos α-cos β=1,则cos(α-β)= ( )
A.- B. -
C. D.
9.若tan(α+β)=7,=21,则tan 2α= ( )
A.- B.-2
C. D.
10.(多选题)[2024·江苏高邮调研] 下列化简正确的是 ( )
A.sin 20°cos 10°+cos 160°sin 10°=
B.(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2
C.=
D.sin 10°cos 20°sin 30°cos 40°=
11.(多选题)[2024·江西鹰潭一模] 如图所示,已知角α,β的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则 ( )
A.∠AOB=β-α
B.|OM|=cos
C.点C的坐标为
D.点M的坐标为
12.[2024·江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校三模] 已知θ∈,sin θ-cos θ=,则= .
13.[2025·广西南宁模拟] 已知=2,sin(α-β)=-,则sin(α+β)= .
14.[2025·江苏常州调研] 已知α,β都是锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cos β的值.
15.如图,已知点A(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)).
(1)证明:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(2)利用(1)中的结果证明cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)],并计算cos 37.5°cos 37.5°的值.
16.在△ABC中,tan=3tan,则+的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.4 D.16(共74张PPT)
第24讲 和、差、倍角的正弦、余弦
和正切公式
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【课标要求】 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余
弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,
二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（1）两角和与差的正弦公式
______________________；
_____________________.
（2）两角和与差的余弦公式
______________________；
_____________________.
（3）两角和与差的正切公式
_ __________；
_ __________.
2.辅助角公式
___________,其中 ,
.（辅助角公式）
3.二倍角公式
（1） ___________；
（2）______________，____________，
___________；
（3） _ _______.
4.半角公式
（1）公式;
（2）公式;
（3）公式（符号由角的范围确定）.
5.三角恒等变换的基本技巧
（1）变换函数名称:使用诱导公式.
（2）升幂、降幂:使用倍角公式.
（3）常数代换:如.
（4）变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
常用结论
（1）两角和与差的公式的常用变形
;
.
（2）降幂公式：; .
（3）升幂公式：； ；
.
（4）万能公式：,, .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _ _．
[解析] 方法一： .
方法二：原式 .
2.［教材改编］ 已知，则 ___.
[解析] ，故 ，
所以 .
3.［教材改编］ 若，则_____， ____.
[解析] ，
.
题组二 常错题
◆ 索引：已知角与待求角之间的关系不清致误；混淆两角和与差的
正切公式中分子、分母上的符号致误；已知三角函数值求角时范围
不清致误.
4.已知，则 ____.
[解析] .
5.计算: _ __.
[解析] .
6.已知 , 均为锐角,且,,则 ___.
[解析] ,
因为 , 均为锐角,所以 ,所以 .
探究点一 公式的基本应用
例1（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知, ,则
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］结合 的值可得 , 的关
系，根据两角和与差的余弦公式可求 的值.
[解析] , ,
又,
,,
故选A.
√
（2）已知，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由已知式展开化简得 ，化弦为切得
，利用倍角公式与同角三角函数关系式将所求式整理成
齐次式，化弦为切，代入计算即得.
√
[解析] 由 展开可得，
，
整理得 ，即，
则 .故选B.
（3）[2025·内蒙古呼和浩特质检]若, 是第二象限
角，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］思路一：运用两角和的正切公式计算出 ，
再结合求得 ；
√
[解析] 方法一：由，解得 .
因为 是第二象限角,所以由可得 .故选A.
[解析] 方法二：由，解得.
因为 是第二象限角,所以 ,
,故选A.
［思路点拨］ 思路二：运用两角和的正切公式计算出，再用同角公式求出 ，进而求得 .
[总结反思]
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 , 的
三角函数表示 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式
时,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之
间的关系,达到统一角和角与角之间互相转换的目的.
[解析] 由倍角公式可知 ，
则.
因为 为锐角，所以 ，则，
所以 ，故选D.
变式题（1）[2023·新课标Ⅱ卷]已知 为锐角， ，则
( )
A. B. C. D.
√
（2）已知，，，则 的
值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，，所以 ，
所以.
因为，所以 ，
则 .故选B.
（3）[2025·广西南宁三中月考] 已知 , 是方程
的两个实数根，则 ___．
, 是方程 的两个实数根，
则有, ，
因此 ，
所以 ．
探究点二 公式的逆用及变形
例2（1）[2022·新高考全国Ⅱ卷]若
,则( )
A. B.
C. D.
√
［思路点拨］思路一:由已知结合辅助角公式及两角和与差的正弦公
式对已知等式进行化简可求出 ,进而可求;
[解析] 方法一：由, 可知 ，
即 ，
即，即 ，
所以 ,,所以 , ,
所以, ，故选C.
方法二：取，则,
取 ,则，排除B，D；
取 ，则 ,即 ，
取 ,则 ，排除A.故选C.
［思路点拨］ 思路二:根据等式恒成立,取角 , 为特殊角分别判断各选项.
（2）[2024·河南二十名校调研]
( )
A. B. C.1 D.2
［思路点拨］先利用诱导公式变形，再逆用两角差的正切公式化简
即可.
[解析] .故选B.
√
（3）[2024·浙江温州模拟] 已知 ，则
_ __.
［思路点拨］先由两角和的正弦公式和已知条件解得
，进而得 ，再利用两角差的正弦公式化简所求式子即
可求解.
[解析] 因为 ，所以由两角和的正弦公式得
，
两边平方得 ，即 ，
故 .
[总结反思]
两角和与差的三角函数公式活用技巧：①逆用公式应准确找出所给
式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ，
（或），（或）三
者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
[解析] 由 可得
，故选C.
变式题（1）[2025·杭州一模]已知，则 ( )
A.1 B. C. D.2
√
（2）已知，， ，则
_ _．
[解析] 因为，所以 ，
因为，所以 ，
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ．
探究点三 角的变换问题
例3（1）已知，，则 ( )
A.8 B. C. D.
［思路点拨］由 利用两角和的正切公
式计算可得.
[解析] 因为， ，所以
.故选D.
√
（2）[2024·辽宁丹东二模] 已知 ，则
__.
［思路点拨］思路一：利用, 及
两角和与差的正弦公式化简即可求得 ，再利用二倍角
公式即可求解；
[解析] 方法一：由 ，
得,
得 ，得，
所以 ,
所以 .
方法二：将 ，展开得，
整理得 ，即，
所以 .
［思路点拨］ 思路二：利用两角和的正弦公式将展开，可得 ，再利用辅助角公式求得 ，最后利用二倍角公式即可求解.
[总结反思]
三角函数求值中变角的解题思路:当“已知角”有两个时,“所求角”一般
表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角”有一个时,此时应着
眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再利用诱导公式把“所求角”
变成“已知角”. 常用的拆角、配角技巧：；
；
；；
；等.
变式题（1）[2024·江苏镇江三模]已知角 ， 满足 ，
，则 ( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 因为
， ，
所以 ，
即 ，则 ，
因为，所以 ，
又，故 ，
解得 .故选B.
（2）已知 ，，若， ，
则 的值为_ __.
[解析] 由题意可得， ，
所以，，
所以 .
【备选理由】例1考查两角和、差的余弦、正切公式，考查运算求解
能力；
例1 ［配例1使用］ 已知, ，
则 ( )
A.1 B. C.3 D.
√
[解析] 因为, ，
所以 ，
所以 ，
即，
所以 ，
所以 .故选D.
例2 ［配例2使用］ 若，则 ( )
A. B.0 C. D.1
√
【备选理由】 例2考查同角三角函数关系、二倍角公式、逆用两角和差的正弦公式进行运算等基础知识;
[解析] 因为 ，所以 ，即，
则 ，所以 ,
则 ,
即 .故选B.
例3 ［配例3使用］ [2025·大同一中月考] 已知
，则 的值为____.
[解析] 由 ，得，则 ，
即得 ，
即 ，则 .
【备选理由】 例3考查两角和、差的余弦公式结合同角三角函数关系式以及角的变换等基础知识，考查运算求解能力.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1. ( )
A. B. C. D.
[解析]
,故选D.
√
2. ( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 ,故选A.
√
3.[2024·浙江湖州质检]设 ，，则 等于
( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，故 ，
又， .故选D.
√
4.已知,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，
所以 .故选A.
√
5.[2024·安徽池州二模]已知, ，则
( )
A.7 B. C. D.
√
[解析] 因为, ，
所以，故 ，
又，所以，所以, .
又，所以 ，
所以,，故 ，
故 ，故选D.
6.[2025· 浙南名校联盟联考] 已知 ,则
____．
[解析] 由，得 ，
所以 ．
7.[2024·安徽合肥模拟] 已知, ，则
____.
[解析] 由，且 ，
得 ，
整理得 ，解得（负值舍去），
所以 ．
◆ 综合提升 ◆
8.已知,，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由， ，两边平方后相
加得 ，
即,
得 ，即 ,故选C.
√
9.若,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 ，
又 ，
所以，即 ，
故． 故选A.
√
10.（多选题）[2024·江苏高邮调研] 下列化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，
，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2024·江西鹰潭一模] 如图所示，已知角 ,
的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分
别为,，为线段的中点，射线与单位圆交于点 ，则
( )
A.
B.
C.点的坐标为
D.点的坐标为
√
√
√
[解析] 对于A，因为 , ，
，所以 ，故A正确；
对于B，由为线段的中点，得 ，则
，又 ，所以
，故B正确；
对于C，易得为 的中点，所以，
又，所以点 的 坐标为 ，故C正确；
对于D， ，
，
所以点 的坐标为 ，
故D错误.故选 .
12.[2024·江苏金陵中学、海安中学、南京外国语学校三模] 已知
,，则 _________．
[解析] 将两边平方，得 ，
即,
因为,所以,所以 ，
故 .
13.[2025·广西南宁模拟] 已知， ，则
____.
[解析] 由可得 ，所以 ，
则 ，
因为，所以 .
14.[2025·江苏常州调研] 已知 , 都是锐角，且 ，
.
（1）求 的值；
解：因为 ,，所以 ，
又因为，所以 ,则,
由及 ，
可得 .
（2）求 的值.
解：由（1）可得， ,
所以.
因为 为锐角，，所以 ,
所以
.
15.如图,已知点, ,
, .
（1）证明: ;
证明:连接,,易知,
,
即 ,
.
（2）利用（1）中的结果证明,
并计算 的值.
解：由（1）知, ,
,
，
故 .
◆ 能力拓展 ◆
16.在中，，则 的最小值为( )
A.4 B. C. D.16
√
[解析] ,设,则,
显然 ,,即,
所以,当且仅当,即 时等号成立，
故的最小值为 .故选C.
【知识聚焦】1.(1)sin αcos β+cos αsin β sin αcos β cos αsin β
(2)cos αcos β sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (3)
2.sin(α+φ) 3.(1)2sin αcos α (2)cos2α sin2α 2cos2α 1 1 2sin2α (3)
【对点演练】1. 2. 3. 3 4. 5. 6.
课堂考点探究
例1(1) A (2)B (3)A 变式题(1)D (2) B (3)
例2(1)C (2) B (3) 变式题(1)C (2)
例3 (1) D (2) 变式题(1)B (2)
教师备用习题
例1 D 例2 B 例3
基础热身
1.D 2.A 3.D 4.A 5.D 6. 7.
综合提升
8.C 9.A 10.BC 11.ABC 12. 9+4 13.
14.(1) (2) 15.(1) 略 (2)+
能力拓展
16. C
