第25讲 简单的三角恒等变换
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据题意,结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式,准确化简、运算,即可求解.(2)将分子化为完全平方式,分母利用诱导公式变形后,再利用二倍角正弦、余弦以及同角公式化简.
(1)A (2)cos 2x [解析] (1)由-=-=-=-=
-=tan 20°.故选A.
(2)原式=====cos 2x.
变式题 (1)B (2)① ②
[解析] (1)2+=
2+
=2+
=2|sin 2+cos 2|+2|cos 2|.∵<2<,∴cos 2<0,∵sin 2+cos 2=sin,<2+<π,∴sin 2+cos 2>0,∴原式=2(sin 2+cos 2)-2cos 2=2sin 2,故选B.
(2)①原式==·=·
=.
②原式====
=.
例2 [思路点拨] (1)由同角三角函数的基本关系求出sin2=,再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.(2)思路一:根据两角和的正切公式得tan(α+β)=-2,再缩小α+β的范围,最后结合同角的平方和关系即可得到答案;思路二:利用弦化切的方法即可得到答案.
(1)A (2)- [解析] (1)因为tan=,所以
解得sin2=,所以cos=cos=-cos 2=-=-=-.故选A.
(2)方法一:由题得tan(α+β)===-2.∵2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,即π+2kπ<α+β<2π+2kπ,k∈Z,∴sin(α+β)=-.
方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cos α>0,cos β<0,cos α==,cos β==,则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β=
=
==-.
变式题 (1)C (2)- [解析] (1)由cos(α-β)=得cos αcos β+sin αsin β=,又sin αsin β=-,所以cos αcos β=,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,故cos2α-sin2β=-==cos(α+β)cos(α-β)=×=.故选C.
(2)sin α+sin=sin α+sin α+cos α=sin α+cos α=sin=,则sin=,故sin=sin=-cos 2=2sin2-1=2×-1=-.
例3 [思路点拨] (1)先把tan 80°化为,再分别应用两角差的正弦公式和二倍角公式化简即可;(2)根据题意利用诱导公式和倍角公式可得原式=-,分子、分母同乘sin,结合倍角公式运算求解.
(1)D (2)D [解析] (1)====
==4.故选D.
(2)因为+=-+==
=-=-=-=
-=-=-2.故选D.
变式题 (1)D (2)- [解析] (1)原式==
====1.故选D.
(2)cos 20°cos 40°cos 100°=-cos 20°cos 40°cos 80°=-=
-=-=-=-=-.
例4 [思路点拨] (1)根据α∈,得到α+∈,由同角三角函数关系式求得sin的值,然后由两角差的余弦公式求解即可;(2)由(1)可知tan α=,然后由两角差的正切公式求解即可.
解:(1)因为α∈,所以α+∈,又cos=,所以sin=,所以cos α=cos=coscos+sinsin=×+×=.
(2)由(1)可知tan α=,所以tan β=tan(α+β-α)===,
因为β∈,所以β=.
变式题 (1)A (2)- [解析] (1)因为cos(α-β)=,tan α·tan β=,所以解得所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.故选A.
(2)因为cos α=<,α∈(0,π),所以α∈,sin α=,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,又β∈(0,π),所以α+β∈,又0例5 [思路点拨] (1)由m∥n求出tan α的值,然后将原式的分子、分母同时除以cos2α,将其转化为关于tan α的式子,由此求出结果;(2)由|m+n|=|n|求出sin的值,然后再将sin表示为sin,结合两角和的正弦公式求出结果.
解:(1)因为m∥n,所以-×2sin α=×2cos α,所以sin α=-cos α,所以tan α=-,则原式=
=
===3+.
(2)因为|m+n|=|n|,且m+n=,
所以=
,整理得2sin α-2cos α+1=0,所以4sin=-1,即sin=-.因为0<α<π,所以α-∈,又sin<0,所以α-∈,所以cos==,
所以sin=sin=cos+sin=×+×=.
变式题 解:(1)f(x)=2cos2+2sin(x-2024π)cos x-=2sin2x+2sin xcos x-=2sin xcos x-(1-2sin2x)=sin 2x-cos 2x=2sin, 由2x-=+kπ(k∈Z),得 x=+(k∈Z),所以曲线y=f(x)的对称轴为直线x=+(k∈Z).
(2)由题意可得f=,即sin=, 又m∈,则2m-∈,则cos<0, 所以cos=
-=-,
故sin 2m=sin=sincos+cossin =×+×=-.
例6 [思路点拨](1)利用锐角三角函数表示出PQ,PR;(2)依题意可得∠QPR=,则S△PQR=·PQ·PR·sin∠QPR,利用三角恒等变换公式化简,再结合正弦函数的性质求出最大值.
解:(1)在Rt△PAQ中,∠PAQ=α∈,AP=60,所以PQ=APsin α=60sin α(米).又∠BAC=,所以∠PAR=-α,在Rt△PAR中,可得PR=APsin∠PAR=60sin(米).
(2)由题可知∠QPR=,所以△PQR的面积S=·PQ·PR·sin∠QPR=×60sin α×60sin×sin=900sin αsin=
900sin α=
450=450,又α∈,所以2α+∈,故当2α+=,即α=时,△PQR的面积有最大值225平方米,即三角形绿地的最大面积是225平方米,此时α=.
变式题 解:(1)延长FG交AB于H,如图,则GH=60sin θ,AH=60cos θ,GE=80-
60cos θ,FG=80-60sin θ,∴S=(80-60cos θ)(80-60sin θ)=400[16-12(sin θ+cos θ)+
9sin θcos θ].
(2)由(1)得S=400[16-12(sin θ+cos θ)+9sin θcos θ],令t=sin θ+cos θ,
则sin θcos θ=,∵t=sin θ+cos θ=sin,∴t∈[1,],∴S=400=1800+1400,
∵t∈[1,],∴当t=时,Smin=1400,
即当sin θ+cos θ=时,矩形ECFG的面积取得最小值,最小值为1400平方米.第25讲 简单的三角恒等变换
1.A [解析] sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.故选A.
2.B [解析] sin=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-,故选B.
3.A [解析] 由题知====,所以sin α+cos α=.故选A.
4.C [解析] 由β∈,得cos>0,由tan α=,得tan α==tan,而α∈,∈,则+∈,因此α=+,所以2α-β=.故选C.
5.D [解析] 由题得sin α=,又α为第二象限角,所以cos α=-=-,
则sin 2β-2sin(α+β)cos(α-β)=sin[(α+β)-(α-β)]-2sin(α+β)cos(α-β)=-[sin(α+β)cos(α-β)+
cos(α+β)sin(α-β)]=-sin 2α=-2sin αcos α=-2××=.故选D.
6. [解析] =
=cos θ(sin θ+cos θ)===.
7.- [解析] 由tan α=2tan β,即=,可得sin αcos β=2cos αsin β,又sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=3cos αsin β=,可得cos αsin β=,所以sin(β-α)=cos αsin β-
sin αcos β=-cos αsin β=-.
8.B [解析] ==
=tan 60°=.故选B.
9.B [解析] sin α+sin β=2sincos=m,设cos α-cos β=-2sinsin=x,则-tan=,因为α-β为第一象限角,所以是第一或第三象限角,所以<0.因为tan(α-β)===,设=t<0,所以3t2-8t-3=0,得t=-,即=-,则x=-,
所以cos α-cos β=-.故选B.
10.AD [解析] 易知cos x≠0,因为=1,所以==1,可得tan x=2,故A选项正确;由=2,sin2x+cos2x=1,得sin x=±,故B选项错误;tan 2x===-,故C选项错误;由sin x=±,得sin2x=,所以sin 2x=2sin xcos x=sin2x=,故D选项正确.故选AD.
11.ABD [解析] 由sin(α-β)=,得sin αcos β-sin βcos α=①,由tan α=5tan β,得=,即sin αcos β=5sin βcos α②,由①②可得所以A,B均正确;
sin 2αsin 2β=2sin αcos α×2sin βcos β=4××=,所以C错误;sin(α+β)=sin αcos β+
sin βcos α=,所以α+β=+2kπ(k∈Z)或α+β=+2kπ(k∈Z),又因为0<β<α<,所以α+β∈,所以α+β=,所以D正确.故选ABD.
12. [解析] 因为A,所以sin∠MOA=,因为|AB|=|OA|=|OB|=1,所以∠AOB=,故+sincos-cos2=+sin α-=sin α-cos α=sin=sin∠MOA=.
13. [解析] 因为α∈,β∈,所以α-β∈.由α-β=π-,得sin(α-β)=sin=sin,不妨记x=-α,y=+β,则x∈,y∈,且sin(α-β)=sin(x+y)=sin xcos y+sin ycos x,又sin x=-,所以cos x=,又sin y=,所以cos y=-,故sin(α-β)=sin xcos y+sin ycos x=,所以α-β=.
14.解:(1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=-,故sin αcos α+cos 2α==
=.
(2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β==-,则tan(α+2β)===
-1.因为β∈,所以2β∈(0,π),又tan 2β=->-,所以2β∈,因为α∈(0,π),
tan α=->-,所以α∈,则α+2β∈,所以α+2β=.
15.解:(1)f(x)=sin+2sincos=sin-2sincos=sin-2sincos=sin-sin=sin 2xcos-
cos 2xsin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin,故f=sin=0.
(2)∵α∈,∴2α+∈,又f(α)=,∴0∴cos=-=-,∴sin 2α=sin=sincos-cossin=×-×=.
16.解:(1)因为OC=10,BC=10,∠OCB=,所以∠BOC=,OB==20,则OA=20,∠BOA=-=,的长为l=×20=,
所以广告带的总长度为OA+OC+BC+l=(米).
(2)连接OF.设∠FOA=θ.因为OF=20,所以FI=GH=20sin θ,OI=20cos θ,因为∠AOD=,所以OG==20sin θ,所以GI=20cos θ-20sin θ,所以S=GI·GH=
(20cos θ-20sin θ)·20sin θ=400sin θcos θ-400sin2θ=200[sin 2θ-(1-cos 2θ)]
=200,因为2θ+∈,所以当2θ+=,即θ=时,S取得最大值,所以S≤200(2-)=400-200,所以促销展示区的面积S的最大值为(400-200)平方米.第25讲 简单的三角恒等变换
【课标要求】 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
三角函数式的化简
例1 (1)化简:-= ( )
A.tan 20° B.tan 70°
C.-tan 10° D.-tan 40°
(2)化简: = .
总结反思
1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”.
2.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
变式题 (1)化简:2+= ( )
A.2cos 2 B.2sin 2
C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2
(2)化简:①= ;②-2cos(α+β)= .
三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2 (1)[2024·福建南平质检] 已知tan=,则cos= ( )
A.- B.
C.- D.
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
总结反思
给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是“变角”,使角相同或具有某种关系.
变式题 (1)[2024·浙江金华十校模拟] 已知cos(α-β)=,sin αsin β=-,则cos2α-sin2β= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2025·江苏扬州模拟] 已知sin α+sin=,则sin= .
角度2 给角求值
例3 (1)[2024·山西吕梁一模] 的值为 ( )
A. B.
C.2 D.4
(2)计算:+= ( )
A.2 B.-
C.-1 D.-2
总结反思
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题 (1)sin 20°(+tan 50°)= ( )
A. B.2
C. D.1
(2)计算:cos 20°cos 40°cos 100°= .
角度3 给值求角
例4 已知cos=,α∈.
(1)求cos α的值;
(2)若tan(α+β)=,β∈,求β的值.
总结反思
通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.
若角的范围是,则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围为,则选正弦函数较好.
变式题 (1)[2024·江西九江二模] 已知α,β∈,cos(α-β)=,tan α·tan β=,则α+β=( )
A. B. C. D.
(2)[2025·湖北沙市中学月考] 已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=,则α-β= .
三角恒等变换的综合应用
例5 已知向量m=,n=(2cos α,2sin α),0<α<π.
(1)若m∥n,求的值;
(2)若|m+n|=|n|,求sin的值.
总结反思
(1)进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.
(2)把y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等.
变式题 [2025·辽宁沈阳郊联体联考] 已知函数f(x)=2cos2+2sin(x-2024π)cos x-.
(1)求曲线y=f(x)的对称轴;
(2)若25f=14,m∈,求sin 2m的值.
三角恒等变换的实际应用
例6 某地进行老旧小区改造,有半径为60米,圆心角为的一块扇形空置地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在上,PQ⊥AB,垂足为Q,PR⊥AC,垂足为R,设∠PAB=α∈.
(1)求PQ,PR(用α表示);
(2)当P在上运动时,求这块三角形绿地的最大面积以及取到最大面积时α的值.
总结反思
应用三角恒等变换解决实际问题的步骤
变式题 小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划.如图,四边形ABCD是边长为80米的正方形菜园,扇形AMN区域计划种植花生,矩形ECFG区域计划种植蔬菜,其余区域计划种植西瓜.M,N分别在AB,AD上,E,F分别在BC,CD上,G在弧MN上,AM=60米,设矩形ECFG的面积为S(单位:平方米).
(1)若∠GAM=θ,请写出S(单位:平方米)关于θ的函数关系式;
(2)求矩形ECFG面积的最小值.
第25讲 简单的三角恒等变换
(时间:45分钟)
1.sin 15°+cos 15°= ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·河北邢台一模] 已知cos=,则sin= ( )
A. B.-
C. D.-
3.若=,则cos α+sin α= ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·湖南部分学校月考] 已知α,β∈,且tan α=,则2α-β= ( )
A. B.
C. D.π
5.已知第二象限角α满足sin(π+α)=-,则sin 2β-2sin(α+β)cos(α-β)的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
6.[2025·广东揭阳模拟] 若tan θ=3,则= .
7.[2024·山西晋城二模] 已知tan α=2tan β,sin(α+β)=,则sin(β-α)= .
8.= ( )
A.1 B. C.2 D.
9.已知sin α+sin β=m,tan(α-β)=,且α-β为第一象限角,则cos α-cos β= ( )
A.-3m B.-
C.3m D.
10.(多选题)[2024·浙江诸暨三模] 若=1,则 ( )
A.tan x=2 B.sin x=
C.tan 2x= D.sin 2x=
11.(多选题)已知0<β<α<,且sin(α-β)=,tan α=5tan β,则 ( )
A.sin αcos β=
B.sin βcos α=
C.sin 2αsin 2β=
D.α+β=
12.单位圆O与x轴正半轴交于点M,A,B为单位圆上两点,|AB|=1,∠MOB=α且A,点B位于第二象限,则+sincos-cos2= .
13.已知sin=-,sin=,且α∈,β∈,则α-β的值为 .
14.已知2sin α=2sin2-1.
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
(2)若α∈(0,π),β∈,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.
15.已知f(x)=sin+2sin·cos.
(1)求f的值;
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值.
16.[2024·安徽合肥六中模拟] 某商场零食区改造,如图,原零食区是区域ODBC,改造时可利用部分为扇形区域OAD,已知∠OCB=∠COA=,OC=10米,BC=10米,区域OBC为三角形,区域OAB是以OA为半径的扇形,且∠AOD=.
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带,求广告带的总长度;
(2)在区域OAD中,设置矩形区域HGIF作为促销展示区,求促销展示区的面积S的最大值.(共82张PPT)
第25讲 简单的三角恒等变换
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍
角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化
和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆）.
探究点一 三角函数式的化简
例1（1）化简： ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和
倍角公式，准确化简、运算，即可求解.
√
[解析] 由 .
故选A.
（2）化简： ________.
［思路点拨］将分子化为完全平方式，分母利用诱导公式变形后，
再利用二倍角正弦、余弦以及同角公式化简.
[解析] 原式
.
[总结反思]
1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:
①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”.
2.三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降
幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的
规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
变式题（1）化简： ( )
A. B.
C. D.
√
[解析]
，，
， ，
，
原式 ，故选B.
（2）化简： _____；
[解析] ①原式
.
[解析] ②原式
.
_____．
探究点二 三角函数式的求值
角度1 给值求值
例2（1）[2024·福建南平质检]已知,则
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由同角三角函数的基本关系求出 ，再
由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.
√
[解析] 因为 ，
所以解得,
所以 .故选A.
（2）[2024· 新课标Ⅱ卷] 已知 为第一象限角， 为第三象限角，
,，则 _ _____．
［思路点拨］思路一：根据两角和的正切公式得 ，
再缩小 的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；
[解析] 方法一：由题得 .
,, , ,
,, ,
即 ,, .
[解析] 方法二： 为第一象限角， 为第三象限角，
，， ，
，
则
.
［思路点拨］ 思路二：利用弦化切的方法即可得到答案.
[总结反思]
给值求值是指已知某个角的三角函数值（或三角函数式的值）求与
该角相关的其他三角函数值（或三角函数式的值）的问题,解题关键
是“变角”,使角相同或具有某种关系.
[解析] 由得 ，
又，所以 ，
所以，
． 故选C.
变式题（1）[2024·浙江金华十校模拟]已知 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
√
（2）[2025·江苏扬州模拟] 已知 ，则
____.
[解析] ，
则 ，
故
.
角度2 给角求值
例3（1）[2024·山西吕梁一模] 的值为( )
A. B. C.2 D.4
［思路点拨］先把 化为 ，再分别应用两角差的正弦公
式和二倍角公式化简即可；
√
[解析]
.故选D.
（2）计算： ( )
A.2 B. C. D.
［思路点拨］根据题意利用诱导公式和倍角公式可得原式
，分子、分母同乘 ，结合倍角公式运算求解.
√
[解析]
.故选D.
[总结反思]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其
变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
[解析] 原式
.故选D.
变式题（1） ( )
A. B.2 C. D.1
√
（2）计算： _ ___.
[解析]
.
角度3 给值求角
例4 已知, .
（1）求 的值;
［思路点拨］ 根据,得到 ,由同角三角函数关
系式求得 的值,然后由两角差的余弦公式求解即可;
解：因为,所以,
又 ,所以,
所以 .
（2）若,,求 的值.
［思路点拨］ 由（1）可知 ,然后由两角差的正切公式求解
即可.
解：由（1）可知 ,
所以 ,
因为,所以 .
[总结反思]
通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:
（1）已知正切函数值,则选正切函数.
（2）已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.
若角的范围是,则选正、余弦函数皆可;若角的范围是,则选
余弦函数较好;若角的范围为,则选正弦函数较好.
变式题（1）[2024·江西九江二模]已知 , ，，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为， ，
所以解得
所以，
又 , ，所以，所以 .故选A.
√
（2）[2025·湖北沙市中学月考] 已知 ,，且 ，
，则 ____.
[解析] 因为，，
所以 ，,
所以 ，
，
又 ，所以，
又，所以 ，
所以 ，
故
，
因为 ，，所以，
则 ．
探究点三 三角恒等变换的综合应用
例5 已知向量,, .
（1）若，求 的值；
［思路点拨］由求出 的值，然后将原式的分子、分母同
时除以 ，将其转化为关于 的式子，由此求出结果；
解：因为，所以 ，
所以 ，所以，
则原式
.
（2）若，求 的值.
［思路点拨］由求出 的值，然后再将
表示为 ，结合两角和的正弦公式求出结果.
解：因为，且 ，
所以 ，
整理得，
所以 ，即.
，所以 ，
所以 ，
所以 .
[总结反思]
（1）进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其
要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.
（2）把化为的形式,可进
一步研究函数的周期性、单调性、最值等.
（1）求曲线 的对称轴；
解：，
由 ，得，
所以曲线 的对称轴为直线 .
变式题 [2025·辽宁沈阳郊联体联考] 已知函数
．
（2）若，，求 的值．
解：由题意可得，即 ，
又，则，则 ，
所以 ，
故
.
探究点四 三角恒等变换的实际应用
例6 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心
角为 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出
一块三角形绿地，其中在上， ，垂
足为，，垂足为，设 .
（1）求，（用 表示）；
［思路点拨］利用锐角三角函数表示出， ；
解：在中，， ，
所以 （米）.
又 ，所以 ，
在 中，可得 （米）.
（2）当在 上运动时，求这块三角形绿地的最大
面积以及取到最大面积时 的值.
［思路点拨］依题意可得 ，
则 ，利用三角恒等变
换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.
解：由题可知，
所以 的面积
，
又，所以 ，
故当，即时， 的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是 平方米，此时 .
[总结反思]
应用三角恒等变换解决实际问题的步骤
变式题 小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做
了一些计划.如图，四边形 是边长为80米
的正方形菜园，扇形 区域计划种植花生，
矩形 区域计划种植蔬菜，其余区域计划
种植西瓜.，分别在，上，, 分别在
,上，在弧上， 米，
设矩形的面积为 （单位：平方米）.
（1）若 ，请写出（单位：平方米）关于 的函数关系式；
解：延长交于 ，如图，
则 ， ，
， ，
.
解：由（1）得
，
令 ，则，
， ，
，
， 当时， ，即当时，矩形 的面积取得最小值，最小值为1400平方米.
（2）求矩形 面积的最小值.
【备选理由】例1是三角函数式的化简，考查二倍角的正弦、余弦公
式，三角函数值在各象限内的符号规律等基础知识,考查了学生运算
求解能力；
例1 ［配例1使用］ 已知 ，则
_______．
[解析] 原式 .
因为 ，所以，所以，所以原式 .
例2 ［配例2使用］ [2024·安徽示范高中皖北协作区联考] 已知
，，则
( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】 例2是给值求值问题, 考查了同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦、余弦、正切公式等基础知识,考查了学生转化化归的能力；
[解析] 由于，所以 ，
所以，所以，
又 ，所以，
所以 ，
由题知 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故选C.
例3 ［配例3使用］ _______．
[解析]
.
【备选理由】 例3是给角求值问题，考查了同角公式，二倍角公式，辅助角公式等基础知识，考查了学生运算求解能力；
例4 ［配例4使用］ 已知， ，若
，则 __.
【备选理由】 例4是给值求角问题,选择合适的三角函数求值是解题的关键,考查了同角公式、两角差的余弦公式等基础知识,考查了学生综合运用知识分析解决问题的能力;
[解析] 由， ，
得.
由 ，得，
又 ，
.
由，得， .
例5 ［配例6使用］ [2024·唐山模拟] 如图，扇形 的半径为1，
圆心角为，平行四边形的顶点在扇形的弧上，在半径
上，，在半径上，记平行四边形的面积为，.
【备选理由】 例5是三角恒等变换的实际应用问题,考查了学生的应用意识.
（1）用 表示平行四边形的面积 .
解：如图，分别过点，作的垂线， ，
垂足分别为，，则四边形 为矩形，所以
，.
， .
在 中， ，所以，
所以 .
因为为平行四边形 的高，所以平行四边形 的面积
， .
（2）当 取何值时，平行四边形 的面
积 最大？并求出这个最大面积.
解：由（1）知，.
因为 ，所以，
故当，即 时， 取得最大值，最大值为 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选A.
√
2.[2024·河北邢台一模]已知,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选B.
√
3.若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知 ，
所以 .故选A.
√
4.[2025·湖南部分学校月考]已知 ,，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，由 ，
得，而, ，
则，因此，所以 .故选C.
√
5.已知第二象限角 满足 ，则
的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，
又 为第二象限角，所以，
则
.故选D.
√
6.[2025·广东揭阳模拟] 若，则 __.
[解析] .
7.[2024·山西晋城二模] 已知 ， ，则
_____．
[解析] 由 ，即 ，
可得 ，
又 ，
可得 ，
所以 .
◆ 综合提升 ◆
8. ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] .故选B.
√
9.已知，，且 为第一象限角，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，
设，则，
因为 为第一象限角，所以是第一或第三象限角，所以 .
因为，设 ，
所以，得，即，则 ，
所以 .故选B.
10.（多选题）[2024·浙江诸暨三模] 若 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 易知,因为 ，
所以,可得,故A选项正确；
由 ,,得 ,故B选项错误；
,故C选项错误；
由 ，得，所以 ,
故D选项正确.故选 .
√
√
11.（多选题）已知，且 ，
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由，得 ，
由 ，得，即 ，
由①②可得 所以A,B均正确；
，所以C错误；
，所以或
，又因为，所以，
所以 ，所以D正确.故选 .
12.单位圆与轴正半轴交于点，， 为单位圆上两点，
， 且，点 位于第二象限，则
___.
[解析] 因为，所以 ，
因为，所以，
故 .
13.已知,,且, ,
则 的值为__.
[解析] 因为,,所以 .
由 ,
得 ,
不妨记 , ，则, ,
且,
又 ,所以,又,所以 ,
故,所以 .
14.已知 .
（1）求 的值；
解：由已知得 ，所以 ，
故
.
（2）若，，且，求 的值．
解：由，可得 ，
则 .
因为，所以，
又 ，所以，
因为，，所以 ，
则，所以 .
15.已知 .
（1）求 的值；
解：
，
故 .
（2）若锐角 满足，求 的值.
解：，,
又 ，， ，
,
.
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024·安徽合肥六中模拟] 某商场零食区改造，
如图，原零食区是区域 ，改造时可利用部
分为扇形区域，已知 ，
米，米，区域 为三角形，
区域是以为半径的扇形，且 ．
（1）若需在区域 外轮廓地面贴广告带，
求广告带的总长度；
解：因为，， ，
所以， ，
则，，的长为 ，
所以广告带的总长度为（米）．
（2）在区域中，设置矩形区域 作为促销展示区，求促销
展示区的面积 的最大值．
解：连接．设 ．
因为，所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
因为，所以当，即 时，取得最大值，
所以 ，所以促销展示区的面积的
最大值为 平方米．
课堂考点探究
例1(1) A (2) cos 2x 变式题(1)B (2) ① ②
例2(1)A (2) 变式题(1)C (2)
例3(1) D (2)D 变式题(1)D (2)
例4(1) (2) 变式题(1)A (2)
例5 (1) 3+ (2) 变式题(1)曲线y=f(x)的对称轴为直线x=+(k∈Z) (2)
例6 (1)PQ=60sin α,PR=60sin. (2)三角形绿地的最大面积是225平方米,此时α=.
变式题 (1)S=400[16 12(sin θ+cos θ)+9sin θcos θ] (2)1400平方米
教师备用习题
例1 例2 C 例3 例4
例5(1) S=sin α(cos α sin α),α∈ (2)当α=时,S取得最大值,最大值为sin=1 .
基础热身
1.A 2.B 3.A 4.C 5.D 6. 7.
综合提升
8.B 9.B 10.AD 11.ABD 12. 13.
14.(1) (2) 15.(1) 0 (2)
能力拓展
16. (1)米 (2) (400 200)平方米
