第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.
0 π 2π
2.|φ| 3. ωx+φ φ
【对点演练】
1.2,, [解析] 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin的振幅为2,频率为,初相为.
2. [解析] 由于函数y=cos =cos 3,故把y=cos 3x的图象向右平移个单位长度得到函数y=cos 的图象.
3.y=10sin+20,x∈[6,14] [解析] 从题图中可以看出,6~14时的温度变化曲线是函数y=Asin(ωx+φ)+b在半个周期内的图象,所以A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,又×=14-6,所以ω=.又×10+φ=2kπ,k∈Z,0<φ<π,所以φ=,所以所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14].
4.右 [解析] y=2cos=2cos 2,故将函数y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数y=2cos的图象.
5.-1或-5 [解析] 由f=f得,直线x=为函数f(x)的图象的一条对称轴,故当x=时,函数f(x)取得最大值或最小值,则-2+m=-3或2+m=-3,解得m=-1或m=-5.
6.- [解析] 由题图可知,T=+=,所以T=π,ω==2.因为点在f(x)的图象上,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z.又-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin,所以f(0)= -.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据三角函数的图象变换规则一一判断即可.(2)根据函数图象平移可得g(x)=sin,进而根据g(x)=f(-x)即可代入化简得φ=+kπ,k∈Z,可得φ的最小值.
(1)ACD (2)B [解析] (1)对于A,将f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象,故A正确;对于B,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,可得到函数y=sin 8x的图象,故B错误;对于C,将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,可得到函数y=sin 4=sin的图象,故C正确;对于D,将f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度后,可得到函数y=sin 4=sin(4x-2π)=sin 4x的图象,与原图象重合,故D正确.故选ACD.
(2)g(x)=f(x+φ)=sin,要使g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则g(x)=f(-x)=sin=sin,所以2φ+=+2kπ,k∈Z,故φ=+kπ,k∈Z,又φ>0,所以φmin=,故选B.
变式题 (1)D (2) [解析] (1)f(x)=2coscos=
2cossin=
sin=cos 2x,g(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=sin=cos,故将f(x)的图象向右平移个单位长度可得
y=cos 2=cos的图象,即为g(x)的图象.故选D.
(2)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin(ω>0)的图象,又g(x)≤,则g=sin=sin=±1,∴ω+=+kπ(k∈Z),即ω=+3k(k∈Z),又ω>0,∴ω的最小值为.
例2 [思路点拨] (1)由图可知最大值为2,最小值为-2,=-,进而求出A,ω,再将点代入函数解析式即可求φ.
(1)A (2)- [解析] (1)由图可知=-=,所以T=2π,所以ω==1,排除B,D.
当A>0时,A=2,所以f(x)=2sin(x+φ),将最高点代入可得2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin,故A正确;当A<0时,A=-2,所以f(x)=-2sin(x+φ),将代入可得-2sin=2,所以+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=-2sin,故C错误.故选A.
(2)依题意设A,B,则x2-x1=,因为ωx2+φ-(ωx1+φ)=,即ω=,所以ω=4,又ω+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-,则f(x)=sin,故f(π)=sin=sin=-.
变式题 (1)C (2)C [解析] (1)∵点在函数f(x)的图象上,∴cos=0,∴-ω+=-+2kπ(k∈Z),∴ω=-k(k∈Z),∴f(x)的最小正周期T==(k∈Z).由图可知(2)由图象可知,A=2,由f(0)=f=f可得T=-0=,且T=,所以=,解得ω=3,所以f(x)=2sin(3x+φ),由f=f可得,f=f=-2,所以f=2sin=-2,即π+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-π+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,则f=2sin=-.故选C.
例3 [思路点拨] (1)先化简,再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期,再求出参数ω,然后利用复合函数同增异减的规则求出单调递增区间即可;(2)先根据题意求出g(x)=sin+,然后求其取值范围即可.
解:(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx=sin ωxcos ωx+cos2ωx=
sin 2ωx+(1+cos 2ωx)=
+=sin+(ω>0),又由=,得×=,可得ω=1,所以f(x)=sin+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=sin+,由题意可得g(x)=sin+,因为x∈,所以4x-∈,故sin∈,所以sin+∈,故所求取值范围为.
变式题 (1)BC (2)- [解析] (1)方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC.
方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC.
(2)根据题意可得周期T=×4=,所以ω==3,所以f(x)=cos(3x+φ),因为f(x)在区间上单调递减,-<φ<,所以3x+φ∈,且
解得2kπ-≤φ≤2kπ,k∈Z,又因为-<φ<,所以-<φ≤0,又因为f=cos=0,所以+φ=+kπ,k∈Z,可得φ=-.
例4 [思路点拨] (1)根据已知条件列方程组求A,B,ω,φ,即可得函数H(t)的解析式;(2)令H(t)=30,结合余弦函数分析运算.
解:(1)由题意知解得ω==,故H(t)=40sin+50,t∈[0,30].因为H(0)=40sin φ+50=10,所以sin φ=-1,又|φ|≤π,所以φ=-,因此H(t)=40sin+50=50-40cost,t∈[0,30],
即H(t)=50-40cost,t∈[0,30].
(2)令H(t)=50-40cost=30,可得cost=,因为t∈[0,30],所以t∈[0,2π],所以t=或,解得t=5或t=25,故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.
变式题 (1)A (2)BC [解析] (1)设d=Asin(ωt+φ)+b,由题意可知,dmax=A+b=6,dmin=-A+b=-2,解得A=4,b=2,易知函数d=4sin(ωt+φ)+2的最小正周期为T==40,则ω===,当t=0时,d=4sin φ+2=0,可得sin φ=-,又因为-<φ<,所以φ=-,故d=4sin+2,故选A.
(2)由f(x)=Asin(ωx+φ),得f'(x)=Aωcos(ωx+φ), 由题意得f(2π)=f'(2π),即Asin φ=Aωcos φ,故tan φ=ω,因为ω∈N*,|φ|<,所以tan φ=ω<,所以φ=,ω=1,故选项A错误;因为破碎的涌潮的波谷为-4,所以f'(x)的最小值为-4,即-Aω=-4,得A=4,所以f(x)=4sin,则f=4sin=
4=4×=+, 故选项B正确;因为f(x)=4sin,所以f'(x)=4cos,所以f'=4cos x为偶函数,故选项C正确;f'(x)=4cos,由-1.A [解析] 因为y=sin=sin,所以把函数y=sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度可得y=sin的图象,故选A.
2.C [解析] 由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.当k=-1时,f(x)在区间上单调递减;当k=0时,f(x)在区间上单调递减;当k=1时,f(x)在区间上单调递减.故f(x)在,,上不单调递减,在上单调递减,故选C.
3.C [解析] f(x)=-cos 2x+cos 2x+sin 2x=-cos 2x+sin 2x=sin,由2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,故选C.
4.D [解析] 由图象知A=,f(0)=1,所以sin φ=1,结合图象知φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.由sin=-,得+=2kπ+,k∈Z,所以ω=+1,k∈Z,又>,ω>0,所以0<ω<,则ω=1,所以f(x)=sin,故选D.
5.CD [解析] 由题意知f(x)=sin,所以f(x)的最大值为1,故A错误;当x∈时,2x-∈,显然f(x)在内不单调,故B错误;f=sin=sin =-1,故直线x=是f(x)的图象的一条对称轴,故C正确;令f(x)=sin=0,则2x-=kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,所以f(x)的所有非负零点为x=+,k∈N,易知{xn}是首项为,公差为的等差数列,故D正确.故选CD.
6. [解析] 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期T=,由于f=sin=,∴sin=cos φ=,又0<φ<π,∴φ=.
7. [解析] 由题意可知,f是函数f(x)的最大值,则ω·+=+2kπ,k∈Z,得ω=+3k,k∈Z,又f(x)在区间上无最小值,所以≥π-,所以0<ω≤3,所以ω=.
8.B [解析] 题中图象对应函数的最小正周期T=2×(1-0)=2.对于A,f(2x-1)
=cos 2π(2x-1)=cos(4πx-2π)=cos 4πx,最小正周期为=,不符合题意,故A错误;对于B,f=cos 2π=cos(πx-2π)=cos πx,最小正周期为=2,且(0,1)和(1,-1)都在函数图象上,符合题意,故B正确;对于C,f=cos 2π=cos(πx-π)=-cos πx,最小正周期为=2,但函数图象过点(0,-1),不符合题意,故C错误;对于D,f=cos 2π=cos(4πx-π)=-cos 4πx,最小正周期为=,不符合题意,故D错误.故选B.
9.B [解析] 因为f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为2π,所以=2π,则T=4π,所以ω==.因为f(x)为奇函数,且0<φ<π,所以φ=,则f(x)=2sinx,所以g(x)=2sin=2sin.令x-=kπ(k∈Z),得x=+2kπ(k∈Z),则g(x)的图象的对称中心的横坐标为x=2kπ+(k∈Z),故A错误,B正确;令x-=+kπ(k∈Z),得x=+2kπ(k∈Z),则g(x)的图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z),故C,D错误.故选B.
10.ABD [解析] 对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60 s,所以ω== rad/s,因此A正确;对于B,因为当t=0时,盛水筒M位于点P0(3,-3),所以R==6,且f(0)=6sin φ=-3,可得sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,即f(t)=6sin,所以f(10)=6sin=6sin 0=0,因此B正确;对于C,当t=50时,f(50)=-3,所以此时盛水筒M的纵坐标为-3,设它的横坐标为x,则=6,可得x=±3,因为筒车旋转50 s时,所以此时盛水筒M在第三象限,故x=-3,此时盛水筒M和初始点P0的水平距离为3-(-3)=6,因此C错误;对于D,由t-=+2kπ,k∈Z,可得t=25+60k,k∈Z,又t∈(0,60],所以筒车在旋转过程中,盛水筒M第一次到达最高点所需要的时间是25 s,因此D正确.故选ABD.
11.BD [解析] 由函数f(x)的图象,可得T=+=,所以T=2π,所以|ω|==1,解得ω=±1.当ω=1时,由函数f(x)的图象过点,可得sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=-;当ω=-1时,由函数f(x)的图象过点,可得sin=1,所以-+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ的值不存在.综上可得,ω=1,φ=-,所以f(x)=sin,所以A错误;又因为f=sin=-1,所以直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,所以B正确;将函数f(x)的图象向右平移s个单位长度后,得到g(x)=sin的图象,因为y=g(x)在上单调递减,所以满足解得--2kπ≤s≤--2kπ,k∈Z,当k=-1时,≤s≤,当k=-2时,≤s≤,故s不可能等于5,所以C错误;当k=-1时,≤s≤,当k=0时,-≤s≤-,又因为s∈N*,所以smin=2,所以D正确.故选BD.
12.sin(答案不唯一)
[解析] 由性质③可得ω=±2,不妨取ω=2.由性质①可得2×+φ=+kπ(k∈Z),则φ=-+kπ(k∈Z),再由性质②可知,当x∈时,2x-+kπ∈(k∈Z),则 (k,m∈Z),易知当k为奇数时上述关系成立,不妨令k=1,则φ=,不妨取A=1,则满足条件的一个函数为f(x)=sin.
13.6 [解析] 因为函数y=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,),所以2sin φ=,即sin φ=,又因为0≤φ≤,所以φ=.因为y=2sin(ω>0)在y轴右侧的第一个零点为,所以ω+=π,解得ω=3,所以y=2sin,画出y=sin x与y=2sin在区间[0,2π]上的图象,如图所示,由图可知曲线y=sin x与y=2sin的交点有6个.
14.解:(1)由题可知解得设函数f(x)的最小正周期为T,由图可知-=T=,即可得T==π,解得ω=2.
由f=2sin+1=3,可得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,因此f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)令f(x)=0,可得sin=-,所以2x+=-+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,
所以f(x)的零点为x=-+kπ,k∈Z和x=+kπ,k∈Z.
(3)由题意可得g(x)=2sin+1=2sin+1.
因为x∈,所以2x+∈.当2x+=,即x=时,g(x)取得最大值g=3;
当2x+=,即x=时,g(x)取得最小值g=1-.故g(x)在上的取值范围为[1-,3].
15.解:(1)f(x)=sin 2ωx+=+sin,因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,即ω=1,所以f(x)=+sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.令2x+=lπ,l∈Z,则x=-,l∈Z,故f(x)的图象的对称中心为,l∈Z.
(2)由题设有g(x)=-+sin=sin 2x,则g(x)的最小正周期为π,而xn+3-xn=×3=π,故g(xn+3)=g(xn),而g(x1)=,g(x2)=g=sin=-,g(x3)=g=sin=-,故g(x1)+g(x2)+…+g(x2024)=g(x1)+g(x2)+674[g(x1)+g(x2)+g(x3)]=-+674×=.
16.ABC [解析] f(x)=cos ωx+sin ωx=2=2sin,当x∈[0,π]时,可得≤ωx+≤ωπ+,又y=f(x)在[0,π]上单调,所以ωπ+≤,解得0<ω≤,又y=f(x)的图象关于点(-π,0)对称,所以-ωπ+=kπ,k∈Z,解得ω=-k,k∈Z,所以ω=,所以f(x)=2sin.对于A,若|f(x1)-f(x2)|=4,则可得f(x1),f(x2)分别为函数y=f(x)的最大值与最小值或最小值与最大值,可得|x1-x2|min=T=×=6π,故A正确;对于B,f(2π)=2sin=2,所以f(x)的图象的一条对称轴方程为x=2π,故B正确;对于C,因为x∈(-π,5π),所以017. [解析] 如图,以O为原点,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,由于角速度ω=2π rad/s,所以可设点A,圆上两点A,B始终保持∠AOB=,则B,要使A,B两点的竖直距离为0,则sin=sin,则2πt-+2πt+=π+2kπ,k∈Z,可得t=+,k∈Z,所以当t=时,A,B两点的竖直距离第一次为0.由题可知,f(t)====.第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
【课标要求】 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f==
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为 .
2.[教材改编] 为了得到函数y=cos的图象,只需把y=cos 3x的图象向右平移 个单位长度.
3.[教材改编] 如图,某地一天6~14时的温度变化曲线为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的一部分,则这段曲线的函数解析式为 .
题组二 常错题
◆索引:搞错图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数图象对称性的特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数y=2cos的图象,可以将函数y=2cos 2x的图象向 平移
个单位长度.
5.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数x都有f=f,且f=-3,则实数m= .
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)= .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
例1 (1)(多选题)已知函数f(x)=sin 4x,则下列结论正确的是 ( )
A.将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象
B.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,可得到函数y=sin 2x的图象
C.将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,可得到函数y=sin的图象
D.将f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度后与原图象重合
(2)已知函数f(x)=sin,将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则φ的最小值为 ( )
A. B. C. D.
总结反思
由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言的,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
变式题 (1)[2024·湖北黄冈二模] 已知函数f(x)=2coscos,要得到函数g(x)=sin 2x-2cos2x+1的图象,只需将f(x)的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)≤,则ω的最小值为 .
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式
例2 (1)[2024·安徽芜湖质检] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin 2x
C.f(x)=-2sin
D.f(x)=-2sin 2x
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)= .
总结反思
根据三角函数图象求解析式,关键在于对A,ω,φ的理解,主要从以下三个方面考虑:
(1)根据最大值或最小值求出A的值.
(2)根据最小正周期求出ω的值.
(3)求φ的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入;②五点法,确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
变式题 (1)设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
(2)[2024·湖南衡阳联考] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,f(0)=f=f,则f=( )
A.0 B.-1 C.- D.-
函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题
例3 [2025·江苏常州模拟] 已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos2ωx(ω>0),y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的取值范围.
总结反思
三角函数的图象与性质综合问题的求解思路:
(1)将函数整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;
(2)把ωx+φ看成一个整体;
(3)借助正弦函数y=sin x或余弦函数y=cos x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
变式题 (1)(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 ( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
(2)[2025·重庆一中月考] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ),直线x=和点是f(x)的图象的相邻的一条对称轴和一个对称中心,且f(x)在区间上单调递减,则φ= .
三角函数模型的简单应用
例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周的景色.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面的高度为10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图),开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱,摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时(游客坐上座舱后,摩天轮随即开始转动).
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤π),t∈[0,30],求H(t)的解析式.
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米
总结反思
三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:
(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.
变式题 (1)[2025·山东聊城模拟] 如图,一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为 ( )
A.d=4sin+2
B.d=4sin+2
C.d=4sin+2
D.d=4sin+2
(2)(多选题)[2024·安徽阜阳一模] 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”,“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮,一股是波状涌潮,另外一股是破碎的涌潮,两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,而破碎的涌潮的图象近似f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象.已知当x=2π时,两潮有一个交叉点,且破碎的涌潮的波谷为-4,则 ( )
A.ω=2
B.f=+
C.f'是偶函数
D.f'(x)在区间上单调第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用
(时间:45分钟)
1.[2024·江苏南京二模] 为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x图象上所有的点 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.在下列区间中,函数f(x)=2sin单调递减的是 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·河北承德二模] 函数f(x)=sin+cos的图象的对称轴方程为 ( )
A.x=+,k∈Z
B.x=+,k∈Z
C.x=+,k∈Z
D.x=+,k∈Z
4.[2025·江西上饶模拟] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则其解析式为 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
5.(多选题)[2025·常德模拟] 将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=f(x)的图象,则 ( )
A.函数f(x)的最大值为
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于直线x=对称
D.函数f(x)的所有非负零点组成的递增数列{xn}是首项为,公差为的等差数列
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),设T为f(x)的最小正周期,若f=,则φ= .
7.[2024·湖北七市州调研] 已知函数f(x)=sin(ω>0)满足f(x)≤f恒成立,且在区间上无最小值,则ω= .
8.已知函数f(x)=cos 2πx,则图中的函数图象所对应的函数解析式为 ( )
A.y=f(2x-1)
B.y=f
C.y=f
D.y=f
9.已知奇函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为2π,将f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象,则g(x)的图象 ( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=-对称
D.关于直线x=对称
10.(多选题)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图①).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图②,将筒车抽象为一个半径为R的圆,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60 s,开始时,盛水筒M位于初始点P0(3,-3),经过t s后运动到点P(x,y),点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述正确的是 ( )
A.筒车转动的角速度ω= rad/s
B.当筒车旋转10 s时,盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0
C.当筒车旋转50 s时,盛水筒M 和初始点的水平距离为6
D.盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25 s
11.(多选题)[2025·安徽江淮十校联考] 函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中-<φ<,将图象向右平移s(s∈N*)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)在上单调递减,则下列说法正确的是 ( )
A.ω=±1
B.直线x=-为f(x)图象的一条对称轴
C.s可以等于5
D.s的最小值为2
12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)具有下列三个性质:①图象关于直线x=对称;②在区间上单调递减;③最小正周期为π.则满足条件的一个函数为f(x)= .
13.已知函数y=2sin(ωx+φ)的图象经过点(0,),且在y轴右侧的第一个零点为,当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(ωx+φ)的交点有 个.
14.[2025·河南驻马店模拟] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的零点;
(3)将f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的取值范围.
15.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx,ω>0的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间以及其图象的对称中心;
(2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,在函数g(x)的图象上从左到右依次取点A1,A2,…,A2024,该点列的横坐标依次为x1,x2,…,x2024,其中x1=,xn+1-xn=(n∈N*),求g(x1)+g(x2)+…+g(x2024).
16.(多选题)[2024·浙江金华三模] 已知f(x)=cos ωx+sin ωx(ω>0)在[0,π]上是单调函数,且y=f(x)的图象关于点(-π,0)对称,则 ( )
A.若|f(x1)-f(x2)|=4,则|x1-x2|min=6π
B.f(x)的图象的一条对称轴方程为x=2π
C.函数y=f(x)在(-π,5π)上无零点
D.将f(x)的图象向左平移π个单位长度后得到的函数为偶函数
17.[2025·江苏靖江中学月考] 如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB=,随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位于圆心O的正下方,则当t= s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)= . (共115张PPT)
第27讲 函数 及三
角函数模型的应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.结合具体实例,了解 的实际意义;能
借助图象理解参数 , , 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻
画事物周期变化的数学模型.
◆ 知识聚焦 ◆
1.用五点法画 在一个周期内的简图
时,要找五个特征点,如下表所示：
_ ___ _ ____ _____ _ ____ _ _____
___ __ ___ _ __ ____
0 A 0 0
0
2.函数的图象经变换得到
的图象的步骤
3. 的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
______ ___
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的振幅、频率和初相分别为
_____.
2,,
[解析] 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 的振
幅为2，频率为，初相为 .
2.［教材改编］ 为了得到函数 的图象，只需把
的图象向右平移___个单位长度．
[解析] 由于函数，故把
的图象向右平移个单位长度得到函数 的图象．
3.［教材改编］ 如图，某地一天 时的温度变化曲线为函数
的图象的一部分，则
这段曲线的函数解析式为_ _________________________________.
，
[解析] 从题图中可以看出， 时的温度变化
曲线是函数 在半个周期内
的图象，
所以 ，，
又，所以 .
又 ，, ，所以 ，
所以所求解析式为， .
题组二 常错题
◆ 索引：搞错图象应平移多少个单位长度;不能正确理解三角函数
图象对称性的特征导致出错;不能准确确定函数解析式导致出错.
4.为了得到函数的图象,可以将函数 的图
象向____平移__个单位长度.
右
[解析] ,故将函数 的图
象向右平移个单位长度即可得到函数 的图象.
5.若对任意实数都有 ,
且,则实数 _________.
或
[解析] 由得，直线为函数 的图象的一
条对称轴,故当时,函数 取得最大值或最小值,
则或,解得或 .
6.函数 的
部分图象如图所示，则 _____.
[解析] 由题图可知， ，
所以， .
因为点在 的图象上，所以 ，，
所以 ， .
又，所以，
所以 ，所以 .
探究点一 函数 的图象变换
例1（1）（多选题）已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A.将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得到函数
的图象
B.将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，可得到函数
的图象
C.将图象上所有的点向左平移 个单位长度，可得到函数
的图象
D.将图象上所有的点向右平移 个单位长度后与原图象重合
√
√
√
［思路点拨］根据三角函数的图象变换规则一一判断即可.
[解析] 对于A，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍，可得到函数的图象，故A正确；
对于B，将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得到函数
的图象，故B错误；
对于C，将图象上所有的点向左平移 个单位长度，可得到函数
的图象，故C正确；
对于D，将图象上所有的点向右平移 个单位长度后，可得到函数
的图象，与原图象重合，故
D正确.故选 .
（2）已知函数，将的图象向左平移
个单位长度后，得到函数的图象，若的图象与 的图象
关于轴对称，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据函数图象平移可得 ，进而
根据即可代入化简得 ,，可得 的最
小值.
√
[解析] ，
要使 的图象与的图象关于 轴对称，
则 ，
所以 ,，故 ,，
又 ，所以 ，故选B.
[总结反思]
由的图象变换到的图象,两种变换中平移
的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是个单位长度;先伸缩再平移,
平移的量是个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都
是针对而言的,即本身加减多少值,而不是依赖于加减多少值.
变式题（1）[2024·湖北黄冈二模]已知函数
，要得到函数
的图象，只需将 的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
√
[解析]
，
，
故将 的图象向右平移 个单位长度可得
的图象，
即为 的图象.故选D.
（2）将函数的图象向左平移 个单位长
度得到函数的图象，若，则 的最小值为__．
[解析] 将函数的图象向左平移 个单位长
度得到函数 的图象，
又，则 ，
,即，
又， 的最小值为 .
探究点二 函数 的图象与解析式
例2（1）[2024·安徽芜湖质检]已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由图可知，所以 ,
所以 ，排除B,D.
当时，，所以 ，
将最高点的坐标代入可得，
所以 , ，即 ,，
［思路点拨］由图可知最大值为2，最小值为，
，进而求出, ，再将代入函数
解析式即可求 .
因为 ，所以 ，
所以，故A正确；
当时， ，所以，
将 代入可得，所以 ,，
即 ,，
因为 , 所以，所以 ，故C错误.
故选A.
（2）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知函数
，如图，， 是直线
与曲线 的两个交点，若
，则 _ ____.
[解析] 依题意设, ，则 ，
因为，即 ，
所以，
又 ， ，所以 ，，
不妨取，则 ，
故 .
[总结反思]
根据三角函数图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以下
三个方面考虑:
（1）根据最大值或最小值求出的值.
（2）根据最小正周期求出 的值.
（3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标
代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标
代入；②五点法,确定 的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为
突破口.
变式题（1）设函数 在
， 的图象大致如图所示，则 的最小
正周期为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 点在函数 的图象上，
，
,
, 的最小正周期.
由图可知 ，得，
解得或 ，
故，则的最小正周期为 .故选C.
（2）[2024·湖南衡阳联考]已知函数
的部分
图象如图所示，，则
( )
A.0 B. C. D.
√
[解析] 由图象可知，， 可得，
且，所以 ，解得，所以 ，
由可得， ，
所以，即
, ，即 , ，
又，所以 ，所以，
则 .故选C.
探究点三 函数 图象与性质的综合问题
例3 [2025·江苏常州模拟] 已知函数
， 的图象的一个对称中心到最近的对称轴
的距离为 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
［思路点拨］先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周
期，再求出参数 ，然后利用复合函数同增异减的规则求出单调递
增区间即可；
解：因为
，
又由，得，可得，所以 ，
令，，
则 ，，
所以函数的单调递增区间为， ．
（2）将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原
来的，再向右平移个单位长度，得到函数 的图象，求函
数在区间 上的取值范围.
［思路点拨］先根据题意求出 ，然后求其
取值范围即可.
解：由（1）知 ，
由题意可得，
因为，所以 ，故，
所以 ，故所求取值范围为 ．
[总结反思]
三角函数的图象与性质综合问题的求解思路:
（1）将函数整理成或
的形式;
（2）把 看成一个整体;
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象与性质
（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关
问题.
变式题（1）（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 对于函数
和 ,下列说法正确的有( )
A.与 有相同的零点
B.与 有相同的最大值
C.与 有相同的最小正周期
D.与 的图象有相同的对称轴
√
√
[解析] 方法一：的最小正周期为 ,最大值为1，
的最小正周期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
因为,所以将 的图象
向右平移个单位长度可得的图象，
又，所以与 的零点不相同，
与 的图象的对称轴不相同，故A，D均不正确.故选 .
方法二：的最小正周期为 ,最大值为1， 的最小正周
期为 ,最大值为1，故B，C均正确；
令 ,得,,令,得
,,故 与的零点不相同，A不正确；
令,,得 , ,
令,,得,,
故与 的图象的对称轴不相同，D不正确.故选 .
（2）[2025·重庆一中月考] 已知函数
，直线和点 是的图象的相邻的一条对
称轴和一个对称中心，且 在区间上单调递减，则 ____．
[解析] 根据题意可得周期，所以 ，
所以，
因为在区间 上单调递减，，所以
,且 解得 ,，
又因为 ，所以，
又因为 ，
所以 ,，可得 .
探究点四 三角函数模型的简单应用
例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设
施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，
可以从高处俯瞰四周的景色.某摩天轮的最高
点距离地面的高度为90米，最低点距离地面
的高度为10米，摩天轮上均匀设置了36个座
舱（如图），开启后摩天轮按逆时针方向匀
速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后
在相同的位置离开座舱，摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天
轮的座舱时开始计时（游客坐上座舱后，摩天轮随即开始转动）.
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为
米，已知关于 的函数关系式为
（其中, ,
），，求 的解析式.
［思路点拨］根据已知条件列方程组求 ，
， ， ，即可得函数 的解析式；
解：由题意知
解得 ，
故， .
因为，所以 ，
又 ，所以 ，
因此, ，
即, .
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地
面的高度恰好为30米？
［思路点拨］令 ，结合余弦函数分
析运算.
解：令 ，
可得，
因为 ，所以，
所以或，解得或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米.
[总结反思]
三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键:
（1）已知函数解析式（模型）,利用三角函数的有关性质解决问题,其
关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.（2）当函数解析式
未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用
三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关
参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.
变式题（1）[2025·山东聊城模拟]如图，一个半
径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒
车的轴心 距离水面的高度为2米．设筒车上的
某个盛水筒到水面的距离为（单位： ）
A. B.
C. D.
（在水面下则为负数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，
则与时间（单位： ）之间的关系可以表示为( )
√
[解析] 设
，
由题意可知，，
，解得， ，
易知函数的最小正周期为 ，则，
当时，，可得 ，
又因为，所以，故 ，故选A.
（2）（多选题）[2024·安徽阜阳一模] 2022年9月钱塘江多处出现罕
见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，
另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌
潮．若波状涌潮的图象近似函数
的图象，而破碎的涌潮的图象近似是函数的
导函数）的图象．已知当 时，两潮有一个交叉点，且破碎的
涌潮的波谷为 ，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.在区间 上单调
√
√
[解析] 由，得 ，
由题意得，即 ，故 ，
因为,，所以，所以, ，
故选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为 ，
即，得，所以 ，
则
，故选项B正确；
因为，所以 ，
所以为偶函数，故选项C正确；
,由,得，
因为函数在 上单调递增，在上单调递减，
所以在区间 上不单调，故选项D错误.故选 .
【备选理由】例1考查函数 解析式的求法、性质以
及图象变换等知识；
例1 ［配例1使用］ [2025·浙江名校协作体联考] 已知函数
满足,最小正周期为 ，
则要得到函数的图象，可以将 的图象向左平移 ( )
A.个单位长度 B. 个单位长度
C.个单位长度 D. 个单位长度
√
[解析] 由函数的最小正周期为 ，可得
，
因为，所以 ，
可得 ,，即 ,，
又 ，所以，所以 ，
故将的图象向左平移 个单位长度，
可得函数 的图象.故选A.
例2 ［配例2使用］ [2024·北京丰台区二模] 已知函
数的导函数
是 ，如果函数的图象如图
所示，那么 , 的值分别为 ( )
A.1，0 B.1, C.1, D.2,
√
【备选理由】 例2考查函数 的图象与解析式,
考查了学生识图、用图解决问题的能力；
[解析] 因为
，所以,
则
，其中， ,
由题图可知，函数的最大值为，即，
又,所以, ，即，
又函数的图象过点 ，所以，
所以 , ,即 ,,
又 ，所以 .故选A.
例3 ［配例3使用］ （多选题）[2024·安徽黄山质检] 已知函数
的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，则( )
A.函数的图象关于点 对称
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数在 上单调递增
D.函数在 上有4个零点
√
√
【备选理由】 例3、例4考查函数 的图象与性质,考查了学生综合运用知识分析解决问题的能力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养；
[解析] ，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以 ，
则 ，所以 ,解得，所以 .
对于A选项， ，
所以函数的图象关于点 对称，故A正确；
对于B选项， ，
所以函数的图象不关于直线 对称，故B错误；
对于C选项，当时, ,
所以当，即时， 取得最大值，为2，
结合正弦函数的图象可知，函数在 上先增后减，故C错误；
对于D选项，令 ，即，
即,
当 时，满足的的值为,,,,
所以函数在 上有4个零点，故D正确.故选 .
例4 ［配例3使用］ （多选题）[2024·湖南岳阳
三模] 已知函数
的部分图象如图所示，则( )
A.
B.的单调递减区间为,
C.的图象可由函数的图象向右平移 个单位长度得到
D.满足条件的最小正整数 为2
√
√
√
[解析] 设函数的周期为 ，观察函数图象可
得，所以 ，
又 ，所以，故A正确.
因为当 时，函数取得最大值，，
所以 ,,
又，所以，故 ，
由 ,,
可得, ,
所以 函数的单调递减区间为
,，故B正确.
函数 的图象向右平移个单位长度得到函数
的图象，故C错误.
因为 ，所以
,
，
所以 可化为，
所以或 .
由可得 ，所以,
,即,，
, ，即,，
取 可得 .
综上，满足条件 的最小正整数
为2，D正确.故选 .
例5 ［配例4使用］ 筒车（图①）是我国古代发明的一种水利灌溉
工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.假设在水流
量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.
现将筒车抽象为一个几何图形，如图②所示，圆的半径为 ，盛
水筒从点处开始运动，与水平面所成的角为 ，且恰
好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位： ）（在水面下则
为负数）与时间（单位： ）之间的函数关系式的图象可能是( )
【备选理由】 例5考查三角函数模型的简单应用,考查了学生运用所学知识处理实际问题的能力.
A. B.
C. D.
√
[解析] 以为原点，过点的水平直线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系.
,在 内转过的角度
为, 以轴正半轴为始边，
以 为终边的角为,点的纵坐标为,
与 之间的函数关系式为.
当时， ，
当时， .
结合选项可知D正确.故选D.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.[2024·江苏南京二模]为了得到函数 的图象，只需把
函数 图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 因为，所以把函数
图象上所有的点向左平移个单位长度可得 的图象，
故选A.
√
2.在下列区间中，函数 单调递减的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 , ，
得 ,.
当时， 在区间上单调递减；
当时，在区间 上单调递减；
当时，在区间上单调递减.
故在 ，，上不单调递减，
在 上单调递减，故选C.
3.[2024·河北承德二模]函数 的图
象的对称轴方程为( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ,
由 ,,解得, ，故选C.
√
4.[2025·江西上饶模拟]函数
的部分图象如图所示，则其解析式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图象知，，所以 ，
结合图象知,，
又，所以.
由 ，
得，，所以，，
又，,所以，则，
所以 ，故选D.
5.（多选题）[2025·常德模拟] 将函数的图象向右平移 个单
位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 ，得到函数
的图象，则( )
A.函数的最大值为
B.函数在区间 上单调递增
C.函数的图象关于直线 对称
D.函数的所有非负零点组成的递增数列是首项为 ，公差为
的等差数列
√
√
[解析] 由题意知，所以 的最大值为1，故A错误；
当时，，显然在 内不单调，故B错误；
，故直线 是的图象的一
条对称轴，故C正确；
令 ，则 ,，即，，
所以 的所有非负零点为，，
易知是首项为，公差为 的等差数列，故D正确.故选 .
6.函数，设为 的最小正
周期，若，则 __.
[解析] 函数 的最小正周期
，
由于, ，
又 ， .
7.[2024·湖北七市州调研] 已知函数 满足
恒成立，且在区间上无最小值，则 __．
[解析] 由题意可知，是函数 的最大值，
则 ,,得,,
又在区间 上无最小值，所以，
所以，所以 .
◆ 综合提升 ◆
8.已知函数 ，则图中的函数图象所
对应的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 题中图象对应函数的最小正周期
.
对于A，
，
最小正周期为 ，不符合题意，故A错误；
对于B， ，
最小正周期为，且和 都在函数图 象上，符合题意，故B正确；
对于C， ，最小正周期为，
但函数图象过点 ，不符合题意，故C错误；
对于D， ，最小正周期为 ，
不符合题意，故D错误.故选B.
9.已知奇函数 的图象的相邻
两个对称中心之间的距离为 ，将的图象向右平移 个单位长
度得函数的图象，则 的图象( )
A.关于点对称 B.关于点 对称
C.关于直线对称 D.关于直线 对称
√
[解析] 因为的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ，
所以 ,则 ，所以.
因为 为奇函数，且 ，所以，则 ,
所以.
令 ,得,则 的图象的对称中心
的横坐标为，故A错误，B正确；
令 , 得,则 的图象的
对称轴方程为 ，故C，D错误.故选B.
10.（多选题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又
环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工
作原理（图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛
水筒都做匀速圆周运动．如图②，将筒车抽象为一个半径为 的圆，
设筒车按逆时针方向每旋转一周用时，开始时，盛水筒 位于初
始点，经过后运动到点，点 的纵坐标满足
，则下列叙述正确的
是( )
①
②
A.筒车转动的角速度
B.当筒车旋转时，盛水筒对应的点 的纵坐标为0
C.当筒车旋转时，盛水筒和初始点的水平距离为
D.盛水筒第一次到达最高点需要的时间是
√
√
√
[解析] 对于A，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用
时 ，所以，因此A正确；
对于B，因为当时，盛水筒 位于点，
所以 ，且，
可得，
因为 ，所以，即 ，
所以 ，因此B正确；
对于C，当时，,
所以此时盛水筒的纵坐标为 ，
设它的横坐标为，则，可得 ，
因为筒车旋转时，所以此时盛水筒在第三象限，故，
此时盛水筒 和初始点的水平距离为 ，因此C错误；
对于D，由 ，，可得,,
又 ，所以筒车在旋转过程中，盛水筒 第一次到达最高点所
需要的时间是，因此D正确.故选 .
11.（多选题）[2025·安徽江淮十校联考] 函数 的
部分图象如图所示，其中，将图象向右平移 个
单位长度后得到函数的图象，且在 上单调
递减，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线为 图象的一条对称轴
C. 可以等于5
D. 的最小值为2
√
√
[解析] 由函数 的图象，
可得，所以 ，
所以，解得.
当 时，由函数的图象过点，
可得 ，
所以 , ，解得 ,，
因为 ，所以；
当时，由函数 的图象过点，
可得 ，
所以 , ，
解得 ,，
因为，所以 的值不存在.
综上可得，， ，所以 ，所以A错误；
又因为，
所以直线 是函数 图象的一条对称轴，
所以B正确；
将函数的图象向右平移 个单位长度后，
得到的图象，
因为 在 上单调递减，
所以满足
解得 ,，
当 时，，
当时， ，
故不可能等于5，所以C错误；
当 时，，
当时， ，
又因为，所以，所以D正确．故选 .
12.已知函数 具有下列三个性质：
①图象关于直线对称；②在区间 上单调递减；③最小正周
期为 .则满足条件的一个函数为 ________________________.
（答案不唯一）
[解析] 由性质③可得，不妨取 .
由性质①可得，则 ，
再由性质②可知，当时，
，
则，
易知当 为奇数时上述关系成立，不妨令，则，
不妨取 ，则满足条件的一个函数为 .
13.已知函数 的图象经过点
，且在轴右侧的第一个零点为，当 时，曲线
与 的交点有___个.
6
[解析] 因为函数 的
图象经过点，所以 ，
即,
又因为 ，所以.
因为 在轴右侧的第一个零点为,
所以 ,解得 ，所以，
画出与在区间 上的图象，如图所示，
由图可知曲线与 的交点有6个.
14.[2025·河南驻马店模拟] 已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
解：由题可知解得
设函数的最小正周期为 ，
由图可知，即可得 ，
解得 .
由，可得 , ，
即 , ，
又 ，所以，因此 的解析式为 .
（2）求 的零点；
解：令，可得 ，
所以 , 或
, ，
解得 ,或 , ，
所以的零点为 , 和 , .
（3）将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数
的图象，求在 上的取值范围.
解：由题意可得
.
因为，所以 .
当，即时，
取得最大值 ；
当，即时，取得最小值.
故 在上的取值范围为 .
15.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数 ,
的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调递增区间以及其图象的对称中心；
解：，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，即 ，
所以.
令, ，则,，
故 的单调递增区间为,.
令 ,，则, ，
故的图象的对称中心为, .
（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移 个单
位长度，得到函数的图象，在函数 的图象上从左到右依次
取点,, ,，该点列的横坐标依次为,, , ，其中
，，求 .
解：由题设有 ，
则的最小正周期为 ，
而 ，故，
而 , ，
，
故 .
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）[2024·浙江金华三模] 已知
在 上是单调函数，且
的图象关于点 对称，则( )
A.若，则
B.的图象的一条对称轴方程为
C.函数在 上无零点
D.将的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为偶函数
√
√
√
[解析] ，
当时，可得，
又在 上单调，所以,解得，
又 的图象关于点对称，所以 ，，
解得， ，所以，所以.
对于A，若 ，则可得,分别为函数
的最大值与最小值或最小值 与最大值，可得
，故A正确；
对于B，，
所以 的图象的一条对称轴方程为 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以函数在 上无零点，故C正确；
对于D，将的图象向左平移 个单位长度后得到的图象对应的
函数为,
所以 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数不是偶函数，
故D不正确.故选 .
置关系呈现周期性变化.现定义：，两点的竖直距离为， 两点
相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即时，
点 位于圆心的正下方，则当__时，，两点的竖直距离第一
次为0； ，两点的竖直距离关于时间的函数解析式为
__________________.
17.[2025·江苏靖江中学月考] 如图所示，单位
圆 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大
小为，圆上两点， 始终满足
，随着圆的旋转，， 两点的位
[解析] 如图，以为原点，以 所在直线
为 轴，建立平面直角坐标系，
由于角速度 ，所以可设点
，
圆上两点，始终保持 ，
则，
要使， 两点的竖直距离为0，则，
则 , ,
可得,,所以当时，
， 两点的竖直距离第一次为0.
由题可知，
.
【知识聚焦】 1. 0 π 2π
2.|φ| 3. ωx+φ φ
【对点演练】1.2,, 2. 3.y=10sin+20,x∈[6,14] 4.右 5. 1或5 6.
课堂考点探究
例1(1) ACD (2)B 变式题(1)D (2)
例2(1)A (2) 变式题(1)C (2) C
例3(1) ,k∈Z (2) 变式题(1)BC (2)
例4(1) H(t)=50 40cost,t∈[0,30] (2) 5分钟或25分钟 变式题(1)A (2) BC
教师备用习题
例1 A 例2 A 例3 AD 例4 ABD 例5 D
基础热身
1.A 2.C 3.C 4.D 5.CD 6. 7.
综合提升
8.B 9.B 10.ABD 11.BD 12. sin(答案不唯一) 13.6
14.(1) f(x)=2sin+1 (2) x= +kπ,k∈Z和x=+kπ,k∈Z (3)[1 ,3]
15.(1) f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
f(x)的图象的对称中心为,l∈Z (2)
能力拓展
16. ABC 17.
