第26讲 三角函数的图象与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)
(2)
2. [-1,1] [-1,1]
2π π 奇函数 偶函数 奇函数
[-π+2kπ,2kπ]
[2kπ,π+2kπ]
(kπ,0)
x=kπ+ x=kπ
【对点演练】
1.[1,3] -π+4kπ(k∈Z) 4π
[解析] 由y=2-sin (x∈R)知, ymin=2-1=1,ymax=2+1=3,所以函数的值域为[1,3].当函数取最大值时,=-+2kπ(k∈Z),即x=-π+4kπ(k∈Z),其最小正周期T==4π.
2.(k∈Z)
[解析] 由2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
3. [解析] 要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z,可得x≠+,k∈Z,所以函数的定义域为.
4.±1 [解析] 由题意可得=π,则ω=±1.
5.1 [解析] ∵y=-sin2x+3sin x-1=-+,sin x∈[-1,1],∴当sin x=1时,ymax=1.
6. [解析] 依题意,y=2sin =-2sin,令+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,则+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.由于x∈[-π,0],所以所求的单调递增区间为.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据对数函数的定义域可得2sin x+1>0,求解即可.(2)根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组求解即可.
(1)D (2)A [解析] (1)由2sin x+1>0,得sin x>-,∴2kπ-(2)要使f(x)有意义,则
k∈Z,可得k∈∈Z,∴x≠,k∈Z,故选A.
变式题 [解析] 方法一:要使函数有意义,
则sin x-cos x≥0,在同一坐标系中画出y=sin x和y=cos x在[0,2π]上的图象,如图所示.由图可知,在[0,2π]内,当≤x≤时,满足sin x≥cos x,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,可知原函数的定义域为.
方法二:要使函数有意义,则sin x-cos x=sin≥0,所以2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,所以原函数的定义域为.
例2 [思路点拨] (1)结合辅助角公式化简成正弦型函数,再求函数在给定区间内的最值即可.(2)利用换元法和二次函数的性质即可求得f(x)的值域.
(1)2 (2) [解析] (1)f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,故当x-=,即x=时,f(x)max=2.
(2)f(x)=cos 2x+2|sin x|=1-2sin2x+2|sin x|(x∈[0,2π]),令|sin x|=t,则t∈[0,1],则f(x)的值域转化为g(t)=1-2t2+2t,t∈[0,1]的值域,g(t)=-2t2+2t+1=-2+,所以g(t)∈,所以函数f(x)的值域为.
变式题 (1)A (2)A (3)3+
[解析] (1)f(x)=sin 3=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx,由f(x)的最小正周期为π,得=π,解得ω=,则f(x)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,易知f(x)=-sin 2x在上单调递减,所以f(x)在上的最小值为f=-sin=-.故选A.
(2)当x∈[0,a]时,2x+∈,由函数f(x)=2cos在区间[0,a]上的值域为[-2,],知函数y=cos x在区间上的值域为,则有2a+∈,即a∈.故选A.
(3)设t=sin x+cos x,则sin xcos x=,t=sin x+cos x=sin∈[-,],可得g(t)=t+t2-1+2=+,当t=时,g(t)max=+2+1=3+,即f(x)max=3+.
例3 [思路点拨] (1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)根据三角函数最值分析周期性,结合三角函数最小正周期公式运算求解.
(1)ABC (2)B [解析] (1) 对于A,y=cos |2x|=cos 2x,所以它的最小正周期为=π,满足题意;对于B,y=|cos x|的最小正周期为×=π,满足题意;对于C,y=cos的最小正周期为=π,满足题意;对于D,y=tan的最小正周期为,不满足题意.故选ABC.
(2)由题意知,x1为f(x)的最小值点,x2为f(x)的最大值点,则|x1-x2|min==(T为f(x)的最小正周期),可得T=π,又ω>0,所以ω==2.故选B.
例4 [思路点拨] (1)利用降幂公式及辅助角公式化简f(x),然后分别求出y=f,y=f-1,判断奇偶性即可.(2)根据函数f(x)图象的对称中心得到b,再根据函数的最小正周期的范围和图象的对称中心得到ω的值,进而得到所求.
(1)B (2)A [解析] (1)f(x)=cos x-2cos2+1=cos x-2×+1=cos x-
sin x=cos.f=cos=cos x,所以y=f为偶函数,故A错误,B正确;y=f-1=cos-1=-sin x-1,所以函数y=f-1为非奇非偶函数,故C,D均错误.故选B.
(2)因为例5 [思路点拨] 化简得出f(x)=cos 2x,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出正确的选项.
C [解析] f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).同理,f(x)的单调递增区间为(k∈Z).结合选项可知,C选项正确.
【应用演练】
1.A [解析] 对于A,y=sin x+cos x=sin,最小正周期T=2π,故A正确;对于B,y=sin xcos x=sin 2x,最小正周期T==π,故B错误;对于C,y=sin2x+cos2x=1,是常数函数,不存在最小正周期,故C错误;对于D,y=sin2x-cos2x=-cos 2x,最小正周期T==π,故D错误.故选A.
2.D [解析] f(x)=-3cos,令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,∴kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.故选D.
3.B [解析] 因为函数f(x)的一个周期为4,且C,D选项中函数的最小正周期为8,所以排除C,D.对于A,当x=2时,f(2)=sin=sin π=0,所以直线x=2不是该函数图象的对称轴,排除A.对于B,当x=2时,f(2)=cos=cos π=-1,所以直线x=2是该函数图象的对称轴.故选B.
4.B [解析] 当x∈时,3x+φ∈,由于φ是三角形的一个内角,所以0<φ<π,则-<-+φ<,<+φ<,由于函数y=2sin(3x+φ)在区间上单调,所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为.故选B.
5.BCD [解析] 对于A选项,令g(x)=f=sin=sin,则g=0,g=sin≠0,故函数f不是偶函数,故A错误;对于B选项,因为f=sin 0=0,故x=-是函数f(x)的一个零点,故B正确;对于C选项,当-≤x≤时,-≤2x+≤,所以函数f(x)在区间上单调递增,故C正确;对于D选项,因为f=sin=sin=1, 所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.故选BCD.第26讲 三角函数的图象与性质
1.B [解析] 由x∈,得2x-∈,所以sin∈,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-,故选B.
2.C [解析] 由f(x)为奇函数,可得φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=.故选C.
3.C [解析] 由题意知,f(x)=cos=cos,由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,结合x∈,可得x∈,所以函数f(x)的单调递减区间为.故选C.
4.D [解析] 因为函数f(x)=cos的最小正周期为π,所以ω==1,则f(x)=cos,令2x+=kπ,k∈Z,则x=-,k∈Z,对比选项可知,只有当k=1时,x=符合题意,故D正确.故选D.
5.BC [解析] 函数f(x)=sin|x|=所以f(x)的图象关于y轴对称,且不具有周期性,不关于直线x=对称,故选项A,D错误,C正确;易得f(x)的最大值为1,故B正确.故选BC.
6.
[解析] 要使函数有意义,则有即解得所以2kπ7. [解析] f(x)=|sin2x-cos2x|=|cos 2x|,因为y=cos 2x的最小正周期为π,所以f(x)=|cos 2x|的最小正周期为.
8.D [解析] 函数y=cos x与y=2cos在[0,2π]上的图象如图所示,由图可知,两曲线的交点个数为6.故选D.
9.B [解析] 当x∈时,ωx+∈.若f(x)在上单调递增,则(k∈Z),解得(k∈Z),又ω>0,若不等式组有解,则(k∈Z),可得k=0,则0<ω≤2;若f(x)在上单调递减,则
(k∈Z),解得(k∈Z),又ω>0,若不等式组有解,则(k∈Z),不等式组无解,故不存在ω>0,使得f(x)在上单调递减.综上所述,ω∈(0,2],则ω的最大值为2.故选B.
10.BC [解析] 对于A,y=f(x)g(x)=sin xcos x=sin 2x,所以最小正周期T==π,故A错误;对于B,y=f(x)-g(x)=sin x-cos x=sin,当x-=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+,k∈Z时,函数有最大值,故B正确;对于C,由sin=0,得x-=kπ,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,故C正确;对于D,y=f(x)+g(x)=sin x+cos x=sin,由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,可得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,结合x∈,可得函数在上单调递增,故D错误.故选BC.
11.AD [解析] f(x)=cos(2x+φ)+,因为f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,所以2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos+.对于A,f(x)的最小正周期为π,故A正确;对于B,f=cos+=,故B错误;对于C,f=cos+=,所以f(x)图象的一个对称中心为,故C错误;对于D,y=f(ωx)=cos+,当x∈[0,π]时,2ωx+∈,若函数y=f(ωx)(ω>0)在[0,π]上单调递减,则2ωπ+≤π,解得0<ω≤,故D正确.故选AD.
12.(1)π (2)-2 [解析] (1)当a=0时,f(x)=cos2x=,所以f(x)的最小正周期为=π.
(2)f(x)=cos2x+asin x=-sin2x+asin x+1=-+1+,当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],令t=
sin x,则t∈(0,1],g(t)=-+1+的图象开口向下,要使f(x)在区间(0,π)上的最小值为-2,则g(t)在(0,1]上的最小值为-2,则需要1-≥-0,即a≤1,且当t=1,即sin x=1时,f(x)取得最小值,故-1+a+1=-2,解得a=-2.
13.2 [解析] 线段MN的长度等于点(a,f(a))与点(a,g(a))间的距离,即|MN|=|f(a)-g(a)|.令F(x)=|f(x)-g(x)|===|2sin x|,易知F(x)的最大值为2,故线段MN长度的最大值为2.
14.解:(1)f(x)=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin,则f=sin=0.
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)由(2)可得,函数f(x)在区间上单调递增,∵f(0)=sin=-,f=sin=sin=,∴f(x)在区间上的取值范围为.
15.解:(1)f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin,因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,所以T=,则T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin,
所以f=2sin=2sin =2×=.
(2)由f(x)=2sin的图象关于对称,得-=kπ,k∈Z,所以ω=3k+1,k∈Z.由x∈,ω>0,得ωx-∈,又函数f(x)在上单调,所以解得0<ω≤,所以ω=1.
16.BCD [解析] 由sin x>0,cos x>0得f(x)的定义域为,k∈Z.对于A,当x∈时,x+π∈,不在定义域内,故选项A错误;对于B,f=2cos2x·
log2cos x+2sin2x·log2sin x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,故选项B正确;对于C,f(x)=sin2x·log2sin2x+cos2x·log2cos2x,x∈,k∈Z,设t=sin2x,g(t)=t·log2t+(1-t)·log2(1-t),t∈(0,1),则g'(t)=log2t-log2(1-t),由g'(t)>0得【课标要求】 1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质,正切函数在上的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
(2)在函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1), ,(π,-1), ,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 性质 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R
(续表)
函数 性质 y=sin x y=cos x y=tan x
值域 R
最小正周期 2π
奇偶性
单调递增区间
单调递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
常用结论
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T,其中T为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T,其中T为最小正周期.
3. 若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数y=2-sin (x∈R)的值域为 ,当函数取最大值时对应的x= ,函数的最小正周期为 .
2.[教材改编] 函数f(x)=cos,x∈R的单调递减区间是 .
3.[教材改编] 函数y=3tan的定义域是 .
题组二 常错题
◆索引:记错y=Asin ωx(或y=Acos ωx)中ω与最小正周期T的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围致误.
4.设ω为实数,函数f(x)=3cos的最小正周期为π,则ω的值为 .
5.函数y=-sin2x+3sin x-1的最大值为 .
6.函数y=2sin(x∈[-π,0])的单调递增区间是 .
三角函数的定义域
例1 (1)函数y=lg(2sin x+1)的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
(2)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
总结反思
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数的图象,对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解.
变式题 函数y=的定义域为 .
三角函数的值域或最值
例2 (1)[2024·全国甲卷] 函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是 .
(2)函数f(x)=cos 2x+2|sin x|(x∈[0,2π])的值域为 .
总结反思
求三角函数的值域(最值)的几种方法:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
④形如y=t+(a>0,t>0)的可考虑基本不等式.
变式题 (1)[2024·天津卷] 已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在上的最小值是 ( )
A.- B.- C.0 D.
(2)[2024·陕西安康模拟] 已知函数f(x)=2cos在区间[0,a]上的值域为[-2,],则a的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(3)已知函数f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+2,则f(x)的最大值为 .
三角函数的性质有关问题
微点1 三角函数的周期性
例3 (1)(多选题)下列函数中,最小正周期为π的是 ( )
A.y=cos |2x| B.y=|cos x|
C.y=cos D.y=tan
(2)[2024·北京卷] 设f(x)=sin ωx(ω>0),已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
总结反思
求三角函数的最小正周期的常用方法
(1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=;
(2)图象法:利用三角函数图象的特征求最小正周期.
微点2 三角函数的奇偶性与对称性
例4 (1)已知函数f(x)=cos x-2cos2+1,则下列说法正确的是 ( )
A.y=f为奇函数
B.y=f为偶函数
C.y=f-1为奇函数
D.y=f-1为偶函数
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T,若A.1 B. C. D.3
总结反思
(1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图象相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|.
微点3 三角函数的单调性
例5 [2022·北京卷] 已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
总结反思
(1)解决形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图象利用y=sin x的单调性求解.如果函数中自变量的系数为负值,那么要根据诱导公式先把自变量的系数化为正值,再确定其单调性.
(2)已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解.
1.[2024·上海卷] 下列函数的最小正周期是2π的是 ( )
A.y=sin x+cos x
B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x
D.y=sin2x-cos2x
2.[2025·唐山五校联考] 函数f(x)=-3cos的单调递增区间为 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
3.[2023·天津卷] 已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=sin B.f(x)=cos
C.f(x)=sin D.f(x)=cos
4.若φ是三角形的一个内角,且函数y=2sin(3x+φ)在区间上单调,则φ的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知函数f(x)=sin,则 ( )
A.函数f是偶函数
B.x=-是函数f(x)的一个零点
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称第26讲 三角函数的图象与性质
(时间:45分钟)
1.函数f(x)=sin在区间上的最小值为 ( )
A.-1 B.-
C. D.0
2.[2024·浙江嘉兴二模] 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)是奇函数,则φ的值可以是 ( )
A.0 B.
C. D. π
3.已知函数f(x)=cos,x∈,则函数f(x)的单调递减区间为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·湖南永州一模] 已知函数f(x)=cos 2(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的图象的对称轴可以是 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
5.(多选题)[2025·贵州遵义联考] 已知函数f(x)=sin|x|,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的最大值为1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)的图象关于直线x=对称
6.函数y=lg sin x+的定义域为 .
7.[2024·长沙长郡中学二模] 函数f(x)=|sin2x-cos2x|的最小正周期为 .
8.当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与y=2cos的交点个数为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
9.若函数f(x)=2sin(ω>0)在区间上单调,则ω的最大值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
10.(多选题)[2025·湖北“宜荆荆恩”联考] 已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x,则下列结论正确的有 ( )
A.函数y=f(x)g(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)-g(x)的最大值为
C.函数y=f(x)-g(x)的所有零点构成的集合为
D.函数y=f(x)+g(x)在上单调递增
11.(多选题)[2025·江苏常州一中检测] 已知函数f(x)=cos2(0<φ<π)图象的一条对称轴是直线x=,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f=
C.函数f(x)图象的一个对称中心为
D.若函数y=f(ωx)(ω>0)在[0,π]上单调递减,则ω∈
12.[2024·北京海淀区二模] 已知函数f(x)=cos2x+asin x.
(1)若a=0,则函数f(x)的最小正周期为 .
(2)若函数f(x)在区间(0,π)上的最小值为-2,则实数a= .
13.若动直线x=a(a∈R)与函数f(x)=sin,g(x)=cos的图象分别交于点M,N,则线段MN长度的最大值为 .
14.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+.
(1)求f的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)在区间上的取值范围.
15.已知f(x)=sin ωx-cos ωx,ω>0.
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,求f的值;
(2)若函数f(x)的图象关于对称,且函数f(x)在上单调,求ω的值.
16.(多选题)若函数f(x)=2sin2x·log2sin x+2cos2x·log2cos x,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的最小值为-1
D.f(x)的单调递减区间为,k∈Z(共83张PPT)
第26讲 三角函数的图象与性质
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教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单
调性、奇偶性、最大（小）值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 上的性质,正切函数在
上的性质.
◆ 知识聚焦 ◆
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在函数，的图象中，五个关键点是： ，
_______,,_ ________， .
（2）在函数，的图象中，五个关键点是： ，
_______，,_ ______, .
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 ）
图象 ___________________________________________ _____________________________________________ ________________________________________________
定义域 _ ______________
性质
函数
值域 _______ _______
最小正 周期 ____ ___
奇偶性 ________ ________ ________
单调递增 区间 _ _______________ _______________ _______________
奇函数
偶函数
奇函数
续表
函数
性质
单调递减 区间 _ _______________ ______________ 无
对称中心 ________ _ __________ _ ______
对称轴 方程 ___________ ________ 无
，
续表
函数
性质
常用结论
1.函数和的最小正周期,函
数的最小正周期.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是,其中为最小正周期.
正切曲线相邻两对称中心之间的距离是,其中为最小正周期.
3. 若，则
（1）为偶函数的充要条件是；
（2）为奇函数的充要条件是.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的值域为______，当函数
取最大值时对应的 _________________，函数的最小正周期为____.
[解析] 由知, ，
,所以函数的值域为 .
当函数取最大值时，，即 ，
其最小正周期 .
2.［教材改编］ 函数， 的单调递减区间是
_ _______________________.
[解析] 由 ， ，
解得 ，，
故 的单调递减区间是 .
3.［教材改编］ 函数 的定义域是________________
________．
[解析] 要使函数有意义，则， ，
可得，，所以函数的定义域为 .
题组二 常错题
◆ 索引：记错（或）中 与最小正周期
的关系致误;忽视正、余弦函数的有界性致误;忽视自变量的取值范围
致误.
4.设 为实数,函数的最小正周期为 ,则 的
值为____.
[解析] 由题意可得 ,则 .
5.函数 的最大值为___.
1
,,
当时, .
6.函数 的单调递增区间是_________.
[解析] 依题意， ，
令 ， ，
则 ，.
由于 ，所以所求的单调递增区间为 .
探究点一 三角函数的定义域
例1（1）函数 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
［思路点拨］根据对数函数的定义域可得 ,求解即可.
√
[解析] 由,得,
, , 函数 的定义域为
.故选D.
（2）函数 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
［思路点拨］根据正切函数的定义域及分母不等于零构造不等式组
求解即可.
√
[解析] 要使有意义，则 ，可得
， 且 ， ，
， ，故选A.
[总结反思]
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式（组）,常借
助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴来求解.
[解析] 方法一：要使函数有意义，则
，
在同一坐标系中画出和
在 上的图象，如图所示.
由图可知，在 内，当时，满足 ，
再结合正弦、余弦函数的最小正周期是 ，
可知原函数的定义域为 .
变式题 函数 的定义域为______________________
_________.
方法二：要使函数有意义，则 ，
所以 ， ，
解得， ，
所以原函数的定义域为 .
探究点二 三角函数的值域或最值
例2（1）[2024·全国甲卷] 函数在 上的最
大值是___．
2
［思路点拨］结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求函数在给定
区间内的最值即可.
[解析] ，
当 时，，
故当，即时， .
（2）函数 的值域为_ _____.
［思路点拨］利用换元法和二次函数的性质即可求得 的值域.
[解析] ，
令，则，
则 的值域转化为， 的值域，
，
所以 ，所以函数的值域为 .
[总结反思]
求三角函数的值域（最值）的几种方法:
①形如的三角函数,可化为
的形式,再求值域（最值）;
②形如的三角函数,可设,化为关于
的二次函数,再求值域（最值）;
③形如的三角函数,可设
,化为关于的二次函数,再求值域（最值）；
④形如的可考虑基本不等式.
变式题（1）[2024·天津卷]已知函数 的
最小正周期为 ，则函数在 上的最小值是( )
A. B. C.0 D.
[解析] ，
由 的最小正周期为 ，得 ，解得，则 .
当时，，易知在 上单
调递减，所以在上的最小值为 .故选A.
√
（2）[2024·陕西安康模拟]已知函数在区间
上的值域为，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
由函数在区间上的值域为 ，
知函数在区间上的值域为 ，
则有，即 .故选A.
√
（3）已知函数，则 的最
大值为_______.
[解析] 设，则 ，
，
可得，
当 时，，即 .
探究点三 三角函数的性质有关问题
微点1 三角函数的周期性
例3（1）（多选题）下列函数中，最小正周期为的是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从
而得出结论；
√
√
√
[解析] 对于A， ，所以它的最小正周期为
，满足题意；
对于B，的最小正周期为 ，满足题意；
对于C，的最小正周期为 ，满足题意；
对于D，的最小正周期为 ，不满足题意.故选 .
（2）[2024·北京卷]设，已知 ，
，且的最小值为，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
［思路点拨］根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正
周期公式运算求解.
[解析] 由题意知，为的最小值点，为 的最大值点，
则为的最小正周期），可得 ，
又，所以 .故选B.
√
[总结反思]
求三角函数的最小正周期的常用方法
（1）公式法:函数或的最小正周
期,函数的最小正周期;
（2）图象法:利用三角函数图象的特征求最小正周期.
微点2 三角函数的奇偶性与对称性
例4（1）已知函数 ，则下列说法正
确的是( )
A.为奇函数 B. 为偶函数
C.为奇函数 D. 为偶函数
［思路点拨］利用降幂公式及辅助角公式化简 ，然后分别求出
， ，判断奇偶性即可.
√
[解析] .
，所以 为偶函
数，故A错误，B正确；
，所以函数
为非奇非偶函数，故C，D均错误.故选B.
（2）[2022·新高考全国Ⅰ卷]记函数 的
最小正周期为，若 ,且的图象关于点 中
心对称，则 ( )
A.1 B. C. D.3
［思路点拨］根据函数图象的对称中心得到 ,再根据函数的最
小正周期的范围和图象的对称中心得到 的值,进而得到所求.
√
[解析] 因为 ,即 ，所以 .
因为的图象关于点中心对称，所以 ，
且， ,解得,,
又 ，所以,,所以 ，
所以 .
[总结反思]
（1）对于函数,其图象的对称轴一定经过函数
图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在
判断直线或点是否是函数图象的对称轴或对称中心时,
可通过检验的值进行判断.
（2）函数的图象的对称性与最小正周期 之间
有如下结论:①若函数图象相邻的两条对称轴分别为直线 与直线
,则最小正周期 ;②若函数图象相邻的两个对称中心
分别为点与点,则最小正周期 ;③若函数图象相
邻的对称中心与对称轴分别为点与直线 ,则最小正周期
.
微点3 三角函数的单调性
例5 [2022·北京卷]已知函数 ,则( )
A.在上单调递减 B.在 上单调递增
C.在上单调递减 D.在 上单调递增
［思路点拨］ 化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐
项判断可得出正确的选项.
√
[解析] ，
令 , ，得,，
函数 的单调递减区间为.
同理， 的单调递增区间为 .
结合选项可知，C选项正确.
[总结反思]
（1）解决形如的函数的单调性问题,一般是将
看成一个整体,再结合图象利用的单调性求解.如果
函数中自变量的系数为负值,那么要根据诱导公式先把自变量的系数
化为正值,再确定其单调性.
（2）已知函数的单调性求参数,可先求出
的取值范围,再根据是函数的单调
区间的子区间列不等式（组）求解.
应用演练
1.[2024·上海卷]下列函数的最小正周期是 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，最小正周期 ，
故A正确；
对于B， ，最小正周期 ，故B错误；
对于C， ，是常数函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于D，，最小正周期 ，
故D错误. 故选A.
√
2.[2025·唐山五校联考]函数 的单调递增区间为
( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ，
令 , ，,,
故函数 的单调递增区间为, .故选D.
√
3.[2023·天津卷]已知函数的图象的一条对称轴为直线 ,一个
周期为4，则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数 的一个周期为4，且C，D选项中函数的最小正周期
为8，所以排除C，D.
对于A，当 时，，
所以直线 不是该函数图象的对称轴，排除A.
对于B，当时， ，
所以直线 是该函数图象的对称轴.故选B.
√
4.若 是三角形的一个内角，且函数 在区间
上单调，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，
由于 是三角形的一个内角，所以 ，
则 , ，
由于函数在区间 上单调，
所以解得，即 的取值范围为 .故选B.
√
5.（多选题）已知函数 ，则( )
A.函数 是偶函数
B.是函数 的一个零点
C.函数在区间 上单调递增
D.函数的图象关于直线 对称
√
√
√
[解析] 对于A选项，令，
则 ，，故函数 不是偶函数，故A错误；
对于B选项，因为，故是函数 的一个零
点，故B正确；
对于C选项，当时， ，所以函数在区间
上单调递增，故C正确；
对于D选项，因为，所以函数 的图
象关于直线对称，故D正确.故选 .
【备选理由】例1考查辅助角公式、三角函数的周期性、三角函数在
给定区间上的最值问题;
例1 ［配例2、例3使用］ [2021·全国乙卷] 函数
的最小正周期和最大值分别是( )
A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
√
[解析] ,故函数的最小正周期为
, 最大值为 .故选C.
例2 ［配例3、例4使用］ [2024·广东佛山二模] 已知函数
在 上有且仅有两个零点，且
，则 图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】 例2考查三角函数的零点、周期性与其图象的对称性问题；
[解析] 由函数在 上有且仅有两个零点，
可得，解得，可得 .
当时，,
因为 ,所以 ,解得,
由①②得 .
因为，，所以 的图象的一条对称
轴是,
,
由③④可得,,
的图象的对称轴为直线，
当时， .故选C.
例3 ［配例4、例5使用］ （多选题） [2024·九省联考] 已知函数
，则( )
A.函数 为偶函数
B.曲线的对称轴为 ,
C.在区间 单调递增
D.的最小值为
√
√
【备选理由】 例3考查三角函数恒等变换、三角函数的奇偶性、单
调性、函数图象的对称性、最值的综合问题；
[解析] 由题知 ,
则,
为偶函数，A正确；
令 ,，得 ,,
即曲线 的对称轴为 ,,B错误；
当时， , 在区间单调递增,C正确；
,D错误.故选 .
例4 ［配例3、例5使用］ [2024·广东一模] 已知函数
在区间 上单调，且满足，，则 __.
[解析] 依题意，，而函数在 上单调，
则函数的最小正周期，
又 ，，因此，
解得，所以 .
【备选理由】 例4考查三角函数的周期性与单调性及利用周期性确定参数问题.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.函数在区间 上的最小值为( )
A. B. C. D.0
[解析] 由，得 ，
所以，
故函数在区间 上的最小值为 ，故选B.
√
2.[2024·浙江嘉兴二模]已知函数 是奇函
数，则 的值可以是( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由为奇函数，可得 ，，
当 时， .故选C.
√
3.已知函数，，则函数 的单调
递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知， ，
由 ,，得, ，
结合,可得,
所以函数 的单调递减区间为 .故选C.
√
4.[2025·湖南永州一模]已知函数 的最小
正周期为 ，则 的图象的对称轴可以是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的最小正周期为 ，
所以，则，
令 , ，则,，
对比选项可知，只有当时， 符合题意，故D正确.故选D.
√
5.（多选题）[2025·贵州遵义联考] 已知函数 ，则( )
A.的最小正周期为
B. 的最大值为1
C. 是偶函数
D.的图象关于直线 对称
[解析] 函数所以的图象关于 轴对
称，且不具有周期性，不关于直线 对称，故选项A，D错误，C正确；
易得的最大值为1，故B正确.故选 .
√
√
6.函数 的定义域为______________________
_______.
[解析] 要使函数有意义，则有即 解得
所以 ， ，
所以函数的定义域为 .
7.[2024·长沙长郡中学二模] 函数 的最小正周
期为__.
[解析] ，
因为 的最小正周期为 ，所以的最小正
周期为 .
◆ 综合提升 ◆
8.当时，曲线与 的交点个数为
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 函数 与
在 上的图象如
图所示，由图可知，两曲线的交点
个数为6.故选D.
√
9.若函数在区间上单调，则 的
最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当时，.
若 在上单调递增，则 ，
解得，
√
又 ，若不等式组有解，则，
可得，则；
若在 上单调递减，则 ，
解得，
又 ，若不等式组有解，则，不等式组无解，
故不存在 ,使得在上单调递减.
综上所述，，则 的最大值为2. 故选B.
10.（多选题）[2025·湖北“宜荆荆恩”联考] 已知函数 ,
，则下列结论正确的有( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的最大值为
C.函数 的所有零点构成的集合为
D.函数在 上单调递增
√
√
[解析] 对于A， ，所以最小正
周期 ，故A错误；
对于B， ，
当,，即,时，
函数有最大值 ，故B正确；
对于C，由，得 ， ，
可得, ，故C正确；
，
由 , ，
可得 ,，
结合 ，可得函数在上单调递增，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2025·江苏常州一中检测] 已知函数
图象的一条对称轴是直线 ，则 ( )
A.的最小正周期为
B.
C.函数图象的一个对称中心为
D.若函数在上单调递减，则
√
√
[解析] ，
因为 的图象的一条对称轴为直线,
所以 ，，解得 ，，
因为 ，所以，所以 .
对于A，的最小正周期为 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
，故C错误；
对于D， ，
当时，，
若函数 在上单调递减，则 ，
解得 ，故D正确．故选 .
12.[2024·北京海淀区二模] 已知函数 .
（1）若，则函数 的最小正周期为___.
[解析] 当时，,所以 的最小正周期
为 .
（2）若函数在区间上的最小值为，则实数 ____.
[解析]
，
当时，，令 ,则 ,
的图象开口向下，
要使 在区间上的最小值为，则在上的最小值为 ，则需要，
即，且当,即时, 取得最小值，
故，解得 .
13.若动直线与函数 ，
的图象分别交于点，，则线段 长度的最大
值为___.
2
[解析] 线段的长度等于点与点 间的距离，
即.
令，
易知 的最大值为2，故线段 长度的最大值为2.
14.已知函数 .
（1）求 的值；
解：
，则 .
（2）求函数 的单调递增区间；
解：令 ，
解得，
的单调递增区间为 .
（3）求函数在区间 上的取值范围．
解：由（2）可得，函数在区间 上单调递增，
,，
在区间上的取值范围为 ．
15.已知， .
（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求 的值；
解：
，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以 ，
则 ，所以，所以 ，
所以 .
（2）若函数的图象关于对称，且函数在 上单调，
求 的值．
解：由的图象关于 对称，
得， ，所以，.
由， ，得，
又函数在 上单调，所以
解得，所以 .
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）若函数 ，
则( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线 对称
C.的最小值为
D.的单调递减区间为,
√
√
√
[解析] 由,得的定义域为, .
对于A，当时， ，不在定义域内，故选项A错误；
对于B，，
所以 的图象关于直线 对称，故选项B正确；
对于C，， ，
，
设，, ,
则，
由得，由 得，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
故，即 ，故选项C正确；
对于D，在上单调递减，在上单调递增，
令 ，可得，
又的定义域为, ，所以 ,，
因为 在每一个区间，上都单调递增，
所以 的单调递减区间为,，故选项D正确.故选 .
【知识聚焦】 1.(1) (2)
2. [1,1] [1,1] 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [π+2kπ,2kπ]
[2kπ,π+2kπ] (kπ,0) x=kπ+ x=kπ
【对点演练】 1.[1,3] π+4kπ(k∈Z) 4π 2.(k∈Z)
3. 4.±1 5.1 6.
课堂考点探究
例1(1) D (2)A 变式题
例2(1)2 (2) 变式题(1)A (2) A (3)3+
例3(1) ABC (2)B 例4(1)B (2)A 例5 C
【应用演练】1.A 2.D 3.B 4.B 5.BCD
教师备用习题
例1 C 例2 C 例3 AC 例4
基础热身
1.B 2.C 3.C 4.D 5.BC 6. 7.
综合提升
8.D 9.B 10.BC 11.AD 12. (1)π (2) 2 13.2
14.(1)0 (2) (k∈Z) (3)
15.(1) (2)1
能力拓展
16. BCD
