培优专题(三) 三角函数中的参数范围问题
例1 (1)A (2)C [解析] (1)由x∈(0,π),得ωx+∈,因为f(x)在(0,π)上有且仅有2个极值点,所以2π<ωπ+≤3π,解得<ω≤.由x∈,得ωx+∈,因为f(x)在上单调递增,ω>0,所以k∈Z,解得+6k≤ω≤4+,k∈Z.综上,≤ω≤.故选A.
(2)∵函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的图象的一条对称轴为直线x=-,∴-+φ=k1π+,k1∈Z,∴φ=k1π++,k1∈Z,当ωx+k1π++=k2π+,k1,k2∈Z时,令k=k2-k1,得x=-,k∈Z,又f(x)在上单调,∴存在k∈Z,使得解得k≤ω≤(k+1),k∈Z,由k≤(k+1),k∈Z,ω>0,得0≤k≤,故当k=3时,ω取得最大值.故选C.
【自测题】
(1)D (2) [解析] (1)因为f(x)=2sin ωx(sin ωx+cos ωx)=2sin2ωx+
2sin ωxcos ωx=sin 2ωx-cos 2ωx+=2sin+,由x∈,且ω>0,得2ωx-∈,由f(x)在上单调递增,得-≤,所以0<ω≤.因为对任意的实数a,f(x)在(a,a+π)上不单调,所以f(x)的周期T=<2π,所以ω>,所以<ω≤.故选D.
(2)因为f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,x∈,且ω>1,所以2ωx+∈,且-ω+<0<ω+,由f(x)在上单调,得所以1<ω≤2,又因为f(x)的一个零点是,所以πω+=kπ,k∈Z,解得ω=k-,k∈Z,所以ω=.
例2 (1)A (2)C [解析] (1)当x∈[0,π]时,ωx-∈(ω>0),依题意可得≤ωπ-<,解得ω∈,故选A.
(2)由题意知,曲线C为y=sin=sin的图象,又C关于y轴对称,所以+=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω>0,故当k=0时,ω取得最小值,为.故选C.
【自测题】
C [解析] 当x∈时,ωx∈,因为函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在上只有一个极值点,所以得<ω≤3.故选C.
例3 (1)D (2)BC [解析] (1)依题意,f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx,当x∈(0,2π)时,3ωx∈(0,6ωπ),若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故选D.
(2)因为f(x)≥f,所以当x=时,函数f(x)取得最小值,即直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,又因为f=2,所以f(0)=2,即f(0)=mcos 0+2sin 0=2,所以m=2,所以f(x)=
2cos ωx+2sin ωx=4=4sin,所以ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=+8k,k∈Z,当k=0时,ω=,当k=1时,ω=.故选BC.
【自测题】
[解析] f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx+1=sin+1,由x∈[0,π),ω>0,得2ωx+∈,因为f(x)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,所以<2πω+≤,解得<ω≤.
例4 [2,3) [解析] 因为x∈[0,2π],ω>0,所以ωx∈[0,2ωπ],若函数f(x)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则需满足4π≤2ωπ<6π,所以2≤ω<3.
【自测题】
C [解析] 因为x∈(0,π),ω>0,所以ωx+∈,要使函数在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,则<ωπ+≤3π,解得<ω≤.故选C.培优专题(三) 三角函数中的参数范围问题
在三角函数的图象与性质中,求ω的值或取值范围是高考命题中的一个热点,由于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用,所以与其有关的问题灵活多样,历来是学习的难点,以下举例说明在不同条件下ω的求法.
类型一 三角函数的单调性与ω的关系
例1 (1)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0,π)上有且仅有2个极值点,且在上单调递增,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·湖北鄂州鄂南高中一模] 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的图象的一条对称轴为直线x=-,且f(x)在上单调,则ω的最大值为 ( )
A. B.2
C. D.
总结反思
已知函数在某区间上的单调性求ω时,由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
自测题
(1)[2024·福建福州质检] 函数f(x)=2sin ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0)在上单调递增,且对任意的实数a,f(x)在(a,a+π)上不单调,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·安徽马鞍山质检] 已知函数f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx(ω>1)的一个零点是,且f(x)在上单调,则ω= .
类型二 三角函数的对称性与ω的关系
例2 (1)[2024·内蒙古呼和浩特一模] 已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有两条对称轴,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2022·全国甲卷] 将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是 ( )
A. B.
C. D.
总结反思
利用函数的对称性求ω:三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究ω的取值范围.
自测题
若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上只有一个极值点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
类型三 三角函数的最值与ω的关系
例3 (1)[2024·广西桂林三模] 已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)已知函数f(x)=mcos ωx+2·sin ωx,若f=2,且f(x)≥f,则ω的取值可能是 ( )
A. B.
C. D.
总结反思
利用三角函数的最值与其图象的对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
自测题
[2024·安徽合肥一六八中学三模] 已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+(ω>0)在区间[0,π)上只有一个零点和两个最大值点,则ω的取值范围是 .
类型四 三角函数的零点与ω的关系
例4 [2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
总结反思
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究ω的取值.
自测题
设函数f(x)=sin(ω>0)在区间(0,π)上恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.培优专训(三) 三角函数中的参数范围问题
1.A [解析] 依题意得函数f(x)的最小正周期T==2×=π,解得ω=2.
2.C [解析] 因为函数f(x)=3sin的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于2π,且ω>0,所以T=2π=,可得ω=1.故选C.
3.D [解析] 函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,当x∈时,ωx∈,则ω≤,解得0<ω≤2,故选D.
4.B [解析] 将f(x)的图象向右平移1个单位长度后,可得函数g(x)=sin[ω(x-1)+1]=sin(ωx-ω+1)的图象,由g(x)的图象关于原点对称,得-ω+1=kπ,k∈Z,即ω=1-kπ,k∈Z.又ω>0,所以ω的最小值为1.故选B.
5.D [解析] 因为0≤x≤2π,所以-≤ωx-≤2ωπ-,又函数f(x)=cos(ω>0)的图象在区间[0,2π]内恰有3条对称轴,所以2π≤2ωπ-<3π,解得≤ω<,故选D.
6. [解析] 令t=ωx-,∵x∈(0,π),∴t∈,又f(x)在区间(0,π)上有且仅有三个零点,∴2π<ωπ-≤3π,解得<ω≤.
7.2 [解析] ∵函数f(x)图象的对称中心到对称轴的最短距离为,两条对称轴间的最短距离为,∴对称中心到对称轴x=的距离用周期可表示为-=+,k∈N,又∵T=,∴ω=2+4k,k∈N,∴当k=0时,ω有最小值2.
8.D [解析] 当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴
(k∈Z),解得(k∈Z),又ω>0,∴(k∈Z),解得9.D [解析] 当x0∈时,ωx0+∈,依题意有<+≤,解得<ω≤,则ω的取值范围为.故选D.
10.D [解析] 由题设有f(x)=+sin ωx-=sin,令f(x)=0,则有ωx-=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z.因为f(x)在区间(π,2π)内没有零点,所以存在整数k,使得≤π<2π≤,k∈Z,即k∈Z,因为ω>0,所以k≥-1且k+≤+,k∈Z,故k=-1或k=0,所以0<ω≤或≤ω≤,故选D.
11. [解析] 函数f(x)=cos ωx-sin ωx=2=2cos,因为x∈(0,2π),ω>0,所以ωx+∈.因为函数f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点,所以2π<2ωπ+≤3π,解得<ω≤.
12.∪ [解析] 由题意可得,g(x)=sin ω=sin,由x∈,得ωx-∈,因为g(x)在区间上单调递增,所以--≥-,解得0<ω≤3.由x∈,得ωx-∈,又0<ω≤3,所以-<ωx-<,因为g(x)在区间上有且仅有1个零点,设为x0,所以ωx0-=0或ωx0-=π或ωx0-=2π.当ωx0-=0时,-<0,0<ωπ-≤π,可得ω∈;当ωx0-=π时,0≤-<π,π<ωπ-≤2π,解得ω∈;当ωx0-=2π时,π≤-<2π无解.综上,ω的取值范围为∪.培优专训(三) 三角函数中的参数范围问题
(时间:45分钟)
1.若直线x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象的两条相邻的对称轴,则ω= ( )
A.2 B.
C.1 D.
2.已知函数f(x)=3sin(其中ω>0)的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于2π,则ω的值为 ( )
A. B.2 C.1 D.3
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,则ω的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.2
4.将函数f(x)=sin(ωx+1)(ω>0)的图象向右平移1个单位长度后,得到的图象关于原点对称,则ω的最小值为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
5.已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象在区间[0,2π]内恰有3条对称轴,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·江西九江三模] 已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有三个零点,则ω的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为点,则ω的最小值为 .
8.[2024·广东湛江一模] 已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是 ( )
A.[2,5] B. [1,14]
C. [9,10] D. [10,11]
9.[2025·唐山模拟] 若有且仅有一个x0∈,使得函数f(x)=2sin(ω>0)在x0处取得最小值,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
10.[2025·山西大学附中月考] 已知函数f(x)=sin2+sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.∪
11.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0),若f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点,则ω的取值范围是 .
12.[2024·湖南邵阳三模] 将函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间上单调递增,且在区间上有且仅有1个零点,则ω的取值范围为 . (共52张PPT)
培优专题（三） 三角函数中的参数
范围问题
类型一
类型二
类型三
类型四
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
在三角函数的图象与性质中，求 的值或取值范围是高考命题
中的一个热点，由于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、
对称性、最值等性质的综合应用，所以与其有关的问题灵活多样，
历来是学习的难点，以下举例说明在不同条件下 的求法．
类型一 三角函数的单调性与 的关系
例1（1）已知函数在 上有且仅有
2个极值点，且在上单调递增，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，
因为在 上有且仅有2个极值点，
所以 ，解得 .
由，得，
因为在 上单调递增，，
所以 ，解得，.
综上， ．故选A.
（2）[2024·湖北鄂州鄂南高中一模]已知函数
的图象的一条对称轴为直线，且在
上单调，则 的最大值为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 函数 的图象的一条对称轴为
直线，， ，，，
当， ,时，
令，得，，又在 上单调，
存在，使得 解得，，
由，， ，得，
故当时， 取得最大值 .故选C.
[总结反思]
已知函数在某区间上的单调性求 时，由所给区间求出整体角的范
围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不
等式（组）求解．
自测题（1）[2024·福建福州质检]函数
在 上单调递增，且对任意的实数，在
上不单调，则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 ，
由，且，得，
由在 上单调递增，得，所以.
因为对任意的实数，在上不单调，
所以的周期 ，所以，所以 ．故选D.
（2）[2024·安徽马鞍山质检] 已知函数
的一个零点是，且 在上单调，则 __.
[解析] 因为 ,，
且，所以 ,且，
由在 上单调，得所以，
又因为的一个零点是 ，
所以 ,，解得,，所以 .
类型二 三角函数的对称性与 的关系
例2（1）[2024·内蒙古呼和浩特一模]已知函数
的图象在区间 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
依题意可得，解得 ，故选A.
√
（2）[2022·全国甲卷]将函数 的图象向左平移
个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，曲线 为
的图象，
又关于 轴对称，所以 ，，
解得， ，
又，故当时， 取得最小值，为 .故选C.
√
[总结反思]
利用函数的对称性求三角函数图象两条相邻对称轴或两个相邻对
称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水
平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周
期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于 的不
等式组，进而可以研究 的取值范围．
[解析] 当时， ，
因为函数在 上只有一个极值点，
所以得 .故选C.
自测题 若函数在区间 上只有一个极
值点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
类型三 三角函数的最值与 的关系
例3（1）[2024·广西桂林三模]已知函数
在 上有最小值没有最大值，则的取
值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，
，当时，，
若在 上有最小值没有最大值，
则 ，所以. 故选D.
√
（2）（多选题）已知函数 ，若
，且，则 的取值可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为,所以当时，函数 取得最小值，
即直线是函数图象的一条对称轴，
又因为 ，所以，
即，所以，
所以
，
所以 ,，解得,,
当 时，,当时，.故选 .
[总结反思]
利用三角函数的最值与其图象的对称轴或周期的关系，可以列出关
于 的不等式（组），进而求出 的值或取值范围.
[解析] ，
由， ，得，
因为在区间 上只有一个零点和两个最大值点，
所以，解得 .
自测题 [2024·安徽合肥一六八中学三模] 已知函数
在区间 上只有一
个零点和两个最大值点，则 的取值范围是______．
类型四 三角函数的零点与 的关系
例4 [2023· 新课标Ⅰ卷] 已知函数 在区间
有且仅有3个零点，则 的取值范围是______.
[解析] 因为,，所以，
若函数 在区间有且仅有3个零点，
则需满足 ，所以 .
[总结反思]
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，
可以研究 的取值.
自测题 设函数在区间 上恰有三个
极值点、两个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
要使函数在区间上恰有三个极值点、两个零点，
则 ，解得 ．故选C.
√
【备选理由】例1考查了辅助角公式、三角函数的单调性以及利用单调
性求参数 的取值范围；
例1 ［配例1使用］ 已知函数
在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一:由题知
，
令 ，,
因为 ,所以,.
因为在 上单调递增，
所以且 ，,
得， .
由，得，
又且，所以 ,所以 .故选C.
方法二:由题知
，
由 ，得，
设的最小正周期为 ，则由题意得，所以，
从而 ,
结合函数在上单调递增，在 上单调递增，得 且 ，解得 .故选C.
例2 ［配例2使用］ [2024·山东烟台三模] 若函数
的图象在 上有且只有一条对称轴和一个对
称中心，则正整数 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
【备选理由】 例2考查了利用三角函数的对称性求参数的值；
[解析] 由题意且 是整数，
由 ，得，
因为函数的图象在 上有且只有一条对称轴
和一个对称中心，所以 , ，
解得,，即 .故选C.
例3 ［配例2、例3使用］ [2025·江苏如皋模拟] 已知 ，函数
的图象在上有三条对称轴，且
在 上有两个极小值，则( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】 例3考查了三角函数的对称性、最值以及利用对称性、最值求参数 的取值范围，考查了运算求解能力；
[解析] 当时，由，得 ，
由函数的图象在上有三条对称轴，得 ，
由函数在上有两个极小值点，得 ，
显然无解；
当时，由，得 ，
则解得 ，故选C.
例4 ［配例4使用］ [2024·湖南九校联盟联考] 已知函数
，若沿轴方向平移 的图象，总能保证平移后
的曲线与直线在区间 上至少有2个交点，至多有3个交点，
则正实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】 例4考查了辅助角公式、三角函数图象变换、三角函数的零点等基础知识，考查了化归转化思想.
[解析] 由，可得 ，
若沿 轴方向平移，考虑其任意性，
不妨设得到函数的图象.
令，即 , ，
取 ，则.
依题意知， 在上至少有2解，至多有3解，
则需使区间 的长度在 到之间，
即，解得 .故选A.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.若直线，是函数 图象的两条相
邻的对称轴，则 ( )
A.2 B. C.1 D.
[解析] 依题意得函数的最小正周期 ，
解得 .
√
2.已知函数其中的图象与直线 的
两个相邻交点的距离等于 ，则 的值为( )
A. B.2 C.1 D.3
[解析] 因为函数的图象与直线 的两个相
邻交点的距离等于 ，且，所以，可得．
故选C.
√
3.若函数在上单调递增，则 的最大值
为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 函数在上单调递增，
当 时，，则，解得 ，故选D.
√
4.将函数 的图象向右平移1个单位长度后，
得到的图象关于原点对称，则 的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.4
[解析] 将 的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
由 的图象关于原点对称，得 ，，
即 ， .
又，所以 的最小值为1.故选B.
√
5.已知函数的图象在区间 内恰有3
条对称轴，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以 ，
又函数的图象在区间 内恰有3条
对称轴，所以 ，解得 ，故选D.
√
6.[2024·江西九江三模] 已知函数 在区间
上有且仅有三个零点，则 的取值范围是_ ______.
[解析] 令,,，
又 在区间上有且仅有三个零点，
，解得 .
7.已知函数 的图象的一条对称轴为直线
，一个对称中心为点，则 的最小值为___.
2
[解析] 函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为 ，两条对
称轴间的最短距离为， 对称中心到对称轴 的距离用
周期可表示为，，
又， ，， 当时， 有最小值2.
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·广东湛江一模]已知函数 在区间
上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时，，
在上单调递增，
，解得，
又 ，，解得，
又 ，，，即 的取值范围为 .故选D.
9.[2025·唐山模拟]若有且仅有一个 ,使得函数
在处取得最小值，则 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
依题意有，解得，
则 的取值范围为 .故选D.
√
10.[2025·山西大学附中月考]已知函数
，.若在区间 内没有零点，则 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题设有 ，
令，则有 ,，即,.
因为 在区间内没有零点，所以存在整数 ，
使得，,即,
因为 ，所以且，,故或，
所以 或 ，故选D.
11.已知函数,若在区间
上有且仅有2个极值点，则 的取值范围是______．
[解析] 函数
,
因为,，所以.
因为函数 在区间上有且仅有2个极值点，
所以 ，解得 .
12.[2024·湖南邵阳三模] 将函数 的图象向右平
移个单位长度后得到函数的图象，若在区间 上
单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则 的取值范围为
_ ____________.
[解析] 由题意可得， ，
由，得，
因为 在区间上单调递增，所以，
解得 .
由，得，
又 ，所以 ，
因为在区间 上有且仅有1个零点，
设为,所以或 或 .
当时，， ，可得 ；
当 时， ， ，
解得；
当 时， 无解.
综上， 的取值范围为 .
类型一
例1(1)A (2)C 自测题(1) D (2)
类型二
例2(1)A (2)C 自测题 C
类型三
例3(1)D (2)BC 自测题
类型四
例4 [2,3) 自测题 C
教师备用习题
例1 C 例2 C 例3 C 例4 A
基础热身
1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6. 7.2
综合提升
8.D 9.D 10.D 11. 12.∪
