第28讲 余弦定理、正弦定理
【对点演练】
1.1 [解析] 因为在△ABC中,A=30°,C=45°,c=,所以由正弦定理可得=,即a=·sin A=×sin 30°=×=1.
2. [解析] 因为b2+c2=a2+bc,所以由余弦定理可得cos A===,因为0
3. [解析] 因为a=3,b=5,c=7,所以cos C===-,所以sin C=,所以
△ABC的面积S=×3×5×=.
4.A=B A>B [解析] 根据正弦定理知,在△ABC中,sin A=sin B a=b A=B,sin A>
sin B a>b A>B.
5.30°或150° [解析] 由正弦定理得sin B===,因为b>a>bsin A,所以B=30°或150°.
6. 1 [解析] S△ABC=acsin B=×2××=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=4+3-4cos 30°=1,所以b=1.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:根据辅助角公式对条件sin A+cos A=2进行化简处理即可求解;思路二:利用同角三角函数的关系求解.
(2)先根据正弦定理边角互化求出B,然后根据正弦定理求出b,c即可求解.
解:(1)方法一:∵sin A+cos A=2sin=2,A+∈,
∴A+=,即A=.
方法二:由sin A+cos A=2,sin2A+cos2A=1,得4cos2A-4cos A+3=0,解得cos A=,又A∈(0,π),∴A=.
(2)∵bsin C=csin 2B,∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,又sin Bsin C>0,
∴cos B=,则B=,得C=,
由正弦定理得===4,∴b=4sin B=2,c=4sin C=+,
∴△ABC的周长为2+3+.
变式题1 (1)C (2)C [解析] (1)方法一:因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得
sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C,所以A-B=C或A-B+C=π(舍).因为C=,A+B+C=π,所以A+B=.所以B=.故选C.
方法二:由余弦定理得a·-b·=c,整理得a2=b2+c2,所以△ABC为直角三角形,且A=,又C=,所以B=.故选C.
(2)因为B=60°,b2=ac,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac,即a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C=,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+
2sin Asin C=,则sin A+sin C=,故选C.
变式题2 解:(1)由=及正弦定理可得,=,
即3sin Bcos C-sin Acos C=cos Asin C,
所以3sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C).又sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,且sin B≠0,所以cos C=.又sin C>0,所以sin C==.
(2)因为S=absin C=5,所以ab=15.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-10.
又c2=6(a-b)2=6(a2+b2)-180,
所以a2+b2=34,c=2,
所以a+b==8,
故△ABC的周长为a+b+c=8+2.
例2 [思路点拨] (1)利用余弦定理将等式整理得到=,对a2+b2-c2=0或a2+b2-c2≠0分类讨论即可判断;(2)先用二倍角公式化简,结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状.
(1)D (2)D [解析] (1)由a-ccos B=b-ccos A及余弦定理得a-c×=b-c×,化简得=.当a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形;当a2+b2-c2≠0时,得a=b,则△ABC为等腰三角形.综上,△ABC为等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选D.
(2)由题可得a(1+cos C)=b(1-cos A)+a,化简得acos C+bcos A=b,由正弦定理可得
sin Acos C+sin Bcos A=sin B,因为sin B=sin(A+C),所以sin Acos C+sin Bcos A=
sin Acos C+sin Ccos A,即cos A(sin B-sin C)=0,所以cos A=0或sin B=sin C,可得A=或B=C,所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.故选D.
变式题 (1)C (2)ACD [解析] (1)∵a2+b2-c2=ab,∴cos C==,又C∈(0,π),∴C=.由2cos Asin B=sin C,得cos A===,∴b2=a2,即b=a,又C=,∴该三角形为等边三角形,故选C.
(2)对于A,若==,则由正弦定理得==,即tan A=tan B=tan C,则A=B=C,所以△ABC一定是等边三角形,故A正确;对于B,若acos A=bcos B,则由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故B错误;对于C,若bcos C+ccos B=b,则由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,所以sin(B+C)=sin A=sin B,即A=B,所以△ABC一定是等腰三角形,故C正确;对于D,在△ABC中,因为a2+b2cos C<0,所以角C为钝角,所以△ABC一定是钝角三角形,故D正确.故选ACD.
例3 [思路点拨] (1)由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案;(2)由正弦定理可得b=2sin B,c=2sin C,由两角差的正弦公式和辅助角公式可得2c-b=6sin,再由三角函数的性质求解即可.
解:(1)由A+B+C=π可得A=π-(B+C),所以cos A=-cos(B+C),所以acos(B-C)-acos(B+C)=2csin Bcos A,
即acos Bcos C+asin Bsin C-
acos Bcos C+asin Bsin C=2csin Bcos A,即asin Bsin C=csin Bcos A,
由正弦定理可得sin Asin Bsin C=sin Csin Bcos A.因为sin C>0,sin B>0,所以
sin A=cos A,所以tan A=,又A∈(0,π),所以A=.
(2)设△ABC外接圆的半径为R,则由正弦定理可得===2R=2,所以b
=2sin B,c=2sin C,所以2c-b=4sin C-2sin B=2(2sin C-sin B),又A+B+C=π,所以B=-C,C∈,所以2c-b=2=2=6sin,又C∈,所以C-∈,所以2c-b=6sin∈(-3,6),所以2c-b的取值范围为(-3,6).
变式题 解:(1)由已知条件得sin 2B+sin Asin 2B=cos A+cos Acos 2B,
则sin 2B=cos A+cos Acos 2B-
sin Asin 2B=cos A+cos(A+2B)=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]=-cos(B+C)-cos(B-C)=-2cos Bcos C,所以2sin Bcos B=
-2cos Bcos C,所以(sin B+cos C)cos B=0.
由题知1+cos 2B≠0,所以B≠,所以cos B≠0,
所以sin B=-cos C=,可得B=.
(2)由(1)知sin B=-cos C>0,则B=C-,则sin A=sin(B+C)=sin=-cos 2C.由正弦定理得====
=+4sin2C-5≥2-5=4-5,
当且仅当sin2C=时等号成立,所以的最小值为4-5.第28讲 余弦定理、正弦定理
1.D [解析] 由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a===2.故选D.
2.C [解析] 在△ABC中,由余弦定理得cos B===,而03.D [解析] 由题意知△ABC中,B=30°,b=2,c=2,故由=,
得sin C===,由于c>b,故C>B=30°,则C=45°或135°,故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°,故选D.
4.C [解析] 在△ABC中,由=及正弦定理得=,而sin C>0,sin B>0,整理得sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,而05.ABD [解析] 对于A,cos C=1-2sin2=1-2×=,故A正确;对于B,由A选项知cos C=,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25-2×5×=21,故AB=,故B正确;对于C,由于在△ABC中,C∈(0,π),故sin C>0,所以sin C===,所以S△ABC=BC·ACsin C=×5×=,故C错误;对于D,设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理得2R===2,故D正确.故选ABD.
6.3 [解析] 由b2=a2+c2-2accos B,得13=a2+4-4acos 30°,即a2-2a-9=0,所以a=3.
7.或 [解析] 因为a=2,b=1,△ABC的面积为,所以absin C=×2×1×sin C=,解得sin C=.因为0=4+1-2=3,即c=;当C=时,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=4+1+2=7,即c=.综上,c=或.
8.D [解析] 由(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,根据正弦定理可得(a+b)(a-b)=(b+c)c,化简得b2+c2-a2=-bc,所以cos A===-,又因为A∈(0,π),所以A=.设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R===,所以△ABC外接圆的直径为.
9.A [解析] 由b=a,可得sin B=sin A,则sin 2C=sin(π-3C)=sin 3C,所以
sin 2C=sin 2Ccos C+cos 2C·sin C,可化为2cos C=2cos2C+(2cos2C-1),即4cos2C-2cos C-=0,由B=2C>C,得C只能为锐角,可得cos C=,因为010.B [解析] 由余弦定理得cos B=,代入2acos B=c-a得,2a·==c-a,则a2+c2-b2=c2-ac,即b2=a2+ac,所以===,令1+=t,t>1,则g(t)===t++4≥2+4=8,当且仅当t=,即a=c时等号成立,此时cos B=0,即B=,故当△ABC为等腰直角三角形时,取到最小值,且最小值为2.故选B.
11.ACD [解析] 因为a2-b2-c2+bc=0,所以由余弦定理得,cos A==,由A为三角形内角得A=,故A正确;若a=,cos B=,则b2+c2-bc=3,sin B=,所以由正弦定理得===2,所以b=2sin B=,代入b2+c2-bc=3,可得c=,故B错误;若a=2,则b2+c2=4+bc≥2bc,当且仅当b=c=2时取等号,所以bc≤4,所以S△ABC=bcsin A≤×4×=,故C正确;因为bsin C=sin C+cos C=csin B,所以csin B=2sin=2sin(C+A)=2sin B,因为sin B>0,所以c=2,故D正确.故选ACD.
12. [解析] 因为c2sin A=6sin C,所以由正弦定理可得ac2=6c,即ac=6,又(a+c)2=18+b2,所以a2+c2-b2=18-2ac=6,则cos B==,又B∈(0,π),所以sin B=,
所以S△ABC=acsin B=.
13.2 [解析] 由bsin C=csin 2B及正弦定理得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B,因为0=2=2sin=2,所以sin=1,因为014.解:(1)由余弦定理可得,a=2b-2ccos A=2b-2c·,即ab=b2-c2+a2,
∴cos C===,∵C∈(0,π),∴C=.
(2)设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R==,则sin Asin B=·=,解得ab=,∴△ABC的面积S=absin C=××=.
15.解:(1)由a(1-3cos C)=3ccos A及正弦定理得sin A(1-3cos C)=3sin Ccos A,得sin A=
3sin Acos C+3cos Asin C=3sin(A+C)=3sin B,由正弦定理得a=3b,所以=.
(2)由余弦定理得cos B===+≥2=,当且仅当=,即b=时取等号,当cos B取最小值时,B取得最大值,此时a=3b=,c=2,
sin B==,△ABC的面积为acsin B=××2×=.
16.解:(1)由acos C+asin C=b+c及正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0,因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+sin Asin C-sin Acos C-
cos Asin C-sin C=0,即sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
故sin A-cos A=1,所以sin=.因为A∈(0,π),所以A-∈,
故A-=,解得A=.
(2)因为S△ABC=bcsin A,所以bcsin A=10,即×b×5×=10,所以b=8,又因为a2=b2+c2-2bccos A,即a2=64+25-2×8×5×=49,所以a=7.
(3)因为acos C+asin C=b+c,所以=sin C+cos C=2sin,设t=,因为0【课标要求】 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
正弦定理 余弦定理
公式 ===2R a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C
常见 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A=; cos B=; cos C=
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A< ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.面积公式
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B;
S△ABC==(a+b+c)·r(r是△ABC的内切圆半径,R是△ABC的外接圆半径,并可由此计算R,r);
S△ABC=.
常用结论
1.正弦定理的应用
①边化角,角化边:
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
②大边对大角,大角对大边:
a>b A>B sin A>sin B.
③合分比:
=======2R(R是△ABC的外接圆半径).
2.△ABC内角和定理:A+B+C=π.
①sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B c=acos B+bcos A.
同理:a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C.
②sin=cos;cos=sin.
③在△ABC中,内角A,B,C成等差数列 B=,A+C=.
题组一 常识题
1.[教材改编] 在△ABC中,A=30°,C=45°,c=,则a= .
2.[教材改编] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,则角A的大小为 .
3.[教材改编] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则△ABC的面积为 .
题组二 常错题
◆索引:将三角形中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时将解的个数弄错;将余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错.
4.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的大小关系为 ;若sin A>sin B,则A,B的大小关系为 .
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A=,a=3,b= ,则B= .
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=,B=30°,则S△ABC= ,b= .
利用余弦定理、正弦定理解基本量问题
例1 [2024·新课标Ⅱ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A
+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
总结反思
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
变式题1 (1)[2023·全国乙卷] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·全国甲卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C= ( )
A. B. C. D.
变式题2 [2024·武汉模拟] 已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)求sin C的值;
(2)若△ABC的面积S=5,且c=(a-b),求△ABC的周长.
利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状
例2 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a-ccos B=b-ccos A,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
(2)[2025·湖南岳阳一中检测] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2acos2=b(1-cos A)+a,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
总结反思
判断三角形形状的两种思路
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
变式题 (1)在△ABC中,已知a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,则该三角形的形状是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
(2)(多选题)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有 ( )
A.若==,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2解三角形求最值范围问题
例3 [2024·广东湛江一模] 已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2csin Bcos A=0.
(1)求A;
(2)若△ABC外接圆的直径为2,求2c-b的取值范围.
总结反思
破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解.
变式题 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
第28讲 余弦定理、正弦定理
(时间:45分钟)
1.[2024·北京东城区二模] 在△ABC中,A=,C=,b=,则a= ( )
A.1 B.
C. D.2
2.[2024·福建三明质检] 已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=3,b=,c=7,则A+C的值为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·广东江门一模] 在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为 ( )
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
4.[2024·黑龙江省实验中学四模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
5.(多选题)[2024·广西桂林三模] 在△ABC中,sin =,BC=1,AC=5,则 ( )
A.cos C=
B.AB=
C.△ABC的面积为
D.△ABC外接圆的直径是2
6.[2025·江苏苏州调研] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°,b=,c=2,则a= .
7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=1,△ABC的面积为,则c= .
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,a=7,则△ABC外接圆的直径为 ( )
A.14 B.7
C. D.
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则 ( )
A.△ABC为直角三角形
B.△ABC为锐角三角形
C.△ABC为钝角三角形
D.△ABC的形状无法确定
10.[2025·湖北部分州市联考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2acos B=c-a,则的最小值为 ( )
A.2 B.2
C.4 D.4
11.(多选题)[2024·福建龙岩三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2-b2-c2+bc=0,则 ( )
A.A=
B.若a=,cos B=,则c=
C.若a=2,则△ABC面积的最大值为
D. 若bsin C=sin C+cos C,则c=2
12.[2024·河北保定二模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2sin A=6sin C,(a+c)2=18+b2,则△ABC的面积为 .
13.[2025·内蒙古呼和浩特质检] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C=csin 2B,sin A+cos A=2,△ABC外接圆直径为4,则c= .
14.[2025·重庆南开中学月考] 已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2b-2ccos A.
(1)求角C的大小;
(2)若c=4,sin Asin B=,求△ABC的面积.
15.[2025·江西红色十校联考] 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(1-
3cos C)=3ccos A.
(1)求的值;
(2)若c=2,求B取得最大值时△ABC的面积.
16.[2025·黑龙江哈尔滨三中月考] 已知在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且acos C+asin C=b+c.
(1)求角A的大小;
(2)若c=5,△ABC的面积为10,求a,b;
(3)求的取值范围.(共84张PPT)
第28讲 余弦定理、正弦定理
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
◆ 知识聚焦 ◆
1.正、余弦定理
在中，内角，，所对的边分别是，，，为 外
接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
公 式 ；
；
正弦定理 余弦定理
常 见 变 形 ， ， ； ， ， ； ； , , ；
；
续表
2.在中，已知，和 时，解的情况
为锐角 为钝角或直角
图形 _______________________________ ___________________________________ ________________________________ __________________________________
关系式
解的个 数 一解 两解 一解 一解 无解
3.面积公式
；
是的内切圆半径， 是
的外接圆半径，并可由此计算， ；
.
常用结论
1.正弦定理的应用
①边化角，角化边：
.
②大边对大角，大角对大边：
.
③合分比：
（是 的外接圆半径）.
2.内角和定理： .
.
同理：， .
； .
③在中，内角，，成等差数列, .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 在中， ， ，，则
___.
1
[解析] 因为在中， ， ， ，
所以由正弦定理可得 ，
即 .
2.［教材改编］ 在中，内角，，所对的边分别是， ，
，若，则角 的大小为__.
[解析] 因为 ，
所以由余弦定理可得，
因为 ，所以 .
3.［教材改编］ 在中，内角，，的对边分别是，， ，
若，，，则 的面积为_ ____．
[解析] 因为，， ，
所以，
所以，所以 的面积 .
题组二 常错题
◆索引：将三角形中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时
将解的个数弄错;将余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应
关系弄错.
4.在中,若,则, 的大小关系为_______;若
,则, 的大小关系为_______.
[解析] 根据正弦定理知,在 中，
, .
5.在中,内角,,的对边分别为,,,已知， ，
,则 ___________.
或
[解析] 由正弦定理得,
因为 ,所以 或 .
6.在中,内角,,所对的边分别为,,,若, ,
,则_ __, ___.
1
[解析] .
由余弦定理得,
所以 .
探究点一 利用余弦定理、正弦定理解基本量问题
例1 [2024· 新课标Ⅱ卷] 记的内角，，的对边分别为, ,
,已知 .
（1）求 ；
［思路点拨］思路一：根据辅助角公式对条件 进
行化简处理即可求解；
解：方法一：, ,
,即 .
方法二：由， ，
得，解得，
又 ， .
［思路点拨］ 思路二：利用同角三角函数的关系求解.
（2）若,,求 的周长.
［思路点拨］先根据正弦定理边角互化求出 ，然后根据正弦定理求
出, 即可求解.
解：, ,
又 ,,则，得 ，
由正弦定理得,
, ，
的周长为 .
[总结反思]
（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理
列出关于未知元素的方程（组），通过解方程（组）求得未知元素.
（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互
化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知
条件化为三角形边的关系.
变式题1（1）[2023·全国乙卷]在中，内角，， 的对边分
别是,,,若,且,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为 ，所以由正弦定理得
，即 ，
所以或 （舍）.
因为， ，所以.所以 .故选C.
方法二：由余弦定理得 ，
整理得，
所以为直角三角形，且，
又 ，所以 .故选C.
（2）[2024·全国甲卷]记的内角，，的对边分别为,, ,
已知 ,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,,所以 .
由余弦定理可得,即 ,
所以 ,
所以 ,
则 ,故选C.
√
变式题2 [2024·武汉模拟] 已知三个内角,, 所对的边分别
为,,，且 .
（1）求 的值；
解：由及正弦定理可得， ，
即 ，
所以 .
又，且，所以 .
又，所以 .
（2）若的面积，且，求 的周长.
解：因为，所以 .
由余弦定理，得 .
又 ，所以, ，
所以 ，
故的周长为 .
探究点二 利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状
例2（1）在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
［思路点拨］利用余弦定理将等式整理得到 ，对
或 分类讨论即可判断；
√
[解析] 由 及余弦定理得
，化简得 .
当，即时， 为直角三角形；
当时，得，则 为等腰三角形.
综上， 为等腰三角形或直角三角形，故D正确．故选D.
（2）[2025·湖南岳阳一中检测]在中，内角,, 的对边分别
为,,，已知，则 的形状是
( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
［思路点拨］先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和
定理化简判断三角形形状.
√
[解析] 由题可得 ，
化简得 ，
由正弦定理可得，
因为 ，所以
，即，
所以或，可得 或,
所以 为直角三角形或等腰三角形．故选D.
[总结反思]
判断三角形形状的两种思路
（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三
角形的形状.
（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形
的形状.此时要注意应用 这个结论.
变式题（1）在中,已知 ,且
,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
[解析] ,,
又 ,.
由,得 ,
,即,
又, 该三角形为等边三角形，故选C.
√
（2）（多选题）已知的内角，，所对的边分别为， ，
，则下列说法中正确的有( )
A.若，则 一定是等边三角形
B.若，则 一定是等腰三角形
C.若，则 一定是等腰三角形
D.若，则 一定是钝角三角形
√
√
√
[解析] 对于A，若 ，则由正弦定理得
，即，则 ，
所以一定是等边三角形，故A正确；
对于B，若 ，则由正弦定理得，
即 ，则或 ，
即或 ，所以 是等腰三角形或直角三角形，
故B错误；
对于C，若 ，则由正弦定理得
，所以 ，
即，所以 一定是等腰三角形，故C正确；
对于D，在中，因为，且 ，
所以,所以角为钝角，所以 一定是钝角三角形，
故D正确. 故选 .
探究点三 解三角形求最值范围问题
例3 [2024·广东湛江一模] 已知在中，内角，， 的对边分
别为，，，且 ．
（1）求 ；
［思路点拨］由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可
得出答案；
解：由 可得 ，
所以 ，
所以 ，
即
，即 ，
由正弦定理可得
因为 , ，所以，所以，
又 ，所以 .
（2）若外接圆的直径为，求 的取值范围．
［思路点拨］由正弦定理可得, ，由两角差
的正弦公式和辅助角公式可得 ，再由三角函数
的性质求解即可.
解：设外接圆的半径为 ，
则由正弦定理可得，
所以, ，
所以 ，
又 ，所以,，所以 ，
又，所以 ，所以，所以的取值范围为 .
[总结反思]
破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是
角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值
范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求
解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解.
变式题 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记的内角，， 的对边分别
为,,,已知 .
（1）若,求 ；
解：由已知条件得 ，
则 ，
所以 ，所以 .
由题知，所以，所以 ,
所以,可得 .
（2）求 的最小值.
解：由（1）知，则 ，
则 .
由正弦定理得
，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为 .
【备选理由】例1考查了两角和与差的余弦公式的化简以及利用正弦
定理、余弦定理解三角形；
例1 ［配例1使用］ [2025·浙江名校协作体模拟] 已知在 中，
内角,,所对的边分别为,,，且满足, ，
.
（1）求角 的值；
解：由题意得
，即，
，，
又 ， .
，，为锐角，因此 .
（2）若的面积为，求 的周长.
解：由， ，得
，得 ，因此可得， ，
为等腰直角三角形，
，可得， ，
因此的周长为 .
例2 ［配例2使用］ 已知的内角,,所对的边分别为,, ,
且，且，则 是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
[解析] 因为 ，，所以 .
因为，所以由正弦定理得 ，
又由余弦定理得，所以 ，
整理得，所以，所以 是等边三角形.故选B.
√
【备选理由】 例2考查了利用正、余弦定理判定三角形形状的问题;
例3 ［配例3使用］ [2025·南通模拟] 记的内角,, 的对边
分别为,,，已知 .
（1）求 ；
【备选理由】 例3考查最值问题.
解：由，根据正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以，则 ，不合题意，
则，可得 .
在中，，解得 .
（2）设，求 的最大值.
解：由，得 ，
根据正弦定理，可得 ，
在中，，则 ，
则 ，
在中，易知，
所以当时， 取得最大值，即为 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.[2024·北京东城区二模]在中，,,，则
( )
A.1 B. C. D.2
[解析] 由题意可得，
由正弦定理 可得 .故选D.
√
2.[2024·福建三明质检]已知在中，，，分别为内角， ，
的对边，,,，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 在 中，由余弦定理得
，
而 ，则 ，所以 .故选C.
√
3.[2024·广东江门一模]在中， ,, ，则角
的大小为( )
A. B. 或 C. D. 或
[解析] 由题意知中， ,, ，
故由，得，
由于 ，故， 则 或 ，
故 的大小为 或 ，
故选D.
√
4.[2024·黑龙江省实验中学四模]在中，内角，， 所对的边
分别为，，，若，则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 在中，由及正弦定理得 ，
而,，整理得 ，
即，
而 , ， ，
则 , ， ，
因此 或 ，即或，
所以 是等腰三角形或直角三角形.故选C.
5.（多选题）[2024·广西桂林三模] 在中，, ,
，则( )
A. B.
C.的面积为 D.外接圆的直径是
√
√
√
[解析] 对于A， ，故A正确；
对于B，由A选项知 ，由余弦定理得
，故，故B正确；
对于C，由于在中， ，故，
所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D，设外接圆半径为，
则由正弦定理得 ，故D正确.故选 .
6.[2025·江苏苏州调研] 已知的内角，，的对边分别为 ，
，，若 ，，，则 _____.
[解析] 由，得 ，
即，所以 ．
7.已知的内角,,的对边分别为,,，若,,
的面积为，则 ________．
或
[解析] 因为,,的面积为 ，
所以，解得.
因为 ，所以或.
当 时，由余弦定理可得
，即；
当 时，由余弦定理可得
，即.
综上，或 .
◆ 综合提升 ◆
8.在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，，则 外接圆的直
径为( )
A.14 B.7 C. D.
√
[解析] 由 ，
根据正弦定理可得，
化简得 ，所以，
又因为，所以 .
设外接圆的半径为，由正弦定理可得 ，
所以外接圆的直径为 .
9.在中，内角，，的对边分别为，，，且 ，
，则( )
A.为直角三角形 B. 为锐角三角形
C.为钝角三角形 D. 的形状无法确定
√
[解析] 由，可得 ，
则 ，
所以 ，
可化为 ，
即，
由，得 只能为锐角，可得，
因为，所以，所以， .故选A.
10.[2025·湖北部分州市联考]在中，内角,,的对边分别是 ,
,，且，则 的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
√
[解析] 由余弦定理得，代入 得，
，则 ，
即，所以 ，
令， ，则
，当且仅当，即时等号成立，
此时，即 ，
故当为等腰直角三角形时，取到最小值，且最小值为 .
故选B.
11.（多选题）[2024·福建龙岩三模] 在中，内角,, 所对的
边分别为,,,且 ，则( )
A.
B.若,，则
C.若，则面积的最大值为
D.若，则
√
√
√
[解析] 因为 ，所以由余弦定理得，
，由为三角形内角得 ，故A正确；
若,，则， ，
所以由正弦定理得，所以，
代入 ， 可得，故B错误；
若，则 ，
当且仅当时取等号，所以 ，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以c，
因为 ，所以，故D正确．故选 .
12.[2024·河北保定二模] 在中，内角，， 的对边分别为
，，，若，，则 的面
积为_ ___.
[解析] 因为，所以由正弦定理可得 ，
即，
又，所以 ，
则，
又,所以 ，所以 .
13.[2025·内蒙古呼和浩特质检] 记的内角,, 的对边分别为
,,.已知，, 外接圆直
径为4，则 _____.
[解析] 由 及正弦定理得，
因为 , ，所以,，
所以，故 .
因为 ，
所以，
因为 ，所以，可得 ，所以.
因为 外接圆的直径为4，
所以由正弦定理得，则 .
14.[2025·重庆南开中学月考] 已知中，内角,, 的对边分别
为,,，且满足 .
（1）求角 的大小；
解：由余弦定理可得， ，
即，,
, .
（2）若，,求 的面积.
解：设的外接圆的半径为，由正弦定理可得 ，
则，解得,
的面积 .
15.[2025·江西红色十校联考] 已知中，内角，， 所对的边
分别为，，，且 .
（1）求 的值；
解：由 及正弦定理得
，
得 ，
由正弦定理得，所以 ．
（2）若，求取得最大值时 的面积．
解：由余弦定理得
，当且仅当，即时取等号，
当取最小值时， 取得最大值，
此时，，，
的面积为 ．
◆ 能力拓展 ◆
16.[2025·黑龙江哈尔滨三中月考] 已知在中，，， 分别是
内角，，所对的边，且 ．
（1）求角 的大小；
解：由 及正弦定理得
，
因为 ，
所以 ，
即，
因为 ，所以，
故，所以 .
因为，所以 ，故，解得 .
（2）若，的面积为，求， ；
解：因为，所以 ，
即，所以，
又因为 ，
即，所以 .
（3）求 的取值范围．
解：因为 ，
所以，
设，因为 ，所以.
由（1）知 ，由余弦定理，
得 ，所以，
所以 ，
所以，
故当 时，取最小值；
当时，取最大值 ．
所以的取值范围是 ．
【对点演练】1.1 2. 3. 4.A=B A>B 5.30°或150° 6. 1
课堂考点探究
例1(1) (2) 2+3+ 变式题1(1)C (2) C 变式题2 (1) (2) 8+2
例2(1)D (2)D 变式题(1)C (2)ACD
例3(1) (2) (3,6) 变式题(1) (2) 4 5
教师备用习题
例1(1) (2) 1+ 例2 B 例3(1) (2) 6+2
基础热身
1.D 2.C 3.D 4.C 5.ABD 6. 3 7. 或
综合提升
8.D 9.A 10.B 11.ACD 12. 13. 2 14. (1) (2)
15. (1) (2)
能力拓展
16. (1) (2)a= ,b=8 (3)