第五单元 平面向量与复数
第31讲 平面向量的概念及其线性运算
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.大小 方向 大小 |a| || 0
1个单位长度 1 长度 方向 a=b
相同 相反 a∥b 平行
【对点演练】
1. [解析] 将平移到,平移到,故++=++=.
2. [解析] ∵λa+b与a+2b共线,∴存在实数μ使得λa+b=μ(a+2b),∴∴
3.b-a -a-b
[解析] 如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
4.充分不必要 [解析] a=b |a|=|b|,充分性成立,|a|=|b| / a=b,必要性不成立,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.
5.平行四边形 [解析] 在平面四边形ABCD中,因为=,所以AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四边形.
6.[2,6] [解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,判断正误即可.
AC [解析] 对于A,向量与向量的长度相等,方向相反,故A正确;对于B,当向量a与b平行,且a或b为零向量时,不满足条件,故B错误;对于C,两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确;对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.故选AC.
变式题 (1)BD (2)A [解析] (1)零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;若a,b都是零向量,则它们必相等,故B正确;若a,b都为单位向量,则a与b长度相等,但方向不一定相同,故C错误;由向量相等的定义知D正确.故选BD.
(2)=等价于a与b同向,当a=3b时,a与b同向,故选A.
例2 [思路点拨] (1)利用平行四边形的特点及平行四边形法则与三角形法则判断即可.(2)根据充分性、必要性的定义,结合向量减法的几何意义判断条件间的推出关系,即可得到答案.
(1)C (2)A [解析] (1)在平行四边形中,=,≠.∵|+|=|-|,∴||=||,∴平行四边形ABCD是矩形.故选C.
(2)如图,由|a-b|≤1,|b-c|≤2,得|a-c|≤|a-b|+|b-c|≤3,充分性成立;当|a-c|≤3时,不一定有|a-b|≤1,|b-c|≤2,必要性不成立.综上,“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的充分不必要条件.故选A.
例3 [思路点拨] (1)结合已知条件及向量减法的三角形法则求解即可.(2)根据向量的加减法法则,结合已知条件逐个分析判断即可.
(1)B (2)D [解析] (1)因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,所以-=2(-),所以=-2+3=-2m+3n.
(2)如图,因为在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,所以==,==.因为=++,=++,所以2=+++++=+,所以A不符合题意;因为=+,=+,所以+=+++=+,所以B不符合题意;因为=+,=+,所以+=+++=+,所以C不符合题意;因为+=+++=+=-(+),所以D符合题意.故选D.
例4 [思路点拨] (1)由O是△ABC的重心可得++=0,结合已知条件可得λ的值.(2)利用平面向量的线性运算求出m,n,即可求出m+n.
(1)C (2)B [解析] (1)由题知+2+λ=+2+λ(-)=+(2-λ)+λ=0.∵O是△ABC的重心,∴++=0,∴(2-λ)+λ=+,又与不共线,∴λ=1.故选C.
(2)因为==(+)===+=m+n,所以m=,n=,所以m+n=,故选B.
【应用演练】
1.B [解析] 如图,由题知=(+)===-+,所以=-+.故选B.
2.AD [解析] 对于A,因为D是AB的中点,所以=,因为=+,所以=+,所以A正确;对于B,由向量加法的三角形法则,得=+=+=-+,所以B错误;对于C,=+=-,所以C错误;对于D,因为D是AB的中点,所以=+,所以D正确.故选AD.
3.BC [解析] 当点D在线段BC上时,如图①,=+=+=+(-)=+=+,此时==.当点D在线段BC的延长线上时,如图②,=+=+=+(-)=-+=-+,此时==-.故选BC.
4. [解析] 由题知2+3=-m,则+=-,设-=,则=+,因为+=1,所以A,B,D三点共线,则与反向共线,所以m>0,所以=,所以=,因为=,所以=,解得m=.
5.2 [解析] 因为四边形ABCD是边长为1的正方形,=a,=b,=c,所以a-b+c=-+=-+(+)=2,又||=1,所以|a-b+c|=|2|=2.
例5 [思路点拨] (1)利用共线向量定理即可得到答案.(2)将=λ+化为=λ,根据共线向量定理可判定.
(1)C (2)B [解析] (1)因为c与d共线,所以存在k∈R,使得d=kc,即a+(2x-1)b=kxa+kb.因为向量a,b不共线,所以整理可得x(2x-1)=1,即2x2-x-1=0,解得x=-或x=1.
(2)由=λ+,得-=λ,即=λ,则,为共线向量,又,有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在AC边所在直线上.故选B.
变式题 (1)A (2)C [解析] (1)2=3+λ,即=+,因为点A,B,C是直线l上相异的三点,所以点A,B,C三点共线,则+=1,解得λ=-1.故选A.
(2)∵O为△ABC所在平面上一点,且实数x,y,z满足x+y+z=0(x2+y2+z2≠0),∴x+y=-z.若xyz=0,则当x,y,z中有两个为0时,O与△ABC的一个顶点重合.当x,y,z中只有一个为0时,假设x=0(y,z不为0),可得y=-z,∴=-,∴向量和共线,∴点O在△ABC的边BC所在直线上.若点O在△ABC的边所在直线上,假设在AB上,则向量和共线,∴z=0,∴xyz=0.∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件.故选C.第五单元 平面向量与复数
第31讲 平面向量的概念及其线性运算
1.B [解析] 2(a-3b)-3(a+b)=2a-6b-3a-3b=-a-9b.
2.A [解析] ∵非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,∴a,c方向相同或相反,即a∥c,故A正确;当a=(2,1),b=(1,2)时,满足|a|=|b|,但a=b,a=-b均不成立,故B错误;两向量共线要看其方向而不是起点与终点,故C错误;共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,故D错误.故选A.
3.ABC [解析] 对于A,-+=+=,符合题意;对于B,+(+)=(+)+=+=,符合题意;对于C,(+)+(-)=(+)+(-)=0+=,符合题意;对于D,+-=-≠,不符合题意.故选ABC.
4.C [解析] 因为在矩形ABCD中,M是CD的中点,所以=+=++=+,因为=λ+μ,所以λ=1,μ=,所以λ+μ=,故选C.
5.C [解析] 对于A,=e1+2e2,=-3e1+2e2,若A,B,C三点共线,则=λ,故无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;对于B,若A,B,D三点共线,则=μ,故无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;对于C,=+=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,因为AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确;对于D,=+=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,=-3e1+2e2,若B,C,D三点共线,则=k,故无解,所以B,C,D三点不共线,故D错误.故选C.
6.1 [解析] 因为a,b不共线,所以{a,b}可以作为基底.因为(xa+b)∥(a+yb),所以存在λ∈R,使得xa+b=λ(a+yb),所以xa+b=λa+λyb,所以消去λ,得xy=1.
7.2025 0 [解析] 当单位向量e1,e2,…,e2025方向相同时,|e1+e2+…+e2025|取得最大值,此时|e1+e2+…+e2025|=|e1|+|e2|+…+|e2025|=2025;当单位向量e1,e2,…,e2025首尾相连时,e1+e2+…+e2025=0,所以|e1+e2+…+e2025|的最小值为0.
8.B [解析] 由题意知,=-=a-(k+1)b,因为M,N,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即a-2b=λ[a-(k+1)b],整理得(1-λ)a=[2-λ(k+1)]b,因为向量a,b不共线,所以解得故选B.
9.B [解析] 如图所示,过点M作MP∥BC,分别交直线AB,AC于点P,Q,连接AM,则可设=x+y,且x+y=1.设=k,=k,则=-=(kx-1)+ky,因为=λ+μ,所以λ+μ=kx-1+ky=k-1.由图可知,当PM(即EF)与以BC为直径的半圆相切时,k最大.由AB=2,BE==,可得AE=2+=,所以=,即k的最大值为,所以λ+μ的最大值为.故选B.
10.AC [解析] =++=+++++=3+++,因为点G为△ABC的重心,所以++=0,所以=3,所以O,P,G三点共线,故A正确,B错误;++=+++++=(++)+3,因为=++,所以(++)+3=-+3=2,即2=++,故C正确;因为=3,所以点P的位置随着点O位置的变化而变化,故点P不一定在△ABC的内部,故D错误.故选AC.
11.AD [解析] 因为|a+b|<|a|+|b|,所以a,b不同向共线.对于A,当a,b不共线时,根据向量减法的三角形法则知|a-b|<|a|+|b|,当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|,则|a-b|≤|a|+|b|,故A正确;对于B,若a⊥b,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形,且|a+b|和|a-b|是这个矩形的两条对角线长,则|a+b|=|a-b|,故B错误;对于C,若a与b的夹角θ∈,则根据向量加法的平行四边形法则知|a+b|<|a|+|b|,故C错误;对于D,若存在实数λ,使得a=λb,则a,b共线,又|a+b|<|a|+|b|,所以a,b反向共线,则λ为负数,故D正确.故选AD.
12. [解析] 由题意可得AB∥CD,AD=1,CD=,∴=2.∵点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),∴=λ(0<λ<1).∵=+,且=+μ=+2μ=+,∴=1,即μ=.∵0<λ<1,∴0<μ<.
13.3∶4 [解析] 根据题意,延长MA至点D,延长MB至点E,延长MC至点F,使得MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如图所示.由2+3+4=0,得++=0.连接DE,DF,EF,则点M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD.设S△MDE=1,则S△MAB=××1=,S△MAC=××1=,所以S△MAC∶S△MAB=∶=3∶4.
14.解:(1)∵2-3+=0,
∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,易知a≠0,
∴k+1=0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴=λ(λ∈R),即-=λ(-),
∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,∴解得k=-1.
15.解:(1)证明:设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b.因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,所以消去λ可得+=3.
(2)由(1)知+=3,所以m+n=(m+n)=≥×(2+2)=,当且仅当m=n=时取等号,所以m+n的最小值为.
16.ACD [解析] 对于A,由=+,得-=-,即=,则M是边BC的中点,所以A正确;对于B,由=2-,得-=-,所以=,则点M在CB的延长线上,所以B错误;对于C,如图,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心的性质可知C正确;对于D,由=x+y,且x+y=,得2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,且2x+2y=1,可知B,C,E三点共线,所以△MBC的面积是△ABC的面积的,所以D正确.故选ACD.
17. [解析] 由=λ+得-=λ,即=λ.取DE的中点H,连接AH,如图,因为BD=DE,所以BD=2HD,又BP=2AP,所以==,故DP∥AH,且=,所以λ的最大值为,此时点Q与点H重合.第五单元 平面向量与复数
第31讲 平面向量的概念及其线性运算
【课标要求】 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有 又有 的量 用a,b,c,…或,,…表示
向量 的长 度(模) 向量的 称为向量的长度(或称模) 或
零向量 长度为0的向量 记作
单位 向量 长度等于 的向量 用e表示,|e|=
相等 向量 相等且 相同的向量 向量a和b相等,记作
两个向 量平行 (或共 线) 方向 或 的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量 两个向量a和b平行,记作 ,零向量与任意向量
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律: a+b=b+a; ②结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a-b=a+(-b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
特别注意向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0;当a=0时,λa=0.实数和向量可以求积,但是不能求和、求差.
3.向量共线的充要条件
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘)
常用结论
1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则2=+.
2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0 P为△ABC的重心,=(+).
3.已知=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
4.向量三角不等式
①已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(当a与b反向共线时左边等号成立;当a与b同向共线时右边等号成立);
②已知非零向量a,b,则||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(当a与b同向共线时左边等号成立;当a与b反向共线时右边等号成立).
题组一 常识题
1.[教材改编] 如图,正六边形ABCDEF中,++= .
2.[教材改编] 设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2b共线,则实数λ= .
3.[教材改编] 已知 ABCD的对角线AC和BD交于点O,且=a,=b,则= ,= .(用a,b表示)
题组二 常错题
◆索引:对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘不全致误;忽视两向量的方向关系致误.
4.“a=b”是“|a|=|b|”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
5.已知平面四边形ABCD中,满足=,则四边形ABCD是 .
6.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为 .
平面向量的基本概念
例1 (多选题)下列说法中正确的有 ( )
A.向量的长度与向量的长度相等
B.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同
D.两个有公共终点的向量一定是共线向量
总结反思
(1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性.
(2)不改变向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量与a相等.
(3)非零向量的平行具有传递性.
(4)(a≠0)是与a同方向的单位向量.
变式题 (1)(多选题)下列说法中正确的有 ( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若a,b不相等,则它们不都是零向量
C.若a,b都为单位向量,则a=b
D.若a=b,b=c,则a=c
(2)已知a,b都是非零向量,则下列四个选项中为“=”的充分条件的是 ( )
A.a=3b B.a∥b
C.a=-b D.a∥b且|a|=|b|
平面向量的线性运算背景问题
微点1 平面向量的加、减运算的几何意义
例2 (1)在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则 ( )
A.=
B.=
C.平行四边形ABCD是矩形
D.平行四边形ABCD是菱形
(2)已知非零向量a,b,c,则“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解相关问题;
(2)平面几何中如果出现平行四边形(或三角形)或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解.
微点2 平面向量的线性运算
例3 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= ( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)在平面四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,则下列向量与+不相等的是 ( )
A.2 B.+
C.+ D.+
总结反思
向量线性运算的解题策略:
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
微点3 利用向量的线性运算求参数
例4 (1)已知O是△ABC的重心,+2+λ=0,则λ= ( )
A.3 B.2
C.1 D.
(2)[2025·湖南益阳一模] 在平行四边形ABCD中,=,=,若=m+n,则m+n= ( )
A. B. C. D.1
总结反思
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.
1.[2024·河南安阳三模] 在△ABC中,=,点E是AD的中点,记=a,=b,则= ( )
A.-a+b B.-a+b
C.-a-b D.a-b
2.(多选题)如图所示,在△ABC中,D是AB的中点,下列关于向量的表示正确的是 ( )
A.=+
B.=+
C.=+
D.=+
3.(多选题)在△ABC中,记=a,=b,点D在直线BC上,且BD=3DC.若=ma+nb,则的值可能为 ( )
A.-2 B.-
C. D.2
4.已知O是△ABC内的一点,2+3+m=0,若△AOB的面积与△ABC的面积的比值为,则实数m的值为 .
5.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a-b+c|= .
共线向量定理及应用
例5 (1)已知向量a,b不共线,且c=xa+b,d=a+(2x-1)b,若c与d共线,则实数x的值为 ( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
(2)已知P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在 ( )
A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上
C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
总结反思
利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.若a=λb(b≠0),则a与b共线,且当λ>0时,a与b同向;当λ<0时,a与b反向.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(3)要证明A,B,C三点共线,只需证明与共线,即证=λ(λ∈R).若已知A,B,C三点共线,则必有与共线,从而存在实数λ,使得=λ.
(4)=λ+μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
变式题 (1)已知点A,B,C是直线l上相异的三点,O为直线l外一点,且2=3+λ,则λ的值是 ( )
A.-1 B.1
C.- D.
(2)设O为△ABC所在平面上一点.若实数x,y,z满足x+y+z=0(x2+y2+z2≠0),则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件第五单元 平面向量与复数
第31讲 平面向量的概念及其线性运算
(时间:45分钟)
1.化简2(a-3b)-3(a+b)的结果为 ( )
A.a+4b
B.-a-9b
C.2a+b
D.a-3b
2.下列说法中正确的是 ( )
A.若非零向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c
B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
C.两个具有公共终点的向量,一定是共线向量
D.向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上
3.(多选题)下列各式能化简为的是 ( )
A.-+
B.+(+)
C.(+)+(-)
D.+-
4.如图,在矩形ABCD中,M是CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= ( )
A. B.1 C. D.2
5.[2024·浙江9+1联盟模拟] 已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则 ( )
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
6.若向量a,b不共线,且(xa+b)∥(a+yb),则xy的值为 .
7.已知单位向量e1,e2,…,e2025,则|e1+e2+…+e2025|的最大值是 ,最小值是 .
8.已知a,b是两个不共线的向量,=a-2b,=2a+kb,=3a-b,若M,N,Q三点共线,则k= ( )
A.-1 B.1
C. D.2
9.[2024·河北沧州三模] 对称美是数学美的重要组成部分,普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
10.(多选题)△ABC的重心为点G,点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足=++,则 ( )
A.O,P,G三点共线
B.=2
C.2=++
D.点P在△ABC的内部
11.(多选题)[2024·河北邯郸一模] 设a,b是两个非零向量,且|a+b|<|a|+|b|,则下列结论中正确的有 ( )
A.|a-b|≤|a|+|b|
B.|a-b|<|a+b|
C.a与b的夹角为钝角
D.若存在实数λ使得a=λb,则λ为负数
12.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),若=+μ,则μ的取值范围是 .
13.已知点M在△ABC的内部,且满足2+3+4=0,则S△MAC∶S△MAB= .
14.已知向量a,b不共线,=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.
(1)若2-3+=0,求k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求k的值.
15.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于P,Q两点,设=m,=n(m>0,n>0).
(1)证明:+为定值;
(2)求m+n的最小值.
16.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M在BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC的面积的
17.[2024·太原模拟] 赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了 “勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”,构造如图所示的图形,它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,且DF=AF,点P在AB上,BP=2AP,点Q为△DEF 内 (含边界)一点,若=λ+,则λ的最大值为 . (共90张PPT)
第31讲 平面向量的概念及其线性运算
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实
际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算
规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,
理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有______又有______的量
向量的长 度（模） 向量的______称为向量的长度 （或称模） ____或_____
零向量 长度为0的向量 记作___
大小
方向
大小
◆ 知识聚焦 ◆
名称 定义 表示
单位向量 长度等于_____________的向量
相等向量 ______相等且______相同的向量
两个向量平 行 （或共线） 方向______或______的非零向量 叫作平行向量,平行向量也叫作 共线向量
1个单位长度
1
长度
方向
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加 法 求两个 向量和 的运算 _______________________________________________ ______________________________________________________
三角形法则
平行四边形法则
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
减 法 求两个 向量差 的运算 ____________________________________________________
三角形法则
续表
运 算 定义 法则（或几何意义） 运算律
数 乘
续表
特别注意向量数乘的特殊情况：当时，；当 时，
.实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.
3.向量共线的充要条件
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，
使 .（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）
常用结论
1.中点公式的向量形式：若为线段的中点, 为平面内任意一点,
则 .
2.若，，是平面内不共线的三点，则 为
的重心， .
3.已知（ , 为实数）,若,, 三点共线,则
.
4.向量三角不等式
①已知非零向量,,则（当与 反向
共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;
②已知非零向量,,则（当与 同向
共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 如图，正六边形 中，
____.
[解析] 将平移到，平移到 ，
故 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 设向量，不共线，向量与 共线，则
实数 __.
[解析] 与共线， 存在实数 使得
，
3.［教材改编］ 已知的对角线和交于点 ，且
，，则______，________.（用， 表示）
[解析] 如图， ，
.
题组二 常错题
◆ 索引：对向量的概念理解不清致误;对向量相等的隐含条件挖掘
不全致误;忽视两向量的方向关系致误.
4.“”是“ ”的____________条件.（填“充分不必要”“必要
不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
充分不必要
[解析] ，充分性成立，
，必要性不成立，
所以“”是“ ”的充分不必要条件.
5.已知平面四边形中，满足，则四边形 是_____
_______.
平行四边形
[解析] 在平面四边形中，因为，所以 ，
且，所以四边形 是平行四边形.
6.已知向量，，若，，则 的取值范围为______.
[解析] 当与方向相同时，，
当与 方向相反时，，
当与不共线时，，
所以 的取值范围为 .
探究点一 平面向量的基本概念
例1 （多选题）下列说法中正确的有( )
A.向量的长度与向量 的长度相等
B.若向量与平行,则与 的方向相同或相反
C.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D.两个有公共终点的向量一定是共线向量
［思路点拨］ 根据平面向量的基本概念,对给出的说法进行分析,
判断正误即可.
√
√
[解析] 对于A,向量与向量 的长度相等,方向相反,故A正确;
对于B,当向量与平行,且或 为零向量时,不满足条件,故B错误;
对于C, 两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同,故C正确;
对于D,两个有公共终点的向量不一定是共线向量,故D错误.
故选 .
[总结反思]
（1）解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,
还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零
向量的特殊性.
（2）不改变向量的大小和方向,自由平移,平移后的向量与相等.
（3）非零向量的平行具有传递性.
（4）是与同方向的单位向量.
变式题（1）（多选题）下列说法中正确的有( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若， 不相等，则它们不都是零向量
C.若，都为单位向量，则
D.若，，则
[解析] 零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
若， 都是零向量，则它们必相等，故B正确；
若，都为单位向量，则 与 长度相等，但方向不一定相同，故C错误；
由向量相等的定义知D正确.故选 .
√
√
（2）已知，都是非零向量，则下列四个选项中为“ ”的充分
条件的是( )
A. B.
C. D.且
[解析] 等价于与同向，当时，与 同向，故选A.
√
探究点二 平面向量的线性运算背景问题
微点1 平面向量的加、减运算的几何意义
例2（1）在平行四边形中， ，则
( )
A. B.
C.平行四边形是矩形 D.平行四边形 是菱形
［思路点拨］利用平行四边形的特点及平行四边形法则与三角形
法则判断即可.
[解析] 在平行四边形中，， .
,, 平行四边形 是矩形.
故选C.
√
（2）已知非零向量，，，则“， ”是
“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
［思路点拨］根据充分性、必要性的定义，结合向量减法的几何意
义判断条件间的推出关系，即可得到答案.
√
[解析] 如图，由， ，得
，充分性成立；
当时，不一定有，
，必要性不成立.
综上，“， ”是“ ”的
充分不必要条件.故选A.
[总结反思]
利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法:
（1）根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结
合其他知识求解相关问题;
（2）平面几何中如果出现平行四边形（或三角形）或可能构造出平
行四边形（或三角形）的问题,可考虑利用向量知识来求解.
微点2 平面向量的线性运算
例3（1）[2022·新高考全国Ⅰ卷]在中，点在边 上，
.记,,则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］结合已知条件及向量减法的三角形法则求解即可.
[解析] 因为点在边上，，所以 ，所以
,所以 .
√
（2）在平面四边形中，，分别为， 的中点，则下列
向量与 不相等的是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据向量的加减法法则，结合已知条件逐个分析判断
即可.
√
[解析] 如图，因为在平面四边形中，， 分
别为，的中点，所以 ,
.
因为 ， ，所以
, 所以A不符合题意；
因为, ，所以
，所以B不符合题意；
因为, ，所以
，所以
C不符合题意；
因为 ，所以D符合题意.故选D.
[总结反思]
向量线性运算的解题策略:
（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量
求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用
三角形法则.
（2）找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化
到同一个平行四边形或三角形中求解.
微点3 利用向量的线性运算求参数
例4（1）已知是的重心,,则 ( )
A.3 B.2 C.1 D.
［思路点拨］由是的重心可得 ,结合已知
条件可得 的值.
[解析] 由题知.
是的重心, ,
,又与不共线， .故选C.
√
（2）[2025·湖南益阳一模]在平行四边形中， ，
，若，则 ( )
A. B. C. D.1
［思路点拨］利用平面向量的线性运算求出，，即可求出 .
[解析] 因为
，所以,，所以 ，故选B.
√
[总结反思]
解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向
量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值.
应用演练
1.[2024·河南安阳三模]在中，，点是 的中点，
记，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，由题知
，
所以 .故选B.
√
2.（多选题）如图所示，在中，是 的中点，下列关于向量
的表示正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，因为是 的中点，所以
，因为 ，所以
，所以A正确；
对于B，由向量加法的三角形法则，得
，所以B错误；
对于C， ，所以C错误；
对于D，因为是的中点，所以，所以D正确.
故选 .
3.（多选题）在中，记，，点在直线 上，
且.若，则 的值可能为( )
A. B. C. D.2
√
√
[解析] 当点在线段 上时，如图①，
，
此时.
当点在线段 的延长线上时，如图②，
，此时.故选 .
4.已知是内的一点，，若 的面
积与的面积的比值为，则实数 的值为___.
[解析] 由题知，则 ，
设，则，因为，所以，，
三点共线，则与反向共线，所以，所以 ，所以
，
因为，所以，解得 .
5.在边长为1的正方形中，设，， ，则
___.
2
[解析] 因为四边形是边长为1的正方形，， ，
，所以
，
又，所以 .
探究点三 共线向量定理及应用
例5（1）已知向量，不共线，且， ，
若与共线，则实数 的值为( )
A.1 B. C.1或 D.或
［思路点拨］利用共线向量定理即可得到答案.
[解析] 因为与共线，所以存在，使得 ，即
.因为向量，不共线，所以
整理可得，即，解得或 .
√
（2）已知是所在平面内的一点，若 ，其中
，则点 一定在( )
A.的内部 B. 边所在直线上
C.边所在直线上 D. 边所在直线上
［思路点拨］将化为 ，根据共线向量定理
可判定.
[解析] 由，得，即 ，则
，为共线向量，又，有一个公共点，所以，， 三点
共线，即点在 边所在直线上.故选B.
√
[总结反思]
利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若
,则与共线,且当时,与同向;当时,与
反向.
（2）若与不共线且，则.
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证
.若已知，，三点共线，则必有与共线，
从而存在实数 ，使得.
（4）（ ， 为实数），若，， 三点共线，
则 .
变式题（1）已知点,,是直线上相异的三点，为直线 外一点，
且，则 的值是( )
A. B.1 C. D.
[解析] ，即，
因为点,, 是直线上相异的三点，所以点,,三点共线，
则 ，解得 .故选A.
√
（2）设为所在平面上一点.若实数，， 满足
，则“”是“点 在
的边所在直线上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 为所在平面上一点，且实数，， 满足
， .
若，则当,,中有两个为0时，与 的一个顶点重合.
当,,中只有一个为0时，假设（, 不为0），可得
，， 向量和共线， 点 在
的边所在直线上.
若点在 的边所在直线上，假设在上，则向量和共线，
,
“”是“点 在 的边所在直线上”的充要条件.故选C.
例1 ［配例3使用］ 在平行四边形中，点满足 ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为四边形 为平行四边形，所以
，所以
.故选B.
√
【备选理由】例1考查平面向量的线性运算;
例2 ［配例2使用］ 若非零不共线的向量，满足 ，
则( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例2考查对平面向量加、减法几何意义的理解以及
数形结合思想的运用;
[解析] 非零向量，满足 ，可考虑构造等腰三角形，
设，，则.
在图①中，延长到点 ，使,连接,
则，，
不能比较 与的大小；
在图②中，延长到点，使,连接 ，
则，所以为直角三角形，
易知 ，，
由三角形中大角对大边，得 .故选C.
例3 ［配例4使用］ [2024·山西晋中模拟] 如图，
在平行四边形中，为上靠近点 的三
等分点，与相交于点 ，若
，则 ( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查利用向量的线性运算求参数;
[解析] 因为平行四边形中，为上靠近点 的三等分点，
与相交于点，所以 ，
所以，
又 ，所以，则 .故选B.
例4 ［配例5使用］ 点是 所在平面上一点，若
，则与 的面积之比是_____.
【备选理由】例4考查共线向量定理及应用.
[解析] 如图，延长交于点，设 ，
则，
因为，， 共线，所以，解得，
所以 ，，
则 ，.
由，得 ，
即 ，所以，所以 ，
所以 .
作业手册
1.化简 的结果为( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
◆ 基础热身 ◆
2.下列说法中正确的是( )
A.若非零向量，，满足，，则
B.若，则或
C.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
D.向量与向量是共线向量，则，，， 四点在一条直线上
√
[解析] 非零向量，，满足，，
， 方向相同或相反，即，故A正确；
当，时，满足 ，
但， 均不成立，故B错误；
两向量共线要看其方向而不是起点与终点，故C错误；
共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，
则，，， 四点不一定在一条直线上，故D错误.
故选A.
3.（多选题）下列各式能化简为 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，符合题意；
对于B， ，
符合题意；
对于C，
，符合题意；
对于D， ，不符合题意. 故选 .
√
√
√
4.如图，在矩形中，是 的中点，若
，则 ( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 因为在矩形中，是 的中点，
所以 ，
因为，所以,，所以 ，故选C.
√
5.[2024·浙江9+1联盟模拟]已知向量, 是平面上两个不共线的单位
向量，且,, ，则
( )
A.，，三点共线 B.，， 三点共线
C.，，三点共线 D.，， 三点共线
√
[解析] 对于A，,，若，， 三点
共线，则，故无解，所以，， 三点不共线，
故A错误；
对于B，若，，三点共线，则 ，故
无解，所以，， 三点不共线，故B错误；
对于C，
，因为,有公共点，
所以，， 三点共线，故C正确；
对于D， ，
，若,,三点共线，则，故
无解，所以，， 三点不共线，故D错误.故选C.
6.若向量,不共线，且，则 的值为___.
1
[解析] 因为,不共线，所以{, }可以作为基底.
因为，所以存在，使得 ，
所以，所以消去 ，得 .
7.已知单位向量,, ,,则 的最大值是
______,最小值是___.
2025
0
[解析] 当单位向量,, ,方向相同时,
取得最大值,
此时 ;
当单位向量,, ,首尾相连时, ,
所以 的最小值为0.
8.已知，是两个不共线的向量，， ，
，若，，三点共线，则 ( )
A. B.1 C. D.2
[解析] 由题意知，，因为，，
三点共线，所以存在实数 ，使得 ，即
，整理得 ，因
为向量，不共线，所以解得 故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·河北沧州三模]对称美是数学美的重要组
成部分，普遍存在于初等数学和高等数学的各个
分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.
如图，在等边三角形中， ，以三条边
为直径向外作三个半圆， 是三个半圆弧上的一
A. B. C.1 D.
动点，若，则 的最大值为 ( )
√
[解析] 如图所示，过点作 ，分别交
直线,于点,，连接 ，则可设
，且 .
设， ，
则 ，
因为，所以.
由图可知，当 （即）与以为直径的半圆相切时， 最大.
由， ，可得
，所以，
即 的 最大值为，
所以 的最大值为 .故选B.
10.（多选题）的重心为点，点，是 所在平面内两
个不同的点，满足 ，则( )
A.,,三点共线 B.
C. D.点在 的内部
√
√
[解析] ，因为点为 的重心，所以
，所以，所以,, 三点共线，
故A正确，B错误；
，因为 ，所以
，即
，故C正确；
因为，所以点 的位置随着点位置的变化而变化，
故点不一定在 的内部，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2024·河北邯郸一模] 设， 是两个非零向量，且
，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.与 的夹角为钝角
D.若存在实数 使得，则 为负数
√
√
[解析] 因为，所以,不同向共线.
对于A，当, 不共线时，根据向量减法的三角形法则知
，当, 反向共线时，，
则 ，故A正确；
对于B，若，则以,为邻边的平行四边形为矩形，
且 和是这个矩形的两条对角线长，
则 ，故B错误；
对于C，若与的夹角 ，则根据向量加法的平行四边形法
则知，故C错误；
对于D，若存在实数 ，使得，则,共线，
又，所以,反向共线，则 为负数，
故D正确.故选 .
12.在直角梯形中， ， ， ，
，点在线段上（点不与点， 重合），若
，则 的取值范围是______.
[解析] 由题意可得，，，.
点在线段上（点不与点， 重合），
，且
，，即 .
， .
13.已知点在的内部,且满足 ,则
_____.
[解析] 根据题意,延长至点,延长至点 ,
延长至点,使得, ,
,如图所示.
由 ,
得 .
连接,,,则点是 的重心,所以.
设,则 ,
, 所以 .
14.已知向量，不共线，， ，
.
（1）若，求 的值；
解： ，
，
易知 ，， .
（2）若，，三点共线，求 的值.
解：，，三点共线， ，
即 ，
，
又，不共线， 解得 .
15.经过的重心的直线与，分别交于， 两点，设
， .
（1）证明： 为定值；
证明：设， ，由题意知，
，.
因为，， 三点共线，所以存在实数 ，使得，
即 ，所以
消去 可得 .
（2）求 的最小值.
解：由（1）知 ，所以
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为 .
16.（多选题）设点是 所在平面内一点，则下列说法正确的
是( )
A.若，则点是边 的中点
B.若，则点在 的延长线上
C.若，则点是 的重心
D.若，且，则的面积是 的
面积的
√
√
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 对于A，由 ，得，
即，则 是边 的中点，所以A正确；
对于B，由，得 ，所以 ，
则点在的延长线上，所以B错误；
对于C，如图，设 的中点为，
则 ，
由重心的性质可知C正确；
对于D，由，且 ，得，
且 ，
设，所以 ，且，
可知，， 三点共线，所以的面积是的面积的 ，
所以D正确.故选 .
17.[2024·太原模拟] 赵爽是我国古代数学家、
天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀
算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，
亦称“赵爽弦图” （以直角三角形的斜边为边
得到的正方形）.类比 “赵爽弦图”，构造如图
所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成
的一个大等边三角形，且，点在上，，点 为
内 （含边界）一点，若，则 的最大值为__.
[解析] 由得，即.
取 的中点，连接，如图，
因为，所以 ，又，
所以，故，且，
所以 的最大值为，此时点与点 重合.
【知识聚焦】1.大小 方向 大小 |a| || 0 1个单位长度 1 长度 方向
a=b 相同 相反 a∥b 平行
【对点演练】1. 2. 3.b-a -a-b 4.充分不必要 5.平行四边形 6.[2,6]
课堂考点探究
例1 AC 变式题 (1)BD (2)A
例2 (1)C (2)A 例3 (1)B (2)D
例4 (1)C (2)B
【应用演练】
1.B 2.AD 3.BC 4. 5.2
例5 (1)C (2)B 变式题 (1)A (2)C
教师备用习题
例1 B 例2 C 例3 B 例4 2∶3
基础热身
1.B 2.A 3.ABC 4.C 5.C 6.1 7.2025 0
综合提升
8.B 9.B 10.AC 11.AD 12. 13. 3∶4
14. (1) 1 (2)1 15.(1) +=3 (2)
能力拓展
16.ACD 17.
