第32讲 平面向量基本定理及坐标表示
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)不共线 任一 有且只有一对
(2)不共线 所有
2.互相垂直
3.(1)(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
(2)(x2-x1,y2-y1)
4.x1y2-x2y1=0
【对点演练】
1.(9,7) [解析] 依题意得=(2,1),=(5,5),所以2+=2(2,1)+(5,5)=(9,7).
2.- [解析] ==(+)=+×=+(-)=-+,故λμ=-×=-.
3.(2,2)或(3,1) [解析] 由题意可知=(3,-3).若=,则点P的坐标为(2,2);若=,则点P的坐标为(3,1).
4.② [解析] 两个不共线的向量可以构成一个基底,①③④中两向量共线,②中e1与e2不共线.故填②.
5.2或-1 [解析] 2a-b=(2x-2,3-x),∵(2a-b)∥a,∴2x-2=x(3-x),即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.
6.或(1,0) [解析] 由点P在直线AB上,且||=2||,可得=2或=-2.当=2时,设P(a,b),则(a+3,b-4)=2(-1-a,2-b),解得a=-,b=,此时点P的坐标为.当=-2时,设P(m,n),则(m+3,n-4)=-2(-1-m,2-n),解得m=1,n=0,此时点P的坐标为(1,0).综上,点P的坐标为或(1,0).
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)将用,表示出来,比较系数得到x,y的值,即可求解.(2)根据条件,结合图形,利用向量的中线公式,得到=(+),再利用向量的线性运算,即可求解.
(1)A (2)C [解析] (1)连接BD,设AC与BD相交于点O,则O为AC,BD的中点,因为G为△ABC的重心,所以==×==(-),所以=+=+(-)=+,又=x+y,所以x=,y=,所以x+2y=+2×=.故选A.
(2)因为点F为DE的中点,所以=(+),又=,=3,所以=(+)=+=++(-)=+.故选C.
变式题 (1)A (2)A
[解析] (1)如图,=+=+=+(-)=+=+,又因为=λ+μ,所以λ=,μ=,故λ-μ=-=-.故选A.
(2)选取{,}为基底,=+=3+,==2=-2+2,=+=2+=2-2+=3-2.设=x+y=-2x+2x+3y-2y=(-2x+3y)+(2x-2y),∴∴即=+4.故选A.
例2 [思路点拨] (1)代入各点坐标即可求解.(2)根据题意建立平面直角坐标系,然后表示出a,b,c的坐标,代入c=λa+μb(λ,μ∈R)中可求出λ,μ的值,从而可求得结果.
(1)B (2)-4 [解析] (1)因为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),所以+=[(3,2)+(-5,4)]=(-2,6)=(-1,3).故选B.
(2)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),所以λa+μb=λ(-1,-2)+μ(6,-4)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),因为c=λa+μb(λ,μ∈R),所以(-5,-2)=(-λ+6μ,-2λ-4μ),所以解得所以=-4.
变式题 (1)A (2)D [解析] (1)=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,若A(0,0),B(2,0),||=1,∠BAC=120°,则C.设△ABC的外心为O(x,y),由||=||,得=,解得x=1,由||=||,得=,解得y=,可得O,则=,又=,=(2,0),=λ+μ,故=λ(2,0)+μ,得
解得故λ+μ=.
例3 [思路点拨] (1)根据向量的坐标运算求得2a-b,结合a∥(2a-b),列出方程,即可求解.(2)设出点D的坐标,求出,的坐标,利用向量共线构造方程组求解.
(1)C (2)A [解析] (1)由向量a=(-1,4),b=(3,-2λ),可得2a-b=(-5,8+2λ),因为a∥(2a-b),所以-1×(8+2λ)=4×(-5),解得λ=6.故选C.
(2)设D(x,y),则=(x,y-2),=(4,3),因为=2,所以解得所以顶点D的坐标为.故选A.
变式题 (1)ABD (2)3 [解析] (1)由题意得ma+c=(3m-1,m+2),a+nb=(3+2n,1+3n).由(ma+c)∥(a+nb)可得(3+2n)(m+2)-(1+3n)(3m-1)=0,整理得mn=n+1.A中,2×1=1+1,满足题意;B中,0×(-1)=-1+1,满足题意;C中,3×2≠2+1,不满足题意;D中,(-1)×=-+1,满足题意.故选ABD.
(2)∵=(-1,k),=(1,2),=(k+2,0),∴=-=(2,2-k),=-=(k+1,-2).∵A,B,C三点共线,∴∥,∴(k+1)(2-k)=-2×2,又k>0,∴k=3.第32讲 平面向量基本定理及坐标表示
1.A [解析] 设C(x,y),则=(x,y)-(-1,2)=(2,1),故解得所以C(1,3),又因为B(3,1),所以=(1,3)-(3,1)=(-2,2).故选A.
2.C [解析] 向量a=(-1,x),b=(-x,2),由a与b方向相同,得两向量共线,故-2=-x2,解得x=±.当x=时,a=(-1,),b=(-,2),此时两向量方向相同;当x=-时,a=(-1,-),b=(,2),此时两向量方向相反.故x=.故选C.
3.C [解析] 如图所示,由题意知E为AD的中点,则=(+)=-+×=-+(-)=-.故选C.
4.C [解析] 因为2=+,所以2-2=-+-,即4=+,即=+,又=λ+μ,,不共线,所以所以λ+μ=.故选C.
5.BCD [解析] 对于A,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(2,2),所以无解,所以不存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以A错误;对于B,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(0,0)+μ(-2,4),所以则μ=-,λ∈R,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以B正确;对于C,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(1,1)+μ(1,2),所以解得所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以C正确;对于D,由a=λe1+μe2,得(1,-2)=λ(-1,2)+μ(2,-4),所以此方程组有无数个解,所以存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,所以D正确.故选BCD.
6.2 [解析] 由a=(1,2),b=(1,t)可得,2a+b=(3,t+4),a+2b=(3,2t+2).因为2a+b与a+2b共线,所以3(t+4)=3(2t+2),解得t=2.
7.-9a-2b [解析] 如图,延长AO,交BC于D,∵O是△ABC的重心,∴O是△ABC各边上中线的交点,又=3a,∴=,即=a,∴=+=a,故=-a.又D为BC的中点,=2b,∴=(+),∴=2-,∴=-9a-2b.
8.D [解析] 设P(x,y),则=(x,y),=(-1,4),=(2,1),由题意可知,(x,y)=λ(-1,4)+μ(2,1)=λ(-1,4)+(2-λ)(2,1)=(-λ,4λ)+(4-2λ,2-λ)=(4-3λ,2+3λ),所以消去λ,得点P的轨迹方程为x+y=6.故选D.
9.C [解析] 选择{,}为平面内所有向量的一个基底.因为D为BC的中点,所以=+.又=+=(+)+=(+λ)+=[+λ(-)]+=+,所以解得λ=.故选C.
10.ABD [解析] 由题知,=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1),假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1,所以只要m≠1,A,B,C三点就能构成三角形.故选ABD.
11.AC [解析] 由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n=(m+2n,2m+n).对于A,若∥,则2m+n+m+2n=0,即m+n=0,故A正确;对于B,=-=(m+2n-2,2m+n-3),若点P在直线BC上,则∥,即2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,故B错误;对于C,=(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n),若++=0,则(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即
解得所以m-n=0,故C正确;对于D,=(m+2n-1,2m+n-1),若与共线,则(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,即m+n=,故D错误.故选AC.
12.a+b [解析] ∵M,E,C三点共线,∴设=x+(1-x)=+(1-x)(0≤x≤1).∵B,E,N三点共线,∴设=y+(1-y)=y+(1-y)(0≤y≤1),∴解得
∴=+=a+b.
13.2 + [解析] 由=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),可得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故=(-a+2,-2),=(b+2,-4)共线,所以(-a+2)×(-4)-(-2)(b+2)=0,即2a+b=2,则+=(2a+b)=≥=+,当且仅当=,即a=2-,b=2-2时取等号,故+的最小值为+.
14.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)方法一:∵a=(5,-5),mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,
∴解得
方法二:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,又a=mb+nc,∴m=-1,n=-1.
(3)∵=3c=(3,24),=-2b=(12,6),∴=-=(12,6)-(3,24) =(9,-18).
∵∥d,∴9k+18=0,解得k=-2.
15.解:(1)由点E,F,O三点共线,可设=x,则-=x(-),即=(1-x)+x,
又∵λ=,μ=,∴=(1-x)+x.
∵P为线段BC上靠近点B的三等分点,∴=+,
由点A,P,O三点共线可设=y,即+=y+y,故解得故=+=,故==.
(2)由(1)可知=(1-x)+x,0∴=(1-x)λ+xμ,又O为AP的中点,=+,
∴==+,
故得
∴λ+μ=+==×(2-2x+2x)=≥=,当且仅当=,
即x=-1时,等号成立,
故λ+μ的最小值为.
16.ABC [解析] 以B为原点,,的方向分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,设BC=2,则B(0,0),E(0,1),D(2,2).设M(t,2),则0≤t≤2,因为=λ+μ,所以(t,2)=λ(0,1)+μ(2,2)=(2μ,λ+2μ),所以2μ=t,λ+2μ=2,即λ=2-t,μ=.对于选项A,因为M为线段AD的中点,所以t=1,故λ+μ=2-=,A正确;对于选项B,λμ=(2-t)=t-t2=-(t-1)2+,0≤t≤2,所以当t=1时,λμ取得最大值,B正确;对于选项C,因为μ=,0≤t≤2,所以0≤μ≤1,即μ的取值范围为[0,1],C正确;对于选项D,λ+μ=2-,0≤t≤2,所以1≤λ+μ≤2,所以λ+μ的取值范围为[1,2],D错误.故选ABC.
17. [解析] 以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,过点O作OB的垂线,以该直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.设扇形AOB的半径为1,则A,B(1,0),C(cos θ,sin θ),其中∠BOC=θ,θ∈.由=λ+μ(λ,μ∈R),得(cos θ,sin θ)=λ+μ(1,0),整理得λ+μ=cos θ,λ=sin θ,解得λ=,μ=cos θ-,则λ+μ=+cos θ-=sin θ+cos θ=sin,因为θ∈,所以θ+∈,所以sin∈,故λ+μ∈.第32讲 平面向量基本定理及坐标表示
【课标要求】 1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内 向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量,叫作把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ,a-b= ,λa= .
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) .
常用结论
1.爪子定理
形式1:如图①,在△ABC中,D是边BC上的点,若BD=m,DC=n,则=+,其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+).
形式2:如图②,在△ABC中,D是边BC上的点,且=λ,则=λ+(1-λ),其中,,可知二求一.特别地,若D为边BC的中点,则=(+).
2.三角形重心坐标公式:已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则线段AB的中点坐标为,△ABC的重心坐标为.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则2+= .
2.[教材改编] 如图,在△ABM中,=3,=,若=λ+μ,则λμ= .
3.[教材改编] 若P1(1,3),P2(4,0),且P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视作为基底的两个向量不能共线致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢致误;忽视共线包括两种情况致误.
4.给出下列四组向量:①e1=(0,0),e2=(1,-2);②e1=(-1,2),e2=(5,7);③e1=(3,5),e2=(6,10);④e1=(2,-3),e2=.其中可以作为基底的是 (填序号).
5.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x的值为 .
6.已知A(-3,4)与B(-1,2),点P在直线AB上,||=2||,则点P的坐标为 .
平面向量基本定理
例1 (1)[2024·广州模拟] 在 ABCD中,G为△ABC的重心,且=x+y(x,y∈R),则x+2y= ( )
A. B. C.0 D.-1
(2)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,且=,=3,点F为DE的中点,则= ( )
A.-+
B.+
C.+
D.+
总结反思
(1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.
变式题 (1)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,点E满足=4,=λ+μ,则λ-μ= ( )
A.- B.-
C. D.
(2)已知△ABC为等边三角形,分别以CA,CB为边作正六边形,如图所示,则 ( )
A.=+4
B.=+3
C.=5+4
D.=+3
平面向量的坐标运算
例2 (1)在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),则+= ( )
A.(-3,2) B.(-1,3)
C.(-3,5) D.(-2,4)
(2)[2024·北京十一学校三模] 已知向量a,b,c在正方形网格(规定小方格的边长为1)中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为 .
总结反思
(1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
变式题 (1)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
(2)已知O为△ABC的外心,若A(0,0),B(2,0),||=1,∠BAC=120°,且=λ+μ,则λ+μ= ( )
A. B.2 C.1 D.
平面向量共线的坐标表示
例3 (1)[2025·广东肇庆模拟] 已知向量a=(-1,4),b=(3,-2λ),若a∥(2a-b),则λ= ( )
A.2 B.-2 C.6 D.-6
(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
总结反思
两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;
②若a∥b(b≠0),则a=λb.
变式题 (1)(多选题)已知向量a=(3,1),b=(2,3),c=(-1,2),若(ma+c)∥(a+nb)(m,n∈R),则(m,n)可能是 ( )
A.(2,1) B.(0,-1)
C.(3,2) D.
(2)已知向量=(-1,k),=(1,2),=(k+2,0),且实数k>0.若A,B,C三点共线,则k= . 第32讲 平面向量基本定理及坐标表示
(时间:45分钟)
1.已知点A(-1,2),B(3,1),向量=(2,1),则向量= ( )
A.(-2,2) B.(-1,0)
C.(3,-1) D.(4,-1)
2.[2025·山西大同模拟] 已知向量a=(-1,x),b=(-x,2),若a与b方向相同,则x= ( )
A.0 B.1
C. D.-
3.在△ABC中,=2,=,则= ( )
A.-
B.-
C.-
D.-
4.[2025·河南许昌模拟] 已知O是△ABC所在平面内一点,且2=+,若=λ+μ,则λ+μ= ( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知向量a=(1,-2),若存在实数λ,μ,使得a=λe1+μe2,则e1,e2可以是 ( )
A.e1=(1,1),e2=(2,2)
B.e1=(0,0),e2=(-2,4)
C.e1=(1,1),e2=(1,2)
D.e1=(-1,2),e2=(2,-4)
6.[2024·安徽淮北质检] 已知向量a=(1,2),b=(1,t),若2a+b与a+2b共线,则实数t= .
7.[2024·安徽江淮十校联考] 已知O为△ABC的重心,若=3a,=2b,则= .(用a,b表示)
8.已知A(-1,4),B(2,1),O是坐标原点,点P满足=λ+μ,且λ+μ=2,则点P的轨迹方程为 ( )
A.x-y=1
B.x-y=2
C.x+y=3
D.x+y=6
9.[2025·哈尔滨三中月考] 在△ABC中,D为BC的中点,=λ,=+,若=+,则λ= ( )
A. B.
C. D.
10.(多选题)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是 ( )
A.-2 B.
C.1 D.-1
11.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),=m+n(m,n∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.若∥,则m+n=0
B.若点P在直线BC上,则m+n=1
C.若++=0,则m-n=0
D.若与共线,则m+n=-1
12.如图所示,在△ABC中,M,N分别在边AB,AC上,且AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E,=a,=b,则= .(用a,b表示)
13.[2024·天津河北区期中] 设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b= ,+的最小值为 .
14.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)如果d=(1,k)且∥d,求k的值.
15.[2024·江苏扬州调研] 如图,在△ABC中,P为线段BC上靠近点B的三等分点,O是线段AP上一点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设=λ,=μ.
(1)若λ=,μ=,求的值;
(2)若点O为线段AP的中点,求λ+μ的最小值.
16.(多选题)如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,M为线段AD上的动点,=λ+μ,则下列结论正确的是 ( )
A.当M为线段AD的中点时,λ+μ=
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0,1]
D.λ+μ的取值范围为
17.[2025·湖南师范大学附中月考] 已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 . (共82张PPT)
第32讲 平面向量基本定理及坐标表示
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【课标要求】 1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果, 是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的
______向量,______________实数,,使 .
不共线
任一
有且只有一对
（2）基底
若,________,我们把, 叫作表示这一平面内______向量的一
个基底.
不共线
所有
◆ 知识聚焦 ◆
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量作正交分解.
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
（1）平面向量的坐标运算
已知，，则 ________________，
_________________， __________.
（2）向量的坐标求法
已知,,则________________,
_______________________.
4.平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则
_______________.
若， ，则，
其中，，可知二求一.
特别地，若 为边的中点，则 .
①
常用结论
1.爪子定理
形式1：如图①，在中，是边 上的点，
形式2：如图②，在中，是边上的点，且 ，则
，其中，，可知二求一.特别地，若 为
边的中点，则 .
2.三角形重心坐标公式：已知的顶点， ，
，则线段的中点坐标为， 的重心坐
标为 .
②
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知，，， ，则
______.
[解析] 依题意得， ，
所以 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 如图，在中，， ，若
，则 _____.
[解析]
，故 .
3.［教材改编］ 若，，且是线段 的一个三等分
点，则点 的坐标为____________.
或
[解析] 由题意可知.
若，则点 的坐标为；
若，则点的坐标为 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视作为基底的两个向量不能共线致误；两个向量共线的
坐标表示公式掌握不牢致误；忽视共线包括两种情况致误.
4.给出下列四组向量：，； ，
；，； ，
.其中可以作为基底的是____（填序号）.
②
[解析] 两个不共线的向量可以构成一个基底，①③④中两向量共线，
②中与 不共线.故填②.
5.已知向量，，若，则 的值为
_______.
2或
[解析] ， ，
，即，解得或 .
6.已知与，点在直线上，，则点
的坐标为_ _____________.
或
[解析] 由点在直线上，且，可得 或
.
当时，设 ，则，
解得，，此时点 的坐标为.
当时，设 ，则，
解得，，此时点 的坐标为.
综上，点的坐标为或 .
探究点一 平面向量基本定理
例1
（1）[2024·广州模拟]在中，为 的重心，且
,则 ( )
A. B. C.0 D.
［思路点拨］将用，表示出来，比较系数得到, 的值，
即可求解.
√
[解析] 连接，设与相交于点，则为， 的中点，
因为为 的重心，所以
,
所以 ,
又,所以，，所以 .
故选A.
（2）如图，在中，点，分别在 ，
边上，且，，点为 的
中点，则 ( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到
，再利用向量的线性运算，即可求解.
√
[解析] 因为点为的中点，所以 ，又
，，所以 .故选C
[总结反思]
（1）应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或
三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,
并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来
解决问题.
变式题（1）在平行四边形中，与交于点，点 满足
，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，
，又因为，所以, ,故
.故选A.
（2）已知为等边三角形，分别以， 为边作正六边形，
如图所示，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 选取,}为基底， ，
，
.
设， 即
.故选A.
探究点二 平面向量的坐标运算
例2
（1）在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为 ，
，，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］代入各点坐标即可求解.
[解析] 因为，， ，所以
.故选B.
√
（2）[2024·北京十一学校三模] 已知向量,, 在正
方形网格（规定小方格的边长为1）中的位置如图所
示，若，则 的值为____.
［思路点拨］根据题意建立平面直角坐标系，然后
表示出,,的坐标，代入中可求出 , 的值，
从而可求得结果.
[解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐
标系，则 ，
，
，所以 ，
因为 ，所以
，所以
解得所以 .
[总结反思]
（1）利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进
行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一
原则,转化为方程（组）进行求解.
（2）向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使
向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化
为我们熟知的数量运算.
变式题（1）已知点,，向量 ，则向量
( )
A. B. C. D.
[解析] , .
√
（2）已知为的外心，若,, ,
,且，则 ( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，若
,,, ，则
.
设的外心为 ，由，
得，解得 ，
√
由 ，得，解得 ，可得，则 ，
又，， ，
故，得
解得故 .
探究点三 平面向量共线的坐标表示
例3
（1）[2025·广东肇庆模拟]已知向量, ，若
，则 ( )
A.2 B. C.6 D.
［思路点拨］根据向量的坐标运算求得，结合 ，
列出方程，即可求解.
[解析] 由向量,，可得 ，
因为，所以，解得 .故选C.
√
（2）已知四边形的三个顶点，， ，且
，则顶点 的坐标为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］设出点的坐标,求出, 的坐标,利用向量共线构造
方程组求解.
[解析] 设，则，，因为 ，
所以解得所以顶点的坐标为 .故选A.
√
[总结反思]
两平面向量共线的充要条件有两种形式：
①若，，则的充要条件是
；
②若，则.
变式题（1）（多选题）已知向量，， ，
若，则 可能是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由题意得 ，.
由 可得，
整理得 .
A中，，满足题意；
B中， ，满足题意；
C中，，不满足题意；
D中， ，满足题意.故选 .
（2）已知向量,, ,且实数
.若,,三点共线,则 ___.
3
[解析] ,, ,
,
,, 三点共线,,,
又, .
【备选理由】例1考查平面向量线性运算的应用及平面向量基本定理
的应用;
例1 ［配例1使用］ 平面内三个向量 ，
，的位置如图所示，其中与 的夹
角为 ，与的夹角为 ，且
6
,.若，则
___.
[解析] 方法一：如图，作平行四边形 ，
则，
因为与的夹角为 ，
与 的夹角为 ，所以 .
在中， ，，
可得，，所以 ，
所以，所以，，所以 .
方法二：以 为坐标原点，建立如图所示的
平面直角坐标系， 则，，.
由 ，得
解得所以 .
例2 ［配例2使用］ [2024·湖南岳阳模拟] 已知向量 ，
，，若，则 ___.
7
[解析] 因为， ，所以
，
又 且，所以
解得所以 .
【备选理由】例2考查平面向量的坐标运算,考查学生的运算能力;
例3 ［配例3使用］ 已知点，0，，4，，6， 为坐标
原点，则与的交点 的坐标为______.
【备选理由】例3通过共线向量的坐标运算,考查推理论证能力、
运算求解能力.
[解析] 方法一:由，，三点共线，可设 ,则
，由, 共线，
得，解得 ，
所以,所以点的坐标为 .
方法二:设点，则，因为，且 与
共线，所以，即.又， ，
且,共线，所以，解得 ，
所以点的坐标为 .
作业手册
1.已知点，，向量，则向量 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，故 解
得所以，
又因为 ，所以 .故选A.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2025·山西大同模拟]已知向量，，若与
方向相同，则 ( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 向量，，由与 方向相同，得两向量
共线，故，解得.
当时， ，，此时两向量方向相同；
当 时，，，此时两向量方向相反.
故 .故选C.
√
3.在中，,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，由题意知为 的中点，则
.故选C.
√
4.[2025·河南许昌模拟]已知是 所在平面内一点，且
，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以，
即 ，即，
又，， 不共线，所以
所以 .故选C.
√
5.（多选题）已知向量，若存在实数 ， ，使得
，则， 可以是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，所
以无解，所以不存在实数 ， ，使得 ，
所以A错误；
对于B，由 ，得 ，
所以则， ，所以存在实数 ， ，
使得 ，所以B正确；
对于C，由，得，
所以 解得所以存在实数 ， ，
使得 ，所以C正确；
对于D，由，得 ，所以
此方程组有无数个解，所以存在实数 ， ，使得
，所以D正确.故选 .
6.[2024·安徽淮北质检] 已知向量,，若 与
共线，则实数 ___.
2
[解析] 由,可得， ，
.
因为与 共线，所以，解得 .
7.[2024·安徽江淮十校联考] 已知为的重心，若 ,
，则__________.（用, 表示）
[解析] 如图，延长，交于，
是 的重心，是 各边上中线的交点，
又，，即 ，
，故.
又为 的中点，，， ,
.
8.已知,,是坐标原点，点满足 ，且
，则点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则,, ，
由题意可知， ，
所以消去 ，得点的轨迹方程为 .故选D.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2025·哈尔滨三中月考]在中，为的中点， ，
，若，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 选择,}为平面内所有向量的一个基底.
因为为 的中点，所以 .又
，
所以解得 .故选C.
10.（多选题）已知向量， ，
，若点，，能构成三角形，则实数 可以
是( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由题知， ，
，
假设 ，，三点共线，则，即 ，
所以只要，，，三点就能构成三角形.故选 .
√
√
√
11.（多选题）在平面直角坐标系中，已知点, ,
， ，则下列说法正确的是
( )
A.若，则
B.若点在直线上，则
C.若，则
D.若与共线，则
√
√
[解析] 由题知，,, ，所以
.
对于A，若 ，则，即 ，
故A正确；
对于B，，
若点在直线 上，则，即，
即 ，故B错误；
对于C， ，
， ，
若，则 ，
即 解得所以 ，故C正确；
对于D，，若与 共线，则
，即 ，故D错误.
故选 .
12.如图所示，在中，， 分别在
边，上，且 ，
，与交于点 ，
，，则 __________.
（用， 表示）
[解析] ，，三点共线，
设
，，三点共线，
设 ，
解得
.
13.[2024·天津河北区期中] 设， ，
，其中，，为坐标原点，若，， 三点共
线，则___， 的最小值为_______.
[解析] 由，， ，可得
,，
由于，， 三点共线，故, 共线，
所以，即 ，
则，
当且仅当，即,时取等号，
故 的最小值为 .
14.已知，，，设， ，
，且， .
（1）求 ；
解：由已知得，， .
.
（2）求满足的实数， 的值；
解：方法一：， ，
，
解得
方法二:，，又，
，.
（3）如果且，求 的值.
解：， ，
.
，，解得 .
15.[2024·江苏扬州调研] 如图，在中，为线段上靠近点
的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边， 分别交
于点，，设， .
（1）若，，求 的值；
解：由点,,三点共线，可设 ，
则 ，即 ，
又，， .
为线段上靠近点的三等分点， ，
由点,,三点共线可设 ，即
，故
解得故 ，故
.
（2）若点为线段的中点，求 的最小值.
解：由（1）可知 ，，
又， ，，
又为 的中点， ，
，
故得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
16.（多选题）如图，在正方形中，为的中点， 为线段
上的动点， ，则下列结论正确的是( )
A.当为线段的中点时，
B. 的最大值为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
√
√
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 以为原点，,的方向分别为, 轴
正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
设，则,,.
设 ，则，
因为 ，所以 ，
所以,，即,.
对于选项A，因为为线段 的中点，所以，
故 ，A正确；
对于选项B， ，，
所以当时， 取得最大值 ，B正确；
对于选项C，因为， ，所以，
即 的取值范围为 ，C正确；
对于选项D，， ，所以，
所以 的取值范围为，D错误.故选 .
17.[2025·湖南师范大学附中月考] 已知点为扇形的弧 上任意
一点，且，若，则 的取
值范围是_ ______.
[解析] 以为坐标原点，所在直线为 轴，过点
作的垂线，以该直线为 轴建立平面直角坐标
系，如图.
设扇形的半径为1，则 ,,，
其中 , .
由 ，得 ，
整理得 , ，解得 , ，
则 ,
因为，所以 ,所以，
故 .
【知识聚焦】1.(1)不共线 任一 有且只有一对 (2)不共线 所有 2.互相垂直
3.(1)(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (2)(x2-x1,y2-y1)
4.x1y2-x2y1=0
【对点演练】1.(9,7) 2.- 3.(2,2)或(3,1) 4.② 5.2或-1 6.或(1,0)
课堂考点探究
例1 (1)A (2)C 变式题 (1)A (2)A
例2 (1)B (2)-4 变式题 (1)A (2)D
例3 (1)C (2)A 变式题 (1)ABD (2)3
教师备用习题
例1 6 例2 7 例3 (3,3)
基础热身
1.A 2.C 3.C 4.C 5.BCD 6.2 7.-9a-2b
综合提升
8.D 9.C 10.ABD 11.AC 12. a+b 13. 2 +
14. (1) (6,-42) (2)m=-1,n=-1 (3) -2 15.(1) (2)
能力拓展
16.ABC 17.
