第34讲 平面向量的综合问题
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)向量 向量问题 (2)向量运算
【对点演练】
1.5 [解析] ∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=
||||=××2=5.
2.- [解析] ∵=,=-=-=(+)-=-,∴·=·=·-=×2×2·cos -×22=-.
3.15 正北
[解析] 如图,设表示小船的航行速度,表示河水的速度,以,为邻边作平行四边形ABCD,则就是小船实际航行的速度.由已知条件及余弦定理可得||=15,
∴∠BAC=∠ACD=90°,∴小船实际航行速度的大小为15 km/h,方向为正北.
4.重 [解析] 由原等式得-=λ(+),即=λ(+),根据向量加法的平行四边形法则知+=2(D为BC的中点),所以点P的轨迹一定过△ABC的重心.
5.外心 [解析] 设D为BC的中点,可得+=2,∵-=(+)·(-),∴2·=-=2·(-),∵=-,∴·=·,∴·(-)=0,即·=0,∴⊥,∴点P一定是△ABC的外心.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由三角形“四心”的性质即可判断出答案.(2)根据给定条件,利用数量积的运算律及数量积的定义可得AP平分∠BAC,BP平分∠ABC,结合三角形内心的定义判断即可.
(1)B (2)D [解析] (1)∵++=0,∴+=-,设AB的中点为D,则+=2,∴C,M,D三点共线,即M为△ABC的中线CD上的点,且MC=2MD,∴M为△ABC的重心.∵||=||=||,∴NA=NB=NC,∴N为△ABC的外心.∵·=·,∴·(-)=0,即·=0,∴PB⊥AC.同理可得,PA⊥BC,PC⊥AB,∴P为△ABC的垂心.故选B.
(2)在△ABC中,由·=0,得·=·,即·=·,由·=0,同理得·=·,显然≠0,即P与A不重合,同理≠0,则||cos∠PAC=||cos∠PAB,即cos∠PAC=cos∠PAB,可得∠PAC=∠PAB,于是AP平分∠BAC,同理得BP平分∠ABC,所以点P是△ABC的内心.故选D.
变式题 (1)重心 (2)1 [解析] (1)因为=λ,=μ,所以==,==,设G为△ABC的重心,则=+=+, 又因为λ+μ=λμ,且λμ≠0,即+=1,所以+=1,所以G,M,N三点共线,故MN恒过△ABC的重心.
(2)∵=m(++),=-,∴-=m(++),∴=(m-1)+
m(+).取BC的中点D,连接OD,则OD⊥BC,∴+=2,·=0.∵AH⊥BC,∴·=0,又·=(m-1)·+2m·,∴0=(m-1)·+0,∵·不恒为0,∴m-1=0,解得m=1.
例2 [思路点拨] (1)由题意设a=5m,b=5m,c=8m(m>0),由余弦定理结合·=-28可求出m,从而可求出a,b,c的值,求得△ABC外接圆的半径R及cos∠GCB,结合向量数量积的定义求解即可.(2)记||=c,||=b,||=a,由余弦定理及基本不等式求出bc的最大值,用,表示出,,求数量积后可得结论.
(1)B (2) [解析] (1)由题意设a=5m,b=5m,c=8m(m>0),所以△ABC是等腰三角形,由余弦定理,得cos∠ACB==
-.因为·=-28,所以5m×5m×cos∠ACB=-28,解得m=2(负值舍去),所以a=10,b=10,c=16.设△ABC的外接圆半径为R,因为sin∠ACB===,所以2R==,所以R=CG=.由△ABC为等腰三角形知∠GCB=∠ACB,所以cos2∠GCB==,即cos∠GCB=,所以·=||||cos∠GCB=×10×=50.故选B.
(2)记||=c,||=b,||=a,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos,即b2+c2-bc=3,即b2+c2=3+bc,由基本不等式得3+bc=b2+c2≥2bc,得bc≤3,当且仅当b=c=时等号成立.由题意知=+=+=+(-)=+,=(+)=+,所以·=·=++·=(b2+c2)+bccos=(b2+c2)+bc=(3+bc)+bc=+bc≤,当且仅当b=c=时取等号,所以·的最大值为.
变式题 [解析] 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由·-·=-,可得·+·=,所以accos(π-B)+abcos C=a2,可得2(-ccos B+bcos C)=a,由正弦定理得2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A,又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin Bcos C=3cos Bsin C,则tan B=3tan C.因为B,C为三角形的内角,所以tan C>0,则tan(B-C)===,又因为+3tan C≥2=2,当且仅当=3tan C,即tan C=时,等号成立,所以tan(B-C)≤=,即tan(B-C)的最大值为.
例3 [思路点拨] 设a=,b=,c==(x,y),根据已知设出a,b的坐标,由(c-a)⊥(c-b)得到C在以AB为直径的圆上,得出a·c+b·c=x+y,设x=+cos θ,y=+sin θ,利用辅助角公式得到a·c+b·c的最大值.
C [解析] 令a=,b=,c==(x,y),如图所示,不妨令a=(1,0),b=,所以||=,线段AB的中点坐标为.因为(c-a)⊥(c-b),所以C在以AB为直径的圆上,即在圆+=上.a·c+b·c=x-x+y=x+y,令x=+cos θ,y=+sin θ,则a·c+b·c=x+y=+=+cos θ+sin θ=+=+cos,因为cos∈[-1,1],所以a·c+b·c=+cos∈,所以a·c+b·c的最大值为.故选C.
变式题 B [解析] 方法一:因为|a|=1,|b|=,a·b=0,所以|b-a|==2,由|a-c|=|b-c|得|a-c|2=|b-c|2,即a2-2a·c+c2=b2-2b·c+c2,即1-2a·c=3-2b·c,所以b·c-a·c=1,即(b-a)·c=1.设b-a与c的夹角为θ,则(b-a)·c=|b-a|·|c|·cos θ=1,所以|c|=,则当cos θ=1时,|c|的最小值为.故选B.
方法二:|a|=1,|b|=,a·b=0,如图所示,设Rt△ABC中,=a,=b,则||=2,设=c,由|a-c|=|b-c|知,点C在线段AB的垂直平分线上,设D为AB的中点,连接OD,则OD=1,则|c|的最小值为点O到垂直平分线的距离,即为OD=.故选B.
方法三:|a|=1,|b|=,a·b=0,设=a,=b,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(,0).设c=(x,y),由|a-c|=|b-c|知=,所以y+1=x,则|c|==,当x=时,|c|取到最小值.故选B.第34讲 平面向量的综合问题
1.D [解析] 由=+,可得+=+,所以=,所以BC∥AD且BC=AD,所以四边形ABCD为平行四边形.由·=0,可得四边形ABCD的对角线互相垂直,所以四边形ABCD一定是菱形.故选D.
2.D [解析] 如图,设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以P在AD上,且==×(+)=(2+)=+=(+)+=-,由此可知A,B,C错误,D正确,故选D.
3.A [解析] 因为m⊥n,所以bsin 2A-asin B=0,即2bsin Acos A-asin B=0,由正弦定理可得2sin Bsin Acos A-sin Asin B=0,又因为A,B∈(0,π),所以2cos A-1=0,即cos A=,所以A=.故选A.
4.B [解析] 由|-|=||,得||=||,又四边形ABCD是菱形,所以△ABD是正三角形,于是∠BAD=,·=||||cos=||2,因此在上的投影向量为·=,所以λ=.故选B.
5.B [解析] 如图,设=a,=b,则|a-tb|为直线OB上的点C与点A之间的距离.当t=时,|a-tb|取得最小值,可知此时C为线段OB的中点且AC⊥OB,又|a|=|b|,所以
=∠AOC=.故选B.
6.外心 [解析] 设M为BC的中点,若-=2·,则-=(+)·(-)=2·=2·,则有(-)·=·=0,所以⊥,所以动点O在线段BC的中垂线上,则点O的轨迹必经过△ABC的外心.
7.1 [解析] 如图,延长AG交BC于D,∵G是△ABC的重心,∴AD为△ABC的中线.由·=·得·-·=0,即·(-)=0,故·=0,即AD⊥BC,故△ABC是等腰三角形,且AB=AC,则△ABC外接圆的圆心在AD的延长线上,设为O,连接OC,则OA=OC,∵∠OAC=,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=AC=AB=1,即△ABC外接圆的半径为1.
8.B [解析] 设AB=AC=1,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=1+1+1=3,∴BC=,∠ABC=30°.∵ AD平分∠BAC且与BC相交于点D,△ABC是等腰三角形,∴D是BC的中点,BD=,如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.由图可知向量在上的投影向量为 ,又||=||cos 30°=,∴||=||,∴=,故选B.
9.B [解析] 令=e1,=e2,=a,则a-e1=-=,a-e2=-=,因为e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以E1E2=.因为=,所以∠E1AE2=,所以过E1,A,E2的圆C的半径r=E1C===,连接OC交E1E2于点D,则OD=DE1=E1E2=,CD===,所以OC=+,所以||的最大值为OC+r=,故选B.
10.ABD [解析] 如图,取BC的中点E,连接AE,因为AB=AC=5,所以内心P,外心O,重心G都在中线AE上,且AE⊥BC,AE==4,设内切圆半径为r.对于A,由S△ABC=AE×BC=r(AB+AC+BC),得×4×6=r(5+5+6),解得r=,故A正确;对于B,因为PE=,所以AP=4-=,所以=-,所以6+5+5=6+5(+)=6+10=6-10××=0,故B正确;对于C,由余弦定理得cos∠BAC===,又0<∠BAC<π,所以sin∠BAC==,所以△ABC的外接圆半径为AO===,则OE=4-AO=4-=,所以=-,所以6+5+5=6+5(+)=6+10=6-10×=≠0,故C错误;对于D,△ABC的外接圆半径为AO=,因为AG=AE=,所以OG=AO-AG=-=,故D正确.故选ABD.
11.BCD [解析] 如图,作=a,=b,=c,由|a-c|=|b-c|=,得||=||=,可知A,B均在以点C为圆心,为半径的圆上.由a·b=0,得OA⊥OB,以OA,OB为邻边作矩形OADB,由矩形的性质可知,||2+||2=||2+||2,可得||==8,即点D在以点C为圆心,8为半径的圆上,所以|a-b|=||=||∈[8-2,8+2],即|a-b|∈[6,10].故选BCD.
12.重心 4 [解析] 由=,可得D为BC的中点,所以直线AD一定经过△ABC的重心.由A,N,D三点共线,可设=x,故=x(+),又=-+=+x,=-+,且,共线,所以=,解得x=,故=,所以=,故=4.
13.2 [解析] 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,∵=+λ,∴-==λ,∴点P在∠BAC的平分线上,即AD为∠BAC的平分线.在△ABD中,∠BAD=,AD=||=1,利用正弦定理知BD=×sin=.同理,在△ACD中,CD=×sin=,∴BC=BD+CD=+=,其中B+C=,分析可知当B=C=时,BC取得最小值,即BCmin=×2×=2,∴||min=2.
14.解:(1)=-=+=-+=-+(-)=--,=-=--=--(-)=-.
(2)由题易知BC=2,设=λ,0≤λ≤,则=,所以·=(+)·(+)=+(+)·+·=2+·+λ=2+×2××cos+λ×4=4+,因为0≤λ≤,所以·的取值范围是.
15.C [解析] 如图,作=a,=b,=-ta,因为 t∈R,不等式|b+ta|≥|b-a|恒成立,所以|-|≥|-|,即||≥||恒成立,从而有AB⊥OA,故||=·cos=2.设=xb,=a,则f(x)=|xb-a|+=|-|+|-|=||+||.作点E关于直线OB的对称点F,则||=1,∠FOA=,所以f(x)=||+||=||+||≥||==,当且仅当F,D,A三点共线时取等号.故选C.
16.AD [解析] 因为锐角三角形ABC内部的一点O满足OA=OB=OC,所以O为△ABC的外接圆的圆心,圆心O在△ABC内.设外接圆的半径为R,因为++=0,所以+(-)+(-)=0,所以+(·-)+(·-)=0,即R2
+(R2cos∠AOB-R2)+(R2cos∠AOC-R2)=0,
从而得+(cos 2∠ACB-1)+(cos 2∠ABC-1)=0,即+(-2sin2∠ACB)
+(-2sin2∠ABC)=0,所以=2sin∠ACBcos∠ABC+
2sin∠ABCcos∠ACB=2sin(∠ABC+∠ACB)=2sin∠BAC,即2sin∠BACcos∠BAC=,所以sin 2∠BAC=,因为0<∠BAC<,所以2∠BAC=或,所以∠BAC=或.故选AD.第34讲 平面向量的综合问题
【课标要求】 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.三角形“四心”的概念与性质
(1)重心——三角形的三条中线的交点.
(2)垂心——三角形的三条垂线的交点.
(3)内心——三角形的三个内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心).
(4)外心——三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心).
(5)各心的性质:重心将中线长度分成2∶1;垂线与对应边垂直;角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心到三角形各顶点的距离相等.
3.向量在物理中的应用
(1)向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的三角形和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.
(2)用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
常用结论
1.“四心”向量形式的条件:
已知H,G,O,I是△ABC所在平面上的任意点,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边.
(1)H为垂心 ·=·=· ||2+||2=||2+||2=||2+||2.
(2)G为重心 ++=0.
(3)O为外心 (+)·=(+)·=(+)·=0 ||=||=|| ==.
(4)I为内心 a+b+c=0.
2.平面向量与平面几何综合的有关结论
(1)若,为非零向量,则·=0 MA⊥MB;·<0 ∠AMB是钝角或两向量反向共线;·>0 ∠AMB是锐角或两向量同向共线.
(2)λ= MP是∠AMB的平分线.
(3)在 ABCD中,(+)·(-)=0 ABCD是菱形;|+|=|-| ABCD是矩形.
3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论
(1)在平面四边形ABCD中,有·=.
(2)在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有+=+.
(3)在平面四边形ABCD中,有cos<,>=.
4.三角形面积公式的向量表示
平面上O,A,B三点不共线,设=a=(x1,y1),=b=(x2,y2),则S△OAB==|x1y2-x2y1|.
题组一 常识题
1.[教材改编] 在平面四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 .
2.[教材改编] 如图,在边长为2的等边三角形ABC中,点D为AC的中点,点E为中线BD的三等分点(靠近点B),点F为BC的中点,则·= .
3.[教材改编] 有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河,小船航行速度的大小为30 km/h,方向为北偏西30°,河水的速度为向东15 km/h,则小船实际航行速度的大小为 km/h,方向为 .
题组二 常错题
◆索引:不理解各心的概念致误.
4.已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的 心.
5.已知点P是△ABC的内心(三个内角的平分线交点)、外心(三条边的中垂线的交点)、重心(三条中线的交点)、垂心(三条高的交点)之一,且满足2·=-,则点P一定是△ABC的 .
平面向量与三角形的“四心”
例1 (1)点M,N,P在△ABC所在平面内,且满足++=0,||=||=||,·=·=·,则M,N,P依次是△ABC的 ( )
A.重心、外心、内心
B.重心、外心、垂心
C.外心、重心、内心
D.外心、重心、垂心
(2)[2024·四川南充三模] 已知点P在△ABC所在平面内,若·=·=0,则点P是△ABC的 ( )
A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心
总结反思
已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点.
(1)若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的重心.
(2)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的外心.
(3)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的垂心.
(4)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定过△ABC的内心.
变式题 (1)M,N分别为△ABC的边AB,AC上的点,且满足=λ,=μ,若λ+μ=λμ,且λμ≠0,则MN恒过△ABC的 .(填四心中的一个)
(2)设O,H分别为斜三角形ABC的外心与垂心,若=m(++)(m∈R),则m= .
平面向量数量积与解三角形综合问题
例2 (1)已知△ABC的外心为G,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a∶b∶c=5∶5∶8.若·=-28,则·= ( )
A. B.50
C.25 D.25
(2)如图,在△ABC中,BC=,∠BAC=,D为线段AB上靠近点A的三等分点,E为线段CD的中点,若=,则·的最大值为 .
总结反思
求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基底,把三角形中的边对应向量用基底表示,利用平面向量数量积结合正余弦定理沟通边角关系求解.
变式题 [2025·江南十校质检] 在△ABC中,·-·=-,则tan(B-C)的最大值为 .
平面向量数量积与构图
例3 [2025·南京模拟] 若单位向量a,b满足=120°,向量c满足(c-a)⊥(c-b),则a·c+b·c的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
总结反思
条件中的向量运算结果如果可构成特殊的几何图形(如直线或圆等),且所求向量问题与几何图形中的某条线段或角相关,可考虑利用几何意义处理.
变式题 平面向量a,b满足|a|=1,|b|=,a·b=0,若|a-c|=|b-c|,则|c|的最小值为 ( )
A.1 B. C. D.第34讲 平面向量的综合问题
(时间:45分钟)
1.在四边形ABCD中,若=+,且·=0,则四边形ABCD一定是 ( )
A.矩形 B.等腰梯形
C.正方形 D.菱形
2.[2024·西安一模] 已知点P是△ABC的重心,则 ( )
A.=+
B.=+
C.=+
D.=+
3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量m=(b,sin B),n=(sin 2A,-a),若m⊥n,则A= ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·福州质检] 在菱形ABCD中,若|-|=||,且在上的投影向量为λ,则λ= ( )
A.- B.
C.- D.
5.若非零平面向量a,b满足|a|=|b|,且当t=时,|a-tb|取得最小值,则= ( )
A.0 B.
C. D.
6.已知点O为△ABC所在平面内一点,若-=2·,则点O的轨迹必经过△ABC的 .(填内心、外心、垂心或重心)
7.在△ABC中,A=,AB=1,G为△ABC的重心,若·=·,则△ABC外接圆的半径为 .
8.[2024·湖南雅礼中学二模] 在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,则向量在上的投影向量为 ( )
A. B.
C. D.
9.向量e1,e2,a满足e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,=,则|a|的最大值为 ( )
A. B.
C.+ D.
10.(多选题)△ABC的内心为P,外心为O,重心为G,若AB=AC=5,BC=6,则下列结论正确的是 ( )
A.△ABC的内切圆半径r=
B.6+5+5=0
C.6+5+5=0
D.OG=
11.(多选题)[2024·云南师大附中月考] 已知平面向量a,b,c满足a·b=0,|c|=2,|a-c|=|b-c|=,则|a-b|的取值可能为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
12.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,且满足=,=,则直线AD一定经过△ABC的 (填重心、垂心、内心或外心),若线段BE和AD相交于点N,则的值为 .
13.已知O是△ABC所在平面内一定点,P是△ABC所在平面内的动点,且满足=+λ(λ>0),射线AP与边BC交于点D,若∠BAC=,||=1,则||的最小值为 .
14.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是边BC上的点,且=.
(1)若=,M是边AB的中点,N是边AC靠近A的四等分点,用向量,表示,;
(2)求·的取值范围.
15.[2024·湖北新高考协作体模拟] 向量a,b满足=,|b|=,且 t∈R,不等式|b+ta|≥|b-a|恒成立,则函数f(x)=|xb-a|+(x∈R)的最小值为( )
A. B.1
C. D.
16.(多选题)设锐角三角形ABC内部的一点O满足OA=OB=OC,且++=0,则∠BAC的大小可能为 ( )
A. B.
C. D.(共93张PPT)
第34讲 平面向量的综合问题
课前基础巩固
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教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以
及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用______表示问题中涉及的几何
元素，将平面几何问题转化为__________；
（2）通过__________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等
问题；
向量
向量问题
向量运算
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
◆ 知识聚焦 ◆
2.三角形“四心”的概念与性质
（1）重心——三角形的三条中线的交点.
（2）垂心——三角形的三条垂线的交点.
（3）内心——三角形的三个内角平分线的交点（三角形内切圆的圆
心）.
（4）外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆
心）.
（5）各心的性质：重心将中线长度分成 ；垂线与对应边垂直；
角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的
距离相等.
3.向量在物理中的应用
（1）向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是
既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法
的三角形和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成
有着密切的联系.
（2）用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
常用结论
1.“四心”向量形式的条件：
已知，，，是所在平面上的任意点，，，分别为三
个内角，，所对的边.
（1） 为垂心
.
（2）为重心 .
（3） 为外心
.
（4）为内心 .
2.平面向量与平面几何综合的有关结论
（1）若，为非零向量，则 ；
是钝角或两向量反向共线；
是锐角或两向量同向共线.
（2）是 的平分线.
（3）在中， 是菱
形； 是矩形.
3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论
（1）在平面四边形中，有 .
（2）在平面四边形中，若 ，则有
.
（3）在平面四边形中，有， .
4.三角形面积公式的向量表示
平面上，，三点不共线，设 ，
，则
.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 在平面四边形中，若 ，
，则该四边形的面积为___.
5
[解析] ，，
四边形的面积 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 如图，在边长为2的等边三角形
中，点为的中点，点为中线 的三等分
点（靠近点），点为的中点，则
_ ___.
[解析] ，
， .
3.［教材改编］ 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出
发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西 ，河水
的速度为向东，则小船实际航行速度的大小为______ ，
方向为______.
正北
[解析] 如图，设表示小船的航行速度，
表示河水的速度，以， 为邻边作
平行四边形，则 就是小船实际航行的速度.
由已知条件及余弦定理可得 ，
， 小船实际航行速度的大小为 ，
方向为正北.
题组二 常错题
◆ 索引：不理解各心的概念致误.
4.已知是平面上的一定点，，， 是平面上不共线的三个动点，
若动点满足，，则点 的轨迹一
定过 的____心.
重
[解析] 由原等式得，即 ，
根据向量加法的平行四边形法则知（为 的中点），
所以点的轨迹一定过 的重心.
5.已知点是 的内心（三个内角的平分线交点）、外心
（三条边的中垂线的交点）、重心（三条中线的交点）、垂心
（三条高的交点）之一，且满足，则点 一定
是 的______.
外心
[解析] 设为的中点，可得 ，
，
，
，，，
即 ，， 点一定是 的外心.
探究点一 平面向量与三角形的“四心”
例1（1）点，，在 所在平面内，且满足
， ，
，则，，依次是 的( )
A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心
C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心
［思路点拨］由三角形“四心”的性质即可判断出答案.
√
[解析] ，，
设 的中点为，则，，，三点共线，
即为 的中线上的点，且，为 的重心.
，，为 的外心.
，，即 ，
.
同理可得，，，为 的垂心.故选B.
（2）[2024·四川南充三模]已知点在 所在平面内，若
，则点是 的( )
A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心
［思路点拨］根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的
定义可得平分，平分 ，结合三角形内心的
定义判断即可.
√
[解析] 在中，由，得 ，
即，
由 ，同理得，
显然，即与不重合，同理 ，
则，即 ，
可得，于是平分，
同理得平分 ，所以点是 的内心.故选D.
[总结反思]
已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点.
（1）若动点满足，，则点的
轨迹一定过的重心.
（2）若动点满足，
，则点的轨迹一定过的外心.
（3）若动点满足 ，
，则点的轨迹一定过 的垂心.
（4）若动点满足，，则点 的
轨迹一定过 的内心.
变式题（1），分别为的边， 上的点，且满足
，，若 ，且，则 恒过
的______.（填四心中的一个）
重心
[解析] 因为， ，
所以，，
设 为的重心，则 ，
又因为 ，且，即 ，
所以，所以，，三点共线，
故恒过 的重心.
（2）设，分别为斜三角形 的外心与垂心，若
，则 ___.
1
[解析] ， ，
，
.
取的中点，连接 ，则，，
，，又 ，
，
不恒为0， ，解得 .
探究点二 平面向量数量积与解三角形综合问题
例2（1）已知的外心为，内角,,的对边分别为,, ，且
.若，则 ( )
A. B.50 C.25 D.
［思路点拨］由题意设,, ，
由余弦定理结合可求出，从而可求出,,的值，
求得 外接圆的半径及 ，结合向量数量积的定义
求解即可.
√
[解析] 由题意设,,，所以 是等
腰三角形，由余弦定理，得 .
因为，所以 ，
解得（负值舍去），所以,,.
设 的外接圆半径为，
因为 ，
所以，所以.
由 为等腰三角形知，
所以 ，即，
所以 . 故选B.
（2）如图，在中，，， 为
线段上靠近点的三等分点，为线段 的中点，
若，则 的最大值为___.
［思路点拨］记,， ，由余
弦定理及基本不等式求出的最大值，用,表示出, ，求数量
积后可得结论.
[解析] 记,， ，由余弦定理
得，即 ，即
，
由基本不等式得，得 ，
当且仅当 时等号成立.
由题意知 ， ，
所以 ，当且仅当
时取等号，所以的最大值为 .
[总结反思]
求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法：选取合适的基底，
把三角形中的边对应向量用基底表示，利用平面向量数量积结合正
余弦定理沟通边角关系求解.
变式题 [2025· 江南十校质检] 在 中，
，则 的最大值为_ __.
[解析] 设内角，，所对的边分别为，， ，
由，可得 ，
所以，可得 ，
由正弦定理得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，则.
因为, 为三角形的内角，所以 ，则
，
又因为，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以 ，即的最大值为 .
探究点三 平面向量数量积与构图
例3 [2025·南京模拟]若单位向量,满足, ，向量 满足
，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 设,,，根据已知设出,
的坐标，由得到在以 为直径的圆上，得出
，设 , ，利
用辅助角公式得到 的最大值.
√
[解析] 令,, ，如图所示，
不妨令, ，所以,
线段的中点坐标为 .
因为，所以在以 为直径的圆上，
即在圆 上
，令 ,
，则 ，
因为 ，所以 ，所以的最大值为 .故选C.
[总结反思]
条件中的向量运算结果如果可构成特殊的几何图形（如直线或圆
等）,且所求向量问题与几何图形中的某条线段或角相关,可考虑利用
几何意义处理.
变式题 平面向量,满足,, ，若
，则 的最小值为( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为,, ,
所以，
由得 ,
即，即 ，
所以,即.
设与的夹角为 ，则,
所以，则当 时，的最小值为 .故选B.
方法二：|,, ，如图所示，
设中，,，则 ，
设，由知，点 在线段
的垂直平分线上，
设为的中点，连接 ，则，
则的最小值为点到垂直平分线的距离，即为 .故选B.
方法三：|,, ，设
， ，建立如图所示的平面直角
坐标系，则,.
设 ，由 知
，所以
，则 ，当
时,取到最小值 .故选B.
【备选理由】例1考查三角形四心的判断与性质,考查平面向量的数量
积运算,考查学生的运算能力以及化归转化能力;
例1 ［配例1使用］ （多选题）点在 所在的平面内，则以下
说法正确的有( )
A.若，则点为 的外心
B.若，则动点 的轨迹一定经过
的重心
C.若，，分别表示 ，
的面积，则
D.若 ，则
点是 的内心
√
√
√
[解析] 对于A选项，由题意知 ，即
，故 ，
同理可得，，则点为 的垂心，A错误；
对于B选项，如图，过点作于点，
取的中点，连接 ，则
， ，
则 ，
故点在中线所在直线上，故动点的轨迹一定经过 的重心，
B正确；
对于C选项，如图，设,分别为, 的中点，
连接，，
因为 ，
所以 ，所以
，故，即，， 共线，
所以，故 ，C正确；
对于D选项，,分别表示与,同方向的单位向量, ，
故，
由 ，得，
由三线合一可得，在 的平分线上，
同理可得，在, 的平分线上，
则点是的内心，D正确.故选 .
例2 ［配例2使用］ [2024·华中师范大学附中月考] 已知 是边
长为的正三角形，点是 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.
√
【备选理由】例2考查平面向量的模的计算等基础知识,考查学生的
转化化归能力以及发现问题、解决问题的能力；
[解析] 方法一：设的重心为 ,则
,
,,
点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，如图，
又 ,
的最小值是 .
方法二：如图，以所在直线为轴，以 的中
垂线为轴建立平面直角坐标系，则 ,
,，
设 ， ,
，化简得
, 点的轨迹方程为，
设圆心为 ,，由圆的性质可知当过圆心且在，之间
时 最小，又，
故 的最小值为 .故选C.
例3 ［配例3使用］ [2024·广东六校联考] 已知在同一平面内的三个
点，，满足，，则 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查利用正弦定理求外接圆半径、向量数量积的运
算律、向量夹角的计算、数形转化等知识,考查学生综合运用知识分
析解决问题的能力.
[解析] 设，，则是与 同方向的单
位向量，是与 同方向的单位向量，
对于，即 ，两边平方得
，化简得，可得与的夹角 .
在如图所示的圆中，点，在圆上，其中劣弧所对的圆心角为 ，
不妨设点在上或点在上方，则点在优弧上运动，
或点 在圆的内部.
若点在圆上，根据正弦定理，可得圆 的半径满足
，即，
设为 的中点，则，
当时， 取到最大值，此时 为等边三角形，
可知，此时；
当点与点 重合时，，此时 取得最小值0.
综上所述，的取值范围为 .故选D.
作业手册
1.在四边形中，若，且 ，则四边形
一定是( )
A.矩形 B.等腰梯形 C.正方形 D.菱形
[解析] 由，可得，所以 ，
所以且，所以四边形 为平行四边形.
由，可得四边形 的对角线互相垂直，
所以四边形 一定是菱形.故选D.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·西安一模]已知点是 的重心，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，设的中点为，连接 ，
因为点是的重心，所以在 上，且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，故选D.
√
3.记的内角，，的对边分别为，， ，设向量
，，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
即 ，
由正弦定理可得，
又因为, ，所以，即，
所以 .故选A.
√
4.[2024·福州质检]在菱形中，若，且 在
上的投影向量为，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
又四边形 是菱形，所以是正三角形，
于是 ，，
因此在 上的投影向量为，所以 .故选B.
√
5.若非零平面向量，满足，且当时， 取得最
小值，则, ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 如图，设，，则 为
直线上的点与点之间的距离.
当 时，取得最小值，
可知此时为线段 的中点且，
又，所以 , .故选B.
√
6.已知点为所在平面内一点，若 ，则
点的轨迹必经过 的______.（填内心、外心、垂心或重心）
外心
[解析] 设为的中点，若 ，
则 ，
则有，所以，
所以动点 在线段的中垂线上，则点的轨迹必经过 的外心.
7.在中，，，为 的重心，若
，则 外接圆的半径为___.
1
[解析] 如图，延长交于，是 的
重心，为的中线.
由 得，
即 ，故，即，
故是等腰三角形，且 ，
则外接圆的圆心在的延长线上，设为，
连接 ，则，
， 是等边三角形，
，即 外接圆的半径为1.
8.[2024·湖南雅礼中学二模]在等腰三角形中， ，
平分且与相交于点，则向量在 上的投影向量为
( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 设 ，由余弦定理可知
，
， .
平分且与相交于点 ，是等腰三角形，
是的中点，，
如图，过点 作，垂足为.
由图可知向量在上的投影向量为 ，
又，
， ，故选B.
9.向量,,满足，,, ，
则 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 令，， ，
则 ,
，
因为 ，，所以.
√
因为 , ，所以，所以过，，
的圆的半径 ，
连接交于点，则 ，
，
所以，所以的最大值为 ，
故选B.
10.（多选题）的内心为，外心为，重心为 ，若
， ，则下列结论正确的是( )
A.的内切圆半径 B.
C. D.
√
√
√
[解析] 如图，取的中点，连接 ，因为，
所以内心，外心，重心 都在中线上，且，
，设内切圆半径为 .
对于A，由 ，
得，解得，故A正确；
对于B，因为 ,所以，所以 ，所以
，故B正确；
对于C，由余弦定理得 ，
又 ，所以，所以 的外接圆半径为 ，
则，所以，
所以，故C错误；
对于D，的外接圆半径为 ，因为
，所以，故D正确.故选 .
11.（多选题）[2024·云南师大附中月考] 已知平面向量，， 满足
，，，则 的取值可能
为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
√
√
√
[解析] 如图，作，， ，由
，得 ，
可知，均在以点为圆心， 为半径的圆上.
由，得，以， 为邻边作矩
形 ，由矩形的性质可知，
，可得
，即点在以点 为圆心，8为半径的圆上，所
以，即.故选 .
12.如图，在中，，分别为， 上的点，且满足
，，则直线一定经过 的______
（填重心、垂心、内心或外心），若线段和相交于点，则
的值为___.
重心
4
[解析] 由，可得为 的中点，
所以直线一定经过的重心.
由,, 三点共线，可设，
故 ，
又 ，，
且, 共线，所以，解得，故 ,
所以,故 .
13.已知是所在平面内一定点，是 所在平面内的动点，
且满足，射线与边交于点 ，
若，，则 的最小值为_____.
[解析] 表示与同向的单位向量，表示与 同向的单位向
量，， ，
点在的平分线上，即为的平分线.
在 中，， ，利用正弦定理知
.
同理，在 中， ，
，其中 ,
分析可知当时， 取得最小值，
即， .
14.如图，在等腰直角三角形 中，
，,是边 上的点，且
.
（1）若，是边的中点， 是
解： ，
.
边靠近的四等分点，用向量,表示 ,
；
（2）求 的取值范围.
解：由题易知，设，，则 ，
所以
，
因为 ，所以的取值范围是 .
15.[2024·湖北新高考协作体模拟]向量,满足,, ，
且，不等式 恒成立，则函数
的最小值为( )
A. B.1 C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 如图，作,, ,
因为,不等式 恒成立，
所以，即 恒成立，
从而有，故 .
设, ，则
.
作点关于直线的对称点，则 ,
，所以 ,
当且仅当,, 三点共线时取等号.故选C.
16.（多选题）设锐角三角形内部的一点满足 ，
且，则 的大小可能
为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 因为锐角三角形内部的一点满足 ，
所以为的外接圆的圆心，圆心在内.
设外接圆的半径为 ，
因为 ，
所以，
所以 ，
即 ，从而得
，
即 ，
所以，即 ，
所以，
因为，所以或 ，
所以或.故选 .
【知识聚焦】1.(1)向量 向量问题 (2)向量运算
【对点演练】1.5 2.- 3.15 正北 4.重 5.外心
课堂考点探究
例1 (1)B (2)D 变式题 (1)重心 (2)1
例2 (1)B (2) 变式题
例3 C 变式题 B
教师备用习题
例1 BCD 例2 C 例3 D
基础热身
1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.外心 7.1
综合提升
8.B 9.B 10.ABD 11.BCD 12.重心 4 13. 2
14. (1) =--,=- (2)
能力拓展
15.C 16.AD 