第35讲 复数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)虚数单位 实部 虚部 b=0 b≠0
a=0且b≠0 (2)a=c且b=d
(3)a=c且b=-d
(4)|z| |a+bi|
2.(1)Z(a,b)
3.①(a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i
③(ac-bd)+(ad+bc)i
④+i
【对点演练】
1.-3 [解析] 因为复数z=+(m2-2m)i为纯虚数,所以解得m=-3.
2.-3-4i [解析] ∵=-,∴在复平面内对应的复数为-1-3i-(2+i)=-3-4i.
3.12 26 [解析] ∵-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,∴-3-2i是此方程的另一个根,∴(-3+2i)+(-3-2i)=-,(-3+2i)(-3-2i)=,解得p=12,q=26.
4.1 [解析] 因为===2+i,所以复数的虚部为1.
5.0 二 [解析] 由(a-i)(1-2i)=-3+bi,得a-2-(1+2a)i=-3+bi,由复数相等的充要条件得解得所以a+b=0,z=-1+i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,1),位于第二象限.
6.-1+i [解析] 由(z-1)·i2025=1-2i,得(z-1)i=1-2i,则z-1===-2-i,则z=-1-i,所以=-1+i.
7.-3 [解析] 因为(3+i)(1-ai)=(3+a)+(1-3a)i,a∈R,且(3+i)(1-ai)为纯虚数,所以解得a=-3.
8.2π [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),由1≤|z-1+i|≤可得1≤(a-1)2+(b+1)2≤3,即复数z在复平面内对应的点构成的图形是以(1,-1)为圆心,分别以1,为半径的圆所夹的圆环,其面积为3π-π=2π.
● 课堂考点探究
探究点一
1.C [解析] 因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C.
2.C [解析] 由题意得sin=0.对于A选项,当θ=时,sin=1,不合题意,故A错误;对于B选项,当θ=时,sin=-1,不合题意,故B错误;对于C选项,当θ=时,sin=sin 506π=0,故C正确;对于D选项,当θ=时,sin=1,不合题意,故D错误.故选C.
3.B [解析] (+i)z+i=,故z====-i,故=+i.故选B.
4.BC [解析] 对于A,若z为纯虚数,则a2-1=0且a+1≠0,故a=1,故A错误;对于B,若z在复平面内对应的点位于第二象限,则解得-1
探究点二
1.D [解析] 因为z在复平面内对应的点的坐标是(-1,),所以根据复数的几何意义可知,z=-1+i,由共轭复数的定义可知,=-1-i.故选D.
2.B [解析] 设复数z,i在复平面上对应的点分别为P,C(0,1),因为|z-i|=2,所以|PC|=2,故复数z在复平面上对应的点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆.故选B.
3.B [解析] 若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则由复数的几何意义可知复数z对应的点的集合是线段OA的垂直平分线,其中O(0,0),A(2,2),所以|z|的最小值为|OA|==.故选B.
4.2 [解析] 依题意,z2=i·(1+i)=i-1,则z2-z1=i-1-(1+i)=-2,所以||=|z2-z1|=2.
探究点三
1.C [解析] 由题可得z=(1+i)(z-1),则z==1-i.
2.D [解析] z1=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,则|z-z1|=|-2i-3+i|=|-3-i|==.故选D.
3.C [解析] ==1-i.故选C.
4.AD [解析] 设z=a+bi,w=c+di,其中a,b,c,d∈R,且复数z,w均不为0.对于选项A,由z=a+bi可得=a-bi,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z|2,即=,A中说法一定正确;对于选项B,z+w=a+c+(b+d)i,所以|z+w|2=(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,(|z|+|w|)2=(+)2=a2+b2+2+c2+d2,当|z+w|=|z|+|w|,即|z+w|2=(|z|+|w|)2时,可得ac+bd=,两边平方整理得2abcd=a2d2+b2c2,所以|z+w|=|z|+|w|不一定成立,B中说法不一定正确;对于选项C,===,所以=,===
,当=时,可得bd+adi=0,所以=不一定成立,C中说法不一定正确;对于选项D,若===∈R,则b=0,所以z=a∈R,D中说法一定正确.故选AD.
5.BCD [解析] 因为复数a,b满足a2-2a+2=0,b2-2b+2=0,所以复数a,b均是方程x2-2x+2=0的根,在复数范围内,解方程x2-2x+2=0得x1=1+i,x2=1-i,所以a=b=1+i或a=b=1-i或a=1+i,b=1-i或a=1-i,b=1+i.当a=b=1+i时,ab=(1+i)2=2i;当a=b=1-i时,ab=(1-i)2=-2i;当a=1+i,b=1-i时,ab=(1+i)(1-i)=2;当a=1-i,b=1+i时,ab=(1-i)(1+i)=2.故选BCD.第35讲 复数
1.A [解析] z(1-i)=(-1-i)(1-i)=(-i)2-1=-2.故选A.
2.B [解析] z===1-i,∴z的虚部为-1.故选B.
3.B [解析] z==
==-3-i,所以z的共轭复数为-3+i.故选B.
4.C [解析] 因为(2+i)(1-ai)=2+bi,所以2+a+(1-2a)i=2+bi,可得解得所以a+b=1.故选C.
5.A [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R).因为iz+4-15=0,所以i(a+bi)+4(a-bi)-15=4a-b-15+(a-4b)i=0,可得解得即z=4+i,所以复数z在复平面内对应的点为(4,1),位于第一象限.故选A.
6.-1+2i [解析] =
==
==-1+2i.
7.(-5,-4) [解析] 由题意得解得-58.A [解析] 设复数z=a+bi,a,b∈R,所以=a-bi,又因为复数z满足z+2=3+i,所以a+bi+2(a-bi)-3-i=0,可得解得所以z=1-i,所以===1+2i,故选A.
9.D [解析] x2+1=x2-(-1)=x2-i2=(x+i)(x-i),若则z1-z2=2i,所以(z1-z2)i=2i2=-2<0,不符合题意;若则z1-z2=-2i,所以(z1-z2)i=-2i2=2>0,符合题意.所以z1=-i,z2=i,所以===--i,故复数的虚部为-.故选D.
10.ABC [解析] z======-i,则=+i,故||=,故A正确;z在复平面内对应的点为,位于第四象限,故B正确;i-=i--i=-<0,故C正确;z+=+-i=-i,不为纯虚数,故D错误.故选ABC.
11.ACD [解析] 因为z1,z2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的两个根且z1=1+i,所以z2=1-i,即z1=,故A正确;=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以≠,故B错误;因为z1+z2=(1+i)+(1-i)=2=-p,所以p=-2,故C正确;z1z2=(1+i)(1-i)=12-i2=2=q,故D正确.故选ACD.
12.1-i或-1+i [解析] 依题意,=(,1),设=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,由解得或所以=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i.
13.-1 [解析] 设z=x+yi,x,y∈R,由|z-i|=两边平方整理得x2+(y-1)2=2,即x2+y2=2y+1,故||=|x-yi|==.作出复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程x2+(y-1)2=2表示的图形,如图.易得1-≤y≤1+,故||=≥=-1,即当且仅当y=1-时,||取到最小值-1.
14.-1 [解析] z=λ+isin θ(0<θ<π)在复平面内对应的点为,所以λ=sin θ,所以λ=sin θ,由θ∈(0,π),得sin θ>0,则λ==≤=-1,当且仅当=sin θ,即sin θ=,即θ=或θ=时等号成立,故λ的最大值为-1.
15.C [解析] z=1-i+i2-i3+…+i2024-i2025+i2026====-i,所以|z|=1.故选C.
16.BD [解析] 对于A,|z+1|=表示点(x,y)与(-1,0)之间的距离,|z-1|=表示点(x,y)与(1,0)之间的距离,记F1(-1,0),F2(1,0),|z+1|=|z-1|表示点Z(x,y)到F1,F2的距离相等,则点Z的轨迹是线段F1F2的中垂线,故A错误;对于B,记F1(-2,0),F2(2,0),由|z+2|+|z-2|=8,得|ZF1|+|ZF2|=8>4=|F1F2|,符合椭圆的定义,故点Z的轨迹是椭圆,故B正确;对于C,记F1(0,-2),F2(0,2),由|z+2i|-|z-2i|=2,得|ZF1|-|ZF2|=2<4=|F1F2|,所以点Z的轨迹为双曲线的一支,故C错误;对于D,若|x+1|=|z-1|,则(x+1)2=(x-1)2+y2,整理得y2=4x,所以点Z的轨迹是抛物线,故D正确.故选BD.第35讲 复数
【课标要求】 1.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
2.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作 ,a叫作复数的 ,b叫作复数的 .若 ,则a+bi为实数;若 ,则a+bi为虚数;若 ,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作 或 ,即|z|=|a+bi|= .一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点 (a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= .(复数的加法满足交换律、结合律)
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= .
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= .(复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律)
④除法:=== (c+di≠0).
(2)复数加、减运算的几何意义
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=+,=-.
常用结论
1.in(n∈N)的周期性:
①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
2.复数模的性质:
①|z|2=||2=z·;②|z1·z2|=|z1|·|z2|;③=(z2≠0);④|zn|=|z|n.
3.复数模的几何意义:
①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
4.实系数一元二次方程虚根成对:若实系数一元二次方程有虚根,则两根互为共轭复数.
5.复数z在复平面内对应的点为Z:
①若a≤|z|≤b,则点Z的轨迹为以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.
②若|z-(a+bi)|=r(r>0),则点Z的轨迹为以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若复数z=+(m2-2m)i为纯虚数,则实数m的值为 .
2.[教材改编] 在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是 .
3.[教材改编] 已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p= ,q= .
题组二 常错题
◆索引:将复数a+bi(a,b∈R)的虚部误认为是bi致误;复数相等的充要条件及复数的几何意义掌握不牢致误;错用虚数单位i的幂的性质致误;纯虚数的概念掌握不牢致误;不理解复数模的几何意义致误.
4.复数的虚部是 .
5.已知(a-i)(1-2i)=-3+bi,a,b∈R,i是虚数单位,则a+b= ;若复数z=a+bi,则z在复平面内对应的点位于第 象限.
6.复数z满足(z-1)·i2025=1-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数为 .
7.已知a∈R,若(3+i)(1-ai)为纯虚数,则a= .
8.满足1≤|z-1+i|≤的复数z在复平面内对应的点构成的图形的面积为 .
复数的概念
1.[2023·全国甲卷] 设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.[2024·山东潍坊三模] 设θ∈R,若复数z=sin+2i是纯虚数,则θ的值可以为( )
A. B. C. D.
3.[2025·南京六校联合体调研] 已知复数z满足(+i)z+i=,则复数= ( )
A.-i B.+i
C.-i D.+i
4.(多选题)[2025·广东肇庆联考] 已知复数z=a2-1+(a+1)i,a∈R,则下列说法一定正确的是 ( )
A.若z为纯虚数,则a=±1
B.若z在复平面内对应的点位于第二象限,则a∈(-1,1)
C.若a=0,则=-1-i
D.若a=0,则|z|=1
总结反思
复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题时要注意将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),根据概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的答案.
复数的几何意义
1.[2023·北京卷] 在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数= ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
2.[2025·湖南益阳一模] 已知复数z满足|z-i|=2,则复数z在复平面上对应的点的轨迹是 ( )
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.抛物线
3.[2024·山东烟台三模] 若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则|z|的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.2
4.设复数z1与z2所对应的点分别为Z1与Z2,若z1=1+i,z2=i·z1,则||= .
总结反思
(1)复数z在复平面内对应的点Z和向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),=(a,b)相互一一对应.
(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即为其对应向量的模.
复数的四则运算
1.[2024·新课标Ⅰ卷] 若=1+i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
2.[2024·河北张家口一模] 已知复数z1=(1+i)(1-2i),复数z=-2i,则|z-z1|= ( )
A. B.4 C.10 D.
3.[2023·全国甲卷] = ( )
A.-1 B.1
C.1-i D.1+i
4.(多选题)[2024·沈阳二模] 已知复数z,w均不为0,则下列说法一定正确的是 ( )
A.=
B.|z+w|=|z|+|w|
C.=
D.若∈R,则z∈R
5.(多选题)[2024·安徽芜湖模拟] 已知复数a,b满足a2-2a+2=0,b2-2b+2=0,则复数ab的可能取值为 ( )
A.1 B.2
C.2i D.-2i
总结反思
(1)复数的加减法:在进行复数加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可.
(2)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(3)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.第35讲 复数
(时间:45分钟)
1.[2025·浙江强基联盟联考] 已知z=-1-i,则z(1-i)= ( )
A.-2 B.1
C. D.2
2.[2025·东北育才学校一模] 复数z=的虚部为 ( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
3.[2025·广东珠海模拟] 若复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数为 ( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
4.[2025·山西忻州模拟] 已知a∈R,b∈R,且(2+i)(1-ai)=2+bi,则a+b= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.[2024·河北保定三模] 已知复数z满足iz+4-15=0,则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.[2024·天津河西区二模] 已知i是虚数单位,则复数= .
7.若复数z=(a+4)-(a+5)i在复平面内对应的点位于第三象限,则实数a的取值范围是 .
8.已知复数z满足z+2=3+i,则= ( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
9.[2025·河南许昌模拟] 若x2+1可分解因式为(x-z1)(x-z2),且(z1-z2)i>0,则复数的虚部为 ( )
A.1 B.
C.-1 D.-
10.(多选题)已知i为虚数单位,复数z=,下列说法正确的是 ( )
A.||=
B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
C.i-<0
D.z+为纯虚数
11.(多选题)[2024·浙江温州模拟] 已知z1,z2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的两个根,其中z1=1+i,则 ( )
A.z1= B.=
C.p=-2 D.q=2
12.复数z1与z2在复平面内对应的向量分别为与,O为原点,已知z1=+i,⊥,且||=||,则复数z2= .
13.[2024·武汉模拟] 已知复数z满足|z-i|=,则||的最小值为 .
14.[2025·昆明模拟] 若复数z=λ+isin θ(0<θ<π)在复平面内对应的点位于直线y=x上,则实数λ的最大值为 .
15.若复数z=1-i+i2-i3+…+i2024-i2025+i2026,则|z|= ( )
A.0 B.
C.1 D.2
16.(多选题)[2024·安徽皖南八校联考] 复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点为Z(x,y),则下列说法正确的是 ( )
A.若|z+1|=|z-1|,则点Z的轨迹是圆
B.若|z+2|+|z-2|=8,则点Z的轨迹是椭圆
C.若|z+2i|-|z-2i|=2,则点Z的轨迹是双曲线
D.若|x+1|=|z-1|,则点Z的轨迹是抛物线