拓展应用2 等和线求最值范围问题
【典型例题】
例1 D [解析] 由题意知,向量=x+y,且点D在线段BC上(不包括端点),由等和线定理可得x+y=1,且x>0,y>0,故+=(x+y)=++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=-1,y=2-时取等号,故+的最小值为2+3,故选D.
例2 [解析] 方法一:如图,作BC的平行线,与圆O相切于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设=λ+μ,则λ+μ=1,∵BC∥EF,∴设==k,则k∈,∴=k,=k,=λ+μ=λk+μk,∴x=λk,y=μk,∴2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤.
方法二:如图,过点P作BC的平行线,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F,设AP与BC相交于点D.由等和线定理知,当AP过圆心O,并且A,P位于O点两侧时,x+y取得最大值,此时x+y==,∴2x+2y的最大值为.
【巩固演练】
1.B [解析] 方法一(常规方法):∵E为线段AO的中点,∴=(+)==+=λ+μ,∴λ=,μ=,则λ+μ=.
方法二(等和线法):如图,延长BE,交AD于F,过点E作AD的平行线,设λ+μ=k,则k==,即λ+μ=k=.
2.A [解析] 由重心的性质可得=+,又=x,=y,所以=+,由M,G,N三点共线,得+=1,即+=3.
3.C [解析] 方法一:根据题意,将图形特殊化,如图,设AD垂直平分BC,且AD与BC交于点O,因为△BCD与△ABC的面积之比为2,所以DO=2AO.当点P与点A重合时,可得=0,此时λ=μ=0,即λ+μ的最小值为0;当点P与点D重合时,可得=3=3×=+,此时λ=μ=,即λ+μ的最大值为3.所以λ+μ的取值范围为[0,3].故选C.
方法二:因为△BCD与△ABC的面积之比为2,所以 A,D 到BC的距离之比为1∶2,过点P作与BC平行的直线EF,EF交直线AC于E,交直线AB于F,如图所示.由等和线定理得,当P与D重合时,λ+μ的最大值为3,当P与A重合时,λ+μ的最小值为0,所以λ+μ的取值范围为[0,3].故选C.
4. [解析] 方法一:如图,取AC的中点D,连接BD,则D,=λ+2μ,可得∠ABD=45°,作BD的平行线,与圆O相切于点P0,与x轴相交于点M,由等和线定理知当P在P0处时λ+2μ最大,易知∠P0MO=45°,连接AP0与BD交于点N,连接OP0,因为|OP0|=1,所以|OM|=.设=m+n,则m+n=1,由三角形相似知=,则=·,此时λ+2μ=·(m+n),所以λ+2μ=·(m+n)=,故λ+2μ的最大值为==.
方法二:设P(x,y),又A(-2,0),B,C(0,1),所以=(x+2,y),=,=(2,1),代入=λ+μ,可得
则x+y+2=λ+3μ=(λ+2μ),所以λ+2μ=(x+y+2).由1=x2+y2≥2xy,得xy≤,当且仅当x=y=±时等号成立,所以(x+y)2=x2+2xy+y2≤1+1=2,得x+y≤,当且仅当x=y=时等号成立,所以λ+2μ=(x+y+2)≤(+2)=,即λ+2μ的最大值为.
5.
[解析] 如图,设圆C与直线BD相切于点E,过A作AG⊥BD于G,作直线l∥DB,且直线l与圆C相切于F,连接EF,则EF过圆心,且EF⊥BD.由图可知,对圆C内任意一点P,AP在直线AG上的射影长度d满足AG
1.平面向量三点共线定理
如图①,若A,P,B三点共线,则=λ+μ,当且仅当λ+μ=1.
此结论也可以描述成分点恒等式形式:若=λ,则=+(λ≠-1).
2.推广的等和线结论
(1)等和线定义:在上面结论的基础上,将λ+μ=1推广到λ+μ=k可得到等和线,如图②.由点P在直线AB上的任意性可知,点Q所在的直线CD∥直线AB,且直线CD上任意一点都满足=k(k≥0),故称直线CD为等和线.
(2)等和线定理:
如图②,A,B两点共线,O为直线AB外一点,CD为与AB平行的直线,且O,A,C共线,O,B,D共线,=k(k≥0).若点Q为CD上一点,=λ+μ,则λ+μ=k.
[课本探源:人A必修第二册P26例1]
【典型例题】
例1 [2025·石嘴山三中月考] 在△ABC中,点D在线段BC上(不包括端点),向量=x+y,则 +的最小值为 ( )
A. B.2+2
C.2+2 D.2+3
例2 如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点,若=x+y,则2x+2y的最大值为 .
总结反思
1.利用等和线定理解求最值问题的解题策略:
(1)确定k=1的等和线;
(2)平移(或旋转或伸缩)该直线,结合动点的可行域,分析在何处取得最值;
(3)从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值或最小值.
2.等和线性质
根据等和线定理可知,
(1)当等和线CD在点O和直线AB之间时,k∈(0,1).
(2)当直线AB在点O和等和线CD之间时,k∈(1,+∞).
(3)k===.
【巩固演练】
1.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于 ( )
A.1 B.
C. D.
2.如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设=x,=y,则+的值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.[2024·河北沧州模拟] 如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是四边形ABDC内任意一点(含边界),且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 ( )
A.[0,1] B.[0,2]
C.[0,3] D.[0,4]
4.[2024·广东深圳一模] 设点A(-2,0),B,C(0,1),若动点P(x,y)满足x2+y2=1,且=λ+μ,则λ+2μ的最大值为 .
5.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是 . (共26张PPT)
拓展应用2 等和线求最值范围问题
典型例题
巩固演练
答案核查【听】
①
1.平面向量三点共线定理
如图①，若,,三点共线，则，
当且仅当.
此结论也可以描述成分点恒等式形式：若
,则.
2.推广的等和线结论
（1）等和线定义：在上面结论的基础上，将推广到
可得到等和线，如图②.由点在直线上的任意性可知，点 所在的直
线直线,且直线上任意一点都满足 ，故称直
线 为等和线.
②
［课本探源：人A必修第二册P26例
②
（2）等和线定理：
如图②，,两点共线，为直线外一点，为与 平行的直线，
且,,共线，,,共线，.若点为 上一点，
,则 .
【典型例题】
例1 [2025·石嘴山三中月考]在中，点在线段 上
（不包括端点），向量，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，向量，且点在线段 上
（不包括端点），
由等和线定理可得，且, ，
故 ，
当且仅当，即,时取等号，
故 的最小值为 ，故选D.
例2 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆 上任一点，
若，则 的最大值为__.
[解析] 方法一：如图，作 的平行线，与圆
相切于点，与直线相交于点 ，与直线
相交于点，
设 ，则，
， 设 ，则，
， ，
，， ，
.
方法二：如图，过点作 的平行线，与直
线相交于点，与直线相交于点 ，
设与相交于点.
由等和线定理知，当 过圆心，
并且，位于点两侧时， 取得最大值，
此时 ，的最大值为 .
[总结反思]
1.利用等和线定理解求最值问题的解题策略：
（1）确定的等和线；
（2）平移（或旋转或伸缩）该直线，结合动点的可行域，分析在何
处取得最值；
（3）从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.
2.等和线性质
根据等和线定理可知，
（1）当等和线在点和直线之间时， .
（2）当直线在点和等和线之间时， .
（3） .
【巩固演练】
1.如图，在平行四边形中，， 相交于
点，为线段 的中点，若
,则 等于( )
A.1 B. C. D.
[解析] 方法一（常规方法）为线段 的中点，
,
,,则 .
√
方法二（等和线法）如图，延长，交 于
，过点作的平行线，设 ,则
，即 .
2.如图所示，已知点是的重心，过点
作直线分别与，两边交于， 两点，
设，,则 的值为
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 由重心的性质可得，
又 ,,所以,
由，， 三点共线，得,即 .
√
3.[2024·河北沧州模拟]如图，与的面积之比为2，点
是四边形 内任意一点（含边界），且
，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：根据题意，将图形特殊化，
如图，设垂直平分，且与 交于点
，因为与 的面积之比为2，所
以.
当点与点 重合时，可得，此时，
即 的最小值为0；
当点与点 重合时，可得，
此时，即 的最大值为3.
所以 的取值范围为 .故选C.
方法二：因为与 的面积之比为2，
所以，到的距离之比为，
过点 作与平行的直线，交直线于 ，
交直线于，如图所示.
由等和线定理得，当与 重合时， 的最大值为3，
当与重合时， 的最小值为0，所以 的取值范围为 .
故选C.
4.[2024·广东深圳一模] 设点,, ，若动点
满足，且，则 的最大值
为_ _____.
[解析] 方法一：如图，取的中点，连接 ，
则, ，可得 ,
作的平行线，与圆 相切于点，
与轴相交于点，由等和线定理知当 在 处时 最大，
易知 ,连接与交于点 ，连接，
因为，所以.
设 ，则，
由三角形相似知 ，则 ，
此时 ，
所以，
故 的最大值为 .
方法二：设，又, , ，所以
,, ，代入 ，
可得 则 ，所以
.
由，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，得 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即 的最大值为 .
5.如图，在直角梯形中，，， ，
，动点在以为圆心，且与直线 相切的圆内运动，设
，则 的取值范围是______.
[解析] 如图，设圆与直线 相切于
点，过作于 ，作直线
，且直线与圆相切于 ，连接
，则过圆心，且 .
由图可知，对圆内任意一点，在直线上的射影长度 满足
，又 ，
,所以，
又 ，所以 .
【典型例题】例1 D 例2
【巩固演练】1. B 2. A 3. C 4. 5.
