拓展应用3 极化恒等式
【典型例题】
例1 (1)C (2)B
[解析] (1)方法一:如图,依题意得=+,=-+,所以·=-||2=-1=-,故选C.
方法二:设F是AB的中点,连接EF,则EF=1,根据极化恒等式得·=-·=-=-=-.故选C.
(2)方法一:因为圆的半径为1,BC是直径,=2,所以||=.=-,=-,因为DE是直径,所以=-,||=||=1,则·=(-)·(-)=(--)·(-)=-(+)·(-)=||2-||2=-1=-.故选B.
方法二:依题意,O为DE的中点,DE=2,因为=2,所以||=,根据极化恒等式得·=||2-||2=-1=-.故选B.
例2 (1)B (2) 0
[解析] (1)取CD的中点E,连接PE,如图所示,则PE的取值范围是,即[2,2],根据极化恒等式得·=-=PE2-4,所以·∈[0,16].故选B.
(2)由对称性可得O为MN的中点,所以=+=b+=b+(-)=b+(a-b)=a+b=λ1a+λ2b,所以λ1=.由极化恒等式得a·b=-=4-,所以当||取得最大值2时,a·b取得最小值0.
【巩固演练】
1.A [解析] 连接OE,由已知得MN=2BC=4,OM=2,OE=1.由极化恒等式可得·=-=1-4=-3.故选A.
2.B [解析] 方法一:依题意,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),则·=·===7,·=·=-==2,因此=1,=8,故·=·===-1.故选B.
方法二:依题意,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),·=7,·=2,由极化恒等式得||2-||2=7,||2-||2=2,解得||=3,||=2,所以DF=1,·=·=||2-||2=1-2=-1,故选B.
3.C [解析] 方法一:取AB的中点D,连接CD,OD,则·=(+)·(+)=·+(+)·+=-1,又||==,所以||min=2-,||max=2+,即2-≤||≤2+,所以(·)min=6-4,(·)max=6+4.故·的取值范围为[6-4,6+4].故选C.
方法二:取AB的中点D,连接CD,OD,因为圆O的半径为2,AB=2,所以由极化恒等式得·=·=||2-||2=||2-1,又||==,所以=2-,=2+,即2-≤||≤2+,所以(·)min=6-4,(·)max=6+4,故·的取值范围为[6-4,6+4].故选C.
4.C [解析] 方法一:设AC与BD的交点为O,由=+,得||2=||2+||2+2·,同理可得||2=||2+||2+2·,||2=||2+||2+2·,||2=||2+||2+2·,所以||2+||2+||2+||2=4||2+||2+||2+||2+||2+2·(+++)=4||2+10≥10,当点P与点O重合时,等号成立.故选C.
方法二:设AC与BD的交点为O,连接PO,由平行四边形的性质得AC2+(2PO)2=2(PA2+PC2),BD2+(2PO)2=2(PD2+PB2),所以||2+||2+||2+||2=[ AC2+(2PO)2+ BD2+(2PO)2]= 4PO2+10≥10, 当点P与点O重合时,等号成立.故选C.
5.-4 [解析] 取MN的中点E,连接AE,由极化恒等式,得·=-=-×4=-1=4,∴=5,∴·=-=5-×36=-4.
6.9 [解析] 由·=-=9-=-7,得||=8,则·=·=-=25-×64=9.
7.2 [解析] 取BC的中点Q,连接PQ,则+=2,·=[(+)2-(-)2]=(4-),∴+-·=(+)2-3·=4||2-(4-||2)=||2+||2≥2||·||=||·||≥S四边形ABCD=2,当且仅当||=||且PQ⊥CB时取等号.拓展应用3 极化恒等式
1.平行四边形的性质:平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:
|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)(如图).
2.极化恒等式
(1)在平面向量中,(a+b)2=a2+b2+2a·b,(a-b)2=a2+b2-2a·b,
两式相减可得极化恒等式a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(2)几何解释
①平行四边形模型:向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的,即a·b=(||2-||2)(如图).
②三角形模型:向量的数量积等于第三边上的中线长与第三边长的一半的平方差,即·=-(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明,向量的数量积可以由向量的模来表示,可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
[课本探源:人A必修第二册P39例2]
【典型例题】
例1 (1)[2024·陕西咸阳二模] 已知在边长为1的菱形ABCD中,角A为60°,若点E为线段CD的中点,则·= ( )
A. B. C.- D.-
(2)[2024·福建厦门模拟] 如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·= ( )
A.- B.- C.- D.-
例2 (1)如图,已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则·的取值范围为 ( )
A.(0,16) B.[0,16]
C.(0,4) D.[0,4]
(2)[2024·天津红桥区二模] 太极图被称为“中华第一图”,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两条关于O中心对称的半圆弧组成的,线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆上,点P是大圆上一动点,令=a,=b,若=λ1a+λ2b,则λ1= ;a·b的最小值为 .
总结反思
(1)利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化,建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合,对于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题,从而利用极化恒等式解决.
(2)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式.难点在于求中线长的最值(范围),可通过观察图形或结合点到直线的距离等求解.
【巩固演练】
1.如图,边长为2的正方形ABCD的中心O平分线段MN,且MN=2BC,点E为DC的中点,则·= ( )
A.-3 B.-2 C.- D.-
2.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E,F是线段AD的两个三等分点(E靠近点A),若·=7,·=2,则·= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.如图,已知圆O的半径为2,AB=2,C为圆O上一动点,则·的取值范围为 ( )
A.[0,4]
B.[5-4,5+4]
C.[6-4,6+4]
D.[7-4,7+4]
4.[2024·长沙模拟] 在平行四边形ABCD中,AC=2BD=4,点P为该平行四边形所在平面内的任意一点,则||2+||2+||2+||2的最小值为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
5.如图,已知M,N是△ABC的边BC上的两个三等分点,若BC=6,·=4,则·= .
6.如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若·=-7,则·= .
7.在面积为2的平行四边形ABCD中,点P是AD所在直线上的一个动点,则+-·的最小值为 .
