第六单元 数列
第36讲 数列的概念与简单表示法
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.确定的顺序 每一个数 序号n
a1+a2+…+an
2.有限 无限 > < =
3.序号n 数列的第n项an
【对点演练】
1. [解析] 因为=1,=,=,=,=,…,所以an=.
2.2n+2 [解析] ∵a1=S1=1+3=4,an=Sn-=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2(n≥2),当n=1时,2n+2=4=a1,∴an=2n+2.
3.70 [解析] ∵5-1=4,12-5=7,22-12=10,∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70.
4.22 [解析] 由题意可得数列的通项公式为an=,又=,解得n=22,所以是这个数列的第22项.
5.30 [解析] 因为an=-n2+11n=-+(n∈N*),所以当n=5或6时,an取得最大值30.
6.an= [解析] Sn=n2+3n+2,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,所以an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+2]=2n+2,当n=1时,a1=6不满足上式,所以an=
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)观察每项的特点,分别确定项的符号以及每一项的联系,即可找出数列的通项公式.(2)代入各选项依次验证前4项即可.
(1)D (2)ABD [解析] (1)通过观察这一列数发现,奇数项为正,偶数项为负,故第n项的正负可以用(-1)n+1表示.而1=,-=-,=,-=-,=,…,故数列的通项公式可以为an=(-1)n+1.故选D.
(2)令n=1,2,3,4,分别代入各选项进行验证,易知C选项中a3=-2,不合题意,A,B,D均符合题意.故选ABD.
变式题 (1)C (2)(15,26) [解析] (1)因为数列9,99,999,9999,…的通项公式为10n-1,所以数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的通项公式为(10n-1)=1-,而数列0.4,0.44,0.444,0.444 4,…的每一项都是上面数列对应项的,所以数列0.4,0.44,0.444,0.444 4,…的一个通项公式为an=.故选C.
(2)依题意,数列的各项依次写为,,,,,…,则数列的通项公式为an=,所以a3=,a4=,即a=15,b=26,所以有序数对(a,b)为(15,26).
例2 [思路点拨] (1)利用an=进行求解.(2)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减进一步计算即可推导出数列{an}的通项公式.
(1)an= (2)an=
[解析] (1)当n=1时,a1=S1=1-14+1=-12;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-14n-(n-1)2+14(n-1)=2n-15.∵a1=-12不符合该式,∴an=
(2)由题意,当n=1时,a1=,当n≥2时,由a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,可得a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=,两式相减,可得3n-1an=-=,解得an=.∵当n=1时,a1=不满足上式,∴an=
变式题 (1)B (2)an=4n+1
[解析] (1)由题设得an+1=2nan,即=2n,所以=21,=22,…,=2n-1(n≥2),将上面n-1个式子两端分别相乘,可得=21+2+3+…+(n-1)(n≥2),即an=2×=(n≥2),所以a8=229.故选B.
(2)因为Sn=2n2+an-n-1①,所以当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2+an-1-(n-1)-1②,①-②得an-1=4n-3(n≥2),则an=4n+1,当n=1时,a1=4×1+1=5,符合上式,故an=4n+1.
例3 [思路点拨] (1)先化简得an=1+(n∈N*),再借助函数的单调性分析得解.(2)由递增数列的定义可推出λ的取值,然后利用λ<1得{an}为递增数列,即可得解.
(1)B (2)C [解析] (1)an=
==
1+(n∈N*),因为442<2024<452,所以当n≤44时,数列{an}递增,且an>1;当n≥45时,数列{an}递增,且an<1.故在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44.故选B.
(2)若数列{an}为递增数列,则an+1-an=[(n+1)2-3λ(n+1)]-(n2-3λn)=(n2+2n+1-3λn-3λ)-(n2-3λn)=2n+1-3λ>0,即3λ<2n+1,由于n∈N*,所以3λ<2×1+1=3,解得λ<1;反之,当λ<1时,-an>0,则数列{an}为递增数列,所以“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充要条件.
变式题 (1)D (2)-6 [解析] (1)若数列{an+n2}是等差数列,则数列的首项为a1+12=6,公差为(a2+22)-(a1+12)=7,所以an+n2=6+(n-1)×7=7n-1,则an=-n2+7n-1.
方法一:an+1-an=[-(n+1)2+7(n+1)-1]-(-n2+7n-1)=-2n+6,则当n=1,2,3时,an+1-an≥0,则a4=a3>a2>a1;当n≥4时,an+1-an<0,故此时数列{an}递减,则a4>a5>a6>a7>….综上,{an}的最大项为a3=a4=11.故选D.
方法二:an=-n2+7n-1=-+,结合二次函数的性质可得n=3或n=4时an取最大值,所以{an}的最大项为a3=a4=11,故选D.
(2)依题意,a1=2,an+1=,所以a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,所以数列{an}是周期为4的数列,且每4项的积为2×(-3)××=1,又2026=506×4+2,所以a1·a2·a3·…·a2026=(a1·a2·a3·a4)506·a1·a2=-6.
例4 [思路点拨] 思路一:根据递推公式an+1=an+2n-1,利用累加法公式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2)求出an,再求a7即可;思路二:由递推公式得an+1-an=2n-1,再利用累加法公式直接求a7.
C [解析] 方法一:由题得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-3)+(2n-5)+…+3+1+1=+1=n2-2n+2(n≥2),所以a7=72-2×7+2=37.
方法二:由题意得a1=1,an+1-an=2n-1,所以a7=(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1)+a1=11+9+7+5+3+1+1=37.故选C.
例5 [思路点拨] 利用累乘法即可求得an.
D [解析] 因为=(n≥2),所以=,=,…,=,上述各式相乘得=(n≥2),因为a1=1,所以an=(n≥2),经检验,a1=1满足an=,所以an=.故选D.
例6 [思路点拨] 利用构造法及等比数列的定义,结合等比数列的通项公式即可求解.
an=-3 [解析] 由an=2+3(n≥2),得an+3=2(+3),即=2(n≥2),又a1+3=1+3=4,∴数列{an+3}是首项为4,公比为2的等比数列,∴an+3=4×(n≥2),即an=-3(n≥2),当n=1时,a1=21+1-3=1,∴数列{an}的通项公式为an=-3.
例7 [思路点拨] 将an+1=3an-2n变形构造成an+1-2n+1=3(an-2n),利用等比数列的定义结合其通项公式,求出{an-2n}的通项公式,移项即可求解.
an=3n+2n [解析] 由已知得an+1-2n+1=3(an-2n),又a1-2=3≠0,所以数列{an-2n}是首项为3,公比q=3的等比数列,所以an-2n=3n,即an=3n+2n.
例8 [思路点拨] 将an+1=两边取倒数,即可得到-=3,从而求出的通项公式,即可得解.
C [解析] 因为a1=1,an+1=,所以==3+,即-=3,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,则an=,所以a34==.故选C.
【应用演练】
1.B [解析] 因为a1=1,an+1=an-n,所以a2-a1=-1,a3-a2=-2,a4-a3=-3,累加可得a4-a1=-1-2-3=-6,则a4=a1-6=1-6=-5.故选B.
2.C [解析] 设an+1+x=(an+x),即an+1=an-x,所以-x=4,解得x=-12,所以an+1-12=(an-12),所以{an-12}是首项为a1-12=-11,公比为的等比数列,所以an-12=-11×,所以an=12-11×.故选C.
3.(2n-1)·2n [解析] 数列{an}中,由an+1=2an+2n+2,得=+2,即-=2,因此数列是以=1为首项,2为公差的等差数列,则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=(2n-1)·2n.
4. [解析] 由an+1=an可得=,累乘可得=···=×××=.
5. [解析] 因为an+1=,所以==+,所以-=,又a1=2,所以=,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,则=+(n-1)=n,得an=,所以a2026==.第六单元 数列
第36讲 数列的概念与简单表示法
1.A [解析] 数列{an}的前5项依次为2,2,2,2,2,则an=2,所以a16=2=8.故选A.
2.B [解析] an+1=1-,由a1=-,得a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-,a5=1-=5,a6=1-=,故选B.
3.C [解析] 由an=Sn-1(n≥2),得an+1=Sn,两式相减得an+1=2an(n≥2).又因为a1=1,a2=a1,所以an≠0,可得=2(n≥2),即an=a2···…·=a2·2n-2=2n-2(n≥3).易知a2=1=22-2,即a2满足上式,所以an=2n-2(n≥2).故选C.
4.A [解析] 由题意可得an+1-an>0恒成立,即(n+1)2+b(n+1)-n2-bn=2n+1+b>0,即b>-2n-1,又n≥1,即-2n-1≤-3,故b∈(-3,+∞).故选A.
5.C [解析] 依题意,an=an-1+an-2(n∈N*,n≥3),a1=1,a2=2,所以a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故选C.
6.an= [解析] 当n=1时,a1=S1=23-3=5;当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(2n+2-3)-(2n+1-3)=2n+1.当n=1时,a1=5不满足上式,所以an=
7. [解析] 因为an+3=====an,所以数列{an}是周期为3的周期数列,所以a985=a328×3+1=a1,又a2=11,所以11=,解得a1=,故a985=a1=.
8.B [解析] 因为an+1=
且a1=,所以a2=2a1-1=2×-1=,a3=2a2-1=2×-1=,a4=2a3=,a5=2a4=,a6=2a5-1=2×-1=,…,所以{an}是以4为周期的周期数列,所以a2026=a4×506+2=a2=.故选B.
9.B [解析] 因为a2为强率,由<π<可得,a3==>3.141 592 7,即a3为强率;由<π<可得,a4==>3.141 592 7,即a4为强率;由<π<可得,a5==>3.141 592 7,即a5为强率;由<π<可得,a6==>3.141 592 7,即a6为强率;由<π<可得,a7===3.125<3.141 592 6,即a7为弱率,所以m=7,故选B.
10.BCD [解析] 设第n(n≥2)项为{an}的最大项,则即
所以又n∈N*,所以n=4或n=5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=,当n≥5时,数列{an}递减,故B,C,D正确.当n趋向于正无穷大时,an=(n+2)·无限趋向于0且大于0,且a1=>0,所以a1不是数列{an}的最小项,且数列{an}无最小项,故A错误.故选BCD.
11.ABD [解析] 因为an+1=4an+3n,所以an+1+3n+1=4(an+3n),且a1+3=4≠0,可知数列{an+3n}是首项为4,公比为4的等比数列,则an+3n=4×4n-1=4n,即an=4n-3n.对于选项A,a2=42-32=7,故A正确;对于选项B,因为an=4n-3n>0,所以{Sn}是递增数列,故B正确;对于选项C,因为数列{an+3n}是首项为4,公比为4的等比数列,所以{an+3n}不是等差数列,故C错误;对于选项D,a10=410-310=220-310,故D正确.故选ABD.
12.2+ln n [解析] ∵an+1=an+ln,∴an-an-1=ln=ln(n≥2),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln+ln+…+ln+ln 2+2=2+ln=2+ln n(n≥2).显然a1=2满足上式,∴an=2+ln n.
13.(-∞,2) [解析] 因为an+2=3an+1-2an,所以an+2-an+1=2(an+1-an),又因为{an}为递增数列,所以an+1-an>0,所以数列{an+1-an}是以a2-a1=2-λ为首项,2为公比的等比数列,所以an+1-an=(2-λ)·2n-1,所以(2-λ)·2n-1>0,即2-λ>0,解得λ<2,则λ的取值范围为(-∞,2).
14.解:因为an+1=,所以an+1an+2an+1=2an,则-=1,所以数列是以1为公差的等差数列,
又a1=1,所以=2+(n-1)=n+1,所以an=.
15.解:因为S1=a1=1,所以=1,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列,所以=1+(n-1)·=,所以Sn=an.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以(n-1)an=(n+1)an-1,即=,则an=××…×××a1=××…×××1=,
又a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=.
16.解:(1)∵a1=1,a2=5,a3=11,∴=<3,不满足“G型数列”的定义,∴数列{an}不是“G型数列”.
(2)①证明:∵各项均为正数的数列{an}为“G型数列”,∴>3,∴an+1-an>2an>0,∴数列{an}为递增数列.
②设数列{bn}的公比为q,q∈N*,又数列{bn}不是“G型数列”,∴q≤3,可得==q,即得an+1=qan+2q-2.又数列{an}为“G型数列”,
∴=q+>3.
由①知{an}为递增数列,因此当n趋向于正无穷大时,q+趋近于q,可得q≥3.综上可得q=3,即an+1=3an+4,可得an+1+2=3(an+2),
∴数列{an+2}是以a1+2=3为首项,公比为3的等比数列,
则an+2=3×3n-1=3n,即an=3n-2,∴数列{an}的通项公式为an=3n-2.第六单元 数列
第36讲 数列的概念与简单表示法
【课标要求】 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数
无穷数列 项数
项与项间 的大小 关系 递增数列 an+1 an 其中 n∈N*
递减数列 an+1 an
常数列 an+1 an
摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是 ,对应的函数值是 ,记为an=f(n).
4.an 与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn,则an=
5.数列的最大(小)项
在数列{an}中,若an最大,则 (n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*).
题组一 常识题
1.[教材改编] 数列1,,,,,…的一个通项公式是an= .
2.[教材改编] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,那么它的通项公式为an= .
3.[教材改编] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数,则第7个五边形数是 .
题组二 常错题
◆索引:不能正确求出通项公式;忽视数列是特殊的函数,其自变量属于正整数集N*或{1,2,…,n};根据Sn求an时忽视对n=1的验证.
4.已知数列1,,,,3,,…,则是这个数列的第 项.
5.数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是 .
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
根据数列的前几项求数列的通项公式
例1 (1)数列1,-,,-,,…的一个通项公式为an= ( )
A. B.
C.(-1)n D.(-1)n+1
(2)(多选题)已知数列{an}的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式可能是 ( )
A.an=(-1)n-1+1
B.an=
C.an=2sin
D.an=cos(n-1)π+1
总结反思
由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列).可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n的一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*来处理.
变式题 (1)数列0.4,0.44,0.444,0.444 4,…的一个通项公式是an= ( )
A.(10n-1) B.(10n-1)
C. D.(10n-1)
(2)在数列,,,,,…中,有序数对(a,b)是 .
由an与Sn的关系求通项公式
例2 (1)[2024·江苏南通模拟] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-14n+1,则数列{an}的通项公式为 .
(2)[2025·广州模拟] 已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=,则数列{an}的通项公式为 .
总结反思
已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成:
(1)先利用a1=S1,求得a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2,n∈N*时的通项公式.
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2,n∈N*时an的表达式.若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
变式题 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1=2nan+Sn,则a8= ( )
A.228 B.229
C.230 D.231
(2)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+an-n-1,且a1=5,则数列{an}的通项公式为 .
数列的函数性质
例3 (1)[2025·广东汕头模拟] 已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是 ( )
A.a1,a100 B.a45,a44
C.a45,a1 D.a44,a100
(2)已知数列{an}的通项公式为an=n2-3λn,则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
1.求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)利用图象或最值法;(2)利用单调性及(n≥2)或(n≥2)确定;(3)比较法.
2.判断数列单调性的方法如下:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.
3.理解递推数列周期性的概念,掌握求递推数列周期性的常用方法(赋值法、迭代法、加减法、归纳法等)和常见类型,有利用递推数列周期性解决问题的意识.
变式题 (1)[2024·辽宁大连一模] 在数列{an}中,a1=5,a2=9,若数列{an+n2}是等差数列,则{an}的最大项为 ( )
A.3 B.3或4
C. D.11
(2)[2025·江西赣州模拟] 已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则a1·a2·a3·…·a2026= .
解数列的递推公式不同类型的方法
微点1 形如an+1=an+f(n)
例4 [2024·陕西咸阳三模] 在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,则a7= ( )
A.43 B.46
C.37 D.36
总结反思
根据形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出an-a1与n的关系式,进而得到{an}的通项公式.
微点2 形如an+1=an·f(n)
例5 [2024·福建莆田模拟] 已知数列{an}满足a1=1,=(n≥2),则an= ( )
A.n-1 B.
C.n D.
总结反思
根据形如an+1=an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出与n的关系式,进而得到{an}的通项公式.
微点3 形如an+1=pan+q
例6 在数列{an}中,a1=1,且an=2+3(n≥2),则数列{an}的通项公式为 .
总结反思
根据形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1)的递推公式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列{an+x},即将原递推公式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an}的通项公式.
微点4 形如an+1=pan+qn
例7 已知数列{an}满足a1=5,且an+1=3an-2n(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
总结反思
根据形如an+1=pan+qn的递推公式求通项公式时,可分两类:(1)p=q,直接同除以pn+1,构造=+,即利用等差数列求的通项公式,再求{an}的通项公式;(2)p≠q,则先构造公比为p的等比数列{an+xqn},求出数列{an+xqn}的通项公式,最后求{an}的通项公式.
微点5 形如an+1=(A,B,C为常数)
例8 [2024·广东湛江模拟] 在数列{an}中,a1=1,an+1=,则a34= ( )
A. B.
C. D.100
总结反思
根据形如an+1=(A,B,C为常数)的递推公式求通项公式时,一般对递推公式两边同时取倒数.当A=C时,化为-=的形式,可构造等差数列;当A≠C时,化为+x=的形式,可构造公比为的等比数列,其中用待定系数法求x是关键.
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-n,则a4= ( )
A.-3 B.-5
C.-4 D.-6
2.[2025·广东九校联考] 已知数列{an}满足an+1=an+4,且a1=1,则{an}的通项公式为( )
A.an=12-
B.an=
C.an=12-11×
D.an=8+
3.已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2,且a1=2,则an= .
4.[2024·广东中山二调] 已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=an,则= .
5.[2024·杭州模拟] 若数列{an}满足递推关系式an+1=,且a1=2,则a2026= . 第六单元 数列
第36讲 数列的概念与简单表示法
(时间:45分钟)
1.已知数列{an}的前5项依次为2,2,2,4,2,按照此规律,则a16= ( )
A.8 B.12
C.16 D.32
2.[2025·武汉模拟] 已知数列{an}满足a1=-,an+1=1-,则a6= ( )
A.- B.
C. D.5
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an=Sn-1(n≥2),则当n≥2时,an= ( )
A.2n B.
C.2n-2 D.2n-1
4.[2024·天津南开区二模] 设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是递增数列,则实数b的取值范围为 ( )
A.(-3,+∞)
B.(-2,+∞)
C.[-2,+∞)
D.[-3,+∞)
5.[2025·长沙长郡中学月考] 一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图).例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,…,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法种数,则a10= ( )
A.10 B.55
C.89 D.99
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n+2-3,则该数列的通项公式为 .
7.[2024·山西忻州模拟] 若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985= .
8.[2024·广东湛江模拟] 在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2026= ( )
A. B.
C. D.
9.[2024·北京房山区期末] 数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值:“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到:称小于3.141 592 6的近似值为弱率,大于3.141 592 7的近似值为强率.由于<π<,取3为弱率,4为强率,计算得a1==,故a1为强率,与上一次的弱率3计算得a2==,故a2为强率,继续计算,….若某次得到的近似值为强率,与上一次的弱率继续计算得到新的近似值;若某次得到的近似值为弱率,与上一次的强率继续计算得到新的近似值,以此类推.已知am=,则m=( )
A.8 B.7
C.6 D.5
10.(多选题)[2025·湖南岳阳模拟] 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·,则下列说法正确的是 ( )
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时,数列{an}递减
11.(多选题)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,且an+1=4an+3n,则 ( )
A.a2=7
B.{Sn}是递增数列
C.{an+3n}是等差数列
D.a10=220-310
12.[2024·广东中山二调] 已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+ln,则an= .
13.已知数列{an}满足an+2=3an+1-2an,a1=λ,a2=2,{an}为递增数列,则λ的取值范围为 .
14.数列{an}中,a1=1,an+1=,求an.
15.[2022·新高考全国Ⅰ卷节选] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,是公差为的等差数列,求{an}的通项公式.
16.[2024·江苏无锡模拟] 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都大于3,则称这个数列为“G型数列”.
(1)若数列{an}满足an=判断{an}是否为“G型数列”,并说明理由.
(2)已知各项均为正数的数列{an}为“G型数列”,a1=1,数列{bn}满足bn=an+2,n∈N*,{bn}是等比数列,公比为正整数,且不是“G型数列”.
①求证:数列{an}为递增数列;
②求数列{an}的通项公式.(共90张PPT)
第36讲 数列的概念与简单表示法
单元教学设计
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图
象、通项公式）.
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
◆ 知识聚焦 ◆
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照____________排列的一列数
数列的项 数列中的__________
通项公式
确定的顺序
每一个数
序号
概念 含义
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公
式
续表
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项间 的大小关 系 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项 有限
无限
3.数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集,2, ,）到实数集
的函数，其自变量是_______，对应的函数值是_______________，
记为 .
序号
数列的第项
4.与的关系
已知数列的前项和为，则
5.数列的最大（小）项
在数列中，若最大，则；若最
小，则.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 数列1，，，，， 的一个通项公式是
_____.
[解析] 因为，，， ，
， ，所以 .
2.［教材改编］ 已知数列的前项和 ，那么它的通
项公式为 _______.
[解析] ，
，当时，， .
3.［教材改编］ 古希腊人常用小石子在沙滩
上摆成各种形状来研究数，如图中的数
1,5,12,22， 称为五边形数，则第7个五边形
数是____.
70
[解析] ,,， 相邻两个图形的小
石子数的差值依次增加3，
第5个五边形数是 ，第6个五边形数是，
第7个五边形数是 .
题组二 常错题
◆ 索引：不能正确求出通项公式；忽视数列是特殊的函数,其自变量
属于正整数集或,2, ,;根据求时忽视对 的验证.
4.已知数列1,,,,3,, ，则 是这个数列的第____项.
22
[解析] 由题意可得数列的通项公式为 ，又
，解得，所以 是这个数列的第22项.
5.数列中， ，则此数列最大项的值是____.
30
[解析] 因为 ，所以当
或6时， 取得最大值30.
6.已知数列的前项和，则数列 的
通项公式为_ __________________.
[解析] ，当时，，当 时，
，
所以 ，
当时，不满足上式，所以
探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式
例1（1）数列1,,,,,…的一个通项公式为 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第
项的正负可以用表示.
而,, ,,, ，
故数列的通项公式可以为 故选D.
［思路点拨］观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联
系，即可找出数列的通项公式.
（2）（多选题）已知数列 的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列
的通项公式可能是( )
A. B.
C. D.
[解析] 令 ,2,3,4，分别代入各选项进行验证，易知C选项中
，不合题意，A,B，D均符合题意.故选 .
［思路点拨］代入各选项依次验证前4项即可.
√
√
√
[总结反思]
由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:
（1）常用方法:观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、转化
（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）.可以使用添项、还
原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得
所给数列的通项公式.
（2）具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如
递增时可考虑关于的一次递增或以, 等形式递增;③拆项后的特
征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以
考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符
号交替出现的情况,可用或, 来处理.
变式题（1）数列，，，， 的一个通项公式是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为数列9，99，999，9999， 的通项公式为 ，所
以数列，，，， 的通项公式为
，
而数列，，，， 的每一项都是上面数列对应项的，
所以数列，， ，， 的一个通项公式为
.故选C.
√
（2）在数列,,,,,…中，有序数对 是________.
[解析] 依题意，数列的各项依次写为，，， ，
， ，则数列的通项公式为，
所以 ,，即,，
所以有序数对为 .
探究点二 由与 的关系求通项公式
例2（1）[2024·江苏南通模拟] （1）已知数列的前项和为 ，
且，则数列 的通项公式为
_ _______________________________.
［思路点拨］利用 进行求解.
[解析] 当时，；当 时，
不符合该式，
（2）[2025·广州模拟] 已知数列 满足
，则数列 的通项公式为
_ ______________.
［思路点拨］先将代入题干表达式计算出的值，当 时，
由 ，可得
，两式相减进一步计算即可推导
出数列 的通项公式.
[解析] 由题意，当时，，
当 时，由 ，可得
，
两式相减，可得，解得.
当时， 不满足上式，
[总结反思]
已知求的常用方法是利用转化为关于
的关系式,再求通项公式.主要分三个步骤完成:
（1）先利用,求得.
（2）用替换中的得到一个新的关系式,利用
便可求出当,时的通项公式.
（3）对时的结果进行检验,看是否符合,时的表
达式.若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应该分
与两段来写.
变式题（1）已知数列的前项和为，且 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题设得，即，所以, ,
, ，
将上面 个式子两端分别相乘，可得，
即 ，所以 .故选B.
√
（2）已知数列的前项和，且 ，则
数列 的通项公式为____________.
[解析] 因为，所以当 时，
，
得，则，
当 时，，符合上式，故 .
探究点三 数列的函数性质
例3（1）[2025·广东汕头模拟]已知数列 ，则数
列 的前100项中的最小项和最大项分别是( )
A.， B.， C.， D.，
√
[解析] ，
因为，所以当 时，数列递增，且；
当时，数列递增，且 .
故在数列的前100项中最小项和最大项分别是, .故选B.
［思路点拨］先化简得 ，再借助函数
的单调性分析得解.
（2）已知数列的通项公式为，则“ ”是“数列
为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
［思路点拨］由递增数列的定义可推出 的取值，然后利用 得
为递增数列，即可得解.
[解析] 若数列 为递增数列，则
，即 ，
由于，所以，解得；
反之，当 时，，则数列为递增数列，所以“”是“数列 为递增数列”的充要条件.
[总结反思]
1.求数列的最大项与最小项的常用方法:（1）利用图象或最值法；
（2）利用单调性及或确定；
（3）比较法.
2.判断数列单调性的方法如下:（1）利用数列对应的函数的单调性判
断;（2）对数列的前后项作差（或作商）,利用比较法判断.
3.理解递推数列周期性的概念,掌握求递推数列周期性的常用方法
（赋值法、迭代法、加减法、归纳法等）和常见类型,有利用递推数
列周期性解决问题的意识.
变式题（1）[2024·辽宁大连一模]在数列中，, ，若
数列是等差数列，则 的最大项为( )
A.3 B.3或4 C. D.11
[解析] 若数列是等差数列，则数列的首项为 ，
公差为 ，
所以，则 .
√
方法一：，则当,2,3时， ，则；
当时，，故此时数列 递减，
则 .
综上，的最大项为 . 故选D.
方法二： ，结合二次函数的性质
可得或时取最大值，所以的最大项为 ，
故选D.
（2）[2025·江西赣州模拟] 已知数列满足 ,
，则 ____.
[解析] 依题意，，，所以, ,
,, ，
所以数列 是周期为4的数列，且每4项的积为
，
又 ，所以
.
探究点四 解数列的递推公式不同类型的方法
微点1 形如
例4 [2024·陕西咸阳三模]在数列中， ，
，则 ( )
A.43 B.46 C.37 D.36
√
[解析] 方法一：由题得
，所以 .
［思路点拨］ 思路一：根据递推公式 ，利用累
加法公式
求出
，再求即可；
［思路点拨］ 思路二：由递推公式得 ，再利
用累加法公式直接求 .
[解析] 方法二：由题意得， ，所以
.故选C.
[总结反思]
根据形如（是可以求和的函数）的递推公式求
通项公式时,常用累加法求出与的关系式,进而得到的通
项公式.
微点2 形如
例5 [2024·福建莆田模拟]已知数列满足 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以,, ， ，
上述各式相乘得，
因为，所以 ，经检验，满足，
所以 .故选D.
√
［思路点拨］ 利用累乘法即可求得 .
[总结反思]
根据形如（是可以求积的函数）的递推公式求
通项公式时,常用累乘法求出与的关系式,进而得到的通项公式.
微点3 形如
例6 在数列中，，且，则数列
的通项公式为______________.
[解析] 由，得 ，即
，
又， 数列 是首项为4，公比为2的等比数列，
，即，
当时，， 数列 的通项公式为 .
［思路点拨］ 利用构造法及等比数列的定义，结合等比数列的通项
公式即可求解.
[总结反思]
根据形如且的递推公式求通项公式时,一
般先构造公比为的等比数列,即将原递推公式化为
的形式,再求出数列的通项公式,最后求
的通项公式.
微点4 形如
例7 已知数列满足，且 ，则数列
的通项公式为_____________.
[解析] 由已知得，又 ，所
以数列是首项为3，公比 的等比数列，
所以，即 .
［思路点拨］ 将 变形构造成
，利用等比数列的定义结合其通项公式，
求出 的通项公式，移项即可求解.
[总结反思]
根据形如的递推公式求通项公式时,可分两类：
（1），直接同除以，构造，即利用等差数列
求的通项公式，再求的通项公式；（2），则先构造公
比为的等比数列，求出数列的通项公式,最后
求的通项公式.
微点5 形如（,, 为常数）
例8 [2024·广东湛江模拟]在数列中，， ，则
( )
A. B. C. D.100
√
［思路点拨］ 将两边取倒数，即可得到 ，
从而求出 的通项公式，即可得解.
[解析] 因为，，所以 ，即
，
所以 是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以，
则，所以 .故选C.
[总结反思]
根据形如（,,为常数）的递推公式求通项公式时,一
般对递推公式两边同时取倒数.当时，化为的形式，
可构造等差数列；当时,化为的形式,可
构造公比为的等比数列,其中用待定系数法求是关键.
应用演练
1.已知数列满足，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，所以 ，
，，
累加可得 ，则 .
故选B.
√
2.[2025·广东九校联考]已知数列满足，且 ，
则 的通项公式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，即 ，所以
，解得，
所以 ，所以是首项为，
公比为 的等比数列，所以，
所以 .故选C.
√
3.已知数列满足，且，则 _______
_______.
[解析] 数列中，由，得 ，即
，
因此数列是以 为首项，2为公差的等差数列，
则，所以 .
4.[2024·广东中山二调] 已知各项均为正数的数列 满足
，则 ___.
[解析] 由可得 ，累乘可得
.
5.[2024·杭州模拟] 若数列满足递推关系式 ，且
，则 _____.
[解析] 因为，所以 ，所以
，
又，所以，故数列是以为首项，以 为公差的等差数列，
则，得 ，所以 .
【备选理由】例1考查利用与 的关系求通项公式；
例1 ［配例2使用］ [2024·广东汕头模拟] 设数列的前 项和为
，，，，则 ____.
[解析] 因为，当时， ，两式相
减可得，即 ，所以
，
又，所以 ，所以，
所以，且 也符合上式，所以 .
例2 ［配例3使用］ [2024·广东中山一调] 已知数列 ，
，则在数列 的前50项中最大项是第____项.
10
[解析] 数列中，，故当 时，
，且递减，当时，，且递减，
故 的前50项中最大项是第10项.
【 备选理由】例2考查数列的增减性求最值或最大项；
例3 ［配例3使用］ [2024·济南二模] 已知 是各项均为正整数的
递增数列，的前项和为，若，当取最大值时，
的最大值为( )
A.63 B.64 C.71 D.72
√
【备选理由】例3考查数列的最值问题；
[解析] 因为是定值，所以要使当取最大值时 也取得最
大值，需满足各项尽可能取到最小值，
又因为 是各项均为正整数的递增数列，所以，，
， ， ，即是首项为1，公差为1的等差数列，
其中
的前 项和为.当时，
；当时， .
又因为，所以的最大值为63，此时 ，
，， ，，取得最大值 .
故选C.
例4 ［配例6使用］ [2024·南京模拟] 已知数列满足 ,
，则数列 的通项公式为______
_____.
[解析] 数列中，， ，显然
，则有，即 ，
而，因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即 .
【备选理由】例4考查可构造等比数列的递推数列的通项公式，
将含有和 多项式型转化为“ ”；
例5 ［配例7使用］ [2024·广东省实验中学二调] 已知数列 满
足, .
（1）证明数列为等差数列，并求 ；
解：因为，所以 ，所以
为定值，
所以是首项为 ，公差为3的等差数列，
所以，所以 .
【备选理由】例5考查递推关系为 型，
构造等差数列求解通项公式.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）知， ，所以
，
，
两式相减得
，
所以 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知数列的前5项依次为2,,,4, ，按照此规律，则
( )
A.8 B.12 C.16 D.32
[解析] 数列的前5项依次为2,,,,，则 ，
所以 .故选A.
√
2.[2025·武汉模拟]已知数列满足,，则
( )
A. B. C. D.5
[解析] ,由,得, ,
,, ，故选B.
√
3.已知数列的前项和为，且满足， ，
则当时， ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，两式相减得
.
又因为，，所以 ，可得 ，
即 .
易知，即满足上式，所以 .故选C.
√
4.[2024·天津南开区二模]设数列的通项公式为 ，若
数列是递增数列，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 恒成立，即
，即 ，
又，即，故 .故选A.
√
5.[2025·长沙长郡中学月考]一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能
爬向右侧相邻的两个蜂房（如图）.例如：从蜂房 只能爬到1号或2
号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房， ，以此类推，用
表示蜜蜂爬到号蜂房的方法种数，则 ( )
A.10 B.55 C.89 D.99
[解析] 依题意，，， ，
所以,,,,,, ,
.故选C.
√
6.已知数列的前项和为，且满足 ，则该数列的
通项公式为_ ________________.
[解析] 当时，；当 时，有
.
当 时，不满足上式，所以
7.[2024·山西忻州模拟] 若数列满足， ，则
___.
[解析] 因为 ，所以
数列是周期为3的周期数列，所以 ，
又，所以，解得，故 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·广东湛江模拟]在数列中， 若
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 且，
所以 ，，
， ，， ，
所以 是以4为周期的周期数列，
所以 .故选B.
9.[2024·北京房山区期末]数学家祖冲之曾给出圆周率 的两个近似
值：“约率”与“密率” .它们可用“调日法”得到：称小于
的近似值为弱率，大于 的近似值为强率.由于
，取3为弱率，4为强率，计算得，故 为强率，
与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算， .
若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近
似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到
新的近似值，以此类推.已知，则 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
√
[解析] 因为为强率，由 可得，
，即为强率；
由 可得，，即为强率；
由 可得，，即为强率；
由 可得，，即为强率；
由 可得，，即为弱率，
所以 ，故选B.
10.（多选题）[2025·湖南岳阳模拟] 已知数列 的通项公式为
，则下列说法正确的是( )
A.是数列的最小项 B.是数列 的最大项
C.是数列的最大项 D.当时，数列 递减
√
√
√
[解析] 设第项为的最大项，则 即
所以
又，所以或，
故数列中与 均为最大项，且，
当时，数列 递减，故B，C，D正确.
当趋向于正无穷大时， 无限趋向于0且大于0，且
，所以不是数列的最小项，且数列 无最小项，
故A错误.故选 .
11.（多选题）已知数列的首项，前项和为 ，且
，则( )
A. B. 是递增数列
C.是等差数列 D.
√
√
√
[解析] 因为，所以 ，且
，
可知数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
则，即 .
对于选项A，，故A正确；
对于选项B，因为 ，所以是递增数列，故B正确；
对于选项C，因为数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
所以 不是等差数列，故C错误；
对于选项D， ，故D正确.故选 .
12.[2024·广东中山二调] 已知数列满足 ，
，则 ________.
[解析] ，
，
.
显然满足上式, .
13.已知数列满足， ，，
为递增数列，则 的取值范围为________.
[解析] 因为，所以 ，
又因为为递增数列，所以，所以数列
是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，即 ，
解得，则 的取值范围为 .
14.数列中，，，求 .
解：因为，所以 ，则
，所以数列 是以1为公差的等差数列，
又，所以，所以 .
15.[2022·新高考全国Ⅰ卷节选] 记为数列的前 项和，已知
,是公差为的等差数列，求 的通项公式.
解：因为，所以 ，
所以数列是首项为1，公差为 的等差数列，
所以，所以 .
当时， ，所以
，即，
则 ，又满足上式，所以的通项公式为 .
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024·江苏无锡模拟] 如果一个数列从第二项起，每一项与它前
一项的比都大于3，则称这个数列为“ 型数列”.
（1）若数列满足判断是否为“ 型数
列”，并说明理由.
解：,,,，不满足“ 型数列”的定
义， 数列不是“ 型数列”.
（2）已知各项均为正数的数列为“型数列”，，数列
满足，， 是等比数列，公比为正整数，且不
是“ 型数列”.
①求证：数列 为递增数列；
证明： 各项均为正数的数列为“型数列”， ,
， 数列 为递增数列.
②求数列 的通项公式.
解：设数列的公比为，，又数列不是“ 型数列”，
，可得，即得 .
又数列为“ 型数列”， .
由①知为递增数列，因此当趋向于正无穷大时， 趋近
于，可得.
综上可得，即 ，可得 ，
数列是以 为首项，公比为3的等比数列，
则，即, 数列 的通项公式为
.
【知识聚焦】1.确定的顺序 每一个数 序号n a1+a2+…+an 2.有限 无限 > < =
3.序号n 数列的第n项an
【对点演练】1. 2.2n+2 3.70 4.22 5.30 6.an=
课堂考点探究
例1(1)D (2)ABD 变式题(1)C (2)(15,26) 例2(1)an= (2)an=
变式题(1)B (2)an=4n+1 例3(1)B (2)C 变式题(1)D (2)-6
例4C 例5D 例6an=-3 例7an=3n+2n 例8C
【应用演练】1.B 2.C 3.(2n-1)·2n 4. 5.
教师备用习题
例1 2n 例2 10 例3C 例4 an= 例5(1)证明略，an=(3n-1)·2n (2)Sn=(3n-4)·2n+1+8
基础热身
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.an= 7.
综合提升
8.B 9.B 10.BCD 11.ABD 12.2+ln n 13.(-∞,2) 14.an= 15.an=
能力拓展
，理由略 (2)①略 ②an=3n-2
