第37讲 等差数列及其前n项和
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.an+1-an=d
an=a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d(n,m∈N*)
na1+d
2.(1)(n-m)d (2)ak+al=am+an (3)md
3.(1)dn+a1-d 一次函数 孤立
(2)n2+n 二次函数 孤立
【对点演练】
1.6 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则解得
∴a4=a1+3d=6.
2.1 [解析] a2+a4=2a3=6 a3=3,S9==9a5=45 a5=5,故d==1.
3.20 [解析] 设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离依次构成首项为4.9,公差为9.8的等差数列,所以4.9t+t(t-1)×9.8=1960,即4.9t2=1960,可得t=20.
4.5或6 [解析] 由|a3|=|a9|,得|a1+2d|=|a1+8d|,解得a1=-5d或d=0(舍去),则a1+5d=a6=0,又d<0,∴a5>0,故使前n项和Sn取最大值的正整数n的值是5或6.
5.
6.-10 100 [解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20==-10.由an=0得n=10,所以当1≤n<10时,an>0,当n>10时,an<0,所以|a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a10)-(a11+a12+…+a20)=S10-(S20-S10)=2S10-S20=2×-(-10)=100.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解.(2)根据等差数列的性质可得a,b,m的等式关系,再计算即可.
(1)D (2) [解析] (1)由题意设等差数列{an}的公差为d,因为-=-(2a1+d)=d=6,所以d=4,从而a7-a4=3d=12.故选D.
(2)因为m,a,4m,b为等差数列连续的四项,所以2a=m+4m,8m=a+b,所以a=,b=,所以=.
变式题 (1)C (2)95 [解析] (1)因为等差数列{an}中,a11=a1+a2+a3=a1+10d,所以a2+a3=10d,所以a1+d+a1+2d=10d,所以2a1=7d,则a1=d.因为等差数列{an}的各项均为正整数,所以公差d为正整数,因为a2<10,所以a1+d=d+d=d<10,所以0(2)设等差数列{an}的公差为d,则a3+a4=2a1+5d=7,3a2+a5=4a1+7d=5,所以a1=-4,d=3,所以S10=10a1+45d=95.
例2 [思路点拨] (1)先令n=1求出a1=1,再由an=Sn-Sn-1(n≥2),得到-=1(n≥2),从而得数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,则Sn=,进而求出{an}的通项公式;
(2)假设存在ak,ak+1,ak+2满足题意,结合(1)中结论得出+=+,两边平方后推出等式不成立,故假设不成立,从而得出结论.
解:(1)当n=1时,2a1=a1+,又an>0,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即2Sn=Sn-Sn-1+,
整理得-=1,又==1,
所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,则=n.因为{an}的各项都为正数,即Sn>0,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时,a1=1也满足上式,
所以an=-.
(2)不存在,理由如下:由(1)可得==+.
假设存在满足题意的连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列,
则2(+)=(+)+(+),即+=+,等式两边平方,得k+1+k+2=k-1+k+2+2,即(k+1)k=(k-1)(k+2),整理得k2+k=k2+k-2,显然等式不成立,因此假设错误,所以数列{an}中不存在连续的三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列.
变式题 (1)C [解析] 方法一:若{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+d,所以=a1+d=n+a1-,所以-=,因此为等差数列,则甲是乙的充分条件.反之,若为等差数列,则-==为常数,设=t,则Sn=nan+1-t·n(n+1),所以Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2),两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn(n≥2),即an+1-an=2t(n≥2),当n=1时,S1=a1=a2-2t,满足上式,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选C.
方法二:若{an}为等差数列,则设数列{an}的公差为d,可得Sn=na1+d,则=a1+d,所以为首项为a1,公差为的等差数列,即甲是乙的充分条件.反之,若为等差数列,则可设的公差为D,故=S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D=na1+n(n-1)D,利用公式an=可得an=a1+2(n-1)D,所以an+1-an=2D,即{an}为公差为2D的等差数列,所以甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C.
(2)证明:因为=Sn+1+Sn①,所以当n≥2时,=Sn+Sn-1②,①-②得(-)=an+1+an,整理得(an+1-an)(an+1+an)=2(an+1+an),
显然an+1+an>0,则an+1-an=2(n≥2),由=S2+S1=2a1+a2,整理得-2a2-8=0,又a2>0,所以a2=4,则a2-a1=2,满足an+1-an=2,所以{an}是以2为首项,2为公差的等差数列.
例3 [思路点拨] (1)利用下标和性质计算可得.(2)推出数列{an-3bn}为等差数列,由已知求出{an-3bn}的公差d,即可作答.
(1)C (2)2029 [解析] (1)因为a3-a5=2,所以a3-2a5=4,又2a5=a3+a7,所以a3-(a3+a7)=4,解得a7=-4,所以a5+a10-a8=a7+a8-a8=a7=-4.故选C.
(2)因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an-3bn}也为等差数列,设其公差为d,因为a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=9-4=5,解得d=1,故a2026-3b2026=a1-3b1+2025d=2029.
变式题 (1)C (2)5或-5 [解析] (1)因为{an}为等差数列,所以a1+a2+a3=3a2=15,即a2=5,又因为{an}的前10项和S10==5(a2+a9)=100,即5+a9=20,所以a9=15.故选C.
(2)由题知a1a3+a2a7+a3a9+a7a8=a3(a1+a9)+a7(a2+a8)=2a5a3+2a5a7=2a5(a3+a7)=4=100,解得a5=±5.
例4 [思路点拨] (1)根据等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列求解即可.(2)运用等差数列的等和性及等差数列前n项和公式求解即可.
(1)C (2)C [解析] (1)在等差数列{an}中,S4=1,S8=4,所以S4=1,S8-S4=3,故S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16构成公差为2的等差数列,所以S20-S16=1+(5-1)×2=9,即a17+a18+a19+a20=9.故选C.
(2)由等差数列的等和性可得,+=+======.故选C.
变式题 B [解析] 设等差数列{an}共有2n+1项,则S奇=a1+a3+a5+…+a2n+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n,中间项为an+1,故S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)=a1+d+d+…+d=a1+nd=an+1,所以an+1=S奇-S偶=319-290=29,故选B.
例5 [思路点拨] (1)由S5=S9得出a1=-d,代入an与Sn,对选项依次判断即可.(2)由题意可得a30<0,a31>0,列出不等式组,即可求解.
(1)ACD (2)(24,25)
[解析] (1)∵S5=S9,∴5a1+d=9a1+d,∴a1=-d>0,∴d<0,∴an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=d,Sn=na1+d=-dn+d=(n2-14n).对于A,Sn=(n2-14n)=[(n-7)2-49],∵d<0,∴当n=7时,Sn取最大值,∴S7是数列{Sn}中的最大项,故选项A正确;对于B,∵a1>0,d<0,∴等差数列{an}是递减数列,∴数列{an}中的最大项为a1,故选项B错误;对于C,S14=(142-14×14)=0,故选项C正确;对于D,∵d<0,∴Sn=(n2-14n)=n(n-14)>0,解得00的n的最大值为13,故选项D正确.故选ACD.
(2)由题意可得,a30<0,a31>0,即解得24变式题 ABD [解析] 设等差数列{an}的公差为d,依题意(S7-S3)(S7-S4)=(a4+a5+a6+a7)(a5+a6+a7)=6(a5+a6)a6<0,所以a5+a6,a6异号,又a1<0,所以d>0,a5+a6<0,a6>0,A选项正确.因为S7-S3=2(a5+a6)<0,S7-S4=3a6>0,所以S40,则a5<0,所以等差数列{an}的前5项为负数,从第6项起为正数,所以当n=5时,Sn最小,所以C选项错误.S10=×10=5(a5+a6)<0,S11=×11=11a6>0,所以当Sn<0时,n的最大值为10,所以D选项正确.故选ABD.第37讲 等差数列及其前n项和
1.B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a7-a4=2a1,所以3d=2a1,又a2=10,则a1+d=a1+a1=10,解得a1=6,d=4,所以a7=a1+6d=6+24=30.故选B.
2.A [解析] 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=S20=100,所以
解得则S40=40×+×(-1)=-200.故选A.
3.B [解析] 若a2+a6=2a4,则数列{an}不一定是等差数列,如数列1,2,1,4,1,6,1,1,…;若数列{an}为等差数列,则由等差中项可知a2+a6=2a4.所以“a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.故选B.
4.A [解析] ∵{an}是等差数列,∴a3+a9=2a6=14,即a6=7,∴a7==9,故公差d=a7-a6=2,∴a1=a6-5d=-3,∴S7=7×(-3)+×2=21,故选A.
5.C [解析] 未使用时,可认为外层卫生纸的长度为a1=2π×45=90π,可认为每层纸的长度构成等差数列,使用一段时间后,相当于等差数列的项数为n==150,且a150=2π×30=60π.由等差数列的求和公式得S150==11 250π≈35 325(mm)=35.325(m),故选C.
6.A [解析] 因为{an}为等差数列,且a5=5,所以an=5+(n-5)d,又数列{Sn}为递增数列,所以{an}从第二项开始各项均为正数.由a2=5+(2-5)d>0,得d<.因为an>0(n≥2)恒成立,所以数列{an}为常数数列或递增数列,所以d≥0.综上,d∈.故选A.
7.38 [解析] 该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列,且首项为5,公差为3,所以an=5+(n-1)×3=3n+2.设该阶梯大教室共有n排,则5n+×3=258,整理得(3n+43)(n-12)=0,因为n>0,所以n=12,所以该阶梯大教室最后一排的座位数为5+(12-1)×3=38.
8.B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则S30=(a1+a4+…+a28)+(a2+a5+…+a29)+(a3+a6+…+a30)=(a3+a6+…+a30)-20d+(a3+a6+…+a30)-10d+(a3+a6+…+a30)=180-30d,即120=180-30d,解得d=2.又S30=30a1+×2=120,解得a1=-25,所以an=-25+(n-1)×2=2n-27,故选B.
9.A [解析] 设{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+,则=a1+,则-=a1+-a1-=,故是公差为的等差数列,又=1,=5,所以8×=-=5-1=4,解得d=1,又7a1+21d=7,所以a1=-2,故是首项为-2,公差为的等差数列,所以Tn=-2n+×=.故选A.
10.ABD [解析] 设等差数列{an}的首项为a1,所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.对于A,由an=dn+a1-d,则a2n-1=d(2n-1)+a1-d=2dn+a1-2d,所以a2n+1-a2n-1=2d,即数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列,故A正确;对于B,由an=dn+a1-d,所以2an-1=2dn+2a1-2d-1,则(2an+1-1)-(2an-1)=[2d(n+1)+2a1-2d-1]-(2dn+2a1-2d-1)=2d,所以数列{2an-1}是公差为2d的等差数列,故B正确;对于C,由an=dn+a1-d,可得==d+,当a1-d≥0时,数列不是递增数列,故C不正确;对于D,由an=dn+a1-d,可得an+3nd=4dn+a1-d,所以[an+1+3d(n+1)]-(an+3nd)=4d>0,所以数列{an+3nd}是递增数列,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] ∵S2023>0,S2024<0,∴==
2023a1012>0,=
=1012(a1012+a1013)<0,∴a1012>0,a1012+a1013<0,∴a1012>0,a1013<0,且|a1012|<|a1013|,B中结论错误;由上述易得公差d<0,∴等差数列{an}是递减数列,A中结论错误;∵a1012>0,a1013<0,∴当n=1012时,Sn取得最大值,C中结论正确;对于D选项,S1013=S1010+a1011+a1012+a1013=S1010+3a1012>S1010,D中结论错误.故选ABD.
12. [解析] 因为=,且====,所以由等差数列前n项和的性质得=====.
13.4n-2(答案不唯一) [解析] 若{an}为等差数列,设公差为d,则Sn=n2+n,则=,若{}也为等差数列,则a1-=0,即d=2a1,且d≥0,取a1=2,则d=4,此时an=4n-2,{an}具有性质P.故an=4n-2(答案不唯一).
14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则
因为d≠0,所以a1=-10,d=2,所以an=2n-12.
(2)Sn=×n=n2-11n,由Sn15.解:(1)由题意,设等差数列的公差为d,又=8,=5,
∴3d=5-8=-3,∴d=-1,
∴=8+(n-1)×(-1)=9-n,
∴Sn=-n2+9n,则Sn-1=-(n-1)2+9(n-1)=-n2+11n-10,n≥2,
∴an=Sn-Sn-1=-2n+10,n≥2,又a1=8符合上式,∴an=-2n+10.
(2)由(1)得,a1>a2>…>a5=0>a6>…,当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==-n2+9n,
当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+5×9)-(-n2+9n)=n2-9n+40,∴Tn=
16.ACD [解析] 设等差数列2,5,8,11,14,…的通项公式为bn=3n-1.数阵中前7行共1+2+3+…+7=28(个)数,所以数阵中前7行所有数的和为2×28+=1190,故A正确.令bn=3n-1=101,解得n=34,前7行共28个数,第8行有8个数,所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数,故B错误.记每一行的第1个数组成数列{an},则a1=2,a2-a1=3,a3-a2=6=3×2,a4-a3=9=3×3,…,an-an-1=3×(n-1)(n≥2),累加得an-a1=3×(1+2+3+…+n-1)=(n≥2),所以an=(n≥2),则a10=137,故C正确.数阵中第10行从左至右的第4个数是137+(4-1)×3=146,故D正确.故选ACD.
17.(1)3 (2)210 [解析] (1)由题可知,an=2n<10,又因为n∈N*,所以n≤3,所以b10=3.(2)由题可知a1≥1,所以B1= ,所以b1=0.若a1=m≥2,则B2= ,Bm+1={1},所以b2=0,bm+1=1,与{bn}是等差数列矛盾,所以a1=1.设dn=an+1-an(n∈N*),因为{an}是各项均为正整数的递增数列,所以dn∈N*.假设存在k∈N*使得dk≥2,设ak=t,由ak+1-ak≥2得ak+1≥t+2.由ak=t【课标要求】 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则
等差数列定义式 (d为常数)
等差中项 A= (A是a与b的等差中项)
通项公式 或
前n项和公式 Sn= =
2.等差数列的性质
已知{an}是等差数列,其公差为d,Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)为等差数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an= ,当d≠0时,它是关于n的 ,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群
的点.
(2)前n项和公式可变形为Sn= ,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的 ,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.
常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数),这里公差d=2A.
3.若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则=.
4.若等差数列{an}的项数为偶数2n,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S偶-S奇=nd,=.
5.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则
(1)S2n+1=(2n+1)an+1;
(2)=.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4= .
2.[教材改编] 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2+a4=6,S9=45,则d= .
3.[教材改编] 一物体从1960 m的高空降落,如果第1秒降落4.9 m,以后每秒比前一秒多降落9.8 m,那么经过 秒该物体降落到地面.
题组二 常错题
◆索引:忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全公差的取值范围;等差数列中各项的符号判断不正确.
4.在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是 .
5.若一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是 .
6.已知等差数列{an}的通项公式为an=10-n,则a1+a2+…+a20= ,|a1|+|a2|+…+|a20|= .
等差数列基本量的运算
例1 (1)[2024·浙江绍兴二模] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且-=6,则a7-a4= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
(2)已知在各项均为正数的等差数列中,有连续四项依次为m,a,4m,b,则等于 .
总结反思
解决等差数列基本量运算的思想方法:
(1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
变式题 (1)[2024·山东青岛期末] 已知等差数列{an}的各项均为正整数,a11=a1+a2+a3,a2<10,则其公差d为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
等差数列的判定与证明
例2 已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+(n∈N*).
(1)求证:数列{}是等差数列,并求出{an}的通项公式.
(2)数列{an}中是否存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,(k∈N*)构成等差数列 请说明理由.
总结反思
判定数列{an}是等差数列的常用方法
①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数.
②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1.
③通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数).
④前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).
变式题 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2)已知各项均为正数的数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,a1=2,=Sn+1+Sn.证明:数列{an}是等差数列.
等差数列性质的应用
角度1 等差数列项的性质
例3 (1)[2024·运城三模] 已知数列{an}是等差数列,a3-a5=2,则a5+a10-a8= ( )
A.4 B.-2
C.-4 D.-8
(2)[2024·辽宁十一校模拟] 已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,则a2026-3b2026= .
总结反思
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
变式题 (1)[2025·甘肃白银检测] 已知等差数列{an}的前10项和为100,且a1+a2+a3=15,则a9= ( )
A.5 B.10
C.15 D.20
(2)已知等差数列{an}满足a1a3+a2a7+a3a9+a7a8=100,则a5= .
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)[2024·广东深圳期末] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20= ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
(2)[2024·佛山模拟] 设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+= ( )
A. B. C. D.
总结反思
1.和的性质:在各项均不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an;
③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
2.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注意化归与转化思想的合理运用.
变式题 [2024·哈尔滨期中] 已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为 ( )
A.28 B.29
C.30 D.31
角度3 等差数列和的最值
例5 (1)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,且S5=S9,则下列说法正确的有 ( )
A.S7是数列{Sn}中的最大项
B.a7是数列{an}中的最大项
C.S14=0
D.满足Sn>0的n的最大值为13
(2)[2025·福州质检] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=-600,当且仅当n=30时Sn取得最小值,则{an}的公差d的取值范围为 .
总结反思
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:
变式题 (多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1<0,且(S7-S3)(S7-S4)<0,则 ( )
A.a5+a6<0
B.S4C.当n=6时,Sn取最小值
D.当Sn<0时,n的最大值为10第37讲 等差数列及其前n项和
(时间:45分钟)
1.[2025·长沙六校联考] 在等差数列{an}中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7= ( )
A.40 B.30
C.20 D.10
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S10=S20=100,则S40= ( )
A.-200 B.-100
C.200 D.100
3.[2024·石家庄联考] “a2+a6=2a4”是“数列{an}为等差数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a9=14,a6a7=63,则S7= ( )
A.21 B.19
C.12 D.42
5.[2024·浙江嘉兴期末] 卫生纸是人们生活中的必需品,随处可见.卫生纸形状各异,有单张四方型的,也有卷成滚筒形状的.某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为40 mm,卫生纸厚度为0.1 mm.若未使用时直径为90 mm,使用一段时间后直径为60 mm,则这个卷筒卫生纸大约已经使用了 ( )
A.25.7 m B.30.6 m
C.35.3 m D.40.4 m
6.[2024·湖北黄冈联考] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且{Sn}为递增数列.若a5=5,则d的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.某阶梯大教室的座位数从第二排开始,每排的座位比前一排多3个,已知第一排有5个座位,且该阶梯大教室共有258个座位,则该阶梯大教室最后一排的座位数为 .
8.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S30=120,a3+a6+a9+…+a30=60,则an= ( )
A.2n-25 B.2n-27
C.3n-15 D.3n-18
9.[2024·湖南师大附中一调] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,Tn是数列的前n项和,若S7=7,S15=75,则Tn= ( )
A. B.
C. D.
10.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论,其中正确的有 ( )
A.数列{a2n-1}是等差数列
B.数列{2an-1}是等差数列
C.数列是递增数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
11.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2023>0,S2024<0,则下列结论错误的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.|a1013|<|a1012|
C.当Sn取得最大值时,n=1012
D.S101312.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则= .
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若{an}与{}均为等差数列,则称数列{an}具有性质P.如an=0时,其和Sn=0或an=2n-1时,其和Sn=n2,{an}均是具有性质P的数列.请再写出一个除例子之外具有性质P的数列{an}的通项公式an= .
14.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,S5+5a9=0,a4=a5a7.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求使Sn15.[2024·绍兴柯桥区期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn.若为等差数列,且满足S1=8,=5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.
16.(多选题)如图,三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14,…排列而成,按照此规律,下列结论正确的是 ( )
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
17.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列,对于k∈N*,定义集合Bk={i∈N*|ai(1)若an=2n,则b10= ;
(2)若数列{bn}是等差数列,则数列{an}的前20项和为 . (共84张PPT)
第37讲 等差数列及其前 项和
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前 项和公式,理解等差数列的通项公式与前
项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
◆ 知识聚焦 ◆
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列的首项为，公差是，前项和为 ，则
等差数列定义 式
等差中项
通项公式 __________________或________________________
_________________________
2.等差数列的性质
已知是等差数列,其公差为,是的前 项和.
（1）通项公式的推广：__________ ．
（2）若 ，则__________________.
（3），，， 是公差为____的等差数列.
（4）数列，，， 也是等差数列．
（5） .
（6） 为等差数列.
3.等差数列与函数的关系
（1）等差数列的通项公式可写成____________，当
时，它是关于的__________，它的图象是直线 上
横坐标为正整数的均匀分布的一群______的点.
一次函数
孤立
（2）前项和公式可变形为________________，当 时，它
是关于 的常数项为0的__________，它的图象是抛物线
上横坐标为正整数的均匀分布的一群______的点.
二次函数
孤立
常用结论
1.已知数列的通项公式是（其中，为常数），则
数列一定是等差数列，且公差为.
2.数列是等差数列（，为常数），这里公差
.
3.若，均为等差数列且其前项和为，，则.
4.若等差数列的项数为偶数 ，则
（1） ；
（2）， .
5.若等差数列的项数为奇数 ，则
（1） ；
（2） .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知在等差数列中，， ，
则 ___.
6
[解析] 设等差数列的公差为，则 解得
.
2.［教材改编］ 设等差数列的公差为，前项和为 ，若
,，则 ___.
1
[解析] ,
，故 .
3.［教材改编］ 一物体从的高空降落,如果第1秒降落 ,
以后每秒比前一秒多降落 ,那么经过____秒该物体降落到地面.
20
[解析] 设物体经过 秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的
距离依次构成首项为 ,公差为9.8的等差数列,
所以,即,可得 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全公差的取值范围;等
差数列中各项的符号判断不正确.
4.在等差数列中，，公差，则使数列的前
项和取最大值的正整数 的值是______.
5或6
[解析] 由，得，解得 或
（舍去），则，
又， ，故使前项和取最大值的正整数 的值是5或6.
5.若一个等差数列的首项为 ，从第10项起开始比1大，则这个等差
数列的公差 的取值范围是_ __________.
[解析] 由题意可得即所以 .
6.已知等差数列的通项公式为 ,则
______， _____.
100
[解析] 设数列的前项和为 ，则
.
由得 ，所以当时，,当时， ，
所以 .
探究点一 等差数列基本量的运算
例1（1）[2024·浙江绍兴二模]已知等差数列的前项和为 ，且
，则 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
［思路点拨］由等差数列求和公式结合已知列方程即可求解.
[解析] 由题意设等差数列的公差为 ，因为
，所以 ，从而
.故选D.
√
（2）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为 ，
，，，则 等于___.
［思路点拨］根据等差数列的性质可得,,的等式关系，再计算
即可.
[解析] 因为，，， 为等差数列连续的四项，所以
，，所以，，所以 .
[总结反思]
解决等差数列基本量运算的思想方法：
（1）方程思想:等差数列的基本量为首项和公差,通常利用已知条
件及通项公式或前项和公式列方程（组）求解,等差数列中包含,
,,,五个量,可“知三求二”.
（2）整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表
示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
变式题（1）[2024·山东青岛期末]已知等差数列 的各项均为正整
数，，，则其公差 为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
√
[解析] 因为等差数列中， ，所以
，所以，所以 ，则
因为等差数列的各项均为正整数，所以公差 为正整数，
因为，所以，所以 ，
因为公差为正整数，所以或.
当 时，，不合题意，舍去；
当时， ，符合题意，所以 .故选C.
（2）[2024· 新课标Ⅱ卷] 记为等差数列的前 项和，若
,,则 ____.
95
[解析] 设等差数列的公差为，则 ,
,
所以， ,所以 .
探究点二 等差数列的判定与证明
例2 已知各项都为正数的数列的前项和为 ，且
.
（1）求证：数列是等差数列，并求出 的通项公式.
［思路点拨］先令求出，再由 ，
得到，
从而得数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，则，
进而求出 的通项公式；
解：当时，，又,所以，
当 时，，即 ，
整理得，
又 ，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 .
因为的各项都为正数，即，所以 .
当时，，当时， 也
满足上式，所以 .
（2）数列中是否存在连续三项,,，使得, ,
构成等差数列？请说明理由.
［思路点拨］假设存在,, 满足题意，结合（1）中结论得
出 ，两边平方后推出等式不成立，
故假设不成立，从而得出结论.
解：不存在，理由如下：由（1）可得 .
假设存在满足题意的连续三项,,，使得,, 构成等
差数列，
则 ，即
，
等式两边平方，得
，即
，
整理得 ，显然等式不成立，因此假设错误，
所以数列中不存在连续的三项, , ,
使得,, 构成等差数列.
[总结反思]
判定数列是等差数列的常用方法
①定义法：对任意，是同一常数．
②等差中项法：对任意，，满足.
③通项公式法：对任意，都满足（，为常
数）．
④前项和公式法：对任意，都满足
（，为常数）．
变式题（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]记为数列的前 项和，设甲：
为等差数列；乙： 为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
√
[解析] 方法一：若为等差数列，设其公差为 ，则
,所以 ,
所以，因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件.
反之，若为等差数列，则 为常数，
设，则 ，所以
，
两式相减得，
即 ，当时，,满足上式，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的充要条件.故选C.
方法二：若为等差数列，则设数列的公差为 ，可得
，则，所以为首项为 ，公
差为的等差数列，即甲是乙的充分条件.
反之，若 为等差数列，则可设的公差为，
故 ，即 ，
利用公式可得 ，所以
，即为公差为 的等差数列，所以甲是乙的必
要条件.
综上，甲是乙的充要条件.故选C.
（2）已知各项均为正数的数列中，为的前 项和，
,.证明：数列 是等差数列.
证明：因为，所以当 时，，
得 ，整理得
，
显然，则 ，
由，整理得，
又 ，所以，则，满足，
所以 是以2为首项，2为公差的等差数列.
探究点三 等差数列性质的应用
角度1 等差数列项的性质
例3（1）[2024·运城三模]已知数列是等差数列， ，则
( )
A.4 B. C. D.
√
［思路点拨］利用下标和性质计算可得.
[解析] 因为，所以，
又 ，所以，解得 ，
所以 .故选C.
（2）[2024·辽宁十一校模拟] 已知数列， 都是等差数列，且
，，则 ______.
2029
［思路点拨］推出数列 为等差数列，由已知求出
的公差 ，即可作答.
[解析] 因为数列，都是等差数列，所以数列 也为
等差数列，
设其公差为，因为， ，所以
，解得 ，
故 .
[总结反思]
在等差数列中,若,则
.
变式题（1）[2025·甘肃白银检测]已知等差数列 的前10项和为
100，且，则 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
[解析] 因为为等差数列，所以 ，即
，
又因为 的前10项和，
即，所以 .故选C.
√
（2）已知等差数列满足 ，则
_______.
5或
[解析] 由题知
，解得 .
角度2 等差数列前 项和的性质
例4（1）[2024·广东深圳期末]已知等差数列的前项和为 ，
，，则 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
√
［思路点拨］根据等差数列中,, 成等差数列求解
即可.
[解析] 在等差数列中，，，所以, ，
故,,,, 构成公差为2的等差数列，
所以，即 .
故选C.
（2）[2024·佛山模拟]设等差数列，的前项和分别为 ，
，若对任意正整数都有，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］运用等差数列的等和性及等差数列前 项和公式求解即可.
[解析] 由等差数列的等和性可得，
.故选C.
√
[总结反思]
1.和的性质：在各项均不为0的等差数列中，为其前项和，则
；
；
，，， 成等差数列．
2.熟练掌握等差数列前项和的性质是解决此类试题的关键，解题时
注意化归与转化思想的合理运用.
变式题 [2024·哈尔滨期中] 已知等差数列 的项数为奇数，其中
所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项
为( )
A.28 B.29 C.30 D.31
[解析] 设等差数列共有 项，则
， ，中
间项为 ，
故 ，所以
，故选B.
√
角度3 等差数列和的最值
例5（1）（多选题）等差数列的前项和为，若 ，公差
，且 ，则下列说法正确的有( )
A.是数列中的最大项 B.是数列 中的最大项
C. D.满足的 的最大值为13
√
√
√
［思路点拨］由得出，代入与 ，对选项依次
判断即可.
[解析] ，， ，
，
，
.
，， 当时，
取最大值，是数列 中的最大项，故选项A正确；
对于B，，， 等差数列是递减数列， 数列
中的最大项为 ，故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D， ，，
解得 ，
， 满足的的最大值为13，故选项D正确.故选 .
（2）[2025·福州质检] 已知等差数列的前项和为, ，
当且仅当时取得最小值，则的公差 的取值范围为____
____.
［思路点拨］由题意可得， ，列出不等式组，即可求解.
[解析] 由题意可得，，，即 解得
，故的取值范围为 .
[总结反思]
求等差数列前项和最值的两种方法：
变式题 （多选题）已知等差数列的前项和为， ，且
，则( )
A. B.
C.当时，取最小值 D.当时， 的最大值为10
√
√
√
[解析] 设等差数列的公差为 ，依题意
，所以,异号，
又，所以 ，,，A选项正确.
因为 , ，所以 ，B选项正确.
由于, ，则，所以等差数列 的前5项为负数，从第6项起为正数，所以当时， 最小，所以C选项错误.
, ，
所以当时，的最大值为10，所以D选项正确.故选 .
【备选理由】例1考查对等差数列的定义的理解；
例1 ［配例1使用］ [2024·北京海淀区模拟] 已知数列 满足
，其中为常数，则“”是“
是等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 由题意得 ，
若，则 ，即
，，即 ，
由与得，由 与
得，
以此类推，可得，故 是等差数列，充分性成立；
若 是等差数列，不妨设，则 ，故
，即 ，
因为，所以，所以 ，必要性成
立.
故“”是“ 是等差数列”的充要条件.故选C.
例2 ［配例2使用］ [2024·湖北襄阳模拟] 蚊香具有悠久的历史，
我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用
数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段
，作一个等边三角形，然后以点为圆心， 为半径逆时针
画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点 为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点 为圆
心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有
15段圆弧时，“蚊香”的长度为_____.
【备选理由】例2考查等差数列的实际应用及求等差数列前项和；
[解析] 由题意可知，每段圆弧的圆心角为，
设第 段圆弧的半径为，则可得,，故数列是首项 ，公差的等差数列，则，
则“蚊香”的长度为 .
例3 ［配例5使用］ [2024·广东华附、省实、广雅、深中四校联考]
已知等差数列的前项和为,,，则 的最小值为
____.
[解析] 设等差数列的公差为，由题意得 解得
，
因为，所以当或时，的最小值为 .
【备选理由】例3考查等差数列前 项和的最值；
例4 ［补充使用］ 已知等差数列的公差为整数， ，设其
前项和为，且是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
解：设的公差为，依题意得 ，
所以，即 ，
化简得，解得或 （舍去），
则，故 .
【备选理由】例4考查数列通项公式的求解和绝对值数列的求和，
可作为未涉及题型的补充.
（2）若，求数列的前项和 .
解：依题意， .
当时，，故 ；
当时， ，故
.
故
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.[2025·长沙六校联考]在等差数列中，, ，
则 ( )
A.40 B.30 C.20 D.10
[解析] 设等差数列的公差为，因为 ，所以
，
又，则，解得 ，，
所以 .故选B.
√
2.已知等差数列的前项和为，满足，则
( )
A. B. C.200 D.100
[解析] 因为等差数列的前项和为， ,所以
解得
则 .故选A.
√
3.[2024·石家庄联考]“”是“数列 为等差数列”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 若，则数列 不一定是等差数列，如数列
1,2,1,4,1,6,1,1， ；
若数列 为等差数列，则由等差中项可知.
所以“”是“数列 为等差数列”的必要不充分条件.故选B.
√
4.记为等差数列的前项和，若, ，则
( )
A.21 B.19 C.12 D.42
[解析] 是等差数列，，即 ，
,故公差,
，
，故选A.
√
5.[2024·浙江嘉兴期末]卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见.卫
生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的.某款卷筒卫
生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为 ，卫生纸厚度为
.若未使用时直径为，使用一段时间后直径为 ，
则这个卷筒卫生纸大约已经使用了( )
A. B. C. D.
√
[解析] 未使用时，可认为外层卫生纸的长度为 ，
可认为每层纸的长度构成等差数列，
使用一段时间后，相当于等差数列的项数为，
且 .
由等差数列的求和公式得
，故选C.
6.[2024·湖北黄冈联考]已知等差数列的前项和为，公差为 ，
且为递增数列.若，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为为等差数列，且，所以 ，
又数列为递增数列，所以 从第二项开始各项均为正数.
由，得.
因为 恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，
所以.综上， .故选A.
√
7.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，
已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯
大教室最后一排的座位数为____.
38
[解析] 该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，
且首项为5，公差为3，所以 .
设该阶梯大教室共有排，则 ，整理得
，因为，所以 ，
所以该阶梯大教室最后一排的座位数为 .
◆ 综合提升 ◆
8.已知等差数列的前项和满足 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为 ，则
，即，解得.
又，解得 ，所以
，故选B.
√
9.[2024·湖南师大附中一调]已知是等差数列的前项和， 是
数列的前项和，若,，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设的首项为，公差为，则 ，则
，则，故 是
公差为的等差数列，
又, ，所以，解得，
又 ，所以，
故是首项为，公差为 的等差数列，
所以 .故选A.
10.（多选题）下面是关于公差的等差数列 的四个结论，其
中正确的有( )
A.数列是等差数列 B.数列 是等差数列
C.数列是递增数列 D.数列 是递增数列
[解析] 设等差数列的首项为 ，所以
.
对于A，由 ，则 ，所以，即数列是公差为 的等差数列，故A正确；
√
√
√
对于B，由 ，所以，
则
，所以数列是公差为 的等差数列，故B正确；
对于C，由，可得，当 时，数列不是递增数列，故C不正确；
对于D，由 ，可得 ，所以
，所以数列 是
递增数列，故D正确.故选 .
11.（多选题）已知等差数列的前项和为，若 ,
，则下列结论错误的是( )
A.数列是递增数列 B.
C.当取得最大值时， D.
√
√
√
[解析] ,，
，
，
,，,，且
，B中结论错误；
由上述易得公差， 等差数列 是递减数列，A中结论错误；
,， 当时， 取得最大
值，C中结论正确；
对于D选项，
，D中结论错误.故选 .
12.若等差数列，的前项和分别为，，且 ，则
___.
[解析] 因为，且 ，所以
由等差数列前项和的性质得 .
13.已知数列的前项和为，若与{ }均为等差数列，则
称数列具有性质.如时，其和或 时，
其和,均是具有性质 的数列.请再写出一个除例子之外具
有性质的数列的通项公式 ______________________.
（答案不唯一）
[解析] 若为等差数列，设公差为，则 ，
则，
若{}也为等差数列，则 ，即，且，
取，则，此时, 具有性质.
故 （答案不唯一）.
14.设是公差不为0的等差数列的前项和， ,
.
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 ，
则
因为，所以,，所以 .
（2）求使成立的 的最大值.
解：，由 得
,即，解得 ，
因为，所以使成立的 的最大值是11.
15.[2024·绍兴柯桥区期末] 已知数列的前项和为.若 为等
差数列，且满足， .
（1）求数列 的通项公式；
解：由题意，设等差数列的公差为，又， ，
, ，
， ，
则， ，
，，又 符合上式，
.
（2）设，求 .
解：由（1）得， ，当 时，
，
当 时，
,
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）如图，三角形数阵由一个等差数列2,5,8,11,14, 排列
而成，按照此规律，下列结论正确的是( )
A.数阵中前7行所有数的和为1190
B.数阵中第8行从左至右的第4个数是101
C.数阵中第10行的第1个数是137
D.数阵中第10行从左至右的第4个数是146
√
√
√
[解析] 设等差数列2,5,8,11,14, 的通项公式为
.
数阵中前7行共 （个）数，
所以数阵中前7行所有数的和为，故A正确.
令，解得 ，前7行共28个数，第8行有8个数，
所以101是数阵中第8行从左至右的第6个数，故B错误.
，
所以，则 ，故C正确.
数阵中第10行从左至右的第4个数是，故D正确.故选 .
17.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，定义
集合，设为集合中元素的个数，若
时，规定 .
（1）若，则 ___；
3
[解析] 由题可知，,又因为，所以 ，所以
.
（2）若数列是等差数列，则数列 的前20项和为_____.
210
[解析] 由题可知，所以 ，所以.
若 ，则 ，，所以，，
与 是等差数列矛盾，所以.
设，因为 是各项均为正整数的递增数列，
所以.
假设存在使得 ，设，由得 .
由，得，，与
为等差数列矛盾.
所以对任意都有，所以数列 是等差数列，
，所以数列 的前20项和 .
【知识聚焦】1.an+1-an=d an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d(n,m∈N*)
na1+d 2.(1)(n-m)d (2)ak+al=am+an (3)md 3.(1)dn+a1-d 一次函数 孤立
(2)n2+n 二次函数 孤立
【对点演练】1.6 2.1 3.20 4.5或6 5.课堂考点探究
例1(1)D (2) 变式题(1)C (2)95 例2(1)证明略，an=- (2)不存在，理由略
变式题(1)C (2)略 例3(1)C (2)2029 变式题(1)C (2)5或-5
例4(1)C (2)C 变式题B 例5(1)ACD (2)(24,25) 变式题ABD
教师备用习题
例1C 例2 80π 例3 -2 例4 (1)an=4n-3 (2)Tn=
基础热身
1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.38
综合提升
8.B 9.A 10.ABD 11.ABD 12. 13.4n-2(答案不唯一) 14.(1)an=2n-12 (2)11
15.(1)an=-2n+10 (2)Tn=
能力拓展
16.ACD 17.(1)3 (2)210