第38讲 等比数列及其前n项和
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.q an=a1qn-1
an=amqn-m(n,m∈N*) na1
2.(1)am·qn-m (2)ap·aq
【对点演练】
1.-3或 [解析] 由S3=a1+a2+a3=a3(q-2+q-1+1),得q-2+q-1+1=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,∴a2==或-3.
2.2 -2 [解析] 依题意得q≠1,因为即所以
3.3 [解析] ∵a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,∴a1+a13=13,a1·a13=9,∴a1>0,a13>0,a1·a13=a2·a12==9,又数列{an}为等比数列,等比数列奇数项的符号相同,∴a7=3,∴==3.
4.4 [解析] 设数列{an}的公比为q,∵=a3a7=2×8=16,∴a5=±4,又∵a5=a3q2>0,∴a5=4.
5. [解析] 因为a≠0,an=an,所以{an}是以a为首项,a为公比的等比数列.当a=1时,Sn=n;当a≠1时,Sn=.
6.28 [解析] 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.因为S5=4,S10=12,所以S10-S5=8,S15-S10=16,故S15=12+16=28.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:根据题意列出关于公比q的方程,求出q,注意q=1时的情况,即可求出S4;思路二:根据题意列出关于公比q的方程,结合q>0求出q,即可求出S4.(2)根据等比数列的定义与性质求解.
(1)C (2)2 [解析] (1)方法一:设数列{an}的公比为q(q>0),当q=1时,S5=5,5S3-4=11,S5≠5S3-4,不合题意;当q≠1时,由S5=5S3-4,得=5·-4,即1-q5=5-5q3-4+4q,即q5-5q3+4q=0,即q4-5q2+4=0,即(q2-1)(q2-4)=0,解得q=±1(舍去)或q=-2(舍去)或q=2,因此S4==15.故选C.
方法二:由题知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)-4,即q3+q4=4q+4q2,即q3+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.由题知q>0,所以q=2,所以S4=1+2+4+8=15.
(2)由等比数列的性质知a3a6=a4a5,由解得或
因为{an}是递增的等比数列,所以即q==2.
变式题 (1)C (2)B [解析] (1)由条件可知,数列{an}的公比q≠1,由题意得解得所以S7==127.故选C.
(2)设“衰分比”为a,一等奖衰分得b万元,则b(1-a)2=64,b(1-a)+b(1-a)3=131.2,b+64+131.2=m,解得b=100,a=20%,m=295.2.故选B.
例2 [思路点拨] (1)由an+1=Sn+1-Sn可得Sn+1-Sn=(Sn-1),再通过化简结合等比数列的定义即可证明;
(2)先结合(1)求出Sn=3n(2n-1)+1,再根据n≥2时an=Sn-Sn-1求出an,最后验证a1即可.
解:(1)证明:∵an+1=(Sn-1),
∴Sn+1-Sn=(Sn-1),即(2n-1)Sn+1-(2n-1)Sn=4(n+1)(Sn-1),即(2n-1)(Sn+1-1)=(6n+3)Sn-(6n+3),即(2n-1)(Sn+1-1)=3(2n+1)(Sn-1),即=3,
又∵=a1-1=3,∴数列是首项为3,公比为3的等比数列.
(2)由(1)知=3n,即Sn=3n(2n-1)+1,当n≥2时,Sn-1=3n-1(2n-3)+1,则an=Sn-Sn-1=3n(2n-1)+1-[3n-1(2n-3)+1]=4n·3n-1,又a1=4也适合上式,∴an=4n·3n-1,n∈N*.
变式题 解:因为an+1=-2an+2,所以an+1-1=(an-1)2,则ln(an+1-1)=ln(an-1)2=2ln(an-1),又ln(a1-1)=ln 2,所以数列{ln(an-1)}是以ln 2为首项,2为公比的等比数列,
则ln(an-1)=2n-1·ln 2=ln ,
所以an=+1.
例3 [思路点拨] (1)设等比数列{an}的公比为q,根据题意求得=4,结合对数运算性质有S9=log2,即可求解.(2)根据等比数列的性质求得a4=8,进而求得q=2.
(1)D (2)2 [解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,因为a3=(a5q)2==4,所以S9=c1+c2+…+c8+c9=log2a1+log2a2+…+log2a8+log2a9=log2(a1a2…a8a9)=log2=log243=6.故选D.
(2)a4a6-ma2+m==512,故a4=8,所以a4=a1q3=q3=8,所以q=2.
变式题 (1)A (2) [解析] (1)若a6·a7>1,则有T12=a1a2…a12=(a6a7)6>1,故充分性成立;若T12>1,即a1a2…a12>1,即(a6a7)6>1,则a6a7>1或a6a7<-1,故必要性不成立.所以“a6·a7>1”是“T12>1”的充分不必要条件.故选A.
(2)易知++++=++=++,由等比数列的性质可得a3a9=a4a8=,∴=18,∴=,又a6>0,∴a6=.
例4 [思路点拨] (1)根据等比数列的性质可知片段和成等比数列,求出片段和等比数列的公比即可得解.(2)根据等比数列前n项和的性质计算即可.
(1)A (2)C [解析] (1)因为S8+S24=140,且S24=13S8,所以S8=10,S24=130,故q≠±1,所以==(q8)2+q8+1=13,即(q8)2+q8-12=0,解得q8=3或q8=-4(舍去).由等比数列前n项和的性质可知,S8,S16-S8,S24-S16成等比数列,公比为q8=3,所以S16-10=10×q8=30,解得S16=40,故选A.
(2)因为Sn为等比数列{an}的前n项和,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等比数列,由=3,得S6=3S3,则=2,所以S9-S6=4S3,所以S9=7S3,S12-S9=8S3,所以S12=15S3,S15-S12=16S3,所以S15=31S3,S18-S15=32S3,所以S18=63S3,所以==9.故选C.
变式题 (1)D (2)13 [解析] (1)由题知,S3=3,S6-S3=9,因为数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,所以S9-S6=27,S12-S9=81,所以S12=S9+81=S6+27+81=S3+9+27+81=120.故选D.
(2)因为Sn是等比数列{an}的前n项和且S3≠0,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,则(S6-S3)2=S3×(S9-S6).因为S3=30,S6=120,所以(120-30)2=30×(S9-120),解得S9=390,所以==13.
例5 [思路点拨] 结合选项,利用等比数列的增减性分析判断即可.
BC [解析] 当a1>0,0
0,-11,所以{an}的奇数项为负无最小值,偶数项为正无最大值.故选BC.
变式题 6 [解析] 在等比数列{an}中,a1+a3=62,a2+a4=31,所以公比q==,所以a1+a3=a1+a1=62,解得a1=,故an=×.易知数列{an}递减,且an>0,因为a6=>1,a7=<1,所以当1≤n≤6时,an>1,当n≥7时,01.A [解析] 设数列{an}的公比为q,由题意可得解得
则S5==-2×(1-32)=62.故选A.
2.C [解析] 因为数列{an}为等比数列,且a2a5=16,所以a2a5=a3a4=16,所以log2a3+log2a4=log2(a3a4)=log216=log224=4,故选C.
3.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,则(a1+a3+a5)q=a2+a4+a6,解得q=2.S12-S6=a7+a8+…+a12=(a1+a2+…+a6)×26=3×26=192.故选D.
4.B [解析] 对数列{an},an+1=2an,若a1=0,则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an.故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件,故选B.
5.B [解析] 因为等比数列{an}的前n项和为Sn,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-S4)2=S4·(S12-S8),即(8-S4)2=S4·(26-8),解得S4=32或S4=2.设等比数列{an}的公比为q,则q≠1,==1+q4>1,则S8>S4>0,得S4=2.故选B.
6.32 [解析] 因为an·an+1=2n,所以an+1·an+2=2n+1,两式相除得=2,故数列{a2k}是公比为2的等比数列,由a2=2,得a10=a2·25-1=25=32.
7.-3 [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a3a5=a2a6,a1a3a5=a2a6,得a1=1,由a4a13=-27,得q3·q12=q15=-27,所以a6=q5=-3.
8.B [解析] 由题意得a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240.当q=1时,d不是正整数;当q=2时,d=16;当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数.所以q=2,d=16,所以该数列前5项的和为=155.故选B.
9.C [解析] 设数列{an}的公比为q,由a3=a1q2≥1,得a1>0,则a5=a1q4>0,所以a1+a5≥2=2a3≥2,当且仅当a1=a5,即q2=1时取等号,故充分性成立;a1+a5≥2,即+a3q2≥2,若q2=,则a3≥,故必要性不成立.故选C.
10.BCD [解析] 当an=0时,满足=a3a7,但{an}不是等比数列,故A错误.由等比数列的性质可知=a3a7,故B正确.由Sn=3n-1,得Sn-1=3n-1-1,则an=Sn-Sn-1=2×3n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=2,则an=2×3n-1,从而可知{an}是等比数列,故C正确.由Sn=3n+a,得a1=3+a,S2=9+a,S3=27+a,由等比数列的性质可知=a1a3,又a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18,所以62=18(3+a),解得a=-1,结合C选项可知此时{an}为等比数列,故D正确.故选BCD.
11.BCD [解析] 若T8=T12,则=a9a10a11a12=(a10a11)2=1,可得a10a11=±1,即选项A错误.而T20=a1a2…a19a20=(a10a11)10=1,即选项B正确.若a1=1024,且T10是数列{Tn}中唯一最大项,当q<0时,T10=a1a2…a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合题意;当q>0时,由可得即解得T11>T9,当q<0时,T9=a1a2…a9=a1(a2a9)4=a1(a1a1q9)4>0,T10<0,不满足T10>T9,不合题意;当q>0时,由可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,1>q>0,则{an}为递减数列,因此当n≤10,n∈N*时,an>1,当n>10,n∈N*时,an<1,因此当n≤10,n∈N*时,{Tn}为递增数列,当n>10,n∈N*时,{Tn}为递减数列,又T1>1,T20=a1a2…a20=(a10a11)10>1,T21=a1a2…a21=(a11)21<1,所以使得Tn>1成立的n的最大值为20,即选项D正确.故选BCD.
12.2 [解析] 依题意,a1+a3+a5+…+a2n+1=85,即a2q+a4q+…+a2nq=84,而a2+a4+…+a2n=42,所以q=2.
13.20 [解析] 由S6-2S3=5,得S6-S3=S3+5.因为{an}的各项都是正数,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3×(S9-S6),则S9-S6===S3++10≥2+10=20,当且仅当S3=,即S3=5时取等号,又S9-S6=a7+a8+a9,所以a7+a8+a9的最小值为20.
14.解:(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得q=(舍去),q=2.由题设得a1=2,所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n,所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
15.解:(1)证明:因为an+1=(n∈N*),所以==+,
所以-1=+-1=,又-1=-1=,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知-1=×=2×,得=2×+1,所以Sn=2+n=2×+n=1-+n.
16.AD [解析] 对于A,因为an+1an=(-1)n+1·(-1)n=(-1)2n+1=-1,所以数列{(-1)n}是2级等积数列,故A正确;对于B,设an+3an+2an+1an=sinsinsinsin=f(n),若数列是4级等积数列,则==1,但===
=-1≠1,矛盾,故B错误;对于C,由题意,若{}为k级等积数列,则=1,即=1或=-1,所以{an}不一定是k级等积数列,故C错误;对于D,由题意,若{an}为k级等积数列,则=1,从而=13=1,所以{}也是k级等积数列,故D正确.故选AD.
17.50 [解析] 记第n个正方形的面积为Sn,第n个正方形的边长为an,则第n个正方形的对角线长为an,所以第n+1个正方形的边长为an+1=an,所以=,所以数列{an}是首项为a1=5,公比为的等比数列,所以an=5×,所以Sn==25×,所以==,所以数列{Sn}是首项为S1=25,公比为的等比数列,所以S1+S2+…+Sn==50×,所以若这个作图过程可以一直继续下去,则所有正方形的面积之和将趋近于常数50.第38讲 等比数列及其前n项和
【课标要求】 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列中的有关公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则
等比数列定义式 = (q≠0且q为常数)
等比中项 =(G是a与b的等比中项)
通项公式 或
前n项和公式 当q=1时,Sn= ;当q≠1时,Sn= =
2.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.
(1)通项公式的推广:an= (n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an= = .
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{},{an·bn},仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
3.等比数列与函数的关系
(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=qn,前n项和公式可以写成Sn=qn-(q≠1).
(2)①当或时,{an}是递增数列;
②当或时,{an}是递减数列;
③当q=1时,数列{an}是常数列;
④当q<0时,数列{an}为摆动数列.
常用结论
1.等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn,这里c≠0,q≠0.
2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).
3.设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.
(1)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
(2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
(3)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.
题组一 常识题
1.[教材改编] 在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若a3=,S3=,则a2的值为 .
2.[教材改编] 已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,若8a2+a5=0,S5=22,则a1= ,公比q= .
3.[教材改编] 在等比数列{an}中,a1,a13是方程x2-13x+9=0的两根,则的值为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性质不熟导致出错.
4.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5= .
5.已知数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和Sn= .
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4,S10=12,则S15= .
等比数列的基本量运算
例1 (1)[2023·全国甲卷] 设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4= ( )
A. B.
C.15 D.40
(2)已知{an}是递增的等比数列,a4+a5=24,a3a6=128,则公比q的值是 .
总结反思
解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
变式题 (1)[2024·黑龙江双鸭山模拟] 记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1+a3=5,S4=15,则S7= ( )
A.63 B.64
C.127 D.128
(2)[2024·辽宁铁岭六校联考] 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.若某项比赛设有一等奖、二等奖、三等奖、四等奖各一名,奖金共有m(m>0)万元,按一等奖、二等奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”,已知三等奖奖金为64万元,二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为131.2万元,则“衰分比”与m的值分别是 ( )
A.20%,285.2 B.20%,295.2
C.80%,285.2 D.80%,295.2
等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=4,an+1=(Sn-1).
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
总结反思
判定一个数列为等比数列的常见方法:
(1)定义法:若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q为非零常数),则数列{an}是等比数列.
变式题 已知数列{an}满足a1=3,an+1=-2an+2.证明数列{ln(an-1)}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.
等比数列性质的应用
角度1 等比数列项的性质
例3 (1)[2024·陕西咸阳模拟] 已知数列{cn}的前n项和为Sn,且等比数列{an}满足cn=log2an,若a3=4,则S9= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)在等比数列{an}中,a1=1,a4a6-ma2+m=512(m∈N*,m<6),则数列{an}的公比q= .
总结反思
根据等比数列的通项公式和等比数列项的性质“若m+n=p+q,则aman=apaq,其中m,n,p,q∈N*.特别地,若m+n=2p,则aman=,其中m,n,p∈N*”可减少运算量.
变式题 (1)记等比数列{an}的前n项之积为Tn,则“a6·a7>1”是“T12>1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,若a3+a4+a6+a8+a9=2,++++=18,则a6= .
角度2 等比数列前n项和的性质
例4 (1)[2024·湖北襄阳模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8+S24=140,且S24=13S8,则S16= ( )
A.40 B.-30 C.30 D.-30或40
(2)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若=3,则= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
总结反思
等比数列前n项和的性质:若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(当m为偶数时,{an}的公比q≠-1).
变式题 (1)[2024·石家庄模拟] 已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=9,则S12= ( )
A.27 B.39 C.81 D.120
(2)设等比数列{an}的前n项和是Sn,已知S3=30,S6=120,则= .
角度3 等比数列的最值
例5 (多选题)[2024·湖北宜荆荆随恩二模] 无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值又有最小值的有 ( )
A.a1>0,00,-1C.a1<0,q=-1 D.a1<0,q<-1
总结反思
1.等比数列的最值可类比等差数列最值的求解思想,多借助函数思想或是数列的增减性处理.
2.等比数列{an}满足或时,{an}是递增数列;满足或时,{an}是递减数列.
变式题 在等比数列{an}中,若a1+a3=62,a2+a4=31,则当a1a2…an取得最大值时,n= . 第38讲 等比数列及其前n项和
(时间:45分钟)
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=10,a2+a4=20,则S5= ( )
A.62 B.50
C.40 D.22
2.[2025·山东德州模拟] 在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a5=16,则log2a3+log2a4= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.[2024·河北廊坊期中] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3+a5=1,a2+a4+a6=2,则S12-S6= ( )
A.18 B.54
C.128 D.192
4.数列{an}中,“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024·湖北武汉模拟] 记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8=8,S12=26,则S4= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知数列{an}满足a2=2,an·an+1=2n,则a10的值为 .
7.[2024·保定二模] 在等比数列{an}中,a1a3a5=a2a6,a4a13=-27,则a6= .
8.[2024·江西宜春二模] 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年,爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列,记为{an},其将满月等分成240份,ai(1≤i≤15且i∈N*)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数,例如,第1天月球被太阳照亮部分占满月的,即a1=5;第15天为满月,即a15=240.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为d的等差数列,且q,d均为正整数,则该数列前5项的和为 ( )
A.124 B.155
C.186 D.217
9.[2024·浙江宁波九校联考] 若数列{an}为等比数列,则“a3≥1”是“a1+a5≥2”的 ( )
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
10.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 ( )
A.若=a3a7,则{an}是等比数列
B.若{an}是等比数列,则=a3a7
C.若Sn=3n-1,则{an}是等比数列
D.若{an}是等比数列,且Sn=3n+a,则a=-1
11.(多选题)[2024·湖南长沙模拟] 设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,则下列说法正确的是 ( )
A.若T8=T12,则a10a11=1
B.若T8=T12,则T20=1
C.若a1=1024,且T10为数列{Tn}中唯一最大项,则D.若a1>0,且T10>T11>T9,则使得Tn>1成立的n的最大值为20
12.[2024·山东淄博一模] 已知等比数列{an}共有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则公比q= .
13.若各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S6-2S3=5,则a7+a8+a9的最小值为 .
14.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
15.已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=(n∈N*).
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若Sn=++…+,求Sn.
16.(多选题)在数列{an}中,若an+k-1an+k-2an+k-3…an+1an=p(其中n,k∈N*,且k≥2,p为常数),则称数列{an}为k级等积数列,p为数列{an}的公积.下列对“k级等积数列”的判断正确的有 ( )
A.数列{(-1)n}是2级等积数列
B.数列是4级等积数列
C.若{}为k级等积数列,则{an}也是k级等积数列
D.若{an}为k级等积数列,则{}也是k级等积数列
17.[2025·江苏南通质检] 如图,正方形ABCD的边长为5,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,则所有正方形的面积之和趋近于 . (共81张PPT)
第38讲 等比数列及其前 项和
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公
式的意义.
2.掌握等比数列的前项和公式,理解等比数列的通项公式与前 项和
公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
◆ 知识聚焦 ◆
1.等比数列中的有关公式
已知等比数列的首项为,公比是,前项和为 ,则
等比数列定 义式
等比中项
通项公式 ____________或________________________
2.等比数列的性质
已知是等比数列,是的前 项和.
（1）通项公式的推广：____________ .
（2）若，则 _______
________.
（3）若数列， （项数相同）是等比数列，则
，，，， 仍然是等比数列.
（4）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，
即，，，， 为等比数列，公比为 ．
2.等比数列的性质
已知是等比数列,是的前 项和.
2.等比数列的性质
已知是等比数列,是的前 项和.
3.等比数列与函数的关系
（1）等比数列的通项公式可以写成,前 项和公式可以
写成 .
（2）①当或时, 是递增数列;
②当或时, 是递减数列;
③当时,数列 是常数列;
④当时,数列 为摆动数列.
常用结论
1.等比数列的通项公式可以写成，这里， .
2.等比数列的前项和可以写成 .
3.设数列是等比数列，是其前 项和.
（1） .
（2）若，则，,， 成等比数列.
（3）若数列的项数为，则；若项数为 ,则
.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 在等比数列中，前项和为，若 ，
，则 的值为_______.
或
[解析] 由 ，得
，即，解得或 ，
或 .
2.［教材改编］ 已知数列为等比数列，其前项和为 ，若
，，则___,公比 ____.
[解析] 依题意得，因为即 所
以
3.［教材改编］ 在等比数列中，， 是方程
的两根，则 的值为___.
3
[解析] ，是方程 的两根，
，，
， ，，
又数列 为等比数列，等比数列奇数项的符号相同，，
.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视项的符号的判断;忽视对公比的讨论;对等比数列的性
质不熟导致出错.
4.在等比数列中，，，则 ___.
4
[解析] 设数列的公比为， ，
，又， ．
5.已知数列的通项公式是，则其前项和
_ ___________________.
[解析] 因为，，所以是以为首项， 为公比的等
比数列.
当时，；当时， .
6.已知等比数列的前项和为，且，,则 ____.
28
[解析] 因为等比数列的前项和为，所以,,
成等比数列.
因为，，所以 ，，
故 .
探究点一 等比数列的基本量运算
例1（1）[2023·全国甲卷]设等比数列的各项均为正数，前 项和
为，若，，则 ( )
A. B. C.15 D.40
［思路点拨］思路一：根据题意列出关于公比的方程,求出 ,注意
时的情况，即可求出；
√
[解析] 方法一：设数列的公比为，当 时，
，，，不合题意；
当 时，由，得，
即 ，
即，即，即 ，
解得（舍去）或（舍去）或 ，
因此 .故选C.
［思路点拨］思路二：根据题意列出关于公比 的方程,结合求出，
即可求出 .
[解析] 方法二：由题知 ，即
，即 ，即
.
由题知，所以 ，所以 .
（2）已知是递增的等比数列，, ，则公
比 的值是___.
2
［思路点拨］根据等比数列的定义与性质求解.
[解析] 由等比数列的性质知，由 解得
或
因为是递增的等比数列，所以即 .
[总结反思]
解决等比数列基本量运算的思想方法
（1）方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条
件及通项公式或前项和公式列方程（组）求解,等比数列中包含,
,,,五个量,可“知三求二”.
（2）整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表
示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
（3）分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公
式时要对分和两种情况进行讨论.
变式题（1）[2024·黑龙江双鸭山模拟]记为等比数列的前 项
和，若,，则 ( )
A.63 B.64 C.127 D.128
[解析] 由条件可知，数列的公比 ，由题意得
解得所以 .故选C.
√
（2）[2024·辽宁铁岭六校联考]《九章算术》第三章“衰分”介绍比例
分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例
（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，
个单位，递减的比例为 .若某项比赛设有一等奖、二等奖、
三等奖、四等奖各一名，奖金共有 万元，按一等奖、二等
奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”，已知三等奖奖金为64万元，
二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为131.2万元，则“衰分比”与 的
值分别是( )
A.， B.， C.， D.，
√
[解析] 设“衰分比”为，一等奖衰分得万元，则 ，
， ，解得
，， .故选B.
探究点二 等比数列的判定与证明
例2 设数列的前项和为，， .
（1）证明：数列 是等比数列；
［思路点拨］由可得 ，
再通过化简结合等比数列的定义即可证明；
证明： ，
，
即 ，
即 ，
即，即 ，
又， 数列 是首项为3，公比为3的等比
数列.
（2）求 的通项公式.
［思路点拨］先结合（1）求出，再根据
时求出，最后验证 即可.
解：由（1）知，即，
当 时， ，
则 ，
又也适合上式，, .
[总结反思]
判定一个数列为等比数列的常见方法:
（1）定义法:若（是非零常数）,则数列是等比数列.
（2）等比中项法:若,则数列是等比数列.
（3）通项公式法:若（,为非零常数）,则数列是等比
数列.
解：因为，所以 ，则
，
又 ，所以数列{是以 为首项，
2为公比的等比数列，
则 ，所以 .
变式题 已知数列满足， .证明数列
{是等比数列，并求数列 的通项公式.
探究点三 等比数列性质的应用
角度1 等比数列项的性质
例3（1）[2024·陕西咸阳模拟]已知数列的前项和为 ，且等比
数列满足，若，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
［思路点拨］设等比数列的公比为，根据题意求得 ，结
合对数运算性质有 ，即可求解.
√
[解析] 设等比数列的公比为，因为 ，
所以 .故选D.
（2）在等比数列中， ,，
则数列的公比 ___.
2
［思路点拨］根据等比数列的性质求得，进而求得 .
[解析] ，故 ，所以
，所以 .
[总结反思]
根据等比数列的通项公式和等比数列项的性质“若，则
，其中,,,.特别地，若，则
，其中,,”可减少运算量.
[解析] 若，则有 ，故充分
性成立；
若，即，即 ，则
或，故必要性不成立.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
变式题（1）记等比数列的前项之积为，则“ ”是
“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
（2）已知数列 是各项都为正数的等比数列，若
，，则 __.
[解析] 易知
，
由等比数列的性质可得 ，
，，又， .
角度2 等比数列前 项和的性质
例4（1）[2024·湖北襄阳模拟]已知等比数列的前项和为 ，若
，且，则 ( )
A.40 B. C.30 D. 或40
［思路点拨］根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片
段和等比数列的公比即可得解.
√
[解析] 因为，且，所以 ，
，故，
所以 ，即，
解得或 （舍去）.
由等比数列前项和的性质可知，,,成等比数列，
公比为 ，所以，解得 ，故选A.
（2）已知为等比数列的前项和，若，则 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
［思路点拨］根据等比数列前 项和的性质计算即可.
[解析] 因为为等比数列的前项和，所以,, ,
,,成等比数列，
由，得 ，则，所以，
所以， ，所以，，
所以 ，，
所以，所以 .故选C.
√
[总结反思]
等比数列前项和的性质：若等比数列的前项和为，则，
，仍成等比数列（当为偶数时，的公比
）．
[解析] 由题知，，，因为数列,, ,
成等比数列，所以, ，
所以 .故选D.
变式题（1）[2024·石家庄模拟]已知数列是等比数列， 为其前
项和，若，，则 ( )
A.27 B.39 C.81 D.120
√
（2）设等比数列的前项和是，已知, ，则
____.
13
[解析] 因为是等比数列的前项和且，所以 ，
，也成等比数列，则 .
因为,，所以 ，解得
，所以 .
角度3 等比数列的最值
例5 （多选题）[2024·湖北宜荆荆随恩二模] 无穷等比数列 的首
项为，公比为，下列条件能使 既有最大值又有最小值的有
( )
A.， B.，
C.， D.，
［思路点拨］ 结合选项，利用等比数列的增减性分析判断即可.
√
√
[解析] 当，时，等比数列递减，故 只有最
大值，没有最小值；
当，时，等比数列 为摆动数列，此时为最大值，
为最小值；
当， 时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列既有最大值又有最小值；
当，时，因为 ，所以的奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.故选 .
[总结反思]
1.等比数列的最值可类比等差数列最值的求解思想，多借助函数思想
或是数列的增减性处理.
2.等比数列满足或时，是递增数列；满
足或时，是递减数列.
变式题 在等比数列中，若， ，则当
取得最大值时， ___.
6
[解析] 在等比数列中，， ，所以公比
，
所以，解得 ，故.
易知数列递减，且 ，因为，，
所以当时，，当 时，，
所以当取得最大值时， .
【备选理由】例1考查等比中项、等比数列通项公式以及前 项和公
式计算，侧重基本量计算问题；
例1 ［配例1使用］ [2024·福建宁德期中] 设各项都为正数的等比数
列的前项和为，若，，则
( )
A.9 B.8 C.7 D.6
√
[解析] 因为是各项都为正数的等比数列，所以 ，则
可化为，解得 或
（舍去）.
设等比数列的公比为 ，则，得,
所以 ，则 .故选A.
例2［配例2使用］（多选题）[2024·河南安阳一中检测] 数列
满足：，， ，则下列说法正确的是
( )
A.数列 为等比数列
B.
C.数列 是递减数列
D.数列的前项和
√
√
【备选理由】例2根据递推关系考查等比数列的证明、通项公式、
前 项和公式及数列增减性的判断，侧重基础知识的综合应用；
[解析] ， ，
，
又， 数列是首项为 ，公比为3的等比数列，
故A正确；
，，故B正确；
数列 是递增数列，故C错误；
数列的前项和为，
数列的前项和 ，故D错误.
故选 .
例3 ［配例2使用］ [2024·河北邢台期末] 已知数列 满足
， .
（1）证明是等比数列，并求数列 的通项公式；
解：由得，而 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，
则 ，
所以数列的通项公式是 .
【备选理由】例3考查等比数列的判定，结合放缩思想利用等比数列求
和公式进行不等式证明；
（2）证明： .
证明：由（1）知 ，
所以 .
例4 ［配例4使用］ [2024·湖南邵阳模拟] 记 为公比小于1的等比
数列的前项和，若，，则 ( )
A.6 B.3 C.1 D.
[解析] 依题意，,,, 成等比数列，其首项为2，
设其公比为，则, ,
，
由，得 ，整理得，
由等比数列的公比 小于1，得，所以，
所以 .故选B.
√
【备选理由】例4考查等比数列前 项和的性质；
例5 ［配例5使用］ 已知为各项都是正数的等比数列的前 项
和，若，则 的最小值是___.
8
[解析] 方法一：根据等比数列的性质，可得,, 构成
等比数列，所以，所以 .
因为，即 ，所以
，当且
仅当时，等号成立，所以 的最小值为8.
【备选理由】例5考查与等比数列相关的最值问题，作为对例5的补充.
方法二：设等比数列的公比为，由题知 .
因为，所以 ，
即，可得，
由得 ，
由 ，
当且仅当时取等号，所以 的最小值为8.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知等比数列的前项和为，， ，
则 ( )
A.62 B.50 C.40 D.22
[解析] 设数列的公比为，由题意可得 解得
则 .故选A.
√
2.[2025·山东德州模拟]在各项均为正数的等比数列 中，
，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为数列为等比数列，且 ，所以
，
所以 ，故选C.
√
3.[2024·河北廊坊期中]已知等比数列的前项和为 ,
,，则 ( )
A.18 B.54 C.128 D.192
[解析] 设等比数列的公比为 ，则
，解得
.故选D.
√
4.数列中，“”是“ 是公比为2的等比数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 对数列，，若 ，则可得
，此时不是公比为2的等比数列；
若 是公比为2的等比数列，则，即.
故“ ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，
故选B.
√
5.[2024·湖北武汉模拟]记等比数列的前项和为，若 ,
，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为等比数列的前项和为，所以,, 成
等比数列，
则 ，即，
解得或.
设等比数列 的公比为，则，，
则 ，得 .故选B.
√
6.已知数列满足,,则 的值为____.
32
[解析] 因为，所以 ，两式相除得
，故数列是公比为2的等比数列，
由 ，得 .
7.[2024·保定二模] 在等比数列中，, ，
则 ____.
[解析] 设等比数列的公比为，由, ，
得，
由，得 ，所以
.
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·江西宜春二模]月相是指天文学中对于地球上看到的月球被
太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块
巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为 ，
其将满月等分成240份，且表示第 天月球被太
阳照亮部分所占满月的份数，例如，第1天月球被太阳照亮部分占满
月的，即；第15天为满月，即.已知 的第1项
到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为 的等差数
列，且， 均为正整数，则该数列前5项的和为( )
A.124 B.155 C.186 D.217
√
[解析] 由题意得 ，.
当时， 不是正整数；
当时，；
当时，， 不是正整数.
所以，，所以该数列前5项的和为 .故选B.
9.[2024·浙江宁波九校联考]若数列为等比数列，则“ ”是“
”的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
[解析] 设数列的公比为，由，得 ，则
，
所以 ，当且仅当，即时取等号，
故充分性成立；
，即，若，则 ，故必要性不成立.故选C.
√
10.（多选题）已知数列的前项和为 ，则下列结论正确的是
( )
A.若，则 是等比数列
B.若是等比数列，则
C.若，则 是等比数列
D.若是等比数列，且，则
√
√
√
[解析] 当时，满足，但 不是等比数列，故A错误.
由等比数列的性质可知，故B正确.
由 ，得，则，
当 时，，则，从而可知 是等比数列，
故C正确.
由，得,, ，由等比
数列的性质可知，
又, ，所以，
解得，结合C选项可知此时 为等比数列，故D正确.故选 .
11.（多选题）[2024·湖南长沙模拟] 设等比数列的公比为，前
项积为 ，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，且为数列中唯一最大项，则
D.若，且，则使得成立的 的最大值为20
[解析] 若，则 ，可得
，即选项A错误.
√
√
√
，即选项B正确.
若 ，且是数列中唯一最大项，当 时，
，不合题意；
当时，由可得即 解得
，即选项C正确.
若，当 时，
， ，不满足，不合题意；
当时，由可得 ，，，
所以，，则 为递减数列，
因此当,时，，当,时， ，
因此当,时，为递增数列，当,时，
为递减数列，
又， ，
，所以使得成立的 的最大值
为20，即选项D正确.故选 .
12.[2024·山东淄博一模] 已知等比数列共有项， ，
所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比 ___.
2
[解析] 依题意， ，即
，而 ，所以
.
13.若各项都为正数的等比数列的前项和为，且 ，
则 的最小值为____.
20
[解析] 由，得.
因为 的各项都是正数，所以，， 也成等比数列，
所以 ，
则 ，
当且仅当，即时取等号，
又 ，所以 的最小值为20.
14.已知公比大于1的等比数列满足， .
（1）求 的通项公式；
解：设的公比为.由题设得， ，解得
（舍去），.
由题设得，所以 的通项公式为 .
（2）记为在区间中的项的个数，求数列
的前100项和 .
解：由题设及（1）知，且当时， ，
所以
.
15.已知数列的首项，且满足 .
（1）求证：数列 为等比数列；
证明：因为，所以 ，
所以，
又 ，
所以数列是以为首项， 为公比的等比数列.
（2）若，求 .
解：由（1）知，得 ，
所以
.
◆ 能力拓展 ◆
16.（多选题）在数列中，若
（其中，，且，为常数），则称数列为 级等积
数列，为数列的公积.下列对“ 级等积数列”的判断正确的有
( )
A.数列 是2级等积数列
B.数列 是4级等积数列
C.若为级等积数列，则也是 级等积数列
D.若为级等积数列，则也是 级等积数列
√
√
[解析] 对于A，因为 ，
所以数列 是2级等积数列，故A正确；
对于B，设
，
若数列是4级等积数列，则 ，
但 ，矛盾，故B错误；
对于C，由题意，若 为级等积数列，则，
即或，所以 不一定是级等积数列，故C错误；
对于D，由题意，若为 级等积数列，则，
从而，所以也是 级等积数列，故D正确.故选 .
17.[2025·江苏南通质检] 如图，正方形 的边长为5，取正方形
各边的中点，，，，作第二个正方形 ，然后再取
正方形各边的中点，，，，作第三个正方形 ，依此方
法一直继续下去，则所有正方形的面积之和趋近于____.
50
[解析] 记第个正方形的面积为，第 个正方
形的边长为，则第 个正方形的对角线长为
，
所以第 个正方形的边长为，
所以，
所以数列 是首项为，
公比为 的等比数列，所以，
所以 ，所以，
所以数列 是首项为，公比为 的等比数列，所以
，
所以若这个作图过程可以一直继续下去，则所
有正方形的面积之和将趋近于常数50.
【知识聚焦】1.q an=a1qn-1 an=amqn-m(n,m∈N*) na1
2.(1)am·qn-m (2)ap·aq
【对点演练】1.-3或 2.2 -2 3.3 4.4 5. 6.28
课堂考点探究
例1(1)C (2)2 变式题(1)C (2)B 例2(1) 略 (2)an=4n·3n-1
变式题 证明略，an=+1 例3(1)D (2)2 变式题(1)A (2) 例4(1)A (2)C
变式题(1)D (2)13 例5BC 变式题6
教师备用习题
例1A 例2 AB 例3(1)证明略，an=2×3n-1+1 (2) 略 例4B 例5 8
基础热身
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.32 7.-3
综合提升
8.B 9.C 10.BCD 11.BCD 12.2 13.20 14. (1)an=2n (2)S100=480
15.(1)略 (2)Sn=1-+n
能力拓展
16.AD 17.50 