培优专题(四) 数列中的交汇与创新问题
例1 A [解析] an=1+2+3+…++=.对于选项A,an+an+1=+=(n+1)2,A正确;易知B错误;对于选项C,当n=3时,a1+a2+a3=10≠=1,C错误;对于选项D,当n=3时,a1+a2+a3=10≠=6,D错误.故选A.
【自测题】
C [解析] 用(s,t)表示每一项,可知第一行的数对应(0,1);第二行从左至右的数分别对应(0,2),(1,2);第三行从左至右的数分别对应(0,3),(1,3),(2,3);依次类推,可知第n行从左至右第k个数对应(k-1,n),且第n行共有n个数.对于A,第四行从左至右的数分别对应(0,4),(1,4),(2,4),(3,4),即第四行的数为17,18,20,24,A中结论正确;对于B,对应第n行从左至右第n个数,即对应(n-1,n),故=2n-1+2n=3×2n-1,B中结论正确;对于C,对应第n行从左至右第1个数,即对应(0,n),故=20+2n=2n+1,C中结论错误;对于D,a100对应第14行从左至右第9个数,即对应(8,14),故a100=28+214=16 640,D中结论正确.故选C.
例2 解:(1)由题得xn=-+(n-1)×(-1)=-n-,因为点Pn(xn,yn)在函数y=3x+的图象上,所以yn=3·xn+=-3n-,
所以Pn.
(2)因为抛物线cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,所以设cn的方程为y=a-,把Dn(0,n2+1)的坐标代入抛物线cn的方程,得a=1,所以抛物线cn的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1,则kn=2n+3.
因为==
,所以++…+===-.
(3)由(1)得S={x|x=-(2n+3),n∈N*},T={y|y=-[2(6n+1)+3],n∈N*},所以a1=-17.
设{an}的公差为d,则a10=-17+9d∈(-265,-125),可得-
又an∈T,所以d=-12m(m∈N*),则d=-24,所以an=7-24n(n∈N*).
【自测题】
解:(1)双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,不妨令直线l:y=x.由已知可得yn=xn-1(n≥2),又点An(xn,yn)在双曲线上,所以-=1,即-=1(n≥2),所以{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,即xn=.
(2)证明:由题知Ai(xi,yi),则有-=1,当切线斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y=k(x-xi)+yi,代入双曲线C的方程,得(1-k2)x2-2k(yi-kxi)x-(yi-kxi)2-1=0,由Δ=0,得k2-2xiyik+=0,解得k=,即切线方程为xix-yiy=1,
当切线斜率不存在时,切点为A1(1,0),切线方程为x=1,也满足上式.
由可得x=y===+,
不妨取Mi(+,+).
由可得x=-y===-,
则Ni(-,-),所以|MiNi|==2,所以ai==
,bi=.
先证右边:bi==
<=,所以bi=+…+<++…+=,右边得证.
下面证左边:先证x>ln(1+x)(x>0),令f(x)=x-ln(x+1)(x>0),则f'(x)=1-=>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即当x>0时,x>ln(1+x),所以bi=>ln=ln.
当i≥2时,2+1≥2,
证明如下:(2+1)2-
(2)2=4(2i+1)+4+1-4(2i+3)=4-7≥4-7>0,所以ln>ln=ln,所以当n≥2时,bi=++…+>+ln+…+ln=+ln,当n=1时,b1=,所以bi≥+ln,左边得证.所以命题得证.
例3 解:(1)证明:∵{an}是等差数列,∴设an=a1+(n-1)d=[a1-1+(n-1)d]+1,令bn=a1-1+(n-1)d,cn=1,则{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,∴数列{an}是“优分解”的.
(2)证明:数列{an}是“优分解”的,设an=bn+cn(n∈N*),其中bn=b1+(n-1)d,cn=c1qn-1(c1≠0,q≠0),则Δan=an+1-an=d+c1qn-1(q-1),则Δ2an=Δan+1-Δan=c1qn-1(q-1)2.
当q=1时,Δ2an=0(n∈N*);
当q≠1时,{Δ2an}是首项为c1(q-1)2,公比为q的等比数列.
(3)一方面,数列{Sn}是“优分解”的,设Sn=Bn+Cn(n∈N*),其中Bn=B1+(n-1)D,Cn=C1Qn-1(C1≠0,Q≠0),由(2)知Δ2Sn=C1Qn-1(Q-1)2.
∵ΔS1=S2-S1=a2=4,ΔS2=S3-S2=a3=6,∴Δ2S1=ΔS2-ΔS1=2,∴C1(Q-1)2=2,∴Q≠1,∴{Δ2Sn}是首项为2,公比为Q(Q≠1)的等比数列.
另一方面,数列{an}是“优分解”的,设an=bn+cn(n∈N*),其中bn=b1+(n-1)d,cn=c1qn-1(c1≠0,q≠0),
ΔSn=Sn+1-Sn=an+1,Δ2Sn=ΔSn+1-ΔSn=an+2-an+1=d+c1qn(q-1).
∵{Δ2Sn}是首项为2,公比为Q(Q≠1)的等比数列,∴q≠0,q≠1,且(Δ2S2)2=(Δ2S1)·(Δ2S3),∴[d+c1q2(q-1)]2=[d+c1q(q-1)]·[d+c1q3(q-1)],化简得c1dq(q-1)3=0,∵c1≠0,q≠0,q≠1,∴d=0,∴Δan=an+1-an=c1qn-1(q-1),即数列{Δan}是首项为Δa1=a2-a1=1,公比为q的等比数列.又∵Δa2=a3-a2=2,∴q=2.∵Δ2S1=2,∴d+c1q(q-1)=2,又∵d=0,q=2,∴c1=1,∴b1=a1-c1=3-1=2.综上所述,an=b1+(n-1)d+c1qn-1=2+2n-1.
【自测题】
C [解析] 对于选项A,B,取an=1,可知{an}既为等差数列也为等比数列,则a1+a2=2,不存在m∈N*,使得am=2,所以{an}不为内和数列,故A,B错误;对于选项C,an>0,对任意n1,n2∈N*,n10,即>,又内和数列{an}为递增数列,可知m2>m1,所以其伴随数列{bn}为递增数列,故C正确;对于选项D,例如数列{an}为2,1,3,4,5,…,显然{an}是所有正整数的排列,可知{an}为内和数列,且{an}的伴随数列为递增数列,但{an}不是递增数列,故D错误.故选C.培优专题(四) 数列中的交汇与创新问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,而数列与其他知识的交汇备受青睐,如2024年新课标Ⅰ卷第19题考查的是数列与概率的交汇,2024年新课标Ⅱ卷第19题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题将探究数列中交汇与创新问题.
1.新定义问题的解题策略
新定义问题多指新概念,新运算,新情景,遇到此类问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使得问题得以解决.
2.新数列问题的解题策略
新数列问题的解题关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等,将新数列转化为等差或等比数列,或者找到新数列的递推关系进行求解.
类型一 数列与杨辉三角综合
例1 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家,著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质可以解决很多数学问题,如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
1+1+1+…+1=n;
1+2+3+…+=.
若杨辉三角中第三斜行的数1,3,6,10,15,…构成数列{an},则下列关于数列{an}叙述正确的是 ( )
A.an+an+1=(n+1)2
B.an+an+1=n2
C.数列{an}的前n项和为
D.数列{an}的前n项和为
总结反思
解数列与杨辉三角综合问题的关键是能够根据数字排列的规律总结得到第n行从左至右第k个数对应的项,通过项与项之间的规律确定递推关系,再利用数列知识求解.
自测题
杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中记录了一种三角形数表,称之为“开方作法本源”图,即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角,它是将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成的,其中{an}是集合{2s+2t|0≤sA.第四行的数是17,18,20,24
B.=3×2n-1
C.=2n+1
D.a100=16 640
类型二 数列与圆锥曲线综合
例2 在平面直角坐标系内有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+的图象上,且Pn的横坐标构成以-为首项,-1为公差的等差数列{xn}.
(1)求点Pn的坐标.
(2)设抛物线列c1,c2,c3,…,cn中每一条抛物线的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求++…+.
(3)设S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列{an}中的项an∈S∩T,其中a1是S∩T中的最大数,若-265
总结反思
数列与圆锥曲线综合问题关键是通过圆锥曲线中点、线变化时,点的坐标或直线的斜率、距离等的生成过程,找到数列的递推关系.
自测题
已知双曲线C:x2-y2=1,直线l为其一条渐近线,A1为双曲线的右顶点,过A1作x轴的垂线交l于点B1,再过B1作y轴的垂线交双曲线右支于点A2,重复刚才的操作得到B2,A3,B3,…,An,Bn,…,记An(xn,yn).
(1)求{xn}的通项公式;
(2)过Ai作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于点Mi,Ni,记ai=,bi=ai+1,求证:+ln≤bi<.
类型三 数列新定义问题
例3 [2025·湖南雅礼中学月考] 对于数列{an},若存在等差数列{bn}和等比数列{cn},使得an=bn+cn(n∈N*),则称数列{an}是“优分解”的.
(1)证明:若{an}是等差数列,则{an}是“优分解”的.
(2)记Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*),证明:如果数列{an}是“优分解”的,则Δ2an=0(n∈N*)或数列{Δ2an}是等比数列.
(3)设数列{an}的前n项和为Sn,如果{an}和{Sn}都是“优分解”的,并且a1=3,a2=4,a3=6,求{an}的通项公式.
总结反思
解决数列中的新定义问题的一般流程
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义.
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论.
(3)能通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案.
(4)联系等差数列与等比数列知识,将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
自测题
[2024·北京东城区二模] 已知无穷数列{an}的各项均为正数,如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数m,使得am=a1+a2+a3+…+an,那么称{an}为内和数列,并令bn=m,称{bn}为{an}的伴随数列.下列说法正确的是 ( )
A.若{an}为等差数列,则{an}为内和数列
B.若{an}为等比数列,则{an}为内和数列
C.若内和数列{an}为递增数列,则其伴随数列{bn}为递增数列
D.若内和数列{an}的伴随数列{bn}为递增数列,则{an}为递增数列培优专训(四) 数列中的交汇与创新问题
1.B [解析] 由一次函数y=f(x)的图象在坐标轴上的截距相等且不为零,可设x+y=a(a≠0),又f(x)的图象经过点P(1,-2),则1+(-2)=a,解得a=-1,所以x+y=-1,即f(x)=-x-1,可得an=f(n)f(n+1)=(n+1)(n+2),则==-,则Sn=-+-+…+-=-,由Sn=-=,解得n=20.故选B.
2.B [解析] 记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴=+1,即是以=2为首项,1为公差的等差数列,∴=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)·2n-2,又每行比上一行的数字少1个,∴最后一行为第2018行,∴M=a2018=2019×22016.故选B.
3.BC [解析] 对于A,由an=n2+n,得Δan=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,显然Δan有最小值4,无最大值,因此不存在M>0,使得Δan2时,Δ2an0,得数列{bn}是递增数列,bn有最小值1,无最大值,从而对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>M,C正确;对于D,Δ2bn=(n+3)·2n-(n+2)·2n-1=(n+4)·2n-1,由选项C得=1+,显然数列是递减数列,0<1+≤5,因此对任意M>0,不存在n∈N*,使得>M成立,D错误.故选BC.
4.解:(1)因为7=1+2+22,所以φ(7)=1+1+1=3.
(2)证明:设2n+1=a0+a1·2+…+ak·2k,即φ(2n+1)=a0+a1+…+ak,
则4n+3=2(2n+1)+1=1+a0·2+a1·22+…+ak·2k+1,所以φ(4n+3)=1+a0+a1+…+ak=φ(2n+1)+1.
(3)因为3·2n-1=2n+1+2n-1=2n+1+1+2+22+…+2n-1,
所以φ(3·2n-1)=n+1,因此数列{φ(3·2n-1)}的前n项和Sn=·n=.
从而{an}与{bn}不是无穷互补数列.
(2)因为a4=16,所以b16=16+4=20,所以数列{bn}的前16项和为(1+2+…+20)-(2+22+23+24)=×20-(25-2)=180.
(3)设{an}的公差为d,d∈N*,则a16=a1+15d=36.
由a1=36-15d≥1,得d=1或2.
若d=1,则a1=21,an=n+20,与“{an}与{bn}是无穷互补数列”矛盾;若d=2,则a1=6,an=2n+4,bn=
综上,an=2n+4,bn=
6.解:(1)由“杨辉三角”的定义可知,a1=1,当n≥2时,an-an-1=n.
因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,所以an=n+(n-1)+…+2+1=,
上式对a1=1也成立,所以an=,n∈N*.
(2)证明:由题意可得bn=,所以bn=n·,
设Tn=b1+b2+b3+…+bn,则Tn=1×+2×+…+n×①,所以Tn=1×+2×+…+n×②,
由①-②可得Tn=+++…+-n×,
所以Tn=-n·,即Tn=1--n·=1-,
即Tn=2-(n+2),所以b1+b2+b3+…+bn=2-,又因为>0,所以b1+b2+b3+…+bn<2.
7.解:(1)将点An(an,)的坐标代入抛物线方程y2=x+1中,得an+1=an+1,∴an+1-an=1(n≥1),∴数列{an}是等差数列,∴an=6+(n-1)×1,即an=n+5.∵m=(1,2)为直线l的方向向量,∴直线l的斜率k=2,∴直线l的方程为y=2x+1,∵点Bn(n,bn)在直线l上, ∴bn=2n+1.
(2)由(1)知f(n)=
①当k是偶数时,k+27是奇数,
由f(k+27)=4f(k)得k+27+5=4(2k+1),即k=4;
②当k是奇数时,k+27是偶数,
由f(k+27)=4f(k)得2(k+27)+1=4(k+5),即k=(舍去).
故存在唯一的k=4满足题意.
(3)由题知≤
,
即a≤.
设g(n)=,
则g(n+1)=
,
∴===>1,∴g(n+1)>g(n),即数列{g(n)}是递增数列,
∴g(n)min=g(1)=,∴0(时间:45分钟)
1.[2024·武汉新洲区质检] 已知一次函数y=f(x)的图象在坐标轴上的截距相等且不为零,且经过点P(1,-2),令an=f(n)f(n+1),n∈N*,记数列的前n项和为Sn,当Sn=时,n的值为 ( )
A.19 B.20
C.21 D.22
2.将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,…,2018,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,则M= ( )
A.2018×22015 B.2019×22016
C.2018×22016 D.2019×22017
3.(多选题)给定数列{an},定义差分运算:Δan=an+1-an,Δ2an=Δan+1-Δan,n∈N*.若数列{an}满足an=n2+n,数列{bn}的首项为1,且Δbn=(n+2)·2n-1,n∈N*,则 ( )
A.存在M>0,使得ΔanB.存在M>0,使得Δ2anC.对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>M
D.对任意M>0,总存在n∈N*,使得>M
4.[2025·东北三省联考] 二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统,在这一系统中通常用两个不同的符号0,1来表示数.如果十进制中的整数n=ak·2k+ak-1·2k-1+…+a1·2+a0(ai∈{0,1},i=0,1,…,k),则这个数在二进制下记为akak-1…a1a0,即(n)10=.记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为φ(n),即φ(n)=a0+a1+…+ak.
(1)计算φ(7);
(2)证明:φ(4n+3)=φ(2n+1)+1;
(3)求数列{φ(3·2n-1)}的前n项和Sn.
5.[2024·江苏海门调研] 对于无穷数列{an}与{bn},记A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},若同时满足条件:①{an},{bn}均递增;②A∩B= 且A∪B=N*,则称{an}与{bn}是无穷互补数列.
(1)若an=2n-1,bn=4n-2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列,并说明理由;
(2)若an=2n,且{an}与{bn}是无穷互补数列,求数列{bn}的前16项和;
(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列,{an}为等差数列,且a16=36,求{an}与{bn}的通项公式.
6.在人教版高中数学教材选择性必修三中,我们探究过“杨辉三角”(如图所示)所蕴含的二项式系数性质,也了解到在我国古代“杨辉三角”是解决很多数学问题的有力工具.
(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出,并按原来的顺序排列可得一数列{an}:1,3,6,10,15,…,请写出an与an-1(n∈N*,n≥2)的递推关系式,并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,证明:b1+b2+b3+…+bn<2.
7.已知各项均为正数的数列{an}中,a1=6,点An(an,)在抛物线y2=x+1上.数列{bn}中,点Bn(n,bn)在经过点(0,1)且以m=(1,2)为方向向量的直线l上.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)若f(n)=则是否存在k∈N*,使得f(k+27)=4f(k)成立 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
(3)若对任意的正整数n,不等式-≤0恒成立,求正数a的取值范围.(共77张PPT)
培优专题（四） 数列中的交汇与创
新问题
类型一
类型二
类型三
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列
解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,而数列与其他知识的
交汇备受青睐,如2024年新课标Ⅰ卷第19题考查的是数列与概率的交汇,
2024年新课标Ⅱ卷第19题考查的是数列与解析几何的交汇,本专题将
探究数列中交汇与创新问题.
1.新定义问题的解题策略
新定义问题多指新概念，新运算，新情景，遇到此类问题，应耐心
读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求“照
章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
2.新数列问题的解题策略
新数列问题的解题关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、
新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新
数列的递推关系进行求解.
类型一 数列与杨辉三角综合
例1 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解
九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲
早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自
豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质可以解决
很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
.
若杨辉三角中第三斜行的数1，3，6，10，15， 构成数列 ，则
下列关于数列 叙述正确的是( )
A. B.
C.数列的前项和为 D.数列的前项和为
[解析] .
对于选项A， ，A正确；
易知B错误；
对于选项C，当时， ，C错误；
对于选项D，当时， ，D错误.故选A.
√
[总结反思]
解数列与杨辉三角综合问题的关键是能够根据数字排列的规律总结
得到第行从左至右第个数对应的项，通过项与项之间的规律确定
递推关系，再利用数列知识求解.
自测题 杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书
中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，
即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，
A.第四行的数是17，18，20，24 B.
C. D.
它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中
是集合且, } 中所有的数从小到大排列的数列，
，，，，， ，则下列结论错误的
是 ( )
√
[解析] 用表示每一项，可知第一行的数对应 ；
第二行从左至右的数分别对应， ；第三行从
左至右的数分别对应，， ；
依次类推，可知第行从左至右第个数对应，
且第行共有 个数.
对于A，第四行从左至右的数分别对应，，， ，
即第四行的数为17，18，20，24，A中结论正确；
对于B，对应第 行从左至右第个数，即对应 ，
故 ，B中结论正确；
对于C，对应第 行从左至右第1个数，即对应
，故 ，C中结论错误；
对于D， 对应第14行从左至右第9个数，即对应
，故 ，D中结论正确.
故选C.
类型二 数列与圆锥曲线综合
例2 在平面直角坐标系内有一系列点,， ,
，对一切正整数，点在函数的图象上，且
的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列 .
（1）求点 的坐标.
解：由题得，因为点
在函数的图象上，所以 ，
所以 .
（2）设抛物线列,,, ,中每一条抛物线的对称轴都垂直于
轴，第条抛物线的顶点为，且过点 ，记与抛物线
相切于的直线的斜率为，求 .
解：因为抛物线的对称轴垂直于轴，且顶点为，所以设 的方
程为,
把的坐标代入抛物线 的方程，得，所以抛物线 的方程为，则 .
因为
，所以 .
（3）设,,, ，等差数列
中的项，其中是 中的最大数，若
，求 的通项公式.
解：由（1）得, ，
,，所以 .
设的公差为，则 ，可得
，
又，所以，则 ，所以
.
[总结反思]
数列与圆锥曲线综合问题关键是通过圆锥曲线中点、线变化时，点
的坐标或直线的斜率、距离等的生成过程，找到数列的递推关系.
自测题 已知双曲线,直线为其一条渐近线, 为双曲
线的右顶点,过作轴的垂线交于点,再过作 轴的垂线交双曲
线右支于点,重复刚才的操作得到,,, ,,, ,记
.
（1）求 的通项公式；
解：双曲线 的渐近线方程为
,不妨令直线 .
由已知可得,
又点 在双曲线上,
所以,即 ,
所以是以为首项,1为公差的等差数列, 所以，
即 .
（2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于点, ,记
,,求证： .
证明：由题知,则有 ,当切线斜率存在时，设斜率
为,则切线方程为,代入双曲线 的方程,得
,
由 ,得,解得,即切线方程为
,
当切线斜率不存在时，切点为，切线方程为 ，也满足上式.
由可得 ,
不妨取 .
由可得 ,
则 ,
所以,所以
, .
先证右边： ,所
以 ,右边得证.
下面证左边：先证 ,令
,则,所以
在上单调递增,
所以,即当 时,,所以 .
当时, ,
证明如下： ，
所以,所以当 时，
,
当时,，所以 ,左边得证.所以命题
得证.
类型三 数列新定义问题
例3 [2025·湖南雅礼中学月考] 对于数列，若存在等差数列
和等比数列，使得，则称数列 是“优分
解”的.
（1）证明：若是等差数列，则 是“优分解”的.
证明：是等差数列， 设
，
令,，则是等差数列， 是等比数
列， 数列 是“优分解”的.
（2）记， ，证明：如果
数列是“优分解”的，则或数列{ 是等比数列.
证明：数列是“优分解”的，设 ，其中
, ，则
,则
.
当时， ；
当时，是首项为，公比为 的等比数列.
（3）设数列的前项和为，如果和 都是“优分解”的，
并且，，，求 的通项公式.
解：一方面，数列是“优分解”的，设 ，其
中, ，由（2）知
.
, ，
，,, 是首项
为2，公比为 的等比数列.
另一方面，数列是“优分解”的，设 ，其中
, ，
,
.
是首项为2，公比为的等比数列，, ，
且
，化简得,
, , ,,，即数列{ 是首项为，公比为 的等比数列.
,
, ,
又,,, .
综上所述， .
[总结反思]
解决数列中的新定义问题的一般流程
（1）读懂定义，理解新定义数列的含义.
（2）特殊分析，比如先对，2，3， 的情况进行讨论.
（3）能通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数
列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，
注重转化，合理设计解题方案.
（4）联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉
的知识进行求解.
自测题 [2024·北京东城区二模]已知无穷数列 的各项均为正数，
如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数 ，使得
，那么称为内和数列，并令 ，
称为 的伴随数列.下列说法正确的是( )
A.若为等差数列，则 为内和数列
B.若为等比数列，则 为内和数列
C.若内和数列为递增数列，则其伴随数列 为递增数列
D.若内和数列的伴随数列为递增数列，则 为递增数列
√
[解析] 对于选项A，B，取，可知 既为等差数列也为等比
数列，则，不存在，使得，所以 不为
内和数列，故A，B错误；
对于选项C，，对任意, ，，可知
存在, ，使得,
，则，
即 ，
又内和数列为递增数列，可知，所以其伴随数列 为
递增数列，故C正确；
对于选项D，例如数列为2,1,3,4,5, ，显然 是所有正整数的
排列，可知为内和数列，且 的伴随数列为递增数列，
但 不是递增数列，故D错误.故选C.
【备选理由】 解决数列中的交汇与创新问题，需要耐心读题，分析
题目的特点，结合所学知识逐一分析、证明、求解，下面几道题目
作为补充使用.
例1 数列有100项，，对任意 ，存在
，，若与前项中某一项相等，则称 具
有性质 .
（1）若，，求 的可能取值；
解：因为数列有100项， ，
对任意，存在， ，
所以若，，则当时， ；
当时，，则或 ；
当时，，则或 或
或 .
所以 的可能取值为3,5,7.
（2）若数列中不存在具有性质的项，求证： 是等差数列；
证明：，， .
当时，，则满足性质 ，矛盾；
当时，，不矛盾，所以 ；
以此类推， ，
当,2,3, ,时，分别等于，，， ，，则
满足性质 ，矛盾.
所以只能，即，不矛盾，即数列 是等差
数列.
（3）若数列中恰有三项具有性质，这三项和为，用，，
表示 .
解：将数列中具有性质的三项去掉，得到一个新的数列 ，
,, ，
且没有满足性质 的项.
由（2）可知，数列 是等差数列，
所以 ，
又因为数列中去掉的三项和为 ，所以
.
例2 在平面直角坐标系 中，我们
把点,, 称为自然点.按如
图所示的规则，将每个自然点 进
行赋值记为 ，例如
，, .
（1）求 ;
解：根据图形可知
.
（2）求证: ;
证明：固定，则 为一个高阶
等差数列，
且满足
，
则 ,
,
所以，
所以 ，
所以，当 时该式
也成立，
所以 ，
所以 .
（3）如果 满足方程
，求
的值.
解： ，
等价于 ，
等价于 ，
即 ，
化简得 ，
由于增大时， 也增大，
故当时， ，
当时， ，
故当时，，则, ，
即 .
例3 [2025·安徽蚌埠调研] 如果数列的任意相邻三项， ，
满足 ，则称该数列为“凸数列”.
（1）已知是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且
，，，记 .
①求数列的前项和 ；
解：设的公比为，的公差为 ，
由题意可得解得
因此 ，,故 ，
从而 ，
所以 ，
由 得
，
即 .
②判断数列 是不是“凸数列”，并证明你的结论.
解：由①得， ，
所以 ，
故数列 是“凸数列”.
（2）设项正数数列,, , 是“凸数列”，
求证：，其中 ，
.
证明：记 ，则原不等式等价于
，即 ，
因而只需证明 ，
因为 ，所以
，
故 ，
，
从而
，
即 ，结论得证.
作业手册
1.[2024·武汉新洲区质检]已知一次函数 的图象在坐标轴上的
截距相等且不为零，且经过点，令 ，
，记数列的前项和为，当时， 的值为( )
A.19 B.20 C.21 D.22
√
[解析] 由一次函数 的图象在坐标轴上的截距相等且不为零，
可设，
又的图象经过点 ，则，解得，
所以，即 ，
可得 ，则
，
则，由，
解得 .故选B.
2.将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1，2，
3， ，2018，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，
最后一行只有一个数，则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 记第行的第一个数为 ，则
， ，
，
， ，
，
，即是以 为首项，1为公差的等差数列，
，,
又每行比上一行的数字少1个， 最后一行为第2018行，
.故选B.
3.（多选题）给定数列，定义差分运算： ,
,.若数列满足，数列
的首项为1，且, ，则( )
A.存在，使得 恒成立
B.存在，使得 恒成立
C.对任意，总存在，使得
D.对任意，总存在，使得
√
√
[解析] 对于A，由 ，得
，显然 有最小值4，
无最大值，因此不存在，使得 恒成立，A错误；
对于B，由选项A知， ，则，显然当时， 恒成立，B正确；
对于C，由 ，得，
当 时， ,即 ，
，
两式相减得，因此，显然满足上式，则，
由 ，得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，从而对任意 ，总存在，使得 ，C正确；
对于D， ，由选项C得，显然数列是递减数列， ，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.故选 .
4.[2025· 东北三省联考] 二进制是在数学和数字电路中以2为基数的
记数系统，在这一系统中通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果
十进制中的整数
，
则这个数在二进制下记为 ，即
.记十进制下的整数 在二进制表示下的各
位数字之和为，即 .
（1）计算 ；
解：因为，所以 .
（2）证明： ；
证明：设 ，即
，
则 ，所
以 .
（3）求数列的前项和 .
解：因为，
所以，因此数列的前 项和
.
5.[2024·江苏海门调研] 对于无穷数列与 ，记
，，， ，若同时满足条
件：，均递增； 且，则称 与
是无穷互补数列.
（1）若，，判断与 是否为无穷互补
数列，并说明理由；
解：因为，，所以 ，
从而与 不是无穷互补数列.
（2）若，且与是无穷互补数列，求数列 的前16
项和；
解：因为，所以，
所以数列 的前16项和为
.
（3）若与是无穷互补数列，为等差数列，且 ，
求与 的通项公式.
解：设的公差为，，则 .
由，得 或2.
若，则，，与“与 是无穷互补数列”
矛盾；若，则，，
综上，，
6.在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”
（如图所示）所蕴含的二项式系数性质，也了解到在我国古代“杨辉
三角”是解决很多数学问题的有力工具.
（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得
一数列，3，6，10，15， ，请写出 与
的递推关系式，并求出数列 的通项公式；
解：由“杨辉三角”的定义可知，，当时， .
因为 ，所以
，
上式对也成立，所以， .
（2）设，证明： .
证明：由题意可得，所以 ，
设 ，则
，所以
，
由可得 ，
所以 ，即
，
即，
所以 ，又
因为，所以 .
7.已知各项均为正数的数列中，，点 在抛物
线上.数列中，点在经过点 且以
为方向向量的直线 上.
（1）求数列， 的通项公式.
解：将点的坐标代入抛物线方程 中，得
，， 数列 是等差数列，
，即
为直线 的方向向量， 直线的斜率，
直线的方程为， 点在直线上， .
（2）若则是否存在 ，使得
成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
解：由（1）知
①当是偶数时， 是奇数，
由得，即 ；
②当是奇数时， 是偶数，
由得，即
（舍去）.
故存在唯一的 满足题意.
（3）若对任意的正整数，不等式
恒成立，求正数 的取值范围.
解：由题知 ，即 .
设 ，
则 ,
,
，即数列 是递增数列,
， .
例1A 自测题C 例2-(3)an=7-24n(n∈N*)
自测题(1)xn= (2)略
例3(1)略 (2)略 (3) an=2+2n-1 自测题C
教师备用习题
例1(1)3,5,7 (2)略 (3)a1+a2+…+a100=97a+4656d+c
例2(1)P(x,1)= (2)略 (3)474
例3(1)①Sn=3-(n∈N*) ②是，证明略 (2)略
1.B 2.B 3.BC 4.(1)φ(7)=3 (2)略 (3)Sn=
5. (1)不是,理由略 (2)180 (3)an=2n+4,bn=
6. (1)当n≥2时,an-an-1=n. an=,n∈N*. (2)略
7. (1)an=n+5，bn=2n+1. (2)存在唯一的k=4满足题意. (3)0
