第七单元 立体几何
第42讲 空间几何体
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)平行 全等 平行 相似
平行且相等 一点 一点 平行四边形
三角形 梯形 (2)垂直 一点 一点
矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆
矩形 扇形 扇环
2.(1)斜二测画法 (2)①垂直
②分别平行于坐标轴 不变 一半
3.2πrl πrl π(r+r')l
4.S底h S底h 4πR2 πR3
【对点演练】
1.④ [解析] 对于①,经过不共面的四点的球,即为由这四个点组成的四面体的外接球,有且仅有一个,故①中说法正确;对于②,平行六面体的每个面都是平行四边形,故②中说法正确;对于③,正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直,故③中说法正确;对于④,棱台的每条侧棱延长后交于一点,侧棱有可能与底面垂直,故④中说法错误.
2.4 16 [解析] 根据题意,原图形△AOB的底边OB的长为4,高为16.
3.2 [解析] 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由条件得
∴3r2=12,∴r=2.
4. [解析] 由题意知,正四棱台上底面边长为2 cm,侧棱和下底面边长都是4 cm,如图,设正四棱台上、下底面中心分别为O1,O,连接O1O,O1B1,OB,结合正四棱台性质可知四边形O1OBB1为直角梯形,且OB=2,O1B1=,故O1O===,即正四棱台的高为,故正四棱台的体积为×(22+2×4+42)×=.
5.1∶47 [解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则截出的棱锥的体积V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.
6.24π2或36π2 [解析] 设圆柱的底面半径为r.若圆柱的母线长是6π,则4π=2πr,所以r=2,所以圆柱的体积为π×22×6π=24π2.若圆柱的母线长是4π,则6π=2πr,所以r=3,所以圆柱的体积为π×32×4π=36π2.故圆柱的体积是24π2或36π2.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据题意,由三角形面积公式求出B'D'的长,结合斜二测画法可得原图形中BD的长.
D [解析] 画出平面直角坐标系xOy(图②),在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A',在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在x轴上取OD=O'D',过点D作DB∥y轴,并使DB=2D'B',连接AB,BC,则△ABC即为原图形,如图②所示.原图形中,BD⊥AC于点D,则BD为原图形中AC边上的高,且BD=2B'D'.在图①中作B'E'⊥A'C'于点E',则S△A'B'C'=A'C'×B'E'=B'E'=,所以在直角三角形B'E'D'中,B'D'=B'E'=,所以BD=2B'D'=,故原图形中AC边上的高为 cm.故选D.
变式题 B [解析] 方法一:由已知求得O'C'=,把直观图还原为原图形如图,可得原图形为直角梯形,OA∥CB,OA⊥OC,且OA=1,BC=2,OC=2,则原四边形OABC的面积为×(1+2)×2=3.
方法二:由题意知A'B'=1,∴S直观图=×(1+2)×1=,∴S原图形=2S直观图=3.
例2 [思路点拨] (1)作出图形,将原问题转化为平面上两点间的距离最短问题,进而得解.(2)通过圆锥侧面展开图是半圆,求出圆锥母线长,再用侧面积公式计算即可.
(1)B (2)1 [解析] (1)将展开图还原成立体图形得到三棱柱ADI-BCJ,如图①.由已知可得,AI=4,DI=3,AD=5,易知△ADI为直角三角形且∠AID=90°.将三棱柱的上底面ADI沿DI翻折至平面IDCJ上,A,C在DI两侧,连接AC,如图②所示.因为AJ=8,CJ=3,所以AC==,则AK+CK的最小值为.故选B.
(2)如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,即r·l=2.由侧面展开图为半圆,可知πl2=2π,可得l=2,因此r=1.
变式题 (1)3.6 km
(2)2 [解析] (1)由题意,半径为2 km,山高为2 km,则母线长SA==8(km),底面圆周长为2π×2=4π(km),所以展开图的圆心角α==.如图是圆锥侧面展开图,结合题意,AB==10(km),由点S向AB引垂线,垂足为H,此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值,即点H为公路的最高点,HB即为下坡路段,则SB2=BH·AB,即36=10·BH,得BH=3.6 km,故下坡路段长为3.6 km.
(2)由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示,连接AA',则△AED的周长为AD+DE+EA',因为两点之间线段最短,所以当A,D,E,A'在一条直线上时,截面三角形AED的周长最小,最小值为AA'的长.因为∠APB=∠BPC=∠CPA'=30°,所以∠APA'=90°,因为PA=PA'=2,所以AA'===2,所以截面三角形AED周长的最小值为2.
例3 [思路点拨] (1)根据题意画出图形,结合图形求出圆锥的母线长和底面半径,即可求出圆锥的侧面积.(2)设正六边形的边长为a,根据正六边形的面积求出a2的值,结合题意知原正四面体的棱长为3a,即可计算出原正四面体的表面积.
(1)π (2)12 [解析] (1)如图所示,因为三棱锥O-PAB为正三棱锥,所以PA=PB=AB=,OA=OB=OP.因为PO⊥AO,PO⊥OB,所以由勾股定理得OA=OB=OP=1,则圆锥的底面半径r=1,母线长l=,则该圆锥的侧面积为πrl=π.
(2)设正六边形的边长为a,根据题意得6×a2=2,解得a2==,由题意可知原正四面体的棱长为3a,故原正四面体的表面积S=×(3a)2×4=12.
变式题 (1)D (2)26π [解析] (1)设圆台的母线长为l,因为该圆台的侧面积为3π,所以由圆台的侧面积公式可得πl(1+2)=3πl=3π,所以l=.设截去的小圆锥的母线长为l',则由三角形相似可得=,解得l'=,所以原圆锥的母线长为l'+l=+=2,故选D.
(2)设上底面的半径为r,则下底面的半径是3r,故轴截面的周长为16=4+4+2r+6r,解得r=1,所以上、下底面的面积分别为π,9π,圆台侧面积S侧=π(1+3)×4=16π,所以圆台的表面积为π+9π+16π=26π.
例4 [思路点拨] (1)设出底面半径,通过高结合侧面积相等,求出底面半径,然后求解圆锥的体积.(2)通过割补法将不规则图形转化为较为常见的图形来解决.
(1)B (2)C [解析] (1)设底面半径均为R,圆锥的母线长为l,则l=.由题可知2πR·=×2πRl,解得l=2,则=2,∴R=3,∴圆锥的体积V=πR2·=3π.故选B.
(2)用一个完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF组合在一起,使得D与L重合,E与M重合,F与N重合,因为AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,所以构成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的与侧棱垂直的截面(与三条侧棱都相交)是边长为1的等边三角形,侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,则VABC-DEF=VABC-HIJ=××1×1××4=.故选C.
变式题 (1)D (2)C (3)28
[解析] (1)设半球的半径为r,圆锥的高为h,由题意知=2,解得h=r.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为==.故选D.
(2)过E作EO⊥平面ABCD于O,过O作GH∥BC分别交AB,CD于G,H,连接EG,EH,记BC的中点为M,连接EM,OM,同理作出FJ,FI,IJ,如图.由题意可知∠EMO,∠EGO分别为相应面与底面所成的角,即tan∠EMO=tan∠EGO=,∴OG=OM=5,∴OE=3,JG=15,∴五面体的体积V=VF-ADIJ+VFIJ-EHG+VE-BCHG=S△EHG·JG+2×S四边形BCHG·OE=225+100=325.故选C.
(3)方法一:依题意可知,原正四棱锥的高为6,故棱台的体积V=V大正四棱锥-V小正四棱锥=×42×6-×22×3=28.
方法二:由题可知所得棱台的高为3,上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,由棱台的体积公式可得棱台的体积V=×(42+22+)×3=28.第七单元 立体几何
第42讲 空间几何体
1.D [解析] 因为该正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该正四棱台的高h==,下底面面积S1=16,上底面面积S2=4,所以该正四棱台的体积V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.故选D.
2. A [解析] 由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h===,∴圆锥的体积V=πR2h=π.故选A.
3. B [解析] 因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8,所以圆柱的高为2,底面直径为2,所以圆柱的表面积S=2π××2+2×π×()2=12π.故选B.
4.D [解析] 上、下两圆台的高之比是3∶4,故上圆台的高为14×=6(厘米),下圆台的高为14×=8(厘米),故上圆台的体积V1=6×=312π(立方厘米),下圆台的体积V2=8×=π(立方厘米),故该汝窑双耳罐的体积V=V1+V2=312π+π=(立方厘米).故选D.
5.ABC [解析] 根据题意作出△ABC,如图所示.对于A,在△ABC中,OC=OA=OB=2,AC⊥OB,所以BC=AB=2,AC=4,故△ABC是等腰直角三角形,A中说法错误;对于B,△ABC的面积是AC×OB=4,△A'B'C'的高为O'B'×sin 45°=,所以△A'B'C'的面积为A'C'×=,则△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍,B中说法错误;对于C,因为OB=2,所以点B的坐标为(0,2),C中说法错误;对于D,△ABC的周长为BC+AB+AC=4+4,D中说法正确.故选ABC.
6. 1 [解析] 设圆锥的底面半径为r,则其高为r,母线长为2r.设球O的半径为R,则2R=r,即R=r,故==.圆锥的表面积S1=πr2+πr·2r=3πr2,球O的表面积S2=4πR2=4π·r2=3πr2,故==1.
7.8 [解析] 设圆柱的母线长和底面半径分别为l,r,根据已知得2lr=4,由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为L侧=4πr+2l≥2=8,当且仅当4πr=2l,即r=,l=2时等号成立,故(L侧)min=8.
8.C [解析] 正三棱柱的侧面展开图为矩形AA'A'1A1,如图所示,连接A'A1,因为正三角形ABC的边长为3,侧棱AA1=4,所以AA'=9,所以A'A1===,即小虫爬行的最短路程为,故选C.
9.A [解析] 取AB的中点E,连接PE,CE,如图.∵△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,∴PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CE 平面PEC,PE∩CE=E,∴AB⊥平面PEC,又PE=CE=2×=,PC=,∴PC2=PE2+CE2,即PE⊥CE,故VP-ABC=VB-PEC+VA-PEC=S△PEC·AB=××××2=1.故选A.
10.A [解析] 依题意可知A1,B1,C1,D1,E1,F1六点共面,连接AD,BE,CF,由正六边形ABCDEF的性质知AD,BE,CF交于一点,设为O,连接A1D1,B1E1,C1F1,由题意知A1D1,B1E1,C1F1交于一点,设为O1,连接OO1,则OO1⊥平面ABCDEF,所以OO1,AA1,BB1,CC1,DD1,EE1,FF1两两平行.连接AC交OB于G,连接A1C1交O1B1于G1,连接GG1,根据正六边形的性质可知四边形ABCO是菱形,所以AC,OB相互平分,则A1C1,O1B1相互平分,根据梯形中位线定理有GG1==,即=,可得OO1=13,在梯形BEE1B1中,O是BE的中点,则O1是B1E1的中点,所以EE1=2OO1-BB1=26-9=17,同理可得DD1=26-12=14,FF1=26-10=16,所以DD1+EE1+FF1=14+17+16=47(m).故选A.
11.BCD [解析] 作圆锥的轴截面如图,设SO1=h1,SO=h,O1B=r1,OA=r,由相似三角形的性质可得=,所以==.对于A,由于液体高度与圆锥高度的比值为,所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为=,A错误.对于B,设容器内液体倒去一半后液体的高度为h'cm,则=,解得h'=,B正确.对于C,因为×=3,×=4,所以当容器内液体的高度增加5 cm时,需要增加的液体的体积为×5×(32+3×4+42)=(cm3),C正确.对于D,当容器内沉入一个棱长为 cm的正方体铁块时,设容器内液体的高度为H cm,体积V=×32×15+()3=46π(cm3),则=,所以H=15×==(cm),D正确.故选BCD.
12.CD [解析] 设正方形ABCD的边长为2,则ED=2,FB=1,AC=2,∴V1=VE-ACD=S△ACD·ED=.∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,∴FB⊥平面ABCD,∴V2=VF-ABC=S△ABC·FB=.连接BD交AC于M,连接EM,FM,∵AC⊥ED,AC⊥BD,BD∩ED=D,∴AC⊥平面BDEF.过F作FN⊥DE,垂足为N,则FN∥BD,且FN=BD=2,在Rt△ENF中,EF==3.在Rt△MBF中,FM==.在Rt△EDM中,EM==,∴EM2+FM2=EF2,即EM⊥FM,故V3=VF-ACE=S△EMF·AC=2.故选项A,B错误,选项C,D正确,故选CD.
13.π [解析] 由题意可知,几何体体积为大球的体积减去小球的体积,所以几何体体积为π×43-π×23=π-π=π.
14.(5+)π [解析] 由AB=1,AC=3,得BC=2,则圆锥的母线长为=,圆锥的侧面积为×2π×1×=π,圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,故该陀螺的表面积S=π+4π+π×12=(5+)π.
15.解:(1)设圆锥的母线长为l,
由半径r=1,高h'=3,得l=,
∴S侧=πrl=π,S底=πr2=π,
故S表=(+1)π,
V=·πr2·h'=π.
(2)如图,连接O1A1,OA,由三角形相似可得=,得h=3(1-x)(0
(3)记圆柱的表面积为S,则S=2πx·3(1-x)+2πx2=2π(-2x2+3x)=-4π+.
∵016.32π [解析] 由曲线-=1,y=±x,y=±4围成的图形为图中实线所围成的图形(关于x轴对称).设直线y=h(0≤h≤4)与直线y=x,曲线-=1在第一象限分别交于点A,B,易得A,B,截面上底面的小圆面积S1=π=πh2,大圆面积S2=π=πh2+4π,则圆环面积S=S2-S1=4π.由祖暅原理知,旋转体的体积V与底面积为4π,高为8的圆柱体积相等,故所求旋转体的体积V=32π.
17. [解析] 设圆柱O1O的母线长为l,如图,A1在上底面的正投影为点E,可知A1E即为母线且和上底面垂直,所以A1E⊥CD,过E作CD的垂线,垂足记为F,连接A1F,又EF∩A1E=E,且EF,A1E都在平面A1EF内,所以CD⊥平面A1EF,又A1F 平面A1EF,所以CD⊥A1F,所以当A1F最大时,△A1CD的面积取得最大值,结合A1F2=A1E2+EF2,可知EF最大时A1F最大,易知EF≤1,所以当E为圆弧CD的中点,F为CD的中点时,A1F最大,最大值为,所以△A1CD面积的最大值为=,解得l=.第七单元 立体几何
第42讲 空间几何体
【课标要求】 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且 多边形 互相 且
侧棱 相交于 , 但不一定相等 延长线交于
侧面 形状
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图 形
母 线 互相平行 且相等, 于底面 相交于 延长线交 于
(续表)
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的 全等的 全等的
侧面展开图
2.直观图
(1)画法:常用 .
(2)规则:
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°,z'轴与x'轴和y'轴所在平面 .
②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍 ,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ,平行于y轴的线段,长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧= S圆锥侧= S圆台侧=
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体 S表=S侧+2S底 V=
锥体 S表=S侧+S底 V=
台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h
球 S表= V=
(其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R)
常用结论
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2.直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
3.球的截面的性质
(1)球的任何截面都是圆面;
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=.
题组一 常识题
1.[教材改编] 下列说法中错误的是 .
①经过不共面的四点的球有且仅有一个;②平行六面体的每个面都是平行四边形;③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直;④棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直.
2.[教材改编] 如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x'轴、y'轴平行),则原图形△AOB的底边OB的长是 ,高是 .
3.[教材改编] 已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为 cm.
题组二 常错题
◆索引:对空间几何体的相关公式掌握不牢致误;对空间几何体的结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误.
4.已知正四棱台上底面边长为2 cm,侧棱和下底面边长都是4 cm,则它的体积为 cm3.
5.如图所示,将一个长方体用过同一顶点的三条棱中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 .
6.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的体积是 .
基本立体图形与直观图
角度1 直观图
例1 [2024·东北师大附中模拟] 如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,若A'C'=2 cm,且S△A'B'C'= cm2,则原图形中AC边上的高为 ( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
总结反思
(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形.
变式题 已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O'A'∥B'C',∠O'A'B'=90°,O'A'=1,B'C'=2,则原四边形OABC的面积为 ( )
A. B.3 C.4 D.5
角度2 展开图
例2 (1)某三棱柱的平面展开图如图所示,网格中的小正方形的边长均为1,K是线段DI上的点,则在原三棱柱中,AK+CK的最小值为 ( )
A. B.
C.4 D.
(2)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 .
总结反思
涉及空间两点最短距离问题,通常采用化曲为直的策略,将空间问题平面化,在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图.
变式题 (1)如图是一座山的示意图,山大致呈圆锥形,山脚呈圆形,半径为2 km,山高为2 km,B是山坡SA上一点,且AB=2 km.现要修建一条从A到B的环山观光公路,这条公路从A出发后先上坡后下坡,当公路长度最短时,下坡路段长为 .
(2)已知正三棱锥P-ABC的各侧面都是顶角为30°,腰长为2的等腰三角形,若过A的截面与棱PB,PC分别交于点D,E,则截面三角形AED周长的最小值为 .
简单几何体的表面积与体积
角度1 侧面积和表面积
例3 (1)[2024·河北唐山模拟] 在圆锥PO中,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,且AB=,若三棱锥O-PAB为正三棱锥,则该圆锥的侧面积为 .
(2)如图,将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正四面体,如此共截去4个全等的正四面体,得到一个由正三角形与正六边形围成的几何体,且正六边形的面积为2,则原正四面体的表面积为 .
总结反思
计算空间几何体的表面积的一般步骤:
(1)根据题目给出的背景,确定几何体的形状;
(2)选择正确的平面图形的面积公式求解.
注意表面积与底面积、侧面积的区别.
变式题 (1)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得的圆台上底面半径为1,下底面半径为2,且该圆台的侧面积为3π,则原圆锥的母线长为 ( )
A.2 B.
C.4 D.2
(2)[2024·福建南平模拟] 已知圆台O1O2的母线长为4,下底面的半径是上底面的半径的3倍,轴截面的周长为16,则该圆台的表面积为 .
角度2 体积
例4 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( )
A.2π B.3π C.6π D.9π
(2)[2024·天津卷] 一个五面体ABC-DEF如图所示,已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 ( )
A. B.+
C. D.-
总结反思
计算空间几何体体积的常用方法:
(1)公式法:规则几何体的体积问题,直接利用公式进行求解;
(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体;
(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.
变式题 (1)[2024·嘉兴二模] 如图,这是一个水上漂浮式警示浮标,它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍,则圆锥的体积与半球体的体积的比值为 ( )
A. B. C. D.
(2)如图,在五面体ABCDEF中,底面ABCD是矩形,EFA.225 B.250
C.325 D.375
(3)[2023·新课标Ⅱ卷] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 . 第七单元 立体几何
第42讲 空间几何体
(时间:45分钟)
1.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为 ( )
A.20+12 B.28
C. D.
2. [2025·八省联考] 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为 ( )
A.π B.π
C.2π D.3π
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ( )
A.12π B.12π
C.8π D.10π
4.[2024·山西临汾三模] 宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑,其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图①,这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成,其直观图如图②所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,中间圆的直径是20厘米,上底面圆的直径是8厘米,高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3∶4,则该汝窑双耳罐的体积是 ( )
A. 立方厘米 B. 立方厘米
C. 立方厘米 D. 立方厘米
5.(多选题)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B'=2,则以下说法错误的是 ( )
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C.点B的坐标为(0,)
D.△ABC的周长是4+4
6.已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 .
7.[2024·浙江金丽衢十二校联考] 已知圆柱的轴截面面积为4,则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为 .
8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1=4,一小虫从点A出发途经三个侧面爬到点A1,则小虫爬行的最短路程为 ( )
A.4 B.5
C. D.3
9.[2023·全国甲卷] 在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该三棱锥的体积为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
10.[2024·北京西城区期末] 如图,水平地面上有一正六边形地块ABCDEF,设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子,用以固定一块平板式太阳能电池板A1B1C1D1E1F1.若其中三根柱子AA1,BB1,CC1的高度依次为12 m,9 m,10 m,则另外三根柱子的高度之和为( )
A.47 m B.48 m
C.49 m D.50 m
11.(多选题)如图,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥形容器,已知此刻容器内液体的高度为15 cm,忽略容器的厚度,则 ( )
A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后,容器内液体的高度为 cm
C.当容器内液体的高度增加5 cm时,需要增加的液体的体积为 cm3
D.当容器内沉入一个棱长为 cm的正方体铁块时,容器内液体的高度为 cm
12.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( )
A.V3=2V2 B.V3=2V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
13.某圆环的内外半径分别为2和4,将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为 .
14.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,也称陀罗,图①是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图②所示,其中A是圆锥的顶点,B,C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心,且AB=1,AC=3,底面圆的半径为1,则该陀螺的表面积是 .
15.如图,一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
(1)求此圆锥的表面积与体积.
(2)试用x表示圆柱的高h.
(3)当x为何值时,圆柱的表面积最大 最大表面积为多少
16.祖暅原理也称祖氏原理,是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,若在等高处截面积相等,则体积相等.由曲线-=1,y=±x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V= .
17.[2025·山东新高考联盟联考] 已知圆柱O1O的底面直径为2,其轴截面是矩形ABCD,A1为底面圆弧AB上任一点,若△A1CD面积的最大值为,则圆柱O1O的母线长为 . (共99张PPT)
第42讲 空间几何体
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、
台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构.
2.知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简
单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱
柱及其简单组合）的直观图.
1.空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形 ______________________________________________ ________________________________________________ _______________________________________________
◆ 知识聚焦 ◆
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相______且 ____________ 多边形 互相______
且______
侧棱 ____________ 相交于______， 但不一定相等 延长线交于
______
侧面形状 ____________ ________ ______
平行
全等
平行
相似
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
续表
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形 ____________________________ _________________________________ _________________________________ _____________________________________
母线 互相平行且相 等，______于底 面 相交于 ______ 延长线交于 ______
垂直
一点
一点
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
轴截面 全等的______ 全等的_____ __________ 全等的_____ _________ ____
侧面展 开图 ______ ______ ______
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
矩形
扇形
扇环
续表
2.直观图
（1）画法：常用____________.
斜二测画法
（2）规则：
①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中轴、 轴的夹角为
或 ，轴与轴和 轴所在平面______.
垂直
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________，
平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于 轴的
线段，长度在直观图中变为原来的______.
分别平行于坐标轴
不变
一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图 _________________________________________________ ______________________ ______________________
侧面积公式 _____ ____
__________
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体 _____
锥体 _ _____
名称 几何体 表面积 体积
台体
球 ______ _ _____
（其中柱体、锥体、台体的高为，球的半径为 ）
续表
常用结论
1.与体积有关的几个结论
（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等
（祖暅原理）．
2.直观图与原平面图形面积间的关系：，
.
3.球的截面的性质
（1）球的任何截面都是圆面;
（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面;
（3）球心到截面的距离与球的半径及截面的半径 的关系为
.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 下列说法中错误的是____.
①经过不共面的四点的球有且仅有一个；②平行六面体的每个面都
是平行四边形；③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直；④棱台的
每条侧棱均与上下底面不垂直.
④
◆ 对点演练 ◆
[解析] 对于①，经过不共面的四点的球，即为由这四个点组成的四面
体的外接球，有且仅有一个，故①中说法正确；
对于②，平行六面体的每个面都是平行四边形，故②中说法正确；
对于③，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故③中说法正确；
对于④，棱台的每条侧棱延长后交于一点，侧棱有可能与底面垂直，
故④中说法错误.
2.［教材改编］ 如图是用斜二测画法画出的水平放置的 的直
观图（图中虚线分别与轴、轴平行），则原图形 的底边
的长是___，高是____.
4
16
[解析] 根据题意，原图形的底边 的长为4，高为16.
3.［教材改编］ 已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开图是一
个半圆，则圆锥的底面半径为___ .
2
[解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为 ，由条件得
， .
题组二 常错题
◆ 索引：对空间几何体的相关公式掌握不牢致误；对空间几何体的
结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误.
4.已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是 ，
则它的体积为_ _____ .
[解析] 由题意知，正四棱台上底面边长为 ，
侧棱和下底面边长都是 ，如图，设正四棱
台上、下底面中心分别为，，连接 ，
， ，结合正四棱台性质可知四边形
为直角梯形，且 ，
，故 ，即
正四棱台的高为 ，故正四棱台的体积
为 .
5.如图所示，将一个长方体用过同一顶点的三条棱
中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下
的几何体体积的比为______.
[解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为
，， ，
则截出的棱锥的体积 ，
剩下的几何体的体积，所以 .
6.圆柱的侧面展开图是边长为 和 的矩形，则圆柱的体积是
____________.
或
[解析] 设圆柱的底面半径为.若圆柱的母线长是 ,则 ，
所以，所以圆柱的体积为 .若圆柱的母线长
是 ,则，所以 ，所以圆柱的体积为
.故圆柱的体积是或 .
探究点一 基本立体图形与直观图
角度1 直观图
例1 [2024·东北师大附中模拟]如图， 是水
平放置的平面图形的斜二测直观图，若
，且 ，则原图形中
边上的高为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 根据题意，由三角形面积公式求出 的长，结合斜
二测画法可得原图形中 的长.
√
[解析] 画出平面直角坐标系（图②），在 轴上取，
即，在图①中，过 作轴，交轴于，在轴
上取 ，过点作轴，并使，连接, ，
则 即为原图形，如图②所示.
原图形中，于点，则为原图形中 边上的高，且
在图①中作 于点，则
，所以在直角三角形中， ，所以
，故原图形中边上的高为 .故选D.
[总结反思]
（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于轴的线段
平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度减半.
（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的
面积的关系：
变式题 已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的
直观图，其中， ，， ，则
原四边形 的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由已知求得 ，把直观
图还原为原图形如图，可得原图形为直角梯形，
，，且， ，
，则原四边形 的面积为
.
方法二：由题意知， ，
.
角度2 展开图
例2 （1）某三棱柱的平面展开图如图所示，
网格中的小正方形的边长均为1，是线段
上的点，则在原三棱柱中， 的
最小值为( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］作出图形,将原问题转化为平面上两点间的距离最短问
题,进而得解.
[解析] 将展开图还原成立体图形得到三棱柱 ，如图①.由
已知可得，，，，易知 为直角三角形且
.将三棱柱的上底面沿翻折至平面上，，
在 两侧,连接，如图②所示.因为 ，，所以
，则的最小值为 .故选B.
（2）已知圆锥的侧面积（单位：）为 ，且它的侧面展开图
是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是___.
1
［思路点拨］通过圆锥侧面展开图是半圆，求出圆锥母线长，再用
侧面积公式计算即可.
[解析] 如图，设圆锥的母线长为，底面半径为 ，则圆
锥的侧面积 ，即 .由侧面展开图为
半圆，可知 ，可得，因此 .
[总结反思]
涉及空间两点最短距离问题，通常采用化曲为直的策略，将空间问
题平面化，在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图.
变式题（1）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥
形，山脚呈圆形，半径为，山高为，
是山坡上一点，且.现要修建一条从 到
的环山观光公路，这条公路从 出发后先上坡后下
坡，当公路长度最短时，下坡路段长为_______.
[解析] 由题意，半径为，山高为 ，
则母线长 ，底面圆
周长为 ，所以展开图的圆心角
.
如图是圆锥侧面展开图，结合题意，，
由点向引垂线，垂足为，此时 为点和线段上的点连线的
最小值，即点为公路的最高点， 即为下坡路段，则
，即，得 ，故下坡路段长为 .
（2）已知正三棱锥的各侧面都是顶角为 ，腰长为2的等
腰三角形，若过的截面与棱，分别交于点， ，则截面三角
形 周长的最小值为_____.
[解析] 由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图
所示，连接，则 的周长为
，因为两点之间线段最短，所以
当，,， 在一条直线上时，截面三角形
的周长最小，最小值为 的长.
因为 ，所以 ，因为
，所以 ，所以截面三
角形周长的最小值为 .
探究点二 简单几何体的表面积与体积
角度1 侧面积和表面积
例3 （1）[2024·河北唐山模拟] 在圆锥中，为底面圆心，,
为圆锥的母线，且，若三棱锥 为正三棱锥，则该圆
锥的侧面积为_____.
[解析] 如图所示，因为三棱锥 为正
三棱锥，所以 ，
.因为 ， ，所以
由勾股定理得 ，
［思路点拨］根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的母线长和底
面半径，即可求出圆锥的侧面积．
则圆锥的底面半径，母线长 ，则该圆锥的侧面积为
.
（2）如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截
去一个正四面体，如此共截去4个全等的正四面体，得到一个由正三
角形与正六边形围成的几何体，且正六边形的面积为2，则原正四面
体的表面积为____.
12
[解析] 设正六边形的边长为,根据题意得 ，解得
，由题意可知原正四面体的棱长为 ,故原正四面体的
表面积 ．
［思路点拨］设正六边形的边长为,根据正六边形的面积求出 的值，
结合题意知原正四面体的棱长为 ,即可计算出原正四面体的表面积．
[总结反思]
计算空间几何体的表面积的一般步骤:
（1）根据题目给出的背景，确定几何体的形状；
（2）选择正确的平面图形的面积公式求解.
注意表面积与底面积、侧面积的区别.
[解析] 设圆台的母线长为，因为该圆台的侧面积为 ，所以由
圆台的侧面积公式可得 ，所以 .设截
去的小圆锥的母线长为，则由三角形相似可得 ，解得
，所以原圆锥的母线长为 ，故选D.
变式题（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上
底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台的侧面积为 ，则原
圆锥的母线长为( )
A.2 B. C.4 D.
√
（2）[2024·福建南平模拟] 已知圆台 的母线长为4，下底面的半
径是上底面的半径的3倍，轴截面的周长为16，则该圆台的表面积为
_____.
[解析] 设上底面的半径为，则下底面的半径是 ，故轴截面的周长
为，解得 ，所以上、下底面的面积分别为
, ，圆台侧面积 ，所以圆台的表面积
为 .
角度2 体积
例4 （1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相
等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 .由题可
知,解得,则,, 圆
锥的体积 .故选B.
√
［思路点拨］设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求出底面半
径，然后求解圆锥的体积．
（2）[2024·天津卷]一个五面体 如图所
示，已知 ，且两两之间的距离为1，
并已知，， ，则该五面体的
体积为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］通过割补法将不规则图形转化为较为常见的图形来解决.
√
[解析] 用一个完全相同的五面体 与五
面体组合在一起，使得与重合，
与重合，与重合，因为 ，且两
两之间的距离为1，,, ，所以
构成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的与侧
棱垂直的截面（与三条侧棱都相交）是边长为1的等边三角形，侧棱
长为 ，
则 .故选C.
[总结反思]
计算空间几何体体积的常用方法：
（1）公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规
则的几何体补成规则的几何体；
（3）等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，
特别是三棱锥的体积.
变式题（1）[2024·嘉兴二模]如图，这是一个水上漂
浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一
个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面
半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的
比值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设半球的半径为，圆锥的高为，由题意知 ，解
得.故圆锥的体积与半球体的体积的比值为 .
故选D.
（2）如图，在五面体中，底面是矩形， ，
，若，，且底面 与其余各面所成角的
正切值均为 ，则该五面体的体积是( )
A.225 B.250 C.325 D.375
√
[解析] 过作 平面于，过作分别交，
于，，连接，，记的中点为，连接， ，同理作
出，，，如图.由题意可知， 分别为相应面与底面
所成的角，即， ，
，， 五面体的体积 .
故选C.
（3）[2023· 新课标Ⅱ卷] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的
平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的
体积为____.
28
[解析] 方法一：依题意可知，原正四棱锥的高为6，故棱台的体积
.
方法二：由题可知所得棱台的高为3，上底面是边长为2的正方形，
下底面是边长为4的正方形，由棱台的体积公式可得棱台的体积
.
例1 ［配例3使用］ （多选题）［人A必修第二册
P116T3改编］ “阿基米德多面体”也称为半正多面体，
是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，
它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，
【备选理由】例1来源教材习题改编，在认识半正多面体结构特征的
前提下考查了长度、表面积及角度计算；
得到的半正多面体的表面积为 ，则关于该半正多面体下列说
法中正确的是( )
A.
B.该半正多面体的外接球的表面积为
C.与平面所成的角为
D.与所成的角是 的棱共有16条
√
√
√
[解析] 如图，设正方体的棱长为 ，则
，
， ，A正确；
显然该半正多面体外接球的球心为对应正方体的
中心， 外接球半径， ，B错误；
显然 与平面所成的角为，C正确；
与所成角是的棱有， ，，，，，，，
，，，，，， ，，共16条，D正确.故选 .
例2 ［配例1使用］ 如图， 是水平放置
的平面图形的斜二测直观图.
（1）画出它的原图形；
【备选理由】例2是对直观图还原的补充，利用直观图与原图形的
关系作图；
解：画出平面直角坐标系，在轴上取，即 ，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取 ，
过点作轴，并使 ，
连接，，则即为 原来的图形，如图②所示.
（2）若,的面积是，求原图形中 边上的高和原
图形的面积.
解：由（1）知，原图形中，于点 ，则
为原图形中 边上的高，
且，在直观图中作于点 ，
则的面积 .
在直角三角形中， ，所以
，所以 .
故原图形中边上的高为，原图形的面积为 .
例3 ［配例3、例4使用］ （多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知圆锥
的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，
，点在底面圆周上，且二面角的平面角为 ，
则( )
A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
√
√
[解析] 如图，取的中点,连接，， ，
则，，故 为二面角
的平面角，得 .因为
，，所以， ，故圆锥的体积
，故A正确；
，故B错误；
由 ，可得，故 ，故C正确；
易知，由，，得 ,则
，故D错误.故选 .
作业手册
1.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积
为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为该正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该正四棱台的高 ，下底面面积
，上底面面积 ，所以该正四棱台的体积
.故选D.
√
◆ 基础热身 ◆
2. [2025·八省联考] 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为
( )
A.π B.π C.2π D.3π
[解析]由题可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高h= =
= ,
∴圆锥的体积V=πh=π.故选A.
√
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,，过直线 的平面截
该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为圆柱的轴截面是正方形，且面积为8，所以圆柱的高为
，底面直径为 ，所以圆柱的表面积
.故选B.
√
4.[2024·山西临汾三模]宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大
名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑，其中汝窑被认为是五大名
窑之首.如图①，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个
圆台拼接而成，其直观图如图②所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的
直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，
高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是 ，则该汝窑双耳罐的体
积是( )
A. 立方厘米 B. 立方厘米
C. 立方厘米 D. 立方厘米
[解析] 上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为
（厘米），下圆台的高为 （厘米），
√
故上圆台的体积
（立方厘米），下圆台的体积
（立方厘米），故该汝窑双耳罐
的体积 （立方厘米）.故选D.
5.（多选题）如图所示,是水平放置的 用斜二测画法画
出的直观图,其中 ,则以下说法错误的是
( )
A. 是钝角三角形
B.的面积是 的面积的2倍
C.点的坐标为
D.的周长是
√
√
√
[解析] 根据题意作出 ,如图所示.对于
A,在中,, ,
所以,,故 是等
腰直角三角形,A中说法错误;
对于B, 的面积是, 的高为
,所以 的面积为
,则的面积是
的面积的倍,B中说法错误;
,C中说法错误;
对于D, 的周长为
,D中说法正确.故选 .
6.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球 的直径相等，则圆锥
的体积与球的体积的比值是__,圆锥的表面积与球 的表面
积的比值是___.
1
[解析] 设圆锥的底面半径为,则其高为,母线长为.设球 的半
径为，则,即,故 .圆锥的表面积
,球 的表面积
,故 .
7.[2024·浙江金丽衢十二校联考] 已知圆柱的轴截面面积为4，则该
圆柱侧面展开图的周长的最小值为_____.
[解析] 设圆柱的母线长和底面半径分别为,，根据已知得 ，
由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为
，当且仅当 ，即
，时等号成立，故 .
8.如图，正三棱柱 的底面是边长为
3的正三角形，侧棱，一小虫从点 出发
途经三个侧面爬到点 ，则小虫爬行的最短路程
为( )
A.4 B.5 C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 正三棱柱的侧面展开图为矩形，如图所示,连接 ，
因为正三角形的边长为3，侧棱，所以 ，所以
，即小虫爬行的最短路程为
,故选C.
9.[2023·全国甲卷]在三棱锥中， 是边长为2的等边三
角形，， ，则该三棱锥的体积为( )
A.1 B. C.2 D.3
√
[解析] 取的中点，连接, ，如图.
是边长为2的等边三角形，
，,，又 ,
平面，， 平
面，又 ，，，
即 ，故
.故选A.
10.[2024·北京西城区期末]如图，水平地面上有
一正六边形地块 ，设计师规划在正六
边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用
以固定一块平板式太阳能电池板 .
若其中三根柱子，， 的高度依次为
,, ，则另外三根柱子的高度之和为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意可知,,,,, 六点共面，
连接,,，由正六边形 的性质
知,,交于一点，设为，连接 ,
,,由题意知,, 交于一点，
设为,连接,则 平面 ，所
以,,,,,, 两两平行.连
接交于，连接交于 ，连接
,根据正六边形的性质可知四边形 是 菱形，
所以,相互平分，则, 相
互平分，根据梯形中位线定理有
，即 ,
可得，在梯形中，是 的
中点，则是 的中点，所以
，同理可得
, ，
所以 .
故选A.
11.（多选题）如图，现有一个底面直径为 ，高为
的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为
，忽略容器的厚度，则( )
A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C.当容器内液体的高度增加 时，需要增加的液体的体
积为
D.当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，容器
内液体的高度为
√
√
√
[解析] 作圆锥的轴截面如图，设, ,
,，由相似三角形的性质可得 ，所以
.对于A，由于液体高度与圆锥高度
的比值为 ，所以容器内液体的体积与容器的容积的比值
为 ，A错误.
对于B，设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，
解得 ，B正确.
对 于C，因为， ，所以当容器内
液体的高度增加 时，需要增加的液体的体积为
，C正确.
对于D，当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，设容器
内液体的高度为 ，体积，
则 ，所以 ，
D正确.故选 .
12.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 如图，四边
形为正方形， 平面， ，
，记三棱锥， ，
的体积分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设正方形的边长为2，则 ,
, ,
. 平面
，， 平面 ，
.连接交于，连接， ，
，，， 平面.过 作
，垂足为，则，且，在
中，.在 中，
. 在 中，
， ，
即,故 .故
选项A，B错误，选项C，D正确，故选 .
13.某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的
几何体体积为______.
[解析] 由题意可知，几何体体积为大球的体积减去小球的体积，所
以几何体体积为 .
14.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图①是一种木
陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如
图②所示，其中是圆锥的顶点，， 分别是圆柱的上、下底面圆
的圆心，且， ，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面
积是__________.
[解析] 由，，得 ，则圆锥的母线长为
，圆锥的侧面积为 ，圆柱的
侧面积为 ，故该陀螺的表面积
.
15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有
一个底面半径为 的内接圆柱.
（1）求此圆锥的表面积与体积.
解：设圆锥的母线长为 ,
由半径，高，得 ，
， ，
故 ，
.
（2）试用表示圆柱的高 .
解：如图，连接,,由三角形相似可得 ，
得 .
（3）当 为何值时，圆柱的表面积最大？最大表面积
为多少？
解：记圆柱的表面积为 ，则
.
， 当时， .
16.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的
著名命题：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体
的高，意思是两个同高的几何体，若在等高处截面积相等，则体积
相等.由曲线，，围成的图形绕 轴旋转
一周所得旋转体的体积为，则 _____.
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 由曲线， ,
围成的图形为图中实线所围成的图形
（关于轴对称）.设直线 与
直线,曲线 在第一象限分
别交于点，，易得 ,
,截面上底面的小圆面积
,大圆面积
,则圆环面积
.由祖暅原理知，旋转体的
体积与底面积为 ,高为8的圆柱体积相等，
故所求旋转体的体积 .
17.[2025·山东新高考联盟联考] 已知圆柱 的底面直径为2，其轴
截面是矩形，为底面圆弧上任一点，若 面积的最
大值为，则圆柱 的母线长为____.
[解析] 设圆柱的母线长为，如图， 在
上底面的正投影为点，可知 即为母线且
和上底面垂直，所以，过作 的
垂线，垂足记为，连接 ，又
，且，都在平面 内，
所以 平面，又 平面 ，
所以，所以当最大时， 的面积取得最大值，结
合，可知最大时最大，易知，
所以当 为圆弧的中点，为的中点时，
最大，最大值为，所以 面积
的最大值为，解得 .
【知识聚焦】1.(1)平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形
三角形 梯形 (2)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形
扇形 扇环
2.(1)斜二测画法 (2)①垂直 ②分别平行于坐标轴 不变 一半
3. π(r+r')l
4.
【对点演练】1. ④ 2.4 16 3.2 4. 5. 1∶47 6. 24π2或36π2
课堂考点探究 例1D 变式题B 例2(1) B (2)1 变式题(1) 3.6 km (2)
例3 (1) π (2)12 变式题 (1)D (2)26π 例4 (1)B (2)C
变式题 (1)D (2)C (3)28
教师备用习题 例1 ACD 例2 (1)略 （2） 例3AC
基础热身
1.D 2.A 3.B 4.D 5.ABC 6. 1 7.
综合提升
8.C 9.A 10.A 11.BCD 12.CD 13. 14.
15. ()()() (2)
能力拓展
16. 17.