第43讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.不在一条直线上 两个点 平行
2.这条直线外 相交 平行
3.(1)相交 平行 任何 (2)相等或互补
4.1 0 无数 0 无数
【对点演练】
1.④ [解析] 对于①,共线的三点不能确定一个平面,故①错误;对于②,若两个平面有一个公共点,则这两个平面有一条经过该点的公共直线,该交线上有无数个公共点,故②错误;对于③,三条平行直线可能共面,也可能有一条直线在另外两条平行直线确定的平面外,故③错误;对于④,当三条直线两两相交且三个交点不重合时,三条直线共面,当三条直线两两相交于一个点时,这三条直线可能在同一个平面内,也可能不共面,此时其中任意两条直线都可以确定一个平面,共可以确定3个平面,故④正确.故填④.
2.直线CD [解析] 由题意知,D∈l,l β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.
3.④ [解析] 依题意,m∩α=A,n α,∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),m与n一定不平行.故填④.
4.异面或平行 [解析] 如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是异面或平行.
5.(1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
[解析] (1)由题意知,EF∥AC,EH∥BD,且EF=AC,EH=BD,∵四边形EFGH为菱形,∴EF=EH,∴AC=BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形,∴EF=EH且EF⊥EH,∴AC=BD且AC⊥BD.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)连接EF,CD1,A1B,可证得EF∥A1B∥CD1,从而得到E,C,D1,F四点共面;(2)设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.由平行六面体的性质得A1B∥D1C,
∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1,又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF∴CE与D1F必相交,延长CE,D1F,设交点为P,如图所示.由P∈CE,CE 平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理可得P∈平面ADD1A1.延长DA,∵平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.
变式题 证明:(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,设平面ACC1A1为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于一点.
例2 [思路点拨] (1)由中位线可得四边形MNBE为梯形,进而得到BM,EN相交,在直角三角形中,利用勾股定理计算可得BM≠EN.(2)借助长方体,判断直线a,c的位置关系.
(1)B (2)D
[解析] (1)连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.如图所示,在△EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,所以MN∥BE,MN=BE,则四边形MNBE是梯形,BM,EN是梯形的两条对角线,所以直线BM,EN相交.设正方形ABCD的边长为a,由题意可得△BCM为直角三角形,则BM==a.记CD的中点为H,连接EH,HN,则△EHN为直角三角形,则EN==a,故BM≠EN.综上所述,BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中.
①若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线B1A1记为直线c,此时a和c相交;②若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线DD1记为直线c,此时a和c平行;③若直线AA1记为直线a,直线BC记为直线b,直线C1D1记为直线c,此时a和c异面.故选D.
变式题 (1)C (2)CD [解析] (1)若α∩β=a,因为m⊥平面α,a α,所以m⊥a,同理n⊥a,过m上一点作直线n的平行线n1,则n1⊥a,设由m和n1确定的平面为γ,则a⊥γ,而l⊥m,l⊥n,同上可知l⊥γ,故a∥l,选项C正确;有可能l α,所以选项A错误;由上可知a∥l,且a β,所以l∥β或l β,选项B错误;α⊥β不一定成立,选项D错误.故选C.
(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;取DD1的中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,所以AM与BN不平行,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.故选CD.
例3 [思路点拨] 先作出过点A,E,C'的平面截正方体所得截面,进而求得该截面的面积.
A [解析] 取DD'的中点P,连接AP,PC',由正方体的性质可知AP∥EC',AP=EC',可得四边形APC'E为平行四边形,又AP=AE=,则四边形APC'E为菱形,所以截面是边长为的菱形,两对角线长分别为2,2,所以该截面的面积S==2.故选A.
例4 [思路点拨] 根据正方体、球体、四面体、圆柱体的结构特征逐项计算分析.
ABD [解析] 对于A,正方体内切球的直径为1 m,故A正确;对于B,如图①,在正方体中作出正四面体A1BDC1,该正四面体的棱长为BA1= m,而>1.4,故B正确;对于C,圆柱体的底面直径为0.01 m,可以忽略不计,正方体的体对角线的长为 m,而1.8>,故C不正确;对于D,圆柱体的高为0.01 m,可忽略不计,如图②,取E,F,G,H,I,J分别为所在棱的中点,并顺次连接,所得六边形EFGHIJ为正六边形,其边长为 m,连接FH,易知FH为正六边形EFGHIJ的内切圆直径,因为∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=FG=GH= m,而=>1.22=1.44,故D正确.故选ABD.
【应用演练】
1.D [解析] 如图所示,连接QP并延长,与CB的延长线交于M,且QP的反向延长线与CD的延长线交于N,连接MR,交BB1于E,连接PE,则PQ,PE,RE为截面与正方体的交线,作RG∥PQ,交C1D1于点G,连接NG,交DD1于点F,连接QF,则RG,QF,FG为截面与正方体的交线,故截面为六边形PQFGRE.
2.D [解析] 当该平面过圆柱上、下底面中心时,截面图形为(1);当不过上、下底面的中心时,截面图形为(5).所以只有(1)(5)正确.故选D.
3.C [解析] 延长MN交DC的延长线于点F,连接AF交BC于点H,连接NH,延长NM交DD1的延长线于点E,连接AE交A1D1于点G,连接GM,则五边形AHNMG为平面AMN截该长方体所得的截面图形.不妨设AB=2AD=2AA1=4,又点M是C1D1上靠近D1的四等分点,点N是CC1的中点,所以C1M=3,D1M=1,C1N=NC=1,所以CF=3,又CF∥AB,所以==,又BH+CH=2,所以CH=,又=,即=,解得ED1=,又=,即=,解得GD1=,符合题意,即五边形AHNMG为平面AMN截该长方体所得的截面图形.故选C.
4.C [解析] 根据题意,当正四面体在正方体的内切球内时,正四面体可以在正方体内任意转动,故当该正四面体内接于球时,其棱长最长.正方体的棱长为6,则其内切球的半径为3,如图,记内接于球的正四面体为P-ABC,设其棱长为a,O为底面ABC的中心,四面体外接球的球心为O',连接PO,OC,O'C,则O'在OP上,PO⊥底面ABC,所以CO=×a=a,PO==a,O'P=O'C=3,在Rt△OO'C中,+=9,可得a=2,故m的最大值为2.故选C.第43讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.D [解析] 根据题意,两点确定一条直线,由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交或者直线与平面平行,所以直线上至多有一个点在平面内.故选D.
2.D [解析] 在A选项的图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S这四点共面;在C选项的图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S这四点共面;如图所示,在B选项的图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故P,Q,R,S这四点共面;在D选项的图中分别连接PS,QR,PS与QR为异面直线,∴P,Q,R,S这四点不共面.故选D.
3.B [解析] 依题意,m,n,l是空间中不过同一点的三条直线,当m,n,l在同一平面时,可能有m∥n∥l,故不能得出m,n,l两两相交.当m,n,l两两相交时,设m∩n=A,m∩l=B,n∩l=C,根据基本事实的推论2可知m,n确定一个平面α,而B∈m α,C∈n α,根据基本事实2可知,直线BC α,即l α,所以m,n,l在同一平面.综上所述,“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
4.C [解析] 若α⊥γ,β⊥γ,则l∥m或l与m相交,故A错误;若l∥m,则α∥β或α与β相交,故B错误;若α⊥β,γ⊥β,则l⊥m,故C正确;若l⊥m,则α与β相交,不一定是垂直,故D错误.故选C.
5.B [解析] 如图,连接AD1,BC1,D1F,因为E,F分别为BC,CC1的中点,所以EF∥BC1, 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1∥BC1,所以EF∥AD1,则A,D1,F,E四点共面,则平面AEF截正方体所得的截面为四边形AEFD1.故选B.
6.①相交或异面 ②a∥α或a α
[解析] ①∵a∥b,b∩c=A,∴直线a与直线c的位置关系是相交或异面.②∵a⊥b,b⊥α,∴直线a与平面α的位置关系是a∥α或a α.
7.3 [解析] 分别取BC,C1D1,A1D1,AA1的中点G,H,K,I,连接HF,HK,KI,EI,EG,FG,易证平面EGFHKI∥平面PMN,则存在过点E,F的平面α与平面PMN平行,即正六边形EGFHKI是平面α截该正方体得到的截面,截面的面积是6××()2=3.
8.C [解析] 由正方体的平面展开图复原得空间正方体如图所示.由图可知,BM和ED是异面直线,故①不正确;CN和BE是平行直线,故②不正确;CN和BE平行,BE与BM的夹角是60°,故CN与BM所成的角也是60°,故③正确;DM与BN异面垂直,故④正确.所以正确结论的序号为③④.故选C.
9.D [解析] 因为EF∥GH,所以E,F,G,H四点确定一个平面EFGH,因此直线EH与FG一定共面,故D正确,C不正确;如图①,只有当EF∥GH,EF=GH时,四边形EFGH为平行四边形,此时EH∥GF,故A不正确;如图②,只有当EF∥GH但EF≠GH时,四边形EFGH为梯形,此时EH,GF相交于一点,故B不正确.故选D.
10.AB [解析] 对于A,当m⊥β,m α时,α⊥β;当n⊥α,n β时,α⊥β,故A正确.对于B,当m∥β,n∥α时,因为m,n为异面直线,所以α∥β,故B正确.对于C,当α⊥β时,由m α,得m∥β或m与β相交;当α⊥β时,由n β,得n∥α或n与α相交,故C错误.对于D,当α,β不平行时,可能m∥β或m与β相交,n∥α或n与α相交,故D错误.故选AB.
11.ABD [解析] 如图,对于选项A,连接B1D1,因为BB1∥DD1,BB1=DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,则B1D1∥BD,又因为E,F分别为C1D1,B1C1的中点,所以B1D1∥EF,可得BD∥EF,所以B,D,E,F四点在同一平面内,故A正确;对于选项B,延长BF,DE,使BF与DE相交于点P,即P∈BF,P∈DE,又因为BF 平面BCC1B1,DE 平面DD1C1C,所以P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,且平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所以P∈CC1,即三条直线BF,DE,CC1有公共点,故B正确;对于选项C,连接A1C1,AC,因为A1C 平面AA1C1C,OF∩平面AA1C1C=O,O A1C,所以直线A1C与直线OF是异面直线,故C错误;对于选项D,因为A1,O,C,M均在平面AA1C1C内,连接OM,则OM与A1C相交,所以直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线,故D正确.故选ABD.
12.p1,p4 [解析] 对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α,若l3与l1相交,则交点A在平面α内,同理,l3与l2的交点B也在平面α内,所以AB α,即l3 α,故命题p1为真命题.对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,故命题p2为假命题.对于命题p3,空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面,故命题p3为假命题.对于命题p4,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线,因为直线l 平面α,所以m⊥l,故命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.
13.五 [解析] 如图①,过F作EC的平行线交D1C1于M,交直线A1B1于P,连接PE,交A1A于N,连接FN,CM,则直线FM与直线EC共面,且N∈PE,P∈MF,E∈EC,则点N也在直线FM与直线EC确定的平面上,所以可得五边形ECMFN为平面CEF截该长方体所得的截面.如图②,设H为A1B1的中点,G为D1C1的中点,连接A1G,C1H,显然有CE∥C1H∥A1G,所以FM∥A1G,所以M为D1C1上靠近D1的四等分点.又D1M∥A1P,且F为A1D1的中点,所以D1M=PA1,又AE∥A1P,所以===,即N为A1A上靠近A1的三等分点,所以FM==,MC==,FC==,FN==,NE==,EC==2,EF==3,所以cos∠FMC==-,cos∠EFC==,cos∠NFE==,所以sin∠FMC==,sin∠EFC==,sin∠NFE==,所以截面面积为S△FMC+S△EFC+S△NEF=×××+×3××+××3×=.
14.证明: (1)如图,连接A1B,CD1,EF,
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B且EF≠A1B.
∵CD1∥A1B且CD1=A1B,
∴EF∥CD1且EF≠CD1,
∴EC与D1F相交,设交点为K.
∵K∈EC,EC 平面ABCD,∴K∈平面ABCD.又∵K∈FD1,FD1 平面ADD1A1,∴K∈平面ADD1A1,
∴K为两平面的公共点.
∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴K∈AD,故K与P重合,
∴CE,D1F,DA三条直线交于点P.
(2)∵FH 平面PCD1,∴H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,
∴H在平面PCD1和平面ABCD的交线上.
同理,P在平面PCD1和平面ABCD的交线上,E在平面PCD1和平面ABCD的交线上,∴P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上,
∴P,E,H三点共线.
15.解:(1)证明:如图所示,取CF的中点G,连接MG,DG,因为E,F分别是PD,PG的中点,所以DG∥EF.
因为PM=PB,PG=PC,所以MG∥BC且MG=BC=2,
又AD∥BC,AD=2,所以MG∥AD,且MG=AD,所以四边形ADGM为平行四边形,所以AM∥DG.
因为DG∥EF,所以AM∥EF,则E,F,A,M四点共面.
(2)如图所示,过点A作AN∥CD交BC于点N,
则AN⊥BC,AN=2,可得S△ABC=×3×2=3,S△ACD=×2×2=2.
连接CM,CE,则VP-AMFE=VP-AMF+VP-AEF=VF-AMP+VF-PAE=VC-AMP+VC-PAE=×VC-PAB+×VC-PAD=VP-ABC+VP-ACD=×S△ABC·PA+×S△ACD·PA=×3×2+×2×2=.
16.B [解析] 过P作PG⊥EF,垂足为G,连接CG,易证得EF⊥CG,∴∠PGC即为二面角P-EF-C的平面角,∴∠PGC=60°,又PC=2,∴PG=,CG=.设CE=a,CF=b,则EF=,在△CEF中,ab=,又≥,所以ab≥=,所以ab≥,当且仅当a=b=时等号成立,所以△PEF的面积为××=ab≥,故截面PEF的面积的最小值为.故选B.第43讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【课标要求】 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解4个基本事实和1个定理.
1.基本事实
基本事实1:过 的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 .
2.三个推论
推论1:经过一条直线和 一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
3.空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与 平面 相交 a∩α=A 个
平行 a∥α 个
在平 面内 a α 个
(续表)
图形语言 符号语言 公共点
平面与 平面 平行 α∥β 个
相交 α∩β=l 个
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知下列四个说法:
①三点确定一个平面;②两个平面可以只有一个公共点;③三条平行直线一定共面;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.
其中正确的说法的序号是 .
2.[教材改编] 如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是 .
题组二 常错题
◆索引:对异面直线的概念理解不清致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.
3.α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m α,n α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 .(填序号)
①垂直;②相交;③异面;④平行.
4.在空间中,如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是 .
5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则
(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
平面的基本事实与推论的应用
例1 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
总结反思
证明共面、共线、共点问题的一般方法:
(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后证明其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合.
(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
变式题 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
空间位置关系的判断
例2 (1)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
(2)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 ( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
总结反思
(1)要判断空间中两条直线的位置关系(平行、相交、异面),可利用定义,借助空间想象并充分利用图形进行思考.
(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法.
(3)异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.
变式题 (1)[2024·浙江宁波镇海中学期末] 已知直线a,m,n,l,且m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若l满足l⊥m,l⊥n,则下列说法中正确的是 ( )
A.l∥α
B.l⊥β
C.若α∩β=a,则a∥l
D.α⊥β
(2)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个选项正确的是 ( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
正方体中的切割(截面)问题
微点1 正方体中的截面问题
例3 如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2,E为棱BB'的中点,用过点A,E,C'的平面截该正方体,则所得截面的面积为 ( )
A.2 B.2 C.5 D.4
总结反思
(1)作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;②凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线;
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线.
注:正方体的一些截面:
微点2 正方体中的嵌套问题
例4 (多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,则过P,Q,R的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是 ( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
2.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(3)
C.(1)(4) D.(1)(5)
3.[2024·四川绵阳模拟] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1,点M是C1D1上靠近D1的四等分点,点N是CC1的中点,则平面AMN截该长方体所得的截面图形为 ( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
4.棱长为6的正方体内有一个棱长为m的正四面体,且该正四面体可以在正方体内任意转动,则m的最大值为 ( )
A. B.3 C.2 D.3第43讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
(时间:45分钟)
1.若直线上有两个点在平面外,则 ( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是 ( )
3.[2024·合肥六校联考] 已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的 ( )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.[2024·广州二模] 已知α,β,γ是三个不重合的平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则下列说法正确的是 ( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则l∥m
B. 若l∥m,则α∥β
C.若α⊥β,γ⊥β,则l⊥m
D. 若l⊥m,则α⊥β
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,CC1的中点,则平面AEF截正方体所得的截面的形状为 ( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
6.已知a,b,c是不同的直线,α是平面.①若a∥b,b∩c=A,则直线a与直线c的位置关系是 ;②若a⊥b,b⊥α,则直线a与平面α的位置关系是 .
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,F,E,P,M,N分别是CC1,AB,DD1,AD,CD的中点,存在过点E,F的平面α与平面PMN平行,则平面α截该正方体得到的截面面积为 .
8.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中给出下列结论:
①BM 与 ED 平行;
②CN 与 BE 是异面直线;
③CN 与 BM 成 60° 角;
④DM 与 BN 垂直.
其中正确结论的序号是 ( )
A.①②③ B.②④
C.③④ D.①③④
9.[2024·山东菏泽模拟] 在三棱锥D-ABC中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且EF∥GH,则下列说法中正确的是 ( )
A.直线EH与FG一定平行
B.直线EH与FG一定相交
C.直线EH与FG可能异面
D.直线EH与FG一定共面
10.(多选题)[2024·深圳二模] 已知m,n是异面直线,m α,n β,那么 ( )
A.当m⊥β或n⊥α时,α⊥β
B.当m∥β且n∥α时,α∥β
C.当α⊥β时,m⊥β或n⊥α
D.当α,β不平行时,m与β不平行,且n与α不平行
11.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点,O,M分别为BD,EF的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.B,D,E,F四点在同一平面内
B.三条直线BF,DE,CC1有公共点
C.直线A1C与直线OF不是异面直线
D.直线A1C上存在点N使M,N,O三点共线
12.设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线l 平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l.
则上述命题中是真命题的有 .
13.[2024·江苏南通模拟] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=BB1=2,E,F分别是棱AB,A1D1的中点,则平面CEF截该长方体所得的截面为 边形,截面面积为 .
14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,设直线D1F与DA的交点为P.
(1)求证:CE,D1F,DA三条直线交于点P;
(2)G是线段D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=3,E是PD的中点,F,M分别在PC,PB上,且PF=PC,BM=BP.
(1)证明:E,F,A,M四点共面;
(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD,求四棱锥P-AMFE的体积.
16.[2024·重庆巴蜀中学模拟] 在三棱锥P-ABC中,AC=BC=PC=2,且AC⊥BC,PC⊥平面ABC,过点P作截面分别交AC,BC于点E,F,且二面角P-EF-C的平面角为60°,则所得截面PEF的面积的最小值为 ( )
A. B.
C. D.1(共101张PPT)
第43讲 空间点、直线、平面之间的
位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置
关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解4个基本事实和1个定理.
1.基本事实
基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直
线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只
有一条过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
不在一条直线上
两个点
平行
◆ 知识聚焦 ◆
2.三个推论
推论1:经过一条直线和____________一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.
这条直线外
相交
平行
3.空间直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这
两个角_________ _.
相交
相等或互补
平行
任何
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与 平面 相交 ____________________________________________________________ ___个
平行 ________________________________________________________ ___个
1
0
图形语言 符号语言 公共点
直线与 平面 在平 面内 _______________________________________________________ ______个
平面与 平面 平行 _____________________________________________________ ___个
无数
0
续表
图形语言 符号语言 公共点
平面与 平面 相交 ________________________________________________________ ______个
无数
续表
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知下列四个说法：
①三点确定一个平面；②两个平面可以只有一个公共点；③三条平
行直线一定共面；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.
其中正确的说法的序号是____.
④
◆ 对点演练 ◆
[解析] 对于①，共线的三点不能确定一个平面，故①错误；
对于②，若两个平面有一个公共点，则这两个平面有一条经过该点
的公共直线，该交线上有无数个公共点，故②错误；
对于③，三条平行直线可能共面，也可能有一条直线在另外两条平
行直线确定的平面外，故③错误；
对于④，当三条直线两两相交且三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，
也可能不共面，此时其中任意两条直线都可以确定一个平面，共可
以确定3个平面，故④正确.故填④.
2.［教材改编］ 如图所示，平面 平面
， ， ， ，
，，则平面与平面 的交线
是________.
直线
[解析] 由题意知，， ，所以 ，又因为 ，所
以 平面，所以点在平面与平面 的交线上.又因为
平面， ，所以点在平面 与平面 的交线上，所以平
面 平面 .
题组二 常错题
◆ 索引：对异面直线的概念理解不清致误;判断空间点、线、面位
置关系时不全面或不清楚致误.
3. 是一个平面，，是两条不同的直线， 是一个点，若
， ，且， ，则， 的位置关系不可能是
____.（填序号）
①垂直;②相交;③异面;④平行.
④
[解析] 依题意，， ，与 可能异面、相交
（垂直是相交的特例），与 一定不平行.故填④.
4.在空间中，如果两条直线和没有公共点，那么与 的位置关系
是____________.
异面或平行
[解析] 如果两条直线和没有公共点，那么与 的位置关系是异面
或平行.
5.如图，在三棱锥中，，，， 分别
是棱，，， 的中点，则
（1）当， 满足条件_________时，四边形
为菱形；
[解析] 由题意知，，，且， ，
四边形为菱形，， .
（2）当，满足条件___________________时，四边形 为
正方形.
且
[解析] 四边形为正方形，且 ，
且 .
探究点一 平面的基本事实与推论的应用
例1 如图所示,在平行六面体
中,,分别是和 的
中点.求证:
（1）,,, 四点共面;
［思路点拨］连接，，，可证得 ，从而得
到，，， 四点共面；
证明：如图，连接，， .由平行六面
体的性质得 ，
，分别是，的中点， ，
又， ，
，，， 四点共面.
［思路点拨］设，交于点，再证明直线经过点 即可.
解：， ，
与必相交，延长，，设交点为 ，
如图所示.由， 平面，得
平面 .同理可得 平面.延长，
平面 平面，
直线，，， 三线共点.
（2）,, 三线共点.
[总结反思]
证明共面、共线、共点问题的一般方法：
（1）证明共面的方法：①先确定一个平面，然后证明其余的线
（或点）在这个平面内；②证明两平面重合.
（2）证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证明其他各点
都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
（3）证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直
线经过该点.
（1），，， 四点共面；
证明：如图所示，连接.因为 是
的中位线，所以 .
在正方体中， ，
所以 ，所以，确定一个平面，
即，，， 四点共面.
变式题 已知在正方体中，，分别为 ，
的中点，， .求证：
（2）若交平面于点，则，， 三点共线；
解：在正方体中，连接，
设平面为 ，平面为 .因为
，所以 .又，所以 ，
所以是 与 的公共点，同理，是 与
的公共点，所以.又，
所以， ，且 ，
则，故，， 三点共线.
（3），， 三线交于一点.
解：因为且，所以与相交，
设交点为 ，则由， 平面，
得 平面，同理， 平面 .
又平面 平面，所以
，所以 ，， 三线交于一点.
探究点二 空间位置关系的判断
例2（1）如图，点为正方形的中心， 为正三角形，平
面 平面，是线段 的中点，则( )
A.，且直线， 是相交直线
B.，且直线， 是相交直线
C.，且直线， 是异面直线
D.，且直线， 是异面直线
［思路点拨］由中位线可得四边形为梯形，进而得到,
相交，在直角三角形中，利用勾股定理计算可得
√
[解析] 连接，则为的中点，连接 ,
，.如图所示，在中，， 分别
是，的中点，所以 ，
,则四边形是梯形，，
是梯形的两条对角线,所以直线，相交. 设正方形的边长为 ，
由题意可得 为直角三角形，则
.记的中点为 ，
连接，，则为直角三角形，则 ，
故.综上所述，，且直线， 是相交直线.
（2）若和是异面直线，和是异面直线，则和 的位置关系是
( )
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
［思路点拨］借助长方体，判断直线， 的位置关系.
√
[解析] 如图，在长方体 中.
①若直线记为直线，直线记为直线 ，
直线记为直线，此时和 相交；
②若直线记为直线，直线记为直线 ，
直线记为直线，此时和平行；
③若直线 记为直线，直线记为直线，直线记为直线，
此时和 异面.故选D.
[总结反思]
（1）要判断空间中两条直线的位置关系（平行、相交、异面）,可利
用定义,借助空间想象并充分利用图形进行思考.
（2）判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体
（如正方体、空间四边形等）模型来判断;二是利用排除法.
（3）异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面
直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,
从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理：平面外一点
与平面内一点的连线和平面内不经过点 的直线是异面直线来判断.
变式题（1）[2024·浙江宁波镇海中学期末]已知直线，，， ，
且，为异面直线， 平面 ， 平面 .若满足 ，
，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.
√
[解析] 若，因为 平面 ， ，所以 ，同理
，过上一点作直线的平行线，则，设由和 确定
的平面为 ，则 ，而，，同上可知 ，故 ，
选项C正确；
有可能 ，所以选项A错误；
由上可知 ，且 ，所以 或 ，选项B错误；
不一定成立，选项D错误.故选C.
（2）（多选题）如图所示，在正方体
中，，分别为棱 ，
的中点，以下四个选项正确的是( )
A.直线与是相交直线 B.直线与 是平行直线
C.直线与是异面直线 D.直线与 是异面直线
√
√
[解析] 因为点在平面外，点 在平面
内，直线在平面内， 不
过点，所以直线与 是异面直线，故A
错误；
取的中点，连接，则 ，
但与相交，所以与 不平行，故B
错误；
因为点与直线都在平面 内， 点在平面外，不
过点，所以与 是异面直线，故C正确；同理D正确.故选 .
探究点三 正方体中的切割（截面）问题
微点1 正方体中的截面问题
例3 如图所示，正方体 的棱
长为2,为棱的中点，用过点,, 的平面
截该正方体，则所得截面的面积为( )
A. B. C.5 D.
［思路点拨］ 先作出过点,, 的平面截正方
体所得截面，进而求得该截面的面积.
√
[解析] 取的中点，连接, ，由正方
体的性质可知, ，可得四边形
为平行四边形，又 ，则
四边形为菱形，所以截面是边长为 的
菱形，两对角线长分别为, ，所以该截
面的面积 .故选A.
[总结反思]
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画
出它们的交线.
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，
然后根据性质作出交线.
注：正方体的一些截面：
注：正方体的一些截面：
微点2 正方体中的嵌套问题
例4 （多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷] 下列物体中，能够被整体放入棱
长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
( )
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
√
√
√
[解析] 对于A，正方体内切球的直径为 ，故A正确；
对于B，如图①,在正方体中作出正四面体 ，
该正四面体的棱长为，而 ，
故B正确；
对于C，圆柱体的底面直径为，可以忽略不计，
正方体的体对角线的长为 ，而，故C不正确；
［思路点拨］ 根据正方体、球体、四面体、圆柱体的结构特征逐项
计算分析.
对于D，圆柱体的高为 ，可忽略不计，
如图②，取，，，，， 分别为所在
棱的中点，并顺次连接，所得六边形
为正六边形，其边长为，连接，易知
为正六边形的内切圆直径，
因为 ，所以
，而
，故D正确.故选 .
应用演练
1.在正方体中，，，分别是，， 的
中点，则过，，的平面截正方体 所得的截面
图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
√
[解析] 如图所示，连接并延长，与 的
延长线交于，且的反向延长线与 的
延长线交于，连接，交于 ，连接
，则,， 为截面与正方体的交线，
作,交于点，连接，交
于点，连接，则，， 为截面与
正方体的交线，故截面为六边形 .
2.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个竖直的平面去截这个几
何体，则截面图形可能是( )
A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（1）（5）
√
[解析] 当该平面过圆柱上、下底面中心时，截面图形为（1）；
当不过上、下底面的中心时，截面图形为（5）.所以只有（1）（5）
正确.故选D.
3.[2024·四川绵阳模拟]在长方体 中，
，点是上靠近的四等分点，点是 的
中点，则平面 截该长方体所得的截面图形为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
√
[解析] 延长交 的延长线于
点，连接交于点 ，连接
，延长交 的延长线于
点，连接交于点 ，连
接，则五边形为平面 截该长方体所得的截面图形. 不妨
设，又点是上靠近的四等分点，点 是
的中点，所以，，，所以 ，
又，所以，又，所以 ，又
，即 ，解得
，又 ，即
，解得 ，符合题
意，即五边形 为平面
截该长方体所得的截面图形.
故选C.
4.棱长为6的正方体内有一个棱长为 的正四面体，且该正四面体可
以在正方体内任意转动，则 的最大值为( )
A. B.3 C. D.
[解析] 根据题意，当正四面体在正方体的内切
球内时，正四面体可以在正方体内任意转动，
故当该正四面体内接于球时，其棱长最长.正方
体的棱长为6，则其内切球的半径为3，如图，
记内接于球的正四面体为 ，设其棱长为
√
,为底面 的中心，四面体外接球的球心为
，连接，，，则在上，
底面，所以 ，
, ，在
中， ，可得
，故的最大值为 .故选C.
例1 ［配例1、例2使用］ [2025·云南大理模拟] 如图，在正四棱台
中，, ,,分别为棱,,, 的中点，
则( )
A.直线与直线 是异面直线
B.直线与直线 是异面直线
C.直线与直线 共面
D.直线与直线 共面
√
【备选理由】例1由正四棱台的结构特征，判断线线位置关系，旨在
通过几何体结构加深线线位置关系的直观理解；
[解析] 延长,,, ，由正四棱台的
性质可得侧棱,,, 的延长线交于
同一点，设该交点为,,,分别为棱 ,
,,的中点，延长,，则, 的
延长线必过点，则直线与直线 相交于
点，与直线相交于点，与直线 相交
于点，与直线 是异面直线.故选C.
例2 ［配例2使用］ （多选题）已知正方体中,
为的中点，为 的中点，则( )
A.直线与直线平行 B.直线与直线 垂直
C.直线与直线相交 D.直线与直线 异面
[解析] 根据题意，设正方体的棱长为2，以 为坐
标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，， ，，
√
√
【备选理由】例2通过建立空间直角坐标系，分析A,B,D，对于C选项，
由异面直线的定义判断线线位置关系，旨在加深异面直线定义在代数
上的理解与应用；
，， ， . 对于A，，
，由于对于任意的都不会成立，则与
不平行，则直线与直线 不平行，A错误；
对于B，， ，则
有，则 ，即
直线与直线 垂直，B正确；
对于C，连接，直线与相交，故
平面 ，直线 平面，，
所以直线 与 直线 是异面直线，C错误；
对于D，, ,显然两直线不平行，
假设直线与直线相交，则,,, 在同一
平面上，,故存在实数, ,使得
，即
则,无解，故直线与直线
既不相交也不平行，
是异面直线，D正确.故选 .
例3 ［补充使用］ （多选题）[2024·广东
佛山模拟] 如图，在三棱锥中，平
面 平面，且和 均
是边长为2的等边三角形，,,分别为,
,的中点，为 上的动点（不含端点），
平面交直线于 ，则下列说法正确的是( )
【备选理由】例3是一道偏难的综合应用问题，借助动点探究线面位
置关系的变化，综合培养学生处理复杂问题的能力.
A.当运动时，总有
B.当运动时，点到直线距离的最小值为
C.存在点，使得 平面
D.当时，直线,, 交于同一点
√
√
√
[解析] 对于选项A，因为,分别为, 的中
点，所以，又为 上的动点
（不含端点），故 平面，所以
平面，又平面 平面 ，
平面，故 ，所以选项A正确；
对于选项B，连接， ，由题知
，所以，则 ，
即为点到直线的距离，如图①，连接,
，因为 ，又平面 平面，
平面 平面， 平面 ，
所以 平面，又 平面 ，所以，在
中，当时，点 到直线的距离最小，又 ，
，由，得 ，所以选项B正确；
对于选项C，由选项B知，可建立如图②所示的空间
直角坐标系，则, , ,
，又,分别是, 的中点，所以
, ，设
，又， ，则
，又 ， 所以
由 ，得，解得 ，又
，所以与 不垂直，故不存在点，使得 平面
，所以选项C错误；
对于选项D，如图③，由（1）知 ，又
，且，又 ，所以
，且，则, 必有交点，
设，因为 平面 ，所以
平面，又 平面，所以
平面，可得 平面 平面
，所以直线,,交于同一点，故选项D正确.故选 .
作业手册
1.若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内
[解析] 根据题意，两点确定一条直线，由于直线上有两个点在平面
外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交或者直线与平面平行，
所以直线上至多有一个点在平面内.故选D.
√
◆ 基础热身 ◆
2.如图是正方体或四面体,,,, 分别是所在棱的中点,则这四个点不
共面的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在A选项的图中分别连接， ，易证
，，，， 这四点共面；
在C选项的图中分别连接，，易证，
，，， 这四点共面；
如图所示，在B选项的图中过， ，，可作一
正六边形，故，，， 这四点共面；
在D选项的图中分别连接，，与为异面直线，，， ，
这四点不共面.故选D.
3.[2024·合肥六校联考]已知空间中不过同一点的三条直线，， ，
则“，，在同一平面”是“，， 两两相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 依题意，,,是空间中不过同一点的三条直线，当,, 在
同一平面时，可能有，故不能得出,,两两相交.当,, 两
两相交时，设,, ，根据基本事实的推论
2可知,确定一个平面 ，而 , ，根据基本事
实2可知，直线 ，即 ，所以,, 在同一平面.综上所述，
“,,在同一平面”是“,, 两两相交”的必要不充分条件.故选B.
√
4.[2024·广州二模]已知 , , 是三个不重合的平面，且 ,
，则下列说法正确的是( )
A.若 , ，则 B.若，则
C.若 , ，则 D.若，则
[解析] 若 , ，则或与相交，故A错误；若 ，
则 或 与 相交，故B错误；若 , ，则 ，故
C正确；若，则 与 相交，不一定是垂直，故D错误.故选C.
√
5.在正方体中，，分别为， 的中点，则
平面 截正方体所得的截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
[解析] 如图，连接，，，因为 ，
分别为，的中点，所以 ，又
在正方体中， ，
所以，则,,, 四点共面，则平面
截正方体所得的截面为四边形 .故选
B.
√
6.已知，，是不同的直线， 是平面.①若， ，则
直线与直线的位置关系是____________；②若， ，则
直线与平面 的位置关系是______________.
相交或异面
或
[解析] ，， 直线与直线 的位置关系是相交或
异面
， ， 直线与平面 的位置关系是 或
.
7.如图，在正方体中，,,,,, 分别是
,，,,的中点，存在过点,的平面 与平面 平
行，则平面 截该正方体得到的截面面积为_____.
[解析] 分别取，,,的中点，,,，连接, ,
, ，，，易证平面平面，则存在过点, 的
平面 与平面平行，即正六边形是平面 截该正方体得
到的截面，截面的面积是 .
8.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中给出下列结论：
与 平行；
与 是异面直线；
与成 角；
与 垂直.
其中正确结论的序号是( )
A.①②③ B.②④ C.③④ D.①③④
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由正方体的平面展开图复原得空间正方
体如图所示.由图可知，和 是异面直线，
故①不正确；
和 是平行直线，故②不正确；
和平行，与的夹角是 ，
故与所成的角也是 ，故③正确；
与 异面垂直，故④正确.所以正确结论的序号为③④.故选C.
9.[2024·山东菏泽模拟]在三棱锥中，点，，， 分别在
，，，上，且 ，则下列说法中正确的是( )
A.直线与一定平行 B.直线与 一定相交
C.直线与可能异面 D.直线与 一定共面
√
[解析] 因为，所以，，，四点确
定一个平面 ，因此直线与 一定共面，
故D正确，C不正确；
如图①,只有当,时，四边形
为平行四边形，此时 ，故A不正确；
如图②,只有当但时，四边形 为
梯形，此时， 相交于一点，故B不正确.故选D.
10.（多选题）[2024·深圳二模] 已知，是异面直线， ，
，那么( )
A.当 或 时，
B.当 且 时，
C.当 时， 或
D.当 ， 不平行时，与 不平行，且与 不平行
√
√
[解析] 对于A，当 ， 时， ；当 ，
时， ，故A正确.
对于B，当 ， 时，因为, 为异面直线，所以 ，
故B正确.
对于C，当 时，由 ，得 或与 相交；
当 时，由 ，得 或与 相交，故C错误.
对于D，当 , 不平行时，可能 或与 相
交， 或与 相交，故D错误.故选 .
11.（多选题）如图，在长方体中，， 分别为
，的中点，，分别为， 的中点，则下列说法正确
的是( )
A.，，， 四点在同一平面内
B.三条直线，， 有公共点
C.直线与直线 不是异面直线
D.直线上存在点使，， 三点共
线
√
√
√
[解析] 如图,对于选项A，连接 ，因为
, ，所以四边形
为平行四边形，则 ，又因为，
分别为， 的中点，所以，
可得，所以 ，，， 四点在同
一平面内，故A正确；
对于选项B，延长,，使与 相交
于点，即,，又因为
平面， 平面，所以
平面， 平面，且
平面 平面，
所以 ，即三条直线，， 有
公共点，故B正确；
对于选项C，连接, ,因为 平面
， 平面，，
所以直线 与直线 是异面直线，故C错误；
对于选项D，因为,, ,均在平面 内，
连接，则与 相交，所以直线上
存在点使，， 三点共线，故D正确.
故选 .
12.设有下列四个命题：
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
过空间中任意三点有且仅有一个平面.
若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
若直线 平面 ，直线 平面 ，则 .
则上述命题中是真命题的有_______.
，
[解析] 对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为 ，
若与相交，则交点在平面 内，同理，与的交点 也在平面
内，所以 ，即 ，故命题为真命题.对于命题 ，
若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故命题 为假命题.
对于命题 ，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，故命
题为假命题.对于命题，若直线 平面 ，则垂直于平面
内所有直线，因为直线 平面 ，所以，故命题 为真命题.
综上可知，，为真命题，, 为假命题.
13.[2024·江苏南通模拟] 在长方体中， ，
，，分别是棱，的中点，则平面 截该
长方体所得的截面为____边形，截面面积为_ _____.
五
[解析] 如图①,过作的平行线交于，交直线于 ，连接，交于，连接,，则直线与直线 共面，且,,，则点也在直线与直线 确定的平面上，
所以可得五边形为平面 截该长方体所得的截面.
如图②，设为的中点，为的中点，连接
, ,显然有，所以，所
以为上靠近 的四等分点.又，且
为的中点，所以 ，又，所
以，即为上靠近 的三等分 点，所以, ,
， ,
,，
，所以 ，， ，所以， ，
，所以截面面积为 .
14.如图所示，在正方体中，，
分别是，的中点，设直线与的交点为 .
（1）求证：，，三条直线交于点 ；
证明：如图，连接，， ，
在正方体中，， 分别是
，的中点，且 .
且 ，
且 ，
与相交，设交点为 .
， 平面， 平面 .
又， 平面， 平面
，
为两平面的公共点.
平面 平面 ，
，故与 重合，
，，三条直线交于点 .
（2）是线段上一点，若 交平面
于点，求证：，， 三点共线.
证明： 平面， 平面，又 平面 ，
在平面和平面 的交线上.
同理，在平面和平面 的交线
上，在平面和平面的交线上，，，都在平面 与
平面 的交线上，
，， 三点共线.
15.如图，在四棱锥中，，，， 是
的中点，,分别在,上，且, .
（1）证明：,,, 四点共面；
证明：如图所示，取的中点，连接 ,
，因为,分别是, 的中点，所以
.
因为,，所以 且
，
又，，所以，且，所以四边形
为平行四边形，所以 .
因为，所以，则,,, 四点共面.
（2）若, 平面, ，求四棱锥
的体积.
解：如图所示，过点作交于点 ，
则,，可得 ，
.
连接, ，则
.
16.[2024·重庆巴蜀中学模拟]在三棱锥 中，
，且, 平面，过点 作截面分别
交,于点,，且二面角的平面角为 ，则所得截
面 的面积的最小值为( )
A. B. C. D.1
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 过作，垂足为，连接 ，
易证得， 即为二面角
的平面角， ，又
，,.设 ,
，则，在 中，
，又 ，所
以，所以 ，当且
仅当时等号成立，所以 的面
积为，故截面
的面积的最小值为 .故选B.
【知识聚焦】1.不在一条直线上 两个点 平行 2.这条直线外 相交 平行
3.(1)相交 平行 任何 (2)相等或互补 4.1 0 无数 0 无数
【对点演练】1.④ 2.直线CD 3.④ 4.异面或平行
5.(1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
课堂考点探究
例1 略 变式题 略 例2 (1)B (2)D 变式题 (1)C (2)CD
例3 A 例4 ABD
【应用演练】 1.D 2.D 3.C 4.C
教师备用习题
例1 C 例2 BD 例3ABD
基础热身
1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6. ①相交或异面 ②a∥α或a α
7.
综合提升
8.C 9.D 10.AB 11.ABD 12.p1,p4
13.五 14.略 15. (1)略 (2)
能力拓展
16.B
