5.3 实际问题与一元一次方程 课件(共56张PPT)2025-2026学年数学人教版（2024）七年级上册

(共56张PPT)
5.3 实际问题与一元一次方程
第五章 一元一次方程
5.3 课时1 配套问题与工程问题
第五章 一元一次方程
1.会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题.
2.通过列方程解决实际问题的过程,掌握配套问题和工程问题的解决方法,让学生逐步建立方程思想.
3.培养学生数学建模能力,分析问题、解决问题的能力.
活动：根据下列情境，回答相关问题.
情境：某车间有22名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可以生产1200个甲种零件或2000个乙种零件.已知每个甲种零件和2个乙种零件配成一套.
问题1：若每天生产的零件刚好配套，则甲乙两种零件的数量关系如何？
问题2：应安排多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？
任务一：会列方程解决配套问题
零件数量关系：甲种零件的数量×2=乙种零件的数量
某车间有22名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可以生产1200个甲种零件或2000个乙种零件.已知每个甲种零件和2个乙种零件配成一套.
解：设应安排x名工人生产甲种零件，则有(22-x)名工人生产乙种零件，
依题意有：2×1200x=2000×(22-x)，
解得：x=10，
则22-x=12，
答：应安排10名工人生产甲种零件，12名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套.
列方程解决实际问题的基本过程是什么？
思考
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
实际问题的答案
解方程
一元一次方程的解(x=a)
检验
配套问题的求解策略
在配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
配套问题中的基本关系：若m个A和n个B配成一套，则A的数量:B的数量=m:n，可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量.
1个镜架+2片镜片
某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？
解：设x人生产镜片，则(60-x)人生产镜架，
依题意有：200x=2×50(60-x)，
解得：x=20，
则60-x=40，
答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品配套.
活动：独立阅读情境，回答下列问题.
加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务.现在要求二人在12天内完成任务，乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？提示：完成下面表格后列方程求解上述题目.
任务二：会列方程解决工程问题
工作效率 工作时间 工作量
甲
乙 x
12-x
等量关系：工作总量=甲的工作量+乙的工作量
解：设乙需工作x天，则甲需工作(12-x)天，
依题意有： ，
解得：x=8，
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务.
小组讨论：时间紧迫要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？
解：设乙先加工x天，则甲需工作(8-x)天，
依题意有： ，
解得：x=4，
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务.
还可列其他方程吗？
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间：工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者：工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
解决工程问题的基本思路
用一元一次方程解决实际问题的基本过程有哪些？
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
实际问题的答案
解方程
一元一次方程的解(x=a)
检验
1.要挖一条水渠，共有72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设派x人挖土，其他的人运土，可列方程 .
2.某工程，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成．现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要x天，则下列方程不正确的是（ 　　）
C
3(72-x)=x
3.设有工人65人，每天可加工大齿轮8个或小齿轮10个，一个大齿轮和两个小齿轮配成一套，为使每天生产的大齿轮和小齿轮刚好配套，应安排生产大齿轮和小齿轮的工人多少名？
解：设安排x人生产大齿轮，则(65-x)人生产小齿轮，可使生产的产品刚好成套.
根据题意得，2×8x=10(65-x)
解方程，得x=25，则65-x=40人
答：应安排25个工人生产大齿轮，安排40个工人生产小齿轮才能使生产的产品刚好成套.
4.一项工程甲单独做50天可以完成，乙单独做75天可以完成，现在两个人合作．但是中途乙因事离开几天，从开工后40天把这项工程做完．问乙中途离开了几天？
解：设乙中途离开了x天，
依题意有： ，
解得：x=25,
答：乙中途离开了25天.
5.在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名同学在乙处劳动，现在从其它班级另调 20 人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、乙两处各多少人？
解：应调往甲处 x 人，调往乙处的人数是( 20-x)人，因此调动后甲处为(27＋x)人，乙处为(39-x)人.
依题意，得27+x = 2(39-x)，
解方程，得x = 17.调往乙处的人数为20-x=3人
答：应调往甲处 17 人，调往乙处 3 人．
5.3 课时2 销售中的盈亏
第五章 一元一次方程
1.理解商品销售中的相关概念及数量关系.
2.会列一元一次方程解决商品销售实际问题，并掌握解决此类问题的一般思路.
活动1：填空.
1.商品原价200元，九折出售，售价是 元.
2.商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元，利润率是_____.
3.某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应
为 元.
4.某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是　 元.
任务一：熟悉销售中的相关概念和数量关系
180
30
20％
1.25a
16
销售问题中常见的相等关系
1.售价、进价、利润的关系：
2.进价、利润、利润率的关系：
3.标价、折扣数x、商品售价的关系：
4.商品售价、进价、利润率的关系：
利润=售价-进价
利润=进价×利润率
商品售价=标价×
商品售价=进价×（1+利润率）
利润率是百分数.
活动2：独立阅读下列情境，回答相关问题.
情境1：百姓商场以每件80元的价格购进某品牌衬衫共500件，加价50%后标价销售，在“庆元旦，迎新春”期间，商场计划降价销售．
（1）如果商场按降价后的价格售完这批衬衫，仍可盈利20%，应按几折销售？
（2）如果商场先按标价售出400件后再降价，那么剩余的衬衫按几折销售，才能使售完这批衬衫后盈利35%
问题：根据上述情境列出相应方程.
任务二：根据销售场景，列方程解决问题
解：（1）设应按x折销售，
则80×(1+50%)×0.1x-80=80×20%；
（2）设剩余的衬衫按a折销售，
则80×(1+50%)×400+80×(1+50%)×0.1a×(500-400)=80×500×(1+35%).
情境2：某商店将两个进价不同的豆浆机都卖378元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%.
问题1：销售的盈亏取决于什么？
问题2：那么在这次买卖中，你估计这家商店的盈亏情况是怎样的(盈利，亏损或者不盈不亏)？
问题3：验证你的估计是否正确.
总售价(收入)与总成本(进价)之间的关系
总售价＞总成本→盈利
总售价＜总成本→亏损
总售价＝总成本→不盈不亏
解：设盈利20%的豆浆机的进价为 x 元.
由题意得 (1+20%)x=378，解得x=315，
设亏损20%的豆浆机的进价为 y 元.
由题意得 (1-20%)y=378，解得y=472.5，
所以这两个豆浆机的进价之和是315+472.5=787.5(元).
因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，
且756-787.5=-31.5(元)，
所以在这次买卖中，这家商店是亏损的，亏损了31.5元.
在销售问题中，常常利用“利润=售价-进价”和“利润=进价×利润率”这两个利润计算公式表示同一商品的利润，从而根据相等关系“售价-进价=进价×利润率”列方程.
同理也可以根据相等关系“进价×(1+利润率) =标价×打折率”列方程.
1.销售中常见的相等关系有哪些？
2.列方程解实际问题中有一步骤是检验，检验的是什么？
1.一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元．小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x-20=0.6x+10.小明同学列此方程的依据是( )
A．商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
2.某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下列方程正确的是（　　）
A．85%a=10%×90 B．90×85%×10%=a
C．85%(90-a)=10% D．(1+10%)a=90×85%
C
D
3.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元.而它们的销售利润额相同，其中，每个小书包的利润率为30%，每个大书包的利润率为20%，试求两种书包的进价.
解：设小书包的进价为x元，则大书包的进价为（ x+10）元，
根据题意列方程：30 %x=20%(x+10) ，
解方程得， x=20 ，
大书包的进价为 ：x+10=30 元.
答：大书包进价30元，小书包进价20元.
4.一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元.售出这件商品是盈利还是亏损？
解：设成本价为x，标价应为(1+20%)x=1.2x
可列方程：1.2x×0.8=144，
0.96x=144，
解方程得，x=160.
因为成本价166元大于售价144元，所以这件商品亏损.
答：这件商品亏损.
5.2 课时3 比赛积分问题
第五章 一元一次方程
1. 会阅读，理解表格，并从表格中提取信息.
2. 会运用方程解决比赛积分问题.
活动1：同桌讨论，根据表格回答问题.
任务：观察表格，根据表格数据列方程解决积分问题
某次篮球联赛积分榜
问题1：胜一场和负一场各积多少分
观察积分榜，从最下面一行数据可以看出，负一场积1分.
设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出x的值,例如,从第一行得方程：
10x+1×4=24.由此得x=2.
问题2：如何用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系
活动：同桌讨论，完善表格并回答问题.
任务：观察表格，根据表格数据列方程解决积分问题
某次篮球联赛积分榜
解：(2) 设某队胜 m 场，则负 (14 - m) 场，胜场积分为 2m，负场积分为 14 - m，总积分为：2m + (14 - m) ，即m + 14.
问题3：某队的胜场总积分能等于它的负场总
积分吗
解：(3) 设一支球队胜了 y 场，则负了 (14 - y) 场.所以，2y = 14 - y.
由此，得.即没有哪个队的胜场总积分可以等于它的负场总积分.
y表示什么量 它可以不取整数吗？
利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.
用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
比赛积分问题中常见的等量关系：
某队的参赛场数=胜场数+负场数+平场数；
某队的总积分=胜场积分+负场积分+平场积分.
活动2：同桌讨论，完善表格并回答问题.
下表是2020-2021赛季某足球联赛第一阶段小组赛(该小组共四个队，每个队分别与其他三个队进行主客场比赛各一场，即每个队要进行6场比赛)积分表的一部分.（积分=胜场积分+平场积分+负场积分）
任务：观察表格，根据表格数据列方程解决积分问题
排名 球队 场次 胜 平 负 进球 主场进球 客场进球 积分
1 A 6 1 13 8 5 13
2 B 6 3 2 1 8 3 5 11
3 C 6 3 1 2 9 x 5 10
4 D 6 0 0 6 1 1 0 0
问题1：表格中x的值为 ,本次足球小组赛胜一场积 分,平一场积 分,负一场积 分.
4
3
1
0
排名 球队 场次 胜 平 负 进球 主场进球 客场进球 积分
1 A 6 1 13 8 5 13
2 B 6 3 2 1 8 3 5 11
3 C 6 3 1 2 9 x 5 10
4 D 6 0 0 6 1 1 0 0
问题2：该足球联赛奖金分配方案为：参加第一阶段小组赛6场比赛的每支球队都可以获得参赛奖金1200万元.另外，小组赛中每获胜一场可以获得150万元，平一场可以获得50万元.请根据表格提供的信息，求在第一阶段小组赛结束后，A队一共能获得多少万元的奖金？
问题3：某队进行6场赛，没有负一场，那胜场总积分能等于它平场总积分吗？
问题2：解：设A队胜x场，则平(6-x-1)场，
依题意有3x+(6-x-1)=13，解得x=4，
那么6-x-1=1，
所以A队一共能获得奖金1200+150×4+50×1=1850(万元)，
答：在第一阶段小组赛结束后，A 队一共能获得1850万元的奖金.
问题3：解：设胜了a场，则平(6-a)场，
依题意有：3a=6-a，解得a=1.5，
a表示所胜的场数，必须是整数，所以a=1.5不符合实际，
由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义．
1.销售中常见的相等关系有哪些？
2.列方程解实际问题中有一步骤是检验，检验的是什么？
1.某次足球比赛的积分规则为：胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分.某支足球队共打了14场比赛，负5场，共得19分，那么在这次比赛中这支足球队胜了( )
A.6场 B.5场 C.4场 D.3场
B
2.在学完“有理数的运算”后，数学老师组织了一次计算能力竞赛．竞赛规则是：每人分别做50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分．
(1)如果参赛学生小红最后得分是142分，那么小红答对了多少道题？
(2)参赛学生小明能得145分吗？请简要说明理由．
解：(1)设小红答对了x道题，由题意得3x-(50-x)=142，解得x=48，答：小红答对了48道题．
(2)小明不能得145分，
理由：设小明答对了y道题，由题意得3y-(50-y)=145，解得y=48.75，
因为y=48.75不是整数，所以小明不能得145分．
3.下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.
解:设文艺小组每次活动的时间为x小时，科技小组每次活动时间为(3.5-x)小时，
4x+3(3.5-x)= 12.5，解得：x=2，科技小组每次活动时间为1.5小时.
设九年级文艺小组的活动次数为a，科技小组的活动次数为b.则2a+1.5b=7
因为a、b为整数，所以a=2，b=2. 故答案为:2，2.
请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表.
5.2 课时4 方案选择
第五章 一元一次方程
1.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受一元一次方程与日常生活的密切关系，提高分析问题、解决问题的能力.
2. 通过活动探究，掌握一元一次方程解决选择付费方式类型问题的方法和技能
活动：小组讨论，结合下列情境选择合适方案.
情境：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kw·h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
任务：分析情境，选择合理方案
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
问题1：设使用时间是t，两款空调的综合费用如何表示？
1级效能：3000 + 320t，
3级效能：2600 + 400t，
活动：小组讨论，结合下列情境选择合适方案.
情境：
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
问题2：如果是你，你会考虑购买哪类空调？
法一.作差：，当，时，选1级能效；
当
时，选1级能效或3级能效；当
时，选3级能效；
= 80(5 - t)
活动：小组讨论，结合下列情境选择合适方案.
情境：
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1 级 3 000 640
1.5 3 级 2 600 800
问题2：如果是你，你会考虑购买哪类空调？
法二.转化法：2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400)= (3000 + 320t) + 80(t - 5),
当t - 5，时，选1级能效；
当t - 5，时，选1级能效或3级能效；
当t - 5，时，选3级能效.
= 80(5 - t)
方案选择问题一般思路
列表分析
审题
分类讨论
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
用 A4 纸在某复印社复印文件，复印页数不超过 20 时每页收费 0.12 元；复印页数超过 20 时，超过部分每页收费 0.09 元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费 0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜 (复印的页数不为零)？
解：设复印页数为 x，依题意，列表得：
复印页数 x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元
x 小于 20 0.12x 0.1x
x 等于 20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2
x 大于 20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x
(1) 当 x＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜；
解：设复印页数为 x，依题意，列表得：
复印页数 x 复印社复印费用/元 图书馆复印费用/元
x 小于 20 0.12x 0.1x
x 等于 20 0.12×20＝2.4 0.1×20＝2
x 大于 20 2.4＋0.09(x－20) 0.1x
(2) 当 x＝20 时，图书馆价格便宜；
(3) 当 x 大于 20 时，令 2.4＋0.09(x－20)＝0.1x，解得x＝60.
①当 20②当 x=60 ,两者价格相同；
③当 x>60 ,复印社价格便宜.
1.在用含未知数的式子表示分段计费问题的费用时，要分清在未知数的不同取值范围内费用的不同计算方式，否则易混淆而出错.
2.若已知费用求未知数的值，要注意分类讨论，防止漏解，同时，要对分类讨论求出的未知数的值进行检验,看它是否符合对应的取值范围.
回顾本节课，说一说你都学到了哪些知识？
综合费用比较
方法
关键
分段计费
此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
解决综合费用比较问题需要明确“哪种方式更省钱”与“使用时间”有关.
1.小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　）
A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44
C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44
A
2.某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过7m3，则按2元/m3 收费；若每户每月用水超过7m3则超过的部分按3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了53元水费，那么这户居民去年12月的用水量为_______m3.
20
3.某书店现推出如下购物优惠方案：①一次性购书在 100 元 (不含 100 元) 以内，不享受优惠；②一次性购书在 100 元 (含 100 元) 以上，350 元 (不含 350 元) 以内，一律享受九折优惠；③一次性购书在 350 元 (含 350 元) 以上一律享八折优惠.
金额 (元) 小于 100 大于等于100小于350 大于等于350
优惠 无 0.9 0.8
小明原先计划两次购书分别付款 60 元和 288 元，现决定改为一次性付款，则应付款 元.
解：设第二次购书原本因花费 x 元.
① 第二次购书超过 100 元，但不足350 元，
所以0.9x = 288，解得 x = 320.又因为320 + 60 = 380＞350，
所以380×0.8 = 304 元；
② 第二次购物不低于 350 元，
0.8x = 288，解得 x = 360.又360 + 60 = 420＞350，
所以 420×0.8 = 336 元.
综上，答案为304或336.