第45讲 直线、平面垂直的判定与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)任意一条直线 垂线 垂面
(2)两条相交直线 一条直线
另一条直线 任意一条直线 平面
2.(1)直二面角 (2)直二面角
∠AOB=90° 垂线 二面角的平面角 ∠AOB=90° 交线 垂直
【对点演练】
1.4 3 [解析] 由PD⊥平面ABCD,得平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD.因为AC⊥BD,AC⊥PD,BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,所以平面PAC⊥平面PDB,故互相垂直的平面有4对.与AC垂直的直线有PD,BD,PB,共3条.
2.② [解析] 在①中,如图甲,a α,b β,且a,b与l都不垂直,则a,b不一定垂直,故①错误;在②中,如图乙,a α,b β,b⊥l,则b⊥α,所以β内所有与b平行的直线都与a垂直,故②正确;在③中,如图丙,a α,但a与l不垂直,则a与β不垂直,故③错误;在④中,如图丁,若a不在α内,则a与β不垂直,故④错误.故填②.
3.(1)外 (2)垂 [解析] (1)如图①,连接OA,OB,OC,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.
(2)如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB 平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC 平面POC,所以AB⊥平面POC,又CG 平面POC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC的边AB上的高.同理可得BD,AH分别为△ABC的边AC,BC上的高,所以O为△ABC的垂心.
4.必要不充分 [解析] 根据直线与平面垂直的定义知,“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”,反之则可以,所以应填必要不充分.
5.②③ [解析] 在①中,若α∥β,n α,m β,则m与n平行或异面,故①错误;在②中,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又n⊥α,所以n⊥β,故②正确;在③中,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n α,又n⊥β,所以α⊥β,故③正确;在④中,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m与n平行、相交或异面,故④错误;在⑤中,若α⊥β,m α,n β,则m,n平行、相交或异面,所以⑤错误.故填②③.
6.5 [解析] 由底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=a,得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥底面ABCD,由PA 平面PAB,PA 平面PAD,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.由BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,得BC⊥平面PAB,又BC 平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.由CD∥AB,得CD⊥平面PAD,又CD 平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.故共有5对互相垂直的面.
7.一定 [解析] 因为PA=PB=PC,所以点P在平面ABC内的射影O为△ABC的外心,因为∠BAC=90°,所以O为BC的中点,所以PO在平面PBC内,所以平面PBC⊥平面ABC.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由线面平行的判定定理及线面、面面垂直的性质定理、判定定理逐一判断各选项即可.(2)利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断即可.
(1)C (2)B [解析] (1)若m⊥n,n⊥l,则m∥l或m,l相交或m,l异面,所以A为假命题;若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ或α,γ相交,所以B为假命题;若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n∥β,则α⊥β,所以C为真命题;若m∥n,m∥α,则n α或n∥α,所以D为假命题.故选C.
(2)∵PA⊥平面ABC,PA 平面PAC,∴平面ABC⊥平面PAC,故D中说法正确.∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又BC 平面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC,故C中说法正确.∵AN 平面PAB,∴BC⊥AN,∵AN⊥PB,BC∩PB=B,∴AN⊥平面PBC,又AN 平面ANS,∴平面ANS⊥平面PBC,故A中说法正确.对于B,假设平面ANS⊥平面PAB,∵AN⊥平面PBC,NS 平面PBC,∴AN⊥NS,∵平面PAB⊥平面ANS,平面PAB∩平面ANS=AN,∴NS⊥平面PAB,∴NS⊥PB,∵AN⊥PB,AN∩NS=N,∴PB⊥平面ANS,又AS 平面ANS,∴PB⊥AS,∵AS⊥PC,PB∩PC=P,∴AS⊥平面PBC,与AN⊥平面PBC矛盾,故B中说法不正确.故选B.
变式题 (1)C (2)BC [解析] (1)对于选项A,若l∥α,且m∥α,则l,m可能平行、相交或异面,不一定垂直,故A错误;对于选项B,若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m,n可能平行、相交或异面,不一定平行,故B错误;对于选项C,若m∥l,且m⊥α,则l⊥α,故C正确;对于选项D,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β相交或平行,不一定垂直,故D错误.故选C.
(2)折叠前后得到AH⊥HE,AH⊥HF不变,又EH∩FH=H,所以根据线面垂直的判定定理,可得AH⊥平面EFH,故B正确;过点A只有一条直线与平面EFH垂直,且AH⊥平面EFH,点G与H不重合,故A不正确;AG⊥EF,EF⊥HG,又AG∩HG=G,所以根据线面垂直的判定定理,可得EF⊥平面AGH,故C正确;因为HG与AG不垂直,所以HG与平面AEF不垂直,故D不正确.故选BC.
例2 [思路点拨] 思路一:取AD的中点O,连接SO,则SO⊥AD,连接OE,OF,则OE⊥AD,从而AD⊥平面SOE,进而得到SE⊥AD,再证SE⊥OF即可.思路二:要证SE⊥DF,SE⊥AF,故只需连接AE,DE,再证AE=SA,DE=SD即可.
证明:方法一:取AD的中点O,连接SO,OE,OF,如图.
因为四边形ABCD是矩形,O,E分别是AD,BC的中点,
所以EO AB,所以EO⊥AD.因为△SAD是等边三角形,所以SO⊥AD.因为SO∩OE=O,所以AD⊥平面SOE.因为SE 平面SOE,所以AD⊥SE.因为SA=2AB,所以OS=SAsin∠SAD=SA=×AB=AB=OE,所以△SOE是等腰三角形.
因为F是SE的中点,所以OF⊥SE.
因为OF∩AD=O,OF,AD 平面ADF,所以SE⊥平面ADF.
方法二:不妨设AB=,则SA=AD=SD=2.如图,连接AE,DE,因为E为BC的中点,所以AE=DE=2,所以SD=DE,SA=AE.又F为SE的中点,所以DF⊥SE,AF⊥SE.
因为DF∩AF=F,DF,AF 平面ADF,所以SE⊥平面ADF.
变式题 证明:∵底面ABCD是边长为2的正方形,∴CO=,CD=CB.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,C1C=A1A=2.在△C1OC中,∠C1CO=45°,C1C=2,CO=,由余弦定理得cos∠C1CO===, 可得C1O=,∴C1O2+CO2=C,∴C1O⊥CO.如图,连接C1D,C1B,在△C1CD与△C1CB中,∵CD=CB,∠C1CD=∠C1CB,C1C=C1C,
∴△C1CD≌△C1CB,∴C1B=C1D,即△BC1D为等腰三角形,又O为BD的中点,∴C1O⊥BD.
∵CO 平面ABCD,BD 平面ABCD,CO∩BD=O,∴C1O⊥平面ABCD.
例3 [思路点拨] 利用余弦定理和勾股定理证明DA⊥AB,再由面面垂直的性质定理得到DA⊥平面ABC,从而DA⊥BC,DA⊥AC,进而得到BC⊥AE.根据题目条件得BE=1,由勾股定理得AC⊥AB,最后利用线面垂直的判定定理得AC⊥平面ABB1A1,从而AC⊥BB1.
证明:连接DA,EA,如图,
DA1=1,
AA1=2,
∠DA1A=60°,
由余弦定理可得DA=
=,满足DA2+D=A,所以DA⊥DA1,即DA⊥AB.因为平面ABB1A1⊥平面ABC,且交线为AB,DA⊥AB,DA 平面ABB1A1,所以DA⊥平面ABC.又BC,AC 平面ABC,所以DA⊥BC,DA⊥AC.因为DE⊥BC,DA∩DE=D,且DA,DE 平面DAE,所以BC⊥平面DAE.又AE 平面DAE,所以BC⊥AE.设BE=t,CE=3t,则BA2-t2=AC2-(3t)2,可得t=1,即BE=1,所以BC=4,满足BA2+AC2=BC2,即AC⊥AB.又因为DA⊥AC,DA∩AB=A,且DA,AB 平面ABB1A1,所以AC⊥平面ABB1A1.因为BB1 平面ABB1A1,所以AC⊥BB1.
变式题 解:(1)证明:取棱A1A的中点D,连接BD,如图,
因为AB=A1B,所以BD⊥AA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1,所以BD⊥BB1,所以BD=.
因为AB=2,所以AD=1,AA1=2.
因为AC=2,A1C=2,所以AC2+A=A1C2,所以AC⊥AA1,同理AC⊥AB.因为AA1∩AB=A,且AA1,AB 平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1.因为AC 平面ABC,所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
(2)过B1作B1E⊥AB,垂足为E,连接CE,如图,由(1)可知平面A1ABB1⊥平面ABC,且平面A1ABB1∩平面ABC=AB,所以B1E⊥平面ABC,因为CE 平面ABC,所以B1E⊥CE.
由(1)可知,△ABA1是等边三角形,可得B1E=,CE=,B1C=4.
在△A1CB1中,A1C=2,A1B1=2,B1C=4,由余弦定理得cos∠B1A1C==-,则sin∠B1A1C=,可得△A1B1C的面积为×2×2×=.==×××2×2=,设点N到平面A1B1C的距离为h,则=··2h,可得h=.
例4 [思路点拨] (1)利用三角形相似及等量代换得AC⊥BD,利用线面垂直得EA⊥BD,进而得BD⊥平面EAC,结合已知条件得证;(2)通过等体积法得到A到平面FBD的距离,再求线面角.
解:(1)证明:设AC与BD的交点为O,连接OF,如图,因为AD∥BC,且AB⊥AD,所以AB⊥BC.
因为2AD=2,所以AD=1,又AB=,AB⊥AD,且BC=2,AB⊥BC,所以△ABD∽△BCA,所以∠ABD=∠BCA,
所以∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠BCA.
因为AB⊥BC,所以∠BAC+∠BCA=90°,
所以∠BAC+∠ABD=90°,即∠BAO+∠ABO=90°,所以∠AOB=90°,所以AO⊥OB,即AC⊥BD.因为EA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以EA⊥BD.因为EA∩AC=A,EA,AC 平面EAC,所以BD⊥平面EAC,又因为平面α⊥BD,且B 平面EAC,
所以平面α∥平面EAC.
(2)如图,取AC的中点M,连接FM,因为F为棱EC的中点,所以FM==1,且FM∥EA,又因为EA⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD.
因为OM 平面ABCD,所以FM⊥OM.
因为AB⊥AD,AB⊥BC,所以BD==,AC==.易知△OBC∽△ODA,所以==,所以OA=,即OA==.又AM==,所以OM=AM-OA=.因为FM=1,且FM⊥OM,所以OF==.因为BD⊥平面EAC,OF 平面EAC,所以BD⊥OF,所以S△FBD=×BD×OF=××=.因为AD=1,AB=,且AB⊥AD,所以S△ABD=.设h为A到平面BFD的距离,因为VA-BFD=VF-ABD,所以S△BFD·h=S△ABD·FM,即×h=×1,解得h=.记直线AD与平面FBD所成的角为θ,则sin θ==,所以直线AD与平面FBD所成角的正弦值为.
变式题 证明:(1)记AF,CD的中点分别为I,J,连接GI,IJ,JH,因为AG=GF=,AF=6,所以GI⊥AF,且GI==2.因为平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AGF∩平面ABCDEF=AF,GI⊥AF,所以GI⊥平面ABCDEF.因为平面AGF∥平面HCD,所以平面HCD⊥平面ABCDEF,同理可得HJ⊥平面ABCDEF,HJ=2,所以GI∥HJ,且GI=HJ,所以四边形GIJH为平行四边形,所以GH∥IJ.因为GH 平面ABCDEF,IJ 平面ABCDEF,所以GH∥平面ABCDEF.
(2)由正六边形的性质可知,IJ⊥AF,又平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AGF∩平面ABCDEF=AF,所以IJ⊥平面AGF,因为GH∥IJ,所以GH⊥平面AGF.第45讲 直线、平面垂直的判定与性质
1.C [解析] ∵b∥α,∴b平行于α内的某一条直线,设为b',∵a⊥平面α,且b' 平面α,∴a⊥b',∴a⊥b,但a与b可能相交,也可能异面.故选C.
2.D [解析] 如图,对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,显然BC与B1C不垂直,故AD与B1C不垂直,故A错误;对于B选项,连接A1B,可知△A1BD为等边三角形,故A1D与BD成60°角,故B错误;对于C选项,连接A1C1,AC,易知四边形ACC1A1为矩形,故AC1与A1C不垂直,故C错误;对于D选项,连接C1D,因为AD⊥平面CDD1C1,CD1 平面CDD1C1,所以AD⊥CD1,又CD1⊥C1D,C1D∩AD=D,C1D,AD 平面ADC1,所以CD1⊥平面ADC1,又AC1 平面ADC1,所以AC1⊥CD1,故D正确.故选D.
3.A [解析] 若a⊥β,由b β可知a⊥b成立;若a⊥b,可能a∥β或a与β相交,故不一定有a⊥β.所以“a⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.
4.C [解析] 若m垂直于AB,由平面ABCD⊥平面ABB1A1,得平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直,无法证明AB和n的关系,故A,B错误;若m不垂直于AB,因为BB1⊥m,所以当m⊥n时,BB1∥n,又因为BB1⊥AB,所以n垂直于AB,故C正确,D错误.故选C.
5.B [解析] 显然,在荡秋千的过程中,秋千绳与墙面始终平行,但与道路所成的角在变化,秋千板与墙面垂直,故也与道路始终垂直.故选B.
6.m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β α⊥β) [解析] 由α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,构造命题:m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n.由面面垂直的性质定理得m⊥n.构造命题:m⊥n,m⊥α,n⊥β α⊥β,由面面垂直的判定定理得α⊥β.构造命题:α⊥β,n⊥β,m⊥n m⊥α,但这里m与α相交、平行或m α,故得不出m⊥α.构造命题:m⊥n,α⊥β,m⊥α n⊥β,但这里n与β相交、平行或n β,故得不出n⊥β.
7.③ [解析] 对于①,设α∩β=l,当a∥l,a α,a β时,a∥α,a∥β,所以α与β不一定平行,所以①不正确;对于②,若a∥b,a∥α,则b∥α或b α,所以②不正确;对于③,由a⊥α,a⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,得α∥β,所以③正确;对于④,若α⊥β,a∥α,则a与β的位置关系不确定,所以④不正确.
8.C [解析] 因为四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD的所有侧棱长均为2,所以点P,Q在底面ABCD上的射影都是四边形ABCD的外心,所以两射影重合,即有PQ⊥平面ABCD,且四边形ABCD有外接圆.对于选项A,当四边形ABCD是AB=AC=2的菱形时,四边形ABCD没有外接圆,所以选项A错误;对于选项B,当四边形ABCD是矩形时,显然满足题意,所以选项B错误;对于选项C,因为直角梯形没有外接圆,所以选项C正确;对于选项D,因为PQ⊥平面ABCD,又PQ 平面APQ,所以平面APQ⊥平面ABCD,所以选项D错误.故选C.
9.D [解析] 对于A,因为二面角A-BC-D为直二面角,所以平面ABC⊥平面BCD,又因为平面ABC∩平面BCD=BC,CD⊥BC,且CD 平面BCD,所以CD⊥平面ABC,所以A中判断正确;对于B,由CD⊥平面ABC,AB 平面ABC,可得CD⊥AB,又因为AB⊥AC,且AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B中判断正确;对于C,因为AB⊥平面ACD,且AB 平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C中判断正确;对于D,因为CD⊥平面ABC,CD 平面BCD,所以平面ABC⊥平面BCD,若平面ABD⊥平面BCD,且平面ABC∩平面ABD=AB,则AB⊥平面BCD,又BC 平面BCD,可得AB⊥BC,因为AB与BC不垂直,矛盾,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D中判断不正确.故选D.
10.A [解析] 如图,过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PD⊥AC于D,则PE=PF=PD,连接OD,OE,OF,∵PO⊥平面ABC,AC 平面ABC,AB 平面ABC,BC 平面ABC,∴PO⊥AC,PO⊥AB,PO⊥BC,又PO∩PD=P,PO∩PE=P,PO∩PF=P,∴AC⊥平面POD,AB⊥平面POE,BC⊥平面POF,又OD 平面POD,OE 平面POE,OF 平面POF,∴AC⊥OD,AB⊥OE,BC⊥OF.在Rt△POD,Rt△POE,Rt△POF中,OD=,OE=,OF=,∵PE=PF=PD,∴OD=OE=OF,故O一定是△ABC的内心.故选A.
11.ACD [解析] 要成为“AC1=A1C”的必要条件,则该条件可由“AC1=A1C”推出.对于A,因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,又AC1=A1C,所以四边形ACC1A1为矩形,故A正确;对于B,假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1,由选项A可知四边形ACC1A1为矩形,则AC⊥AA1,又平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,AC 平面ACC1A1,所以AC⊥平面ABB1A1,因为AB 平面ABB1A1,所以AC⊥AB,与四边形ABCD为正方形矛盾,故B错误;对于C,因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,因为AC⊥AA1,AA1∥BB1,所以AC⊥BB1,又BB1∩BD=B,BB1,BD 平面BDD1B1,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC 平面ABCD,所以平面BDD1B1⊥平面ABCD,故C正确;对于D,因为四边形ACC1A1为矩形,O为A1C1的中点,易得OA=OC,又正方形ABCD中,AD=CD,OD是公共边,所以△OAD≌△OCD,则∠OAD=∠OCD,又BC∥AD,AB∥CD,所以∠OAD,∠OCD分别为直线OA,BC所成的角(或其补角)与直线OC,AB所成的角(或其补角),则直线OA,BC所成的角与直线OC,AB所成的角相等,故D正确.故选ACD.
12. [解析] 如图,取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,四边形DCEF均为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MG 平面ABCD,所以MG⊥平面DCEF,又NG 平面DCEF,所以MG⊥NG,所以MN==.
13. [解析] 如图,取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接PH,EF.易知四边形DEFA为正方形,则DF⊥AE,由翻折前后的不变性可知,PH⊥AE,当平面PAE⊥平面ABCE时,又平面PAE∩平面ABCE=AE,PH 平面PAE,所以PH⊥平面ABCE.由题意可知,S△ABC=4,PH=DF=×=,所以VP-ABC=××4=.
14.证明:连接OP,BD,如图.由底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,得AD=AB=BD,又因为O为AD的中点,所以OB⊥AD.因为在△APD中,∠APD=90°,O为AD的中点,
所以PO=AD=AO.
设AD=PB=2a,则OB=a,PO=OA=a,即PO2+OB2=4a2=PB2,所以OB⊥OP,
又因为OP∩AD=O,OP 平面PAD,AD 平面PAD,
所以OB⊥平面PAD.
15.解:当点G为DE的中点时,平面ABC⊥平面AFG,证明如下:
因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥,所以AD=AE,AG⊥DE,又因为在正方形BCDE中,DE∥BC,所以AG⊥BC.
在正方形BCDE中,CD⊥BC,因为AF∥CD,所以AF⊥BC,因为AF∩AG=A,AF,AG 平面AFG,所以BC⊥平面AFG,因为BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面AFG.
16.解:(1)证明:如图,取BC的中点E,连接B1E,AE,则AE⊥BC,又因为ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC⊥平面B1BCC1,
又平面ABC∩平面B1BCC1=BC,所以AE⊥平面B1BCC1,又BC1 平面B1BCC1,所以AE⊥BC1.又AB=2,BB1=,所以tan∠EB1B==, tan∠B1C1B==,
所以 tan∠EB1B= tan∠B1C1B,所以∠EB1B=∠B1C1B,又∠B1C1B+∠B1BC1=90°,所以B1E⊥BC1,
又AE∩B1E=E,所以BC1⊥平面AB1E,所以AB1⊥BC1.
(2)过点D作DF⊥BC于点F,如图,
由(1)知AE⊥平面B1BCC1,所以AE∥DF,所以DF⊥平面B1BCC1.
又D为AC的中点,所以AE=2DF,
因为AB=2,所以AE=,所以DF=,又=×2×=,
所以=××DF=××=.
(3)过点F作FG⊥BC1于点G,连接DG,如图,因为DF⊥平面B1BCC1,且FG⊥BC1,所以∠DGF即为平面DBC1与平面BCC1的夹角.
又sin∠FBG===,且BF=,所以GF=,
所以 tan∠DGF==1,所以平面DBC1与平面BCC1夹角的大小为.第45讲 直线、平面垂直的判定与性质
【课标要求】 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的 ,平面α叫作直线l的 .
(2)直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 b是平面α内的任意一条直线,a⊥b a⊥α 证明 直线 和平 面垂 直
如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α
如果两条平行直线中的 垂直于一个平面,那么 也垂直于这个平面 b⊥α
性质 如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的 都垂直 a⊥b 证明 直线 与直 线垂 直
垂直于同一个 的两条直线平行 a∥b 证明 直线 与直 线平 行
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判定 根据定义,证明两平面所成的二面角是 ∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且 ,则α⊥β 证明 两个 平面 垂直
如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 如果两个平面垂直,那么它们所成 是直角 α⊥β,∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则 证明 两条 直线 垂直
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面 a⊥α 证明 直线 与平 面垂 直
常用结论
1.与线面垂直相关的常用结论:
(1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直;
(2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直;
(3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;
(4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.
2.三种垂直关系的转化:
线线垂直线面垂直面面垂直
3.三垂线定理及逆定理
(1)定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
(2)逆定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
题组一 常识题
1.[教材改编] 如图,已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面,连接PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的平面有 对,与AC垂直的直线有 条.
2.[教材改编] 若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法中正确的序号是 .
①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线;
②平面α内的直线必垂直于平面β内的无数条直线;
③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β;
④过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β.
3.[教材改编] 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心;
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 心.
题组二 常错题
◆索引:证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;忽略线面垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定势的影响.
4.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,现有以下说法:
①若α∥β,n α,m β,则m∥n;
②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β;
③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β;
④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;
⑤若α⊥β,m α,n β,则m⊥n.
其中正确说法的序号为 .
6.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=a,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
7.在△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外的一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC (填“一定”或“不一定”)垂直.
垂直关系的基本问题
例1 (1)设m,n,l是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中为真命题的是 ( )
A.若m⊥n,n⊥l,则m⊥l
B.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
C.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
D.若m∥n,m∥α,则n∥α
(2)如图所示,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列说法不正确的是 ( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
总结反思
解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示.
变式题 (1)已知l,m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列四个说法中正确的是 ( )
A.若l∥α,且m∥α,则l⊥m
B.若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m∥n
C.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α
D.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
(2)(多选题)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AC与EF交于点G,现沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有 ( )
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH
C.EF⊥平面AGH D.HG⊥平面AEF
线面垂直的判定与性质
例2 [2024·湘豫名校联考] 如图,在四棱锥S-ABCD中,△SAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,且 SA=2AB,E是BC的中点,F是SE的中点.证明:SE⊥平面ADF.
总结反思
解决直线与平面垂直问题的常用方法:
(1)线面垂直的判定定理:
l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P l⊥α.
(2)面面垂直的性质定理:
α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β.
(3)性质:①a∥b,b⊥α a⊥α;
②α∥β,a⊥β a⊥α.
变式题 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.
证明:C1O⊥平面ABCD.
面面垂直的判定与性质
例3 [2024·武汉调研] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AB=BB1=2,AC=2,∠B1BA=60°,点D是棱A1B1的中点,=4,DE⊥BC.证明:AC⊥BB1.
总结反思
1.判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β)(一般在一个平面内找交线的垂线,证此线与另一平面垂直).
2.在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
变式题 [2024·陕西宝鸡三模] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与BB1间的距离为,AB=AC=A1B=2,A1C=BC=2.
(1)证明:平面A1ABB1⊥平面ABC;
(2)若点N是棱A1C1的中点,求点N到平面A1B1C的距离.
平行垂直关系的综合问题
例4 [2024·厦门一模] 如图所示,在四棱锥E-ABCD中,AD∥BC,2AD=BC=2,AB=,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,过点B作平面α⊥BD.
(1)证明:平面α∥平面EAC;
(2)已知点F为棱EC的中点,若EA=2,求直线AD与平面FBD所成角的正弦值.
总结反思
垂直关系综合问题的解题方法:
(1)对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于垂直与平行相结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进行位置关系证明或求角.
变式题 [2024·西安模拟] 如图,在九面体ABCDEFGH中,平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AGF∥平面HCD,AG=GF=CH=HD=,AB=6,底面ABCDEF为正六边形.证明:
(1)GH∥平面ABCDEF.
(2)GH⊥平面AGF.
第45讲 直线、平面垂直的判定与性质
(时间:45分钟)
1.已知直线a⊥平面α,b∥α,则 ( )
A.a⊥b,且a与b相交
B.a⊥b,且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
2.[2024·苏北七市二调] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是 ( )
A.AD⊥B1C
B.A1D⊥BD
C.AC1⊥A1C
D.AC1⊥CD1
3.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,若a α,b β,α⊥β,则“a⊥β”是“a⊥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线m,n分别在平面ABCD和ABB1A1上,且m⊥n,则下列说法中正确的是 ( )
A.若m垂直于AB,则n垂直于AB
B.若m垂直于AB,则n不垂直于AB
C.若m不垂直于AB,则n垂直于AB
D.若m不垂直于AB,则n不垂直于AB
5.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为:“墙里秋千墙外道,墙外行人,墙里佳人笑,笑渐不闻声渐悄,多情却被无情恼.”如图所示,假如将墙看作一个平面,墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线,那么道路和墙面线面平行,秋千静止时,秋千板与墙面线面垂直,秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中,下列说法错误的是 ( )
A.秋千绳与墙面始终平行
B.秋千绳与道路始终垂直
C.秋千板与墙面始终垂直
D.秋千板与道路始终垂直
6.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下列四个论断:
①m⊥n;②m⊥α;③n⊥β;④α⊥β.
请你根据上面四个论断写出一个真命题: .
7.[2024·湖北新高考协作体联考] 已知a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,给出下列四个结论:
①若a∥α,a∥β,则α∥β;
②若a∥b,a∥α,则b∥α;
③若a⊥α,a⊥β,则α∥β;
④若α⊥β,a∥α,则a⊥β.
其中正确结论的序号是 .
8.已知点P,Q分别在平面ABCD的两侧,四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD的所有侧棱长均为2,则下列结论正确的是 ( )
A.四边形ABCD可能是AB=AC=2的菱形
B.四边形ABCD一定是正方形
C.四边形ABCD不可能是直角梯形
D.平面APQ不一定与平面ABCD垂直
9.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图①的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得到如图②所示的四面体A-BCD.小明对四面体A-BCD中的直线、平面的位置关系作出了如下判断,其中不正确的是 ( )
A.CD⊥平面ABC
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面ABD⊥平面BCD
10.过△ABC所在平面α外的一点P,作PO⊥α,垂足为O,若点P到直线AB,AC和BC的距离都相等,则点O是△ABC的 ( )
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
11.(多选题)[2024·山西吕梁二模] 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,O为A1C1与B1D1的交点,则下列条件中能成为“AC1=A1C”的必要条件的有 ( )
A.四边形ACC1A1是矩形
B.平面ABB1A1⊥平面ACC1A1
C.平面BDD1B1⊥平面ABCD
D.直线OA,BC所成的角与直线OC,AB所成的角相等
12.如图所示,已知正方形ABCD和正方形DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则MN= .
13.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,点E为线段CD的中点,沿直线AE将△ADE翻折,点D运动到点P的位置.当平面PAE⊥平面ABCE时,三棱锥P-ABC的体积为 .
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,点O为AD的中点,
∠APD=90°且AD=PB,求证:OB⊥平面PAD.
15.[2024·安徽合肥一中期末] 如图,多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-BCDE与一个三棱锥F-ADE拼接而成的,AF∥CD,在棱DE上找一点G,使得平面ABC⊥平面AFG,并证明你的结论.
16.[2024·巴蜀中学模拟] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BB1=,D为AC的中点.
(1)证明:AB1⊥BC1;
(2)求三棱锥D-BCC1的体积;
(3)求平面DBC1与平面BCC1夹角的大小.(共117张PPT)
第45讲 直线、平面垂直的判定与性质
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中
直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,
并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线与平面 内的______________都垂直，就说
直线与平面 互相垂直，记作 .直线叫作平面 的______，
平面 叫作直线 的______.
任意一条直线
垂线
垂面
◆ 知识聚焦 ◆
（2）直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 根据定义，证明一 条直线垂直于一个 平面内的任意一条 直线 ________________________________ 是平面 内 的任意一条 直线， 证明直线
和平面垂
直
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一条直线与一 个平面内的______ _________垂直， 那么该直线与此平 面垂直 _________________________________ __________________________ 证明直线
和平面垂
直
两条相交直线
续表
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果两条平行直线 中的__________垂 直于一个平面，那 么____________也 垂直于这个平面 _________________________________ _________________________ 证明直线
和平面垂
直
一条直线
另一条直线
续表
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
性质 如果一条直线和一 个平面垂直，那么 这条直线和这个平 面内的__________ _____都垂直 ________________________________________ _________________________ 证明直线
与直线垂
直
任意一条直线
续表
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
性质 垂直于同一个 ______的两条直线 平行 _________________________________________ _________________________ 证明直线
与直线平
行
平面
续表
2.平面与平面垂直
（1）定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说
这两个平面互相垂直.
（2）两个平面垂直的判定与性质
直二面角
类 别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判 定 根据定义，证明两 平面所成的二面角 是__________ ________________________________________ 是二面角 的平面 角，且__________ ____，则 证明两
个平面
垂直
直二面角
类 别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判 定 如果一个平面过另 一个平面的 ______，那么这两 个平面垂直 ______________________________________ _________________________ 证明两
个平面
垂直
垂线
续表
类 别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
性质 如果两个平面垂 直，那么它们所成 ________________ 是直角 ____________________________________ ， 是 二面角 的平面角，则 ____________ 证明两
条直线
垂直
二面角的平面角
续表
类 别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
性 质 两个平面垂直，如 果一个平面内有一 直线垂直于这两个 平面的______，那 么这条直线与另一 个平面______ _____________________________________ _____________________________ 证明直
线与平
面垂直
交线
垂直
续表
常用结论
1.与线面垂直相关的常用结论：
（1）两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也
与这个平面垂直；
（2）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直；
（3）过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；
（4）过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.
2.三种垂直关系的转化：
线线垂直线面垂直 面面垂直
3.三垂线定理及逆定理
（1）定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的
射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
（2）逆定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也
和这条斜线在该平面内的射影垂直.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 如图，已知 垂直于菱形
所在的平面，连接，，， ，
，则一定互相垂直的平面有___对，与 垂
直的直线有___条.
4
3
◆ 对点演练 ◆
[解析] 由 平面，得平面 平
面，平面 平面 ，平面
平面.因为， ，
，所以 平面 ，所以平
面 平面，故互相垂直的平面有4对. 与垂直的直线有 ，
， ，共3条.
2.［教材改编］ 若平面 平面 ，且 ，则下列说法中正
确的序号是____.
①平面 内的直线必垂直于平面 内的任意一条直线；
②平面 内的直线必垂直于平面 内的无数条直线；
③平面 内的任意一条直线必垂直于平面 ；
④过平面 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 .
②
[解析] 在①中，如图甲， ， ，
且，与都不垂直，则， 不一定垂直，故
①错误；
在②中，如图乙， ， ，
，则 ，所以 内所有与 平行的直线都与垂直，故②正确；
在③中，如图丙， ，但与 不垂直，则与 不垂直，故③错误；
在④中，如图丁，若不在 内，则与 不垂直，故④错误.故填②.
3.［教材改编］ 在三棱锥中，点在平面上的射影为点 .
（1）若，则点是 的____心；
外
①
[解析] 如图①，连接，，，在 ，
和中， ，所以
，即为 的外心.
（2）若，，，则点是 的____心.
垂
②
[解析] 如图②，延长，，，分别交 ，
，于点，，.因为， ，
，， 平面，所以
平面，又 平面，所以 ，因
为，，， 平面 ，
所以 平面，又 平面 ，所以
，即为的边上的高.同理可得， 分别为
的边，上的高，所以为 的垂心.
题组二 常错题
◆ 索引：证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条
件;忽略线面垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪
个面和哪条线垂直;注意排除由平面到空间的思维定势的影响.
4.“直线与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线与平面 垂直”
的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）
必要不充分
[解析] 根据直线与平面垂直的定义知，“直线与平面 内的无数条
直线都垂直”不能推出“直线与平面 垂直”,反之则可以,所以应填必
要不充分.
5.已知,是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,现有以下说法:
①若 , , ,则 ;
②若 , , ,则 ;
③若, , ,则 ;
④若 , , ,则 ;
⑤若 , , ,则 .
其中正确说法的序号为______.
②③
[解析] 在①中,若 , , ,则与 平行或异面,故①错
误;
在②中,若 , ,则 ,又 ,所以 ,故②正确;
在③中,若, ,则 或 ,又 ,所以 ,
故③正确;
在④中,若 , , ,则与 平行、相交或异面，故④错误；
在⑤中,若 , , ,则, 平行、相交或异面，所以⑤
错误.故填②③.
6.如图所示,已知四棱锥的底面
是边长为的正方形,, ,则
它的5个面中,互相垂直的面有___对.
5
[解析] 由底面是边长为 的正方形,
,,得, ,又
，所以 底面,由
平面, 平面,可得平面 平面
,平面 平面.又, ，所以 平
面,又 平面，所以平面 平面.由 ,
,，得 平面,又 平面 ，所以平
面 平面.由,得 平面,又 平面 ，
所以平面 平面 .故共有5对互相垂直的面.
7.在中, ,为平面外的一点,且 ,
则平面与平面 ______（填“一定”或“不一定”）垂直.
一定
[解析] 因为,所以点在平面内的射影为
的外心,因为 ,所以为的中点,所以在平面 内,
所以平面 平面 .
探究点一 垂直关系的基本问题
例1（1）设，，是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的
平面，下列命题中为真命题的是( )
A.若，，则
B.若 ， ，则
C.若 ，， ，则
D.若， ，则
√
[解析] 若，，则或，相交或， 异面，所以A为假
命题；
若 ， ，则 或 ， 相交，所以B为假命题；
若 ，，则 ，又 ，则 ，所以C为真命题；
若， ，则 或 ，所以D为假命题.故选C.
［思路点拨］由线面平行的判定定理及线面、面面垂直的性质定理、
判定定理逐一判断各选项即可.
（2）如图所示，为圆的直径，垂直于圆
所在的平面，为圆周上不与点， 重合的点，
于点，于点 ，则下列说法不正
确的是( )
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.平面 平面
√
[解析] 平面, 平面， 平面
平面，故D中说法正确.
平面,,又,
, 平面,又 平面， 平面
平面 ，故C中说法正确.
平面, , ,, 平面
,又 平面， 平面 平面，故A中说法正确.
［思路点拨］利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断
即可.
对于B,假设平面 平面 , 平面，
平面，, 平面 平面
,平面 平面, 平面，
,，， 平
面 ,又 平面, , ,
， 平面，与 平面
矛盾，故B中说法不正确.故选B.
[总结反思]
解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析
解决，其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示.
变式题（1）已知，，表示不同的直线， ， 表示不同的平面，
则下列四个说法中正确的是( )
A.若 ，且 ，则
B.若 ， ， ，则
C.若，且 ，则
D.若， ， ，则
√
[解析] 对于选项A，若 ，且 ，则， 可能平行、相交或
异面，不一定垂直，故A错误；
对于选项B，若 ， ， ，则， 可能平行、相交
或异面，不一定平行，故B错误；
对于选项C，若，且 ，则 ，故C正确；
对于选项D，若， ， ，则 与 相交或平行，
不一定垂直，故D错误.故选C.
（2）（多选题）如图所示，在正方形中，，分别是 ，
的中点，与交于点，现沿，及 把这个正方形折成
一个空间图形，使，，三点重合，重合后的点记为 ，那么在
这个空间图形中必有( )
A.平面
B.平面
C. 平面
D. 平面
√
√
[解析] 折叠前后得到 ，
不变，又 ，所以
根据线面垂直的判定定理，可得
平面，故B正确；
过点 只有一条直 线与平面垂直，且 平面, 点与 不重
合，故A不正确；
，，又 ，所以根据线面垂直的判定定理，
可得 平面，故C正确；
因为与不垂直，所以 与平面不垂直，故D不正确.故选 .
探究点二 线面垂直的判定与性质
例2 [2024·湘豫名校联考] 如图，在四棱锥
中，是等边三角形，四边形
是矩形，且 ，是的中点，是
的中点.证明： 平面 .
证明：方法一：取的中点，连接，， ，
如图.因为四边形是矩形，，分别是，
的中点，所以，所以.因为
是等边三角形，所以.
因为，所以 平面.
［思路点拨］ 思路一：取的中点，连接 ，则，连接
，，则 ，从而 平面，进而得到，再
证 即可.
因为 平面，所以.因为
，所以
，所以 是等腰三角形.
因为是的中点，所以 .
因为，， 平面，所以 平面 .
方法二：不妨设，则 .如
图，连接，，因为为 的中点，所以
，所以，.又为 的
中点，所以， .
因为，， 平面，所以 平面 .
［思路点拨］思路二：要证， ，故只需连接，，
再证， 即可.
[总结反思]
解决直线与平面垂直问题的常用方法:
（1）线面垂直的判定定理：
，， ， ， .
（2）面面垂直的性质定理：
，， ， .
（3）性质：， ；
， .
变式题 如图，平行六面体中，底面 是边长
为2的正方形，为与的交点，, ,
.证明： 平面 .
证明： 底面 是边长为2的正方
形，， .平行六面体
中， .在
中， ， ，
，由余弦定理得 ，
可得，，.
如图，连接 ，，在与中，，
， ，
， ，即
为等腰三角形，又为 的中
点， .
平面， 平面 ，
， 平面 .
探究点三 面面垂直的判定与性质
例3 [2024·武汉调研] 如图，在三棱柱
中，侧面 底面 ，
，， ，点
是棱的中点，， .证明：
.
，
， ， 由余弦定理可得
，
满足，所以，
即. 因为平面 平面，
［思路点拨］ 利用余弦定理和勾股定理证明，再由面面垂直
的性质定理得到 平面，从而， ，进而得到
.根据题目条件得 ，由勾股定理得，最后利用
线面垂直的判定定理得 平面 ，从而 .
且交线为，， 平面，所以
平面.又， 平面，所以
， .因为，，且，
平面，所以 平面.又 平
面，所以.设， ，则
，可得，即，所以 ，满
足，即.又因为， ，
且， 平面，所以 平面.因为 平
面，所以 .
[总结反思]
1.判定面面垂直的方法：
（1）面面垂直的定义；
（2）面面垂直的判定定理（一般在一个平面
内找交线的垂线，证此线与另一平面垂直）.
2.在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作
交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
（1）证明：平面 平面 ；
证明：取棱的中点，连接 ，如图，
因为，所以.在三棱柱
中，，所以，所以
.因为，所以， .
变式题 [2024·陕西宝鸡三模] 如图，在三棱柱
中，与间的距离为 ，
， .
因为，，所以，所以 ，
同理.因为，且， 平面 ，所
以 平面.因为 平面，所以平面 平
面 .
解：过作，垂足为，连接 ，如图，
由（1）可知平面 平面 ，且平面
平面，所以 平面 ，
因为 平面，所以 . 由（1）可知，
是等边三角形，可得， ，
.
（2）若点是棱的中点，求点到平面
的距离.
在中，，， ，由余弦定理得
，则,可得
的面积为 .
，
设点 到平面
的距离为，则 ，
可得 .
探究点四 平行垂直关系的综合问题
例4 [2024·厦门一模] 如图所示，在四棱锥
中，， ，
，， 平面，过点 作
平面 .
（1）证明：平面平面 ；
证明：设与的交点为，连接 ，如图，
因为，且，所以 .
因为，所以，又 ，
，且， ，所以
，所以 ，
所以 .
［思路点拨］利用三角形相似及等量代换得 ，利用线面垂
直得，进而得 平面 ，结合已知条件得证；
因为，所以 ，
所以 ，即
，所以 ，所以
，即.因为 平面 ，
平面，所以.因为，, 平面
，所以 平面，又因为平面，且 平面 ，
所以平面平面 .
（2）已知点为棱的中点，若，求直线与平面 所
成角的正弦值.
解：如图，取的中点，连接，因为 为棱
的中点，所以，且 ，又因
为 平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 .
因为，，所以 ，
.易知，所以 ，
所以，即.又 ，
［思路点拨］通过等体积法得到到平面 的距离，再求线面角.
.因为，且 ，
所以.因为 平面，
平面 ，所以 ，所以
.
因为,，且，所以
.
设为 到平面的距离，因为 ，
所以
，即 ，
解得 .记直
线与平面所成的角为 ，则
，所以直线
与平面所成角的正弦值为 .
[总结反思]
垂直关系综合问题的解题方法:
（1）对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、
面面垂直间的转化.
（2）对于垂直与平行相结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定
的综合应用.
（3）对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进
行位置关系证明或求角.
变式题 [2024·西安模拟] 如图，在九面体 中，平面
平面，平面平面 ，
，，底面 为正六边形.证
明：
（1）平面 .
证明：记,的中点分别为,，连接,, ，因
为,，所以 ，且
.因为平面 平面 ，
平面 平面， ，所以
平面.因为平面平面，所以平面 平面
，同理可得 平面，，所以 ，且
，所以四边形为平行四边形，所以.因为 平面
， 平面，所以平面 .
（2） 平面 .
解：由正六边形的性质可知， ，又平面
平面，平面 平面
，所以 平面，因为 ，
所以 平面 .
【备选理由】例1以高考真题为蓝本，用三种不同方法证明线面垂直；
例1 ［配例2使用］ 全国卷Ⅰ（节选）］ 如
图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心， 为
底面直径， 是底面的内接正三角
形，为上一点，.证明： 平面
.
证明：方法一：由题设知 为等边三角形，连接，，
设，则 ，，
所以 ，
，又为等边三角形，所以 ，
所以， ，则
，所以 ，
同理，又，， 平面，所以 平
面 .
方法二：因为是底面圆 的内接正三角形，
且为底面直径，所以 .
因为垂直于底面，在底面内，所以 .
又因为 平面， 平面 ，
，所以 平面 .
又因为 平面，所以 .
设，则为的中点，连接 .
设，则，， ，
，
因此，则 .
又因为，， 平面 ，所以
平面 .
方法三：不妨设 ，则
，由 平面 ，得
，则 ，
所以.因为是 的外心，
所以.在底面过作的平行线与弧
相交于点，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为 轴正
方向，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，， ，
，，所以 ，
， ，
故 ，
，所以 ，
，
又，， 平面 ，所以
平面 .
例2 ［配例3使用］ [2024·山西长治模拟] 如图，
是圆的直径，与圆所在的平面垂直， 是圆上
不同于，的一点.求证：平面 平面 .
证明： 平面， 平面 ，
，是圆的直径， ，
，， 平面， 平
面 ， 平面， 平面 平面 .
【备选理由】例2考查如何利用面面垂直的判定定理证明面面垂直；
例3 ［配例4使用］ [2025·湖南衡阳模拟] 在
三棱锥 中， 平面,
,,是的中点， 在线
段 上运动.
【备选理由】例3考查如何从线线垂直到线面垂直再到面面垂直过程
递进，综合考查垂直与平行关系的相互转化，均可作为课外提升补充.
（1）证明：平面 平面 ；
证明：因为 平面, 平面 ,
所以 ,
又,,, 平面 ，
所以 平面，又 平面 ，所以
,
又,是的中点，所以,又,,
平面 ，
所以 平面，又 平面，所以平面 平面 .
解：当平面时，因为 平面 ，
平面 平面 ，
所以,由是的中点，可得是 的中
点，
因为 平面， 平面 ，所以
.
因为,,平面 平面，所以
（或其补角）为平面与平面 的夹角的平面角.
（2）当平面时，求平面与平面 的夹角的正弦值.
, ，
,故
,
所以平面与平面的夹角的正弦值为 .
作业手册
1.已知直线 平面 ， ，则( )
A.，且与相交 B.，且与 不相交
C. D.与 不一定垂直
[解析] ，平行于 内的某一条直线，设为， 平
面 ，且 平面 ，，，但与 可能相交，也可
能异面.故选C.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024· 苏北七市二调]在正方体 中，下列关系正
确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，对于A选项，在正方体
中，，显然 与
不垂直，故与 不垂直，故A错误；
对于B选项，连接，可知 为等边
三角形，故与成 角，故B错误；
√
对于C选项，连接， ，易知四边形为矩形，故与
不垂直，故C错误；
对于D选项，连接, 因为 平
面， 平面 ，所以
，又， ，
， 平面，所以 平面
，又 平面 ，所以
，故D正确.故选D.
3.设，是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若
， ， ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若 ，由 可知成立；若，可能 或
与 相交，故不一定有 .所以“ ”是“ ”的充分不必
要条件.故选A.
√
4.在正方体中，直线，分别在平面 和
上，且 ，则下列说法中正确的是( )
A.若垂直于，则垂直于
B.若垂直于，则不垂直于
C.若不垂直于，则垂直于
D.若不垂直于，则不垂直于
√
[解析] 若垂直于，由平面 平面 ，得平面
内的所有直线均与垂直，无法证明和 的关系，故A，B
错误；
若不垂直于，因为，所以当时， ，
又因为，所以垂直于 ，故C正确，D错误.故选C.
5.《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首
词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙
里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼.”如
图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、
秋千绳、秋千板看作是直线，那么道路和墙面线
面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，
A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直
C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直
秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误
的是( )
√
[解析] 显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路
所成的角在变化，秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直.故选B.
6.已知 ， 是两个不同的平面，,是平面 及 之外的两条不
同直线，给出下列四个论断：
； ； ； ．
请你根据上面四个论断写出一个真命题：_______________________
___________________________________________.
， ，（或, ，）
[解析] 由 ， 是两个不同的平面，,是平面 及 之外的两条
不同直线，构造命题： ， ， .由面面垂
直的性质定理得.
构造命题：, ， ，由面面垂直的判定
定理得 .
构造命题： ， ， ，但这里与 相
交、平行或 ，故得不出 .
构造命题：, ， ，但这里与
相交、平行或 ，故得不出 ．
7.[2024·湖北新高考协作体联考] 已知，是不同的直线， ， 是
不同的平面，给出下列四个结论：
①若 , ，则 ；
②若, ，则 ；
③若 , ，则 ；
④若 , ，则 .
其中正确结论的序号是____.
③
[解析] 对于①，设，当, , 时， ,
，所以 与 不一定平行，所以①不正确；
对于②，若 , ，则 或 ，所以②不正确；
对于③，由 , ，根据垂直于同一直线的两个平面平行，
得 ，所以③正确；
对于④，若 , ，则与 的位置关系不确定，所以④
不正确.
8.已知点,分别在平面的两侧，四棱锥 与四棱锥
的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是( )
A.四边形可能是 的菱形
B.四边形 一定是正方形
C.四边形 不可能是直角梯形
D.平面不一定与平面 垂直
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 因为四棱锥 与四棱锥
的所有侧棱长均为2，所以点, 在
底面上的射影都是四边形 的外心，
所以两射影重合，即有 平面 ，且
四边形 有外接圆.
对于选项A，当四边形是的菱形时，四边形
没有外接圆，所以选项A错误；
对于选项B，当四边形 是矩形时，显然满足题意，所以选
项B错误；
对于选项C，因为直角梯形没有外接
圆，所以选项C正确；
对于选项D，因为
平面，又 平面，
所以平面 平面 ，所以选项D错误.故选C.
9.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图①的方式进行
拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角 为直二
面角，得到如图②所示的四面体.小明对四面体 中
的直线、平面的位置关系作出了如下判断，其中不正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C.平面 平面
D.平面 平面
√
[解析] 对于A，因为二面角 为直二面角，
所以平面 平面，又因为平面
平面， ，且 平面，
所以 平面 ，所以A中判断正确；
对于B，由 平面， 平面，
可得 ，又因为，且
，, 平面，所以 平面
，故B中判断正确；
对于C，因为 平面，且 平面，所以平面
平面 ，故C中判断正确；
对于D，因为 平面， 平面，所以
平面 平面 ，若平面 平面，且
平面 平面，则 平面，
又 平面，可得，因为与 不
垂直，矛盾，所以平面与平面 不垂直，
故D中判断不正确.故选D.
10.过所在平面 外的一点，作 ，垂足为，若点
到直线，和的距离都相等，则点是 的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
[解析] 如图，过作于,
于,于，则 ，连接
，，， 平面，
平面， 平面， 平面
，，， ，
√
又， ，
， 平面，
平面， 平面，又 平面
， 平面， 平面 ，
，， .在
, , 中，
， ，
， ，
，故一定是 的内
心.故选A.
11.（多选题）[2024·山西吕梁二模] 如图，在平行六面体
中，底面是正方形，为与 的交点，
则下列条件中能成为“ ”的必要条件的有( )
A.四边形 是矩形
B.平面 平面
C.平面 平面
D.直线,所成的角与直线, 所成的
角相等
√
√
√
[解析] 要成为“ ”的必要条件，则
该条件可由“ ”推出.对于A，因为在
平行六面体 中，
, ，所以四边形
为平行四边形，又 ，所以四边形
为矩 形，故A正确；
对于B，假设平面 平面 ，
由选项A可知四边形为矩形，则
，又平面 平面
， 平面，
所以 平面 ，因为
平面，所以 ，与四边形 为正方形矛盾，故B错误；
对于C，因为四边形是正方形，所
以 ，因为, ，
所以 ，又,,
平面 ，所以 平面
，又 平面，所以平
面 平面 ，故C正确；
对于D，因为四边形 为矩形，为的
中点，易得 ，又正方形中，
, 是公共边，所以，
则 ，又, ，所
以, 分别为直线, 所成的角
（或其补角）与直线，所成的角（或其
补角），则直线 , 所成的角与直线, 所成的角相等，故
D正确.故选 .
12.如图所示，已知正方形和正方形 不在同一平面内，
，分别为，的中点.若，平面 平面 ，
则 ____.
[解析] 如图，取的中点，连接， .因为
四边形，四边形 均为正方形，且边长
为2，所以，， .因为平
面 平面，平面 平面
， 平面，所以 平
面，又 平面，所以 ，所以
.
13.如图，在矩形中，，，点为线段 的中点，
沿直线将翻折，点运动到点的位置.当平面 平面
时，三棱锥 的体积为_ ___.
[解析] 如图，取的中点，连接交 于
点，连接，.易知四边形 为正方形，
则 ，由翻折前后的不变性可知，
，当平面 平面 时，又平
面 平面， 平面，所以 平面
．由题意可知，， ，
所以 ．
14.如图，在四棱锥中，底面为菱形， ，
点为的中点， 且，求证： 平面 .
证明:连接，，如图.由底面 为菱
形， ，得 ，又因为
为的中点，所以.因为在
中， ，为 的中点，
所以 .
设,则， , 即
，所以 ，
又因为， 平面， 平面 ，
所以 平面 .
15.[2024·安徽合肥一中期末] 如图，多面体 是由一个正四棱
锥与一个三棱锥拼接而成的，，在棱
上找一点，使得平面 平面 ，并证明你的结论.
解：当点为的中点时，平面 平面
， 证明如下：
因为四棱锥 是正四棱锥，所以
，，又因为在正方形
中，，所以 .
在正方形中，，因为，所以 ，因为
，， 平面，所以 平面，因为
平面 ，
所以平面 平面 ．
16.[2024·巴蜀中学模拟] 如图，在正三棱柱
中，,,为
的中点.
◆ 能力拓展 ◆
（1）证明： ；
证明：如图，取的中点，连接,，则 ，
又因为为正三棱柱，所以平面 平
面 ，又平面 平面，所以
平面 ，又 平面，
所以.又， ，所以
， ，
所以 ，所以 ，又
，所以 ，
又，所以 平面，所以 .
（2）求三棱锥 的体积；
解：过点作于点 ，如图，
由（1）知 平面，所以，所
以 平面 . 又为的中点，所以
，因为，所以，所以 ，
又 ，
所以 .
（3）求平面与平面 夹角的大小.
解：过点作于点，连接 ，如图，
因为 平面，且 ，所以
即为平面与平面 的夹角.
又，且 ，
所以 ，
所以 ，所以平面与平面夹角的大小为 .
【知识聚焦】1.(1)任意一条直线 垂线 垂面 (2)两条相交直线 一条直线 另一条直线
任意一条直线 平面 2.(1)直二面角 (2)直二面角 ∠AOB=90° 垂线 二面角的平面角
∠AOB=90° 交线 垂直
【对点演练】1.4 3 2.② 3.(1)外 (2)垂 4.必要不充分 5.②③ 6.5 7.一定
课堂考点探究
例1 (1)C (2)B 变式题 (1)C (2)BC 例2 略 变式题 略 例3 略 变式题 (1)略 (2)
例4 (1)略 (2) 变式题 略
教师备用习题
例1 略 例2略 例3(1)略 (2)
基础热身
1.C 2.D 3.A 4.C 5.B
6. m⊥α,n⊥β,α⊥β m⊥n(或m⊥n,m⊥α,n⊥β α⊥β) 7. ③
综合提升
8.C 9.D 10.A 11.ACD 12. 13.
14.略 15.当点G为DE的中点时,平面ABC⊥平面AFG
能力拓展
16. (1)略 (2) (3)
