增分微课7 空间中的动态问题
例1 A [解析] 设二面角A-BC-D的平面角为θ,点P到平面BCD的距离为PH,点P到定直线CB的距离为d,则PH=dsin θ.∵点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等,∴dsin θ=PA,∴=sin θ,由四面体ABCD为正四面体,得sin θ为小于1的定值,即在平面ABC中,点P到定点A的距离与到定直线BC的距离的比值是一个小于1的定值,∴点P的轨迹为椭圆在△ABC内的一部分.故选A.
变式题 B
[解析] 取AB的中点E,连接PE,SE,如图.因为PA=PB=4,E为AB的中点,所以PE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE 平面PAB,所以PE⊥平面ABCD,又SE 平面ABCD,所以PE⊥SE.因为四边形ABCD是边长为12的正方形,所以AE=6,所以PE===2,SE=≤=2,所以点S所在区域是以点E为圆心,2为半径的圆在四边形ABCD内的部分,所以动点S所在区域的面积为π×(2)2=12π.故选B.
例2 ACD [解析] 对于A,由题可知,A1D⊥A1E,若存在某个位置使得DA1⊥EC,则由A1E∩EC=E,A1E,EC 平面A1EC,得A1D⊥平面A1EC,又A1C 平面A1EC,所以A1D⊥A1C,又因为AB=2AD=2,所以A1C=,由于在折叠过程中,A1C∈(1,),所以存在某个位置,使得A1C=,故存在某个位置,使得DA1⊥EC,故A正确.对于B,若存在某个位置,使得A1C⊥平面A1DE,则由A1D,A1E 平面A1DE,得A1C⊥A1D,A1C⊥A1E,因为DE=CE=,A1D=A1E=1,CD=2,所以由A1C⊥A1E可得A1C=1,由A1C⊥A1D可得A1C=,A1C=1与A1C=不能同时成立,所以A1C⊥平面A1DE不成立,故B错误.对于C,当四棱锥A1-DCBE的体积最大时,平面A1DE⊥平面DCBE,因为△A1DE是等腰直角三角形,所以点A1到平面DCBE的距离为,所以四棱锥A1-DCBE的体积的最大值为××(2+1)×1×=,故C正确.对于D,取DC的中点O,连接OM,因为M为A1C的中点,所以OM∥A1D,且OM=A1D=,为定值,所以M在以点O为球心的球面上,故D正确.故选ACD.
例3 2 [解析] 如图,连接AC1,与平面A1BD交于点O,连接AC,AB1,OP,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,AC,AA1 平面ACC1,所以BD⊥平面ACC1,又AC1 平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1,AB1∩B1C1=B1,AB1,B1C1 平面AB1C1,所以A1B⊥平面AB1C1,又AC1 平面AB1C1,所以A1B⊥AC1.因为BD∩A1B=B,BD,A1B 平面A1BD,所以AC1⊥平面A1BD,易知AO=AC1=,因为AP=,所以OP==.△A1BD是边长为2的正三角形,其内切圆的半径r=,所以点P在△A1BD的内切圆上,因为AC1⊥平面A1BD,且点C1到平面A1BD的距离为AC1=,所以C1P==,当点P为A1D的中点时BP最大,最大值为A1B=,所以BP+C1P的最大值为2.
例4 [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC∥A1C1,所以D1P与A1C1所成的角可以转化为D1P与AC所成的角,根据动点变化的连续性,可知当P从点A向点C移动时,D1P与AC所成角的整体变化趋势为先逐渐变大,再逐渐变小.当P在点A或C处时,D1P与AC所成的角最小,为;当点P在AC的中点处时,D1P与AC所成的角最大,为.故D1P与A1C1所成角的取值范围为.
变式题 [解析] 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以A(2,0,0),C1(0,2,2),B(2,2,0),M(0,2,1),则=(-2,2,2),=(-2,0,1),设=x=(-2x,2x,2x),=y=(-2y,0,y),则P(2-2x,2x,2x),Q(2-2y,2,y),所以=(2x-2y,2-2x,y-2x).直线AC1与BM为异面直线,要使PQ最小,则PQ是AC1,BM的公垂线段,故
即
解得所以=,故||==.增分微课7 空间中的动态问题
“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,注重多想少算,强调思维能力与创新能力的考查.解决动态几何问题的关键是要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见静.
类型一 动点轨迹问题
例1 已知正四面体ABCD中,动点P在△ABC内,且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等,则动点P的轨迹为 ( )
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.一条线段
总结反思
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法:
(1)几何法:根据平面几何的性质进行判定.
(2)定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用代数法进行计算.
(3)利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形的线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.
变式题 [2024·广东省实验中学三调] 已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=PB=4,底面ABCD是边长为12的正方形,S是四边形ABCD及其内部的动点,且满足PS≤6,则动点S所在区域的面积为 ( )
A.4π B.12π
C.24π D.24
类型二 翻折问题
例2 (多选题)如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=2,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折成△A1DE,若M为A1C的中点,则在翻折过程中,下列结论正确的是 ( )
A.存在某个位置,使得DA1⊥EC
B.存在某个位置,使得A1C⊥平面A1DE
C.四棱锥A1-DCBE的体积的最大值为
D.点M在某个球面上运动
总结反思
解答翻折问题的关键在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的重要依据.
类型三 最值、范围问题
例3 [2024·长沙模拟] 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为△A1BD内一点,且AP=,则BP+C1P的最大值为 .
例4 如图,点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上的一个动点,则当P在AC上运动时,D1P与A1C1所成角的取值范围是 .
总结反思
在动态变化过程中产生的体积最大(小)、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;②函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再利用代数方法求目标函数的最值.
变式题 [2024·河北沧衡联盟联考] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为棱CC1的中点,P,Q分别为线段AC1,BM上的动点,则PQ的最小值为 . 增分微练7 空间中的动态问题
1.D [解析] 由题易知平面ABE与CD垂直,则在平面ABE中,点P到AB和点E的距离相等,由抛物线的定义,可知点P的轨迹被平面ABE所截得的图形是抛物线的一部分.故选D.
2.B [解析] 因为PA⊥平面ABC,AB,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB,又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.如图所示,设为以C为球心,为半径的球面与平面PAB的交线,则CD=CE=,又BC=1,所以BD=BE=,所以所在的圆是以B为圆心,为半径的圆.因为PA=AB且PA⊥AB,所以∠PBA=,所以的长为×=.故选B.
3.B [解析] 设P在底面ABC上的射影为O,则O为△ABC的中心,连接OA,则OA=×6×=2,∴PO===2.连接OQ,易知点Q在△ABC的边上及其内部,∴PO2+OQ2=PQ2,又∵PQ≤5,∴OQ≤1,易知点O到△ABC的边的距离大于1,∴T表示的区域是以O为圆心,1为半径的圆及其内部,其面积为π.
4.AB [解析] 直线AC和直线B1D1异面,过空间中任意一点有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都垂直,故A正确;直线AC和直线B1D1异面,且直线AC与平面MB1D1不平行,直线B1D1与平面MAC也不平行,所以过点M有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都相交,故B正确;因为M到AC的距离大于AB=AA1,M到B1D1的距离小于AA1,且AC=B1D1,所以△MAC和△MB1D1的面积不可能相等,故C错误;因为AC⊥平面MB1D1,AC 平面MAC,所以对任意M恒有平面MAC⊥平面MB1D1,故D错误.故选AB.
5.ACD [解析] 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),O(1,1,0),设点P(x,2,z),其中0=≥,当且仅当z=时,等号成立,因为C1D1⊥平面BB1C1C,C1P 平面BB1C1C,所以C1D1⊥C1P,所以=C1D1·C1P=C1P≥,故D正确.故选ACD.
6.BCD [解析] 对于A,连接DP,因为直线D1P与平面ABCD所成的角为,所以DP==,点P在以D为圆心,为半径的圆上运动,所以点P的轨迹为圆,故A错误.
对于B,取正方形ABCD的中心O2,正方形A1B1C1D1的中心O1,连接O2O1,则O2O1的中点O为内切球球心,设G为内切球与平面A1BC1的切点,作出过B,D,D1,B1四点的截面如图,则OG⊥O1B,OG为球心到平面A1BC1的距离,易知O1B=,O2B=,O1O2=1,利用相似三角形的性质得=,即=,则OG=,因此可得截面圆的半径r==,则所得的截面面积为,故B正确.
对于C,如图,易知直线CP与平面CDD1C1所成的角为∠PCD,当CP与点P的轨迹圆相切时,sin∠PCD最大,此时sin∠PCD=,故C正确.
对于D,当MP最小时,点P为线段BD与圆的交点,将面D1AB沿D1B翻折到面BB1D1D所在平面上,使A到达B1的位置,翻折后的图形如图所示,当E,M,P三点共线时,MP+ME最小,因为O2P=-,O1O2=1,所以MP+ME的最小值为=,故D正确.故选BCD.
7. [解析] 如图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类:一类在顶点A所在的三个面上,即平面AA1B1B、平面ABCD和平面AA1D1D上;另一类在不过顶点A的三个面上,即平面BB1C1C、平面CC1D1D和平面A1B1C1D1上.在平面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为A1E==,所以∠A1AE=,同理∠BAF=,所以∠EAF=,故弧EF的长为×=,而这样的弧共有三条.在平面BB1C1C上,交线为弧FG且在到球心的距离为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为B,半径为BF=A1E=,所以弧FG的长为×=,这样的弧共有三条.所以所得的曲线长为3×+3×=.
8. [解析] 如图,取BC的中点E,连接AE,因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AE⊥BC,AA1⊥平面ABC,又AE 平面ABC,所以AA1⊥AE,所
以以A为原点,过点A且平行于BC的直线为x轴,AE所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,所以A(0,0,0),B(1,,0),A1(0,0,2),设CD=t(0≤t≤2),则D(-1,,t),所以=(1,,0),=(1,,-2),=(-2,0,t).当t=0时,=(-2,0,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令z=,则n=(0,2,),设A到平面A1BD的距离为d1,则d1===;当t≠0时,设平面A1BD的法向量为m=(a,b,c),则
令a=1,则m=,设A到平面A1BD的距离为d2,则d2===
=,所以当t=1时,d2取得最大值=.因为=<2=()2,所以A到平面A1BD的最大距离为.
9.0 [解析] 取AN的中点E,连接ME,则∠PME或其补角是异面直线PM与DN所成的角.当点P与C1重合时,连接MC,∵DN⊥MC,DN⊥CC1,MC∩CC1=C,∴DN⊥平面MCC1,则DN⊥MP(C1),此时异面直线PM与DN所成的角最大,即为,∴cos θ=0.当点P由C1向D1移动时,角θ不断减小,当点P与点D1重合时,角θ最小,连接D1E,设AD=2,可得D1M=,ME=,D1E=,则cos∠D1ME==-,∴cos θ∈.增分微练7 空间中的动态问题
(时间:45分钟)
1.已知点P是正四面体ABCD内的动点,E是棱CD的中点,且点P到棱AB和棱CD的距离相等,则点P的轨迹被平面ABE所截得的图形为 ( )
A.线段
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
2.[2024·河北邢台期末] 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB=2BC=2,则以C为球心,为半径的球面与侧面PAB的交线长为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2022·北京卷] 已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S|PQ≤5},则T表示的区域的面积为 ( )
A. B.π
C.2π D.3π
4.(多选题)[2024·浙江强基联盟10月联考] 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,点M是棱DD1上的动点(不含端点),则 ( )
A.过点M有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都垂直
B.过点M有且仅有一条直线与直线AC,B1D1都相交
C.有且仅有一个点M满足△MAC和△MB1D1的面积相等
D.有且仅有一个点M满足平面MAC⊥平面MB1D1
5.(多选题)[2024·河南漯河期末] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P为侧面BB1C1C内(不含边界)的动点,则 ( )
A.D1O⊥AC
B.存在一点P,使得D1O∥B1P
C.三棱锥A-D1DP的体积为
D.若D1O⊥PO,则△C1D1P面积的最小值为
6.(多选题)[2024·台州二模] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为平面ABCD内一动点,且直线D1P与平面ABCD所成的角为,E为正方形A1ADD1的中心,则下列结论正确的是 ( )
A.点P的轨迹为抛物线
B.正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球被平面A1BC1所截得的截面面积为
C.直线CP与平面CDD1C1所成角的正弦值的最大值为
D.若点M为直线D1B上的一个动点,则MP+ME的最小值为
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 .
8.[2024·河南安阳一中月考] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,D为棱CC1上的动点,则A到平面A1BD的最大距离为 .
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱C1D1上运动,M,N分别为AD,AB的中点,记异面直线PM与DN所成的角为θ.当点P与C1重合时,cos θ= ;cos θ的取值范围是 . (共65张PPT)
增分微课7 空间中的动态问题
类型一
类型二
类型三
教师备用习题
作业手册
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答案核查【作】
“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型,它渗透了
一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,注
重多想少算，强调思维能力与创新能力的考查.解决动态几何问题的
关键是要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见静.
类型一 动点轨迹问题
例1 已知正四面体中，动点在内，且点到平面
的距离与点到点的距离相等，则动点 的轨迹为( )
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.一条线段
√
[解析] 设二面角的平面角为 ，点到平面 的距离
为，点到定直线的距离为,则
点到平面 的距离与点到点的距离相等，
， ,
由四面体为正四面体，得 为小于1的定值，即在平面 中，
点到定点的距离与到定直线 的距离的比值是一个小于1的定值，
点的轨迹为椭圆在 内的一部分.故选A．
[总结反思]
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法:
（1）几何法:根据平面几何的性质进行判定.
（2）定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用
代数法进行计算.
（3）利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形的线段长度关系
取特殊值或特殊位置进行排除.
变式题 [2024·广东省实验中学三调] 已知四棱锥 中，侧面
底面，，底面 是边长为12的正方
形，是四边形及其内部的动点，且满足，则动点 所在
区域的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点，连接， ，如图.
因为，为 的中点，
所以.
因为平面 平面 ，
平面 平面， 平面，所以 平面，
又 平面，所以 .
因为四边形是边长为12的正方形，所以 ，
所以 ，
，
所以点所在区域是以点 为圆心，
为半径的圆在四边形 内的部分，
所以动点 所在区域的面积为
.故选B.
类型二 翻折问题
例2 （多选题）如图，在矩形中，，为 的
中点，将沿翻折成，若为 的中点，则在翻折
过程中，下列结论正确的是( )
A.存在某个位置，使得
B.存在某个位置，使得 平面
C.四棱锥的体积的最大值为
D.点 在某个球面上运动
√
√
√
[解析] 对于A，由题可知， ，若存在
某个位置使得，则由 ，
, 平面，得 平面 ，
又 平面，所以 ，又因为
，所以，
由于在折叠过程中， ，所以存在某个位置，
使得，故存在某个位置，使得 ，故A正确.
对于B，若存在某个位置，使得 平面，则由 ,
平面，得,，
因为 , ,，
所以由可得 ，
由 可得， 与
不能同时成立，所以 平面
不成立，故B错误.
对于C，当四棱锥的体积最大时，平面 平面，
因为 是等腰直角三角形，所以点到平面的距离为 ，
所以四棱锥 的体积的最大值为
，故C正确.
对于D，取的中点，连接，因为为 的中点，
所以,且 ，为定值，
所以在以点 为球心的球面上，故D正确.
故选 .
[总结反思]
解答翻折问题的关键在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住
两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤
其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直
关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的
重要依据.
类型三 最值、范围问题
例3 [2024·长沙模拟] 棱长为2的正方体中， 为
内一点，且，则 的最大值为_____.
[解析] 如图，连接，与平面 交于点，
连接，，，易知 , ,
又，， 平面，
所以 平面，
又 平面，所以.
因为 ,,，， 平面，
所以 平面，又 平面，所以 .
因为，, 平面 ，
所以 平面，
易知 ，因为 ，所以.
是边长为的正三角形，其内切圆的半径 ，
所以点在的内切圆上，
因为 平面，
且点到平面 的距离为 ，
所以，
当点为 的中点时最大，最大值为 ，
所以的最大值为 .
例4 如图，点是棱长为2的正方体 的表面上的一个
动点，则当在上运动时，与 所成角的取值范围是______.
[解析] 在正方体中，，
所以与 所成的角可以转化为与 所成的角，
根据动点变化的连续性，可知当从点向点移动时，
与 所成角的整体变化趋势为先逐渐变大，再逐渐变小.
当在点或处时，与 所成的角最小，为；
当点在的中点处时，与所成的角最大，为.
故 与所成角的取值范围为 .
[总结反思]
在动态变化过程中产生的体积最大（小）、距离最大（小）、角的
范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断点、
线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;②函数
思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再利用
代数方法求目标函数的最值.
变式题 [2024·河北沧衡联盟联考] 已知正方体 的
棱长为2，为棱的中点，，分别为线段， 上的动点，
则 的最小值为_ __.
[解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以,,, ,
则, ，
设 ,
，
则, ，
所以.
直线与为异面直线，要使 最小，则是， 的公垂线段，故
即
解得所以 ,
故 .
例1 ［配例1使用］ [2024·浙江温州一模]
如图，正三棱柱 的所有棱长都
为1，，点是侧棱 上的动点，
且，为线段 上的动点，直线
平面，则点 的轨迹为
( )
A.三角形（含内部） B.矩形（含内部）
C.圆柱面的一部分 D.球面的一部分
√
【备选理由】例1是动点轨迹问题；
若点与点重合，则点与点 重合，
点与点重合，由 可得.
取的中点,的中点 ，连接，，，
记 ,当 点与点重合时，点与点重合，
点 与点重合，由可得 .
取棱上的点，满足 ，根据三角形相似可得,,三点
共线，连接, 则当点 在侧棱上从点运动到点的过程中，
点 的轨迹为线段（不包含点 ）.
[解析] 保持点在线段上不动，假设点 与点重合.如图①,
取的中点,连接 ,,,记 ,
①
保持点不动，点与点重合，不与点 重
合时，如图②，
连接，因为 ，所以，
又 平面， 平面，
所以平面，所以当点 在线段上
从点运动到点时，点 的轨迹是线段.
同理，在图①中连接 ，，，当点与点重合，点 在线段
上从点运动到点时，点的轨迹是线段
综上，当点 在侧棱上运动，点在线段上运动时，
点的轨迹为 （含内部，不含边），
即点 的轨迹为三角形（含内部）.故选A.
②
例2 ［配例3使用］ [2024·浙江宁波九校联考] 在棱长为1的正方体
中，,,分别是棱,,的中点，, 分
别是线段,上的动点，则 的最小值为_ ____.
【备选理由】例2是动态变化过程中的最值问题；
[解析] 在棱长为1的正方体中，
连接交于 ，连接 ，
由 平面， 平面，
得，
由,分别是棱 , 的中点，得，
又 ，所以，
又, , 平面，所以 平面
平面，连接，显然 平面 ，
因此，则有，
当且仅当点与重合，即为线段 的中点时取等号，
又 平面，把, 展开放置于同一平面内，连接交于点，则的最小值即为线段 的长.
连接，依题意知，
在 中，，
, ，而, ， ，
，
则 ，
在 中，由余弦定理得
，
所以 的最小值为 .
例3 ［配例2使用］ （多选题）[2024·福州一中模拟] 如图①，在四
边形中，和是全等三角形， ，
，．下面有两种折叠方法将四边形 折成三
棱锥．折法一：将沿着折起，形成三棱锥 ，如图
②；折法二：将沿着折起，形成三棱锥 ，如图
③．下列说法正确的是( )
【备选理由】例3是折叠与旋转问题，考查学生分类讨论，
综合运用立体几何知识求解的素养能力.
A.按照折法一，三棱锥的外接球的表面积恒为
B.按照折法一，存在满足
C.按照折法二，三棱锥体积的最大值为
D.按照折法二，存在满足 平面，且此时 与平面
所成角的正弦值为
√
√
[解析] 对于A，和是全等三角形，
， ，，
可得的中点到，，， 的距离均相等，
故为三棱锥的外接球的球心，
为外接球的直径， 外接球的半径为，
三棱锥 的外接球的表面积为
，为定值，故A正确；
对于B，根据三垂线定理可得，当在底面上的射影为时，
才能满足，此时 与重合，不能构成三棱锥，
不存在满足条件的 ，故B错误；
对于C，当三棱锥的体积最大时，
平面 平面，，
为等边三角形，点到平面 的距离为1，
，故C正确；
对于D，当时，可得，
，, 平面，
平面，则是与平面 所成的角，
，， 由勾股定理可得 ，
在中，，故D错误．故选 ．
作业手册
1.已知点是正四面体内的动点，是棱的中点，且点 到棱
和棱的距离相等，则点的轨迹被平面 所截得的图形为
( )
A.线段 B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
[解析] 由题易知平面与垂直，则在平面中，点到 和
点的距离相等，由抛物线的定义，可知点的轨迹被平面 所截
得的图形是抛物线的一部分.故选D．
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·河北邢台期末]《九章算术》中将四个面
都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖
臑中， 平面， ，
，则以为球心， 为半径
的球面与侧面 的交线长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 平面，， 平面，
所以，，又 ，，
， 平面，所以 平面.
如图所示，设为以为球心， 为半径的球面与
平面 的交线，则， 又 ，所以，
所以所在的圆是以为圆心， 为半径的圆.
因为且 ，所以，
所以的长为 .故选B.
3.[2022·北京卷]已知正三棱锥的六条棱长均为6，是
及其内部的点构成的集合.设集合,则 表示的区域
的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设在底面上的射影为,则为的中心，
连接 ，则 ，
.
连接，易知点 在的边上及其内部，
，又 ，，
易知点到的边的距离大于1，
表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，其面积为 .
4.（多选题）[2024·浙江强基联盟10月联考] 在正四棱柱
中，，点是棱 上的动点
（不含端点），则( )
A.过点有且仅有一条直线与直线， 都垂直
B.过点有且仅有一条直线与直线， 都相交
C.有且仅有一个点满足和 的面积相等
D.有且仅有一个点满足平面 平面
√
√
[解析] 直线和直线 异面，过空间中任意一点有且仅有一条直
线与直线，都垂直，故A正确；
直线和直线 异面，且直线与平面不平行，
直线与平面 也不平行，
所以过点有且仅有一条直线与直线， 都相交，故B正确；
因为到的距离大于，到的距离小于 ，
且，所以和 的面积不可能相等，故C错误；
因为 平面， 平面，所以对任意 恒有平面
平面，故D错误.故选 .
5.（多选题）[2024·河南漯河期末] 如图，正方体
的棱长为2，点为底面的中心，点为侧面 内
（不含边界）的动点，则( )
A.
B.存在一点，使得
C.三棱锥的体积为
D.若，则 面积的最小值为
√
√
√
[解析] 以点为坐标原点，， ，
所在直线分别为，， 轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则 ，
，， ，
，，
设点 ，其中， .
对于A选项，，，
则 ，所以，故A正确；
对于B选项， ，
若，则 ，
解得，不符合题意，所以
不存在点 ，使得 ，故B错误；
对于C选项，，
点到平面 的距离为2，所以
，故C正确；
对于D选项， ，若 ，
则 ，可得，
由 可得，
，
当且仅当 时，等号成立，
因为 平面， 平面，所以 ，
所以 ，
故D正确.故选 .
6.（多选题）[2024·台州二模] 已知正方体 的棱长
为1，为平面内一动点，且直线与平面 所成的角为
，为正方形 的中心，则下列结论正确的是( )
A.点 的轨迹为抛物线
B.正方体的内切球被平面 所截得的截面面积
为
C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D.若点为直线上的一个动点，则的最小值为
√
√
√
[解析] 对于A，连接，因为直线 与平面所成的角为，
所以，点 在以为圆心，为半径的圆上运动，
所以点 的轨迹为圆，故A错误.
对于B，取正方形 的中心，正方形的中心，
连接，则的中点 为内切球球心，
设为内切球与平面的切点，
作出过，，， 四点的截面如图，
则，为球心到平面 的距离，
易知，， ，
利用相似三角形的性质得，即 ，
则 ，因此可得截面圆的半径
，则所得的截面面积为 ，故B正确.
对于C，如图，易知直线与平面 所成的
角为，当与点 的轨迹圆相切时，
最大，此时 ，故C正确.
对于D，当最小时，点为线段 与圆的交点，
将面沿翻折到面 所在平面上，
使到达 的位置，翻折后的图形如图所示，
当,,三点共线时， 最小，
因为，，所以
的最小值为 ，
故D正确.故选 .
7.已知正方体的棱长为1,以顶点为球心， 为半
径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
_ ____.
[解析] 如图，球面与正方体的六个面都相交，
所得的交线分为两类：
一类在顶点 所在的三个面上，
即平面、平面 和平面上；
另一类在不过顶点 的三个面上，
即平面、平面和平面 上.
在平面上，交线为弧 且在过球心的大圆上，
因为 ，所以，同理 ，
所以，故弧的长为 ，
而这样的弧共有三条.
在平面 上，交线为弧 且在到球心
的距离为1的平面与球面相交所得的小圆上，
此时，小圆的圆心为 ，半径为，
所以弧 的长为 ，这样的弧共有三条.
所以所得的曲线长为 .
8.[2024·河南安阳一中月考] 已知正三棱柱 的所有棱长
均为2，为棱上的动点，则到平面 的最大距离为____.
[解析] 如图，取的中点，连接，
因为三棱柱 为正三棱柱，
所以， 平面，
又 平面 ，所以 ，
所以以为原点，过点且平行于的直线为
轴，所在直线为轴，所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正三棱柱 的所有棱长均为2，
所以,, ，
设，则 ，
所以,,
.
当 时，，
设平面的法向量为 ，则
令 ，则 ，
设到平面的距离为 ，则;
当 时，设平面的法向量为 ，则
令，则，
设到平面 的距离为，
则 ，
所以当时， 取得最大值 .
因为，
所以到平面 的最大距离为 .
9.如图，在正方体中，点在棱上运动， ，
分别为，的中点，记异面直线与所成的角为 .当点
与重合时，___； 的取值范围是______.
[解析] 取的中点,连接，则
或其补角是异面直线与 所成的角.
当点与重合时，连接， ，
，， 平面
，则,此时异面直线
与所成的角最大，即为， .
当点由向移动时，角 不断减小，
当点与点重合时，角 最小，连接 ，
设，可得， ，
，则
，
.
类型一
例1 A 变式题 B
类型二
例2 ACD
类型三
例3 2 例4 变式题
教师备用习题
例1 A 例2 例3 AC
基础热身
1.D 2.B 3.B 4.AB 5.ACD 6.BCD
7. 8. 9.0
