重点强化练(一) 不等式的性质与基本不等式
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2025·四川遂宁模拟] 若a>1,则4a+的最小值为 ( )
A.4 B.6
C.8 D.无最小值
2.[2024·河北唐山一模] 已知函数f(x)=,则f(x)的最小值为 ( )
A.0 B.2
C.2 D.3
3.[2025·江苏宿迁调研] 若a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为 ( )
A.9 B.18
C.24 D.27
4.对于任意实数a,b,“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024·人大附中三模] 已知x,y∈R,且x>y,则 ( )
A.-<0
B.tan x-tan y>0
C.-<0
D.ln|x|-ln|y|>0
6.[2024·福州一模] 已知实数x,y满足3xy+y2=1,y>0,则2x+y的最小值是 ( )
A. B.
C.2 D.3
7.[2024·山东新高考联盟模拟] 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),则的取值范围为 ( )
A.[-6,+∞) B.(-∞,6)
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6]
8.[2024·山东淄博二模] 记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.已知x,y均为正实数,则max的最小值为 ( )
A. B.1
C.2 D.4
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024·安徽淮北质检] 已知a,b,c∈R,下列命题为真命题的是 ( )
A.若a>b>c,则a+b>c
B.若a>b>|c|,则a2>b2>c2
C.若a
D.若a>b>c>0,则<
10.[2024·深圳南山区模拟] 下列命题中,为真命题的是 ( )
A. x>0,x+≥2
B. x<0,x+>-2
C. x>0,≥
D. x<0,≤-
11.[2024·湖南邵阳三模] 若正实数x,y满足2x+y=xy,则 ( )
A.xy≤8
B.8x+y≥18
C.+≥
D.+≥
三、填空题:本题共3小题.
12.[2024·重庆渝中区模拟] 已知x>0,y>0且x+2y=1,则log2x+log2(2y)的最大值为 .
13.[2024·江西宜春三模] 已知x>0,y>0,且满足4x2+9y2+6xy-3=0,则2x+3y的最大值为 .
14.[2025·江苏南通模拟] 以max M表示数集M中最大的数.设01.C [解析] 若a>1,则4a+=4(a-1)++4≥2+4=8,当且仅当4(a-1)=,即a=时,等号成立,所以4a+的最小值为8.故选C.
2.C [解析] 由已知得x>2,所以f(x)===+≥2,当且仅当=,即x=4时,等号成立,所以f(x)的最小值为2.故选C.
3.A [解析] 根据题意可得+=(a+2b)=≥=9,当且仅当=,即a=b=1时,等号成立,所以+的最小值为9.故选A.
4.B [解析] 当a=2,b=3时,满足a2+b2>2ab,但不满足a2>b2,故充分性不成立;因为a2>b2,所以a≠b,又a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,故必要性成立.所以“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的必要不充分条件.故选B.
5.C [解析] 对于A,-=,其中y-x<0,但xy的符号不确定,所以A不正确;对于B,取x=π,y=,此时tan x-tan y=0-1=-1<0,所以B不正确;对于C,函数f(x)=在R上单调递减,因为x>y,所以<,可得-<0,所以C正确;对于D,取x=2,y=-3,此时ln|x|-ln|y|=ln 2-ln 3=ln<0,所以D不正确.故选C.
6.B [解析] 因为实数x,y满足3xy+y2=1,y>0,所以x=,所以2x+y=+y=+y≥2=,当且仅当=y,即y=时,等号成立,所以2x+y的最小值是.故选B.
7.D [解析] 由ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1),可知1和-4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0.由根与系数的关系可得
可得所以===4a+=-≤-2=-6,当且仅当-4a=,即a=-时,等号成立,所以的取值范围为(-∞,-6].故选D.
8.C [解析] 已知x,y均为正实数,设M=max,则M≥>0,M≥>0,M≥x2+4y2>0,则3M≥++x2+4y2≥++2=++4xy,当且仅当x2=4y2,即x=2y时,等号成立.又因为++4xy≥3=6,当且仅当==4xy,即x=2y=1时,等号成立,所以3M≥6,即M≥2,所以M=max的最小值为2.故选C.
9.BD [解析] 当a=-2,b=-3,c=-4时,-2>-3>-4,但-2+(-3)>-4不成立,故A中命题是假命题.因为a>b>|c|≥0,所以根据不等式性质可得a2>b2>c2,故B中命题是真命题.因为a0,所以a·>0,故C中命题是假命题.因为a>b>c>0,所以-==<0,所以<,故D中命题是真命题.故选BD.
10.AD [解析] 对于A,利用基本不等式可得 x>0,x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故A中命题是真命题;对于B, x<0,x+=-≤-2=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故B中命题是假命题;对于C,易知 x>0,=≤=,当且仅当x=1时,等号成立,故C中命题是假命题;对于D,易知当x=-1时,=-,所以 x<0,≤-,故D中命题是真命题.故选AD.
11.BCD [解析] 对于A,因为x,y为正实数,所以xy=2x+y≥2,当且仅当y=2x=4时取等号,因此xy≥8,故A错误;对于B,由2x+y=xy,得+=1,则8x+y=(8x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当=,即y=4x=6时取等号,故B正确;对于C,由+=1,得++=1,即+=1-,而xy≥8,因此+=1-≥1-=,当且仅当y=2x=4时取等号,故C正确;对于D,由2x+y=xy,得xy-2x-y+2=2,即(x-1)(y-2)=2,由+=1,得x>1,y>2,因此+≥2=,当且仅当=,即x-1=3(y-2)=时取等号,故D正确.故选BCD.
12.-2 [解析] 因为x>0,y>0且x+2y=1,所以1=x+2y≥2,解得2xy≤,当且仅当x=,y=时,等号成立,所以2xy的最大值为,所以log2x+log2(2y)=log2(2xy)≤log2=-2,即log2x+log2(2y)的最大值为-2.
13.2 [解析] 方法一:由4x2+9y2+6xy-3=0,可得4x2+9y2+12xy=3+6xy,由基本不等式得(2x+3y)2=3+2x·3y≤3+,可得(2x+3y)2≤3,所以2x+3y≤2,当且仅当2x=3y时取等号,由解得
故2x+3y的最大值为2.
方法二:由4x2+9y2+6xy-3=0,可得(x2+9y2+6xy)+3x2=3,因为x>0,y>0,所以由权方和不等式得+≥,即4≥(2x+3y)2,所以2x+3y≤2,当且仅当=,即2x=3y时取等号,由解得
故2x+3y的最大值为2.
14. [解析] 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,X=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},其中m,n,p>0,①若b≥2a,则1-n-p≥2-2m-2n-2p,得2m+n+p≥1,又∴4X≥2m+n+p≥1,则X≥.②若a+b≤1,则2-m-2n-2p≤1,得m+2n+2p≥1,又∴5X≥m+2n+2p≥1,∴X≥,当且仅当m+2n+2p=1且max{m,n,p}=时等号成立.综上,X的最小值为.(共24张PPT)
重点强化练（一） 不等式的性质与
基本不等式
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2025·四川遂宁模拟]若，则 的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.无最小值
[解析] 若 ，则
，当且仅当，即时，
等号成立，所以 的最小值为8.故选C.
√
2.[2024·河北唐山一模]已知函数，则 的最小值为
( )
A.0 B.2 C. D.3
[解析] 由已知得 ，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为 .故选C.
√
3.[2025·江苏宿迁调研]若,,，则 的最小值
为( )
A.9 B.18 C.24 D.27
[解析] 根据题意可得
,
当且仅当，即时，等号成立,
所以 的最小值为9. 故选A.
√
4.对于任意实数，，“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当,时，满足，但不满足 ，
故充分性不成立；
因为，所以 ，
又，所以 ，故必要性成立.
所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
5.[2024·人大附中三模]已知,，且 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，，其中，但 的符号不确定，
所以A不正确；
对于B，取 , ，此时 ，
所以B不正确；
对于C，函数在上单调递减，
因为，所以 ，可得，所以C正确；
对于D，取, ，此时 ，
所以D不正确.故选C.
6.[2024·福州一模]已知实数，满足， ，则
的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为实数，满足，，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是 .故选B.
√
7.[2024·山东新高考联盟模拟]已知关于 的不等式
的解集为，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由的解集为，可知1和
是方程的两个实数根，且 .
由根与系数的关系可得 可得
√
所以 ,
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的取值范围为 .故选D.
8.[2024·山东淄博二模]记,,表示,,中最大的数.已知, 均
为正实数，则 的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.4
√
[解析] 已知,均为正实数，设 ，
则,， ，
则 ，
当且仅当，即 时，等号成立.
又因为，当且仅当 ，
即时，等号成立，所以，即 ，
所以 的最小值为2.故选C.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2024·安徽淮北质检]已知，， ，下列命题为真命题的是
( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
√
√
[解析] 当，，时， ，
但不成立，故A中命题是假命题.
因为 ，所以根据不等式性质可得 ，
故B中命题是真命题.
因为，所以,所以,即，
又 ，所以，故C中命题是假命题.
因为 ，所以，
所以 ，故D中命题是真命题.故选 .
10.[2024·深圳南山区模拟]下列命题中，为真命题的是( )
A., B.,
C., D.,
√
√
[解析] 对于A，利用基本不等式可得, ，
当且仅当 时，等号成立，故A中命题是真命题；
对于B，，，
当且仅当 时，等号成立，故B中命题是假命题；
对于C，易知 ，，当且仅当 时，
等号成立，故C中命题是假命题；
对于D，易知当时，，所以 , ，
故D中命题是真命题.故选 .
11.[2024·湖南邵阳三模]若正实数，满足 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，因为,为正实数，所以 ，
当且仅当时取等号，因此 ，故A错误；
对于B，由，得 ，
则 ，
当 且仅当，即 时取等号，故B正确；
√
√
√
对于C，由，得，即，
而 ，因此，
当且仅当 时取等号，故C正确；
对于D，由，得 ，
即，由，得,，
因此，当且仅当 ，
即时取等号，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2024·重庆渝中区模拟] 已知,且 ，则
的最大值为____.
[解析] 因为,且，所以 ，
解得，当且仅当，时，等号成立，
所以 的最大值为，
所以 ，
即的最大值为 .
13.[2024·江西宜春三模] 已知， ，且满足
，则 的最大值为___.
2
[解析] 方法一：由 ，
可得 ，
由基本不等式得，
可得 ，所以，当且仅当 时取等号，
由解得 故 的最大值为2.
方法二：由 ，
可得，
因为, ，所以由权方和不等式得，
即，所以 ，
当且仅当，即 时取等号，
由解得 故 的最大值为2.
14.[2025·江苏南通模拟] 以表示数集 中最大的数.设
，已知或，则, ,
的最小值为__.
[解析] 令,,,
, ,,,,其中,,,
若，则，得 ,
又，则
若 ,则，得 ,
又, ，
当且仅当且,,时等号成立.
综上，的最小值为 .
1.C 2.C 3.A 4.B 5. C 6.B 7.D 8.C
9.BD 10.AD 11. BCD
12. 13. 14.