10.3实际问题与二元一次方程组教学设计（表格式）人教版七年级数学下册

题目 题目 实际问题与二元一次方程组
内容和内容解析 内容 用二元一次方程组解决“探究3”中的实际问题。
内容解析 探究3中的一些条件用示意图给出，这种表达形式比较简明，但需要学生从图表中获取信息，用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系。而且此题要得到的答案是一个数值，需要学生理解如何确定未知数。通过探究3的学习，学生进一步认识运用方程组解决实际问题的建模过程，发展数学建模能力，感受设间接未知数迂回解决问题的策略，进一步体会二元一次方程组的应用价值。
课标要求 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程;理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.
学情分析 1.学生已经具备基础的认知能力，掌握了一元一次方程解决问题的方法，现在需要达成新的认知基础，来学习二元一次方程组解决问题的方法. 2.学生在复杂问题中提取相等关系的能力较弱，相等关系不太好找，列方程组存在一定的困难. 3.针对学生存在的问题及相应解决方案:探究3中的一些条件用示意图给出，这种表达形式比较简明，但需要学生有从图表获取信息的能力，对于学生是一个难点。而且此题要得到的答案是一个数值，直接设这个数值为未知数列方程组不容易。为此，我们设间接未知数，解出它们后，再计算问题所要得到的答案。 探究3比前面的问题更接近现实，数量关系相对比较隐蔽，因此这个问题的分析解决难度比以前的问题的难度也要大些。所以在教学的过程中，一方面需要设置部分台阶（如较简单的准备题、提示解题方向的思考题）减小坡度、分散难点，另一方面需要用一些具体的方法（如列表法）引导学生学会分析和表达，还要留给学生充足的思考、交流、整理、反思的时间。
目标和目标解析 目标 1.能根据丝路纺织厂的实际情境中的的条件和数量关系，通过列表的方式分析题目中的各个量的关系，列二元一次方程组解决实际问题。 2.准确求解二元一次方程组，得出长绒棉和纺织面料的数量，并进行相关费用的计算。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理，建立模型观念. 3.将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型，体会数学建模在解决实际问题中的作用。
目标解析 1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义;认识方程的意义，经历估计方程解的过程. 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理，建立模型观念. 3.在解决问题的过程中，进一步体会二元一次方程组的应用价值，培养学生的抽象能力、提高分析和解决问题的能力，发展模型观念和应用意识.
教学重点 1. 分析“丝路纺织厂问题”中的数量关系，建立二元一次方程组模型。 2. 求解二元一次方程组，并根据实际问题进行检验和作答。
教学难点 1. 准确找出实际问题中隐藏的等量关系，尤其是运输费用与货物重量、运输距离之间的关系。 2. 理解和处理实际问题中的单位换算及费用计算等细节。 3.间接设未知数迂回解决问题。
教学方法分析 让学生自主探究、合作交流，应用“先学后教，当堂训练”的教学模式。教学过程中给学生充足的时间去思考、交流、整理、反思。努力使课堂成为个体主动思考、生生互动交流、师生互补提高的学习活动场所。让学生在分析和解决问题的过程中体验探究的乐趣，从而更好地激发学生的数学思维。
教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评价目标
核心任务1：课前准备 【课前准备】 1.某运输队的公路运价为1.5元/（吨 千米），你能举例说明其含义吗？若已知运输35吨货物100千米需支付 _____ 元的费用。 2.阅读“探究3”，思考：销售款与________ 有关，原料费与 ________ 有关，运输费与______ 有关。 学生课前预习完成。 培养学生预习的学习习惯。
核心任务2：情境导入 同学们，在古代丝绸之路是连接东西方贸易的重要通道。如今，有一家丝路纺织厂，它的业务涉及到原料采购和产品销售。（展示纺织厂相关图片或动画）这家纺织厂要从 A 地购买长绒棉，加工成纺织面料后卖到 B 地。在这个过程中，涉及到运输费用、原料成本和产品销售额等问题。厂长遇到了难题，不知道这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少。今天，我们就一起运用所学的二元一次方程组知识，来帮助厂长解决这个问题。 学生观看图片或动画。 情境引入激发学生的学习兴趣。
核心任务3：从图中获取有用信息 探究3：如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 图1 问题1：结合实际理解问题情境，找出情境中有哪些数量关系． 已知数为长绒棉的进价、纺织面料的出厂价，公路、铁路的运价，公路、铁路的里程数，公路、铁路的运费．问题最终所求为“销售额－（原料费＋运输费）”． 追问1：问题中的销售额、原料费和运输费分别与哪些已知数相关？列出数量关系． 销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，运输费由公路运费和铁路运费组成． 销售额＝纺织面料的出厂价×纺织面料数量， 原料费＝长绒棉的进价×长绒棉数量， 运输费＝公路运费＋铁路运费， 每部分运费＝运价×数量×里程数． 追问2：请找出问题中的相等关系． 公路运费5 200元和铁路运费16 640元分别是由两部分组成的，找到两个相等关系． 长绒棉从A地运往工厂的公路运费＋纺织面料从工厂运往B地的公路运费＝5 200元；长绒棉从A地运往工厂的铁路运费＋纺织面料从工厂运往B地的铁路运费＝16 640元． 追问3：结合数量关系，目前有哪些数是未知的？ 问题2：根据相等关系和所设未知数，可以列出怎样的方程？ 师生共同分析得出： 公路部分： A地→工厂长绒棉运费＝公路运价×公路里程数×长绒棉数量； 工厂→B地纺织面料运费＝公路运价×公路里程数×纺织面料数量； 铁路部分： A地→工厂长绒棉运费＝铁路运价×铁路里程数×长绒棉数量； 工厂→B地纺织面料运费＝铁路运价×铁路里程数×纺织面料数量． x t长绒棉y t纺织面料合计公路运费/元0.5×10x0.5×20y5 200铁路运费/元0.2×120x0.2×110y16 640
由上表，列得方程组 因方程组中未知数的系数较大，所以先化简．依据等式的性质，整理得 观察方程组的特征，利用代入消元法求解． 由①，得 x＝1 040－2y． ③ 把③代入②，得 12（1 040－2y）＋11y＝8 320． 解这个方程，得 y＝320． 把y＝320代入③，得 x＝400． 所以这个方程组的解是 根据数量关系， 原料费＝长绒棉进价×长绒棉数量＝3.08x＝1 232（万元）， 销售额＝纺织面料出厂价×纺织面料数量＝4.25y＝1 360（万元）， 销售额－（原料费＋运输费）＝13 600 000－（12 320 000＋5 200＋16 640）＝1 258 160（元）． 答：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元． 学生思考，讨论分析实际情境．鉴于情境比较复杂，可以在教师提问的引导下，理清问题中的已知数、未知数及其数量关系． 学生独立思考，师生共同整理． 学生独立思考，师生共同找出问题中的相等关系． 学生分析，得长绒棉数量与纺织面料数量都是未知数，所以可以设纺织厂购进x t长绒棉，制成y t纺织面料，利用运费的相等关系列出方程组求解，进而求解纺织面料的销售额与原料费． 学生结合已经提炼出的数量关系，讨论解决问题的路径，通过列二元一次方程组解决该问题．过程中，教师可引导学生借助表格等工具进行整理，从而依据相等关系列得方程． 学生通过梳理原料与产品运输问题中的数量关系，找出相等关系，挖掘问题中隐含的未知数，体会从实际问题抽象出数学问题的过程． 学生经历列二元一次方程组解决问题的完整过程，通过分析问题、建立模型、转化求解、解答实际问题的过程，发展模型观念；体会二元一次方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具，增强应用意识．
梳理内化： 结合探究3中列方程组解决实际问题的过程，思考下面的问题：题目中的数量关系比较复杂时如何处理 什么时候间接设未知数 （教师视情况进行引导或提炼.） 学生结合解决问题的具体过程思考总结。 结合具体问题梳理总结，学生的思路容易打开，且感触较深，有利于学生将新旧知识融合为一体，构建新的知识体系。
核心任务4：巩固训练 熟练技能 1.如图，飞腾公司从A地购进原料若干吨，加工成产品后销往B地。已知公路费用为1.5元/（吨·千米），铁路运费为1元/（吨·千米），飞腾公司共支付公路运费750元，铁路运费4000元。根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往B地的产品为多少吨？ 图2 2.超额任务：（供学有余力的学生选做）课本102页第6题。 学生尝试解答，一名学生汇报解题思路，一名学生板演，其他学生结合板演订正。对于一些“学困生”不能列出、解出的，组长解完后帮其讲解。 通过解答下面的问题，进一步训练学生从图表中获取信息的能力，以及分析、解决实际问题的能力。
核心任务5：小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）在背景相对复杂的实际问题中，可以通过哪些方法找出相等关系？ ①先梳理问题中已有的数量关系； ②挖掘隐含的未知数，设未知数； ③利用表格、线段图等工具整理数量关系，并从中确定相等关系； （2）依据相等关系列方程时，有哪些方法与注意事项？ 一般来说，有几个未知数就要列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量； ②同类量的单位要统一； ③方程两边的数值要相等． （3）再次回顾利用二元一次方程组解决实际问题的一般流程． （教师通过三个问题，引导学生回顾自己的学习过程，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构。对学生总结不到位的地方进行补充归纳。） 学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，反思、提炼、归纳知识，纳入自己的知识结构。 学生通过归纳总结解决较复杂的实际问题时，可以借助哪些数学工具和具体方法找出相等关系，并正确列得方程组，提升解决问题的能力，发展应用意识与模型观念．
核心任务6：目标检测与作业设计 【作业目标】 A类：会用二元一次方程组解决实际问题。 B类：会用二元一次方程组解决较难的实际问题。 C类：会用二元一次方程组解决生活中的“选择方案”问题。 【作业内容】至少选做两类作业。 A类——基础巩固 1.某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t,3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨 B类——能力提升 2.甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需54 min，从乙地骑到甲地需42 min．甲地到乙地全程是多少千米？ C类——综合实践 3.某厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价甲种每台 1500元，乙种每台2000元，丙种每台2500元。 (1)若某商场同时购进该厂家两种不同型号电视机共80台，正好用去15万元，请你设计出几种不同的进货方案，并说明理由。 (2)商场销售一台甲种电视机可获利 160元，销售一台乙种电视机可获利240元，销售一台丙种电视机可获利 260元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案 【作业自评】（优+-、良+-、合格+-）（结合作业目标自评）。 【教师评语】 【作业改正】抄题重新做，不要在原来错的题上改。 学困生努力完成A、B两类，C类题目供学有余力的学生完成。 及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，锻炼学生解决实际问题的意识和能力。 同时在学生作业中体现分层，更好的落实“双减”， 增强作业的实用性、有效性、可操作性。
板书设计 实际问题与二元一次方程组 1.探究3 2.练习题
反思 本节课是实际问题与二元一次方程组的最后一节课，问题更加贴近现实生活，解决的难度明显加大。为让学生能从总体上准确把握题意，一方面设计部分思考题引导学生讨论交流，另一方面利用表格将题目中的数量关系清晰的呈现出来，学生踏着这些台阶，一步步找到了解决问题的途径。 由于本节课涉及的内容丰富，如何突出重点、突破难点成为这节课能否成功的关键。为此，开始先设计两个简单题目做准备，将“对运费单价：元/（吨 千米）的理解”这一难点提前处理；在探究3中重点是利用表格分析复杂的数量关系，练习题则是对探究3的进一步巩固和对本课学习效果的检测。这样的学习过程符合学生的认知规律，能达到学习目标。 本节课两个可取之处： 1.以学生为中心。 应用“先学后教，当堂训练”的教学模式。以学生自主探索、合作交流为主，教师引导、点拨为辅，努力使课堂成为个体主动思考、生生互动交流、师生互补提高的学习活动场所。 2.减少坡度、分散难点。 在问题解决的过程中，将复杂问题分解成较简单的问题，给学生的探索设置低起点的台阶，设计简单的准备题、提示解题方向的思考题、以及一个个小问题引导学生学会分析和表达。 这节课为了比较直接设未知数和间接设未知数，临时起意，对课堂练习和反思总结的顺序进行调换，虽然未按教学设计的流程去操作，但也达到了梳理内化的目的。我感觉目标基本达成，但还要做好以下几点： 将问题精细化处理，设计好问题分析。 注重细节，在课堂上多进行激励和评价。 关注不同阶层的学生，提高学整体的学。 培养学生良好的思维习惯，提高分析问题的能力。 加强教师的专业学习，储备好丰厚的知识。