2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.1.1椭圆及其标准方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 64.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-27 10:00:04 | ||
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文档简介
2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章 3.1.1椭圆及其标准方程
一、单选题
1.如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
2.(2025江苏扬州邢江中学月考)已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A. B. 9 C. 16 D. 25
3.已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.(2025福建莆田一中期中)以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A. 2 B. C. D. 5
6.已知椭圆上一点到此椭圆的一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则 =（ ）
A. 6 B. 10 C. 8 D. 12
二、多选题
7.(2025湖南株洲期中,P292定点2)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法中，正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 当时，
C. 当时，的面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
8.若方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线可能是圆
B. 若，则为椭圆
C. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为8 B. 面积的最大值为
C. 存在点，使得 D. 的内切圆半径的最大值为
三、填空题
10.(2025浙江温州十校联合体期中)过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______。
11.(2025福建泉州四校期中联考)已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为______。
12.已知圆，圆，圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹方程为______。
四、解答题
13.(2025江西南昌月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点的坐标分别是，，并且经过点；
(2) 焦点在坐标轴上，且经过两点和。
14.(2025福建三明一中月考)已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点。
(1) 求的标准方程；
(2) 在上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点经过椭圆与轴的交点时，规定点与点重合）。
15.(2025陕西西安月考)如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且。
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若点在第二象限，，求的面积。
一、单选题
1.答案：A
解析：由折叠性质可知，折痕是线段的垂直平分线，因此。设圆的半径为，则（为定值）。由于是圆内定点，故，满足椭圆定义（平面内到两个定点的距离之和为定值，且定值大于两定点间距离），因此点的轨迹是椭圆。
2.答案：D
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，有。由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，故的最大值为25。
3.答案：B
解析：椭圆的定义需同时满足两个条件：①动点到两定点的距离之和为定值；②该定值大于两定点间的距离。
若仅“为定值”，当定值等于两定点间距时，动点轨迹为线段；当定值小于时，无轨迹，因此“充分性”不成立；
若“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，则必然满足“为定值”，因此“必要性”成立。综上，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件。
4.答案：B
解析：焦点、在轴上，故椭圆的标准方程形式为（），其中焦距，即，且满足。
将点代入椭圆方程，得。将代入上式，解得，，因此椭圆的标准方程为。
5.答案：C
解析：设椭圆上任意一点的坐标为，由椭圆方程，可得（）。
该点到点的距离平方为：，将代入，得。
这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为（在的取值范围内）。将代入，得，因此距离的最大值为。
6.答案：C
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，。已知，则。
由于是的中点，是坐标原点，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此。
二、多选题
7.答案：AD
解析：椭圆中，，，焦距，左、右焦点分别为、。
A选项：的周长为，正确；
B选项：当时，点的横坐标为，代入椭圆方程得，解得，则，错误；
C选项：当时，由余弦定理，结合，可得，解得。三角形面积，错误；
D选项：使为直角三角形的点分三类：①直角在（椭圆上有2个点）；②直角在（椭圆上有2个点）；③直角在（椭圆上有2个点），共6个点，正确。
8.答案：AD
解析：方程表示的曲线需结合和的符号分析：
A选项：若，即时，方程化为，表示圆，正确；
B选项：当时，若，曲线为圆而非椭圆，因此“则曲线为椭圆”不成立，错误；
C选项：若曲线为椭圆且焦点在轴上，需满足，解得，而非，错误；
D选项：若曲线为椭圆且焦点在轴上，需满足，解得，正确。
9.答案：ABD
解析：椭圆中，，，，左、右焦点为、。
A选项：的周长为，正确；
B选项：的面积，当取最大值时，面积最大值为，正确；
C选项：若，则点在以为直径的圆上，该圆方程为。联立椭圆方程，消去得，即，但代入圆方程得，无实数解，故不存在这样的点，错误；
D选项：设的内切圆半径为，则面积。当最大为时，，正确。
三、填空题
10.答案：12
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，到两焦点的距离之和为。
的周长为，而，因此周长。
11.答案：
解析：将圆的方程配方，得，因此圆心，半径。
由线段的垂直平分线交于，得，因此（为圆的半径，是定值）。
由于，满足椭圆定义，故的轨迹为椭圆，其中（），（），则，因此轨迹方程为。
12.答案：
解析：圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径。
设圆的半径为，由圆与外切、与内切，得，，因此（定值）。
由于，满足椭圆定义，故的轨迹为椭圆，其中（），（），则，因此轨迹方程为。
四、解答题
13.解：
(1) 由焦点坐标、可知，焦点在轴上，且。设椭圆的标准方程为（），满足。
将点代入椭圆方程，得：
化简得，将代入，解得，。因此椭圆的标准方程为。
(2) 因椭圆焦点在坐标轴上，设其一般方程为（，，）。
由椭圆经过点和（修正题目输入误差，符合椭圆定义），代入得方程组：
解方程组，得，。因此椭圆的标准方程为（或整理为）。
14.解：
(1) 椭圆的焦点为、，故焦点在轴上，。设椭圆标准方程为（），满足。
将点代入椭圆方程，得：
化简得，将代入，解得，。因此椭圆的标准方程为。
(2) 设点的坐标为，垂足的坐标为，点的坐标为。
由，得向量关系：，因此，，即，。
由于点在椭圆上，将，代入椭圆方程，得：
化简得。因此点的轨迹方程为，轨迹是圆心在坐标原点、半径为5的圆。
15.解：
(1) 由椭圆的两焦点、，得，。
根据题意，得，即（）。
由椭圆的性质，得。因此椭圆的标准方程为。
(2) 设，由椭圆定义，得。
在中，，由余弦定理：
代入、、，得：
化简解得。
的面积，代入、、，得：
因此的面积为。
第三章 3.1.1椭圆及其标准方程
一、单选题
1.如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
2.(2025江苏扬州邢江中学月考)已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A. B. 9 C. 16 D. 25
3.已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.(2025福建莆田一中期中)以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（ ）
A. 2 B. C. D. 5
6.已知椭圆上一点到此椭圆的一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则 =（ ）
A. 6 B. 10 C. 8 D. 12
二、多选题
7.(2025湖南株洲期中,P292定点2)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法中，正确的有（ ）
A. 的周长为
B. 当时，
C. 当时，的面积为
D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
8.若方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线可能是圆
B. 若，则为椭圆
C. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
D. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为8 B. 面积的最大值为
C. 存在点，使得 D. 的内切圆半径的最大值为
三、填空题
10.(2025浙江温州十校联合体期中)过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为______。
11.(2025福建泉州四校期中联考)已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为______。
12.已知圆，圆，圆与圆外切，与圆内切，则圆心的轨迹方程为______。
四、解答题
13.(2025江西南昌月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点的坐标分别是，，并且经过点；
(2) 焦点在坐标轴上，且经过两点和。
14.(2025福建三明一中月考)已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点。
(1) 求的标准方程；
(2) 在上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点经过椭圆与轴的交点时，规定点与点重合）。
15.(2025陕西西安月考)如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且。
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若点在第二象限，，求的面积。
一、单选题
1.答案：A
解析：由折叠性质可知，折痕是线段的垂直平分线，因此。设圆的半径为，则（为定值）。由于是圆内定点，故，满足椭圆定义（平面内到两个定点的距离之和为定值，且定值大于两定点间距离），因此点的轨迹是椭圆。
2.答案：D
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，有。由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，故的最大值为25。
3.答案：B
解析：椭圆的定义需同时满足两个条件：①动点到两定点的距离之和为定值；②该定值大于两定点间的距离。
若仅“为定值”，当定值等于两定点间距时，动点轨迹为线段；当定值小于时，无轨迹，因此“充分性”不成立；
若“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，则必然满足“为定值”，因此“必要性”成立。综上，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件。
4.答案：B
解析：焦点、在轴上，故椭圆的标准方程形式为（），其中焦距，即，且满足。
将点代入椭圆方程，得。将代入上式，解得，，因此椭圆的标准方程为。
5.答案：C
解析：设椭圆上任意一点的坐标为，由椭圆方程，可得（）。
该点到点的距离平方为：，将代入，得。
这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为（在的取值范围内）。将代入，得，因此距离的最大值为。
6.答案：C
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，。已知，则。
由于是的中点，是坐标原点，根据三角形中位线定理，是的中位线，因此。
二、多选题
7.答案：AD
解析：椭圆中，，，焦距，左、右焦点分别为、。
A选项：的周长为，正确；
B选项：当时，点的横坐标为，代入椭圆方程得，解得，则，错误；
C选项：当时，由余弦定理，结合，可得，解得。三角形面积，错误；
D选项：使为直角三角形的点分三类：①直角在（椭圆上有2个点）；②直角在（椭圆上有2个点）；③直角在（椭圆上有2个点），共6个点，正确。
8.答案：AD
解析：方程表示的曲线需结合和的符号分析：
A选项：若，即时，方程化为，表示圆，正确；
B选项：当时，若，曲线为圆而非椭圆，因此“则曲线为椭圆”不成立，错误；
C选项：若曲线为椭圆且焦点在轴上，需满足，解得，而非，错误；
D选项：若曲线为椭圆且焦点在轴上，需满足，解得，正确。
9.答案：ABD
解析：椭圆中，，，，左、右焦点为、。
A选项：的周长为，正确；
B选项：的面积，当取最大值时，面积最大值为，正确；
C选项：若，则点在以为直径的圆上，该圆方程为。联立椭圆方程，消去得，即，但代入圆方程得，无实数解，故不存在这样的点，错误；
D选项：设的内切圆半径为，则面积。当最大为时，，正确。
三、填空题
10.答案：12
解析：椭圆中，长半轴。根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，到两焦点的距离之和为。
的周长为，而，因此周长。
11.答案：
解析：将圆的方程配方，得，因此圆心，半径。
由线段的垂直平分线交于，得，因此（为圆的半径，是定值）。
由于，满足椭圆定义，故的轨迹为椭圆，其中（），（），则，因此轨迹方程为。
12.答案：
解析：圆：，圆心，半径；圆：，圆心，半径。
设圆的半径为，由圆与外切、与内切，得，，因此（定值）。
由于，满足椭圆定义，故的轨迹为椭圆，其中（），（），则，因此轨迹方程为。
四、解答题
13.解：
(1) 由焦点坐标、可知，焦点在轴上，且。设椭圆的标准方程为（），满足。
将点代入椭圆方程，得：
化简得，将代入，解得，。因此椭圆的标准方程为。
(2) 因椭圆焦点在坐标轴上，设其一般方程为（，，）。
由椭圆经过点和（修正题目输入误差，符合椭圆定义），代入得方程组：
解方程组，得，。因此椭圆的标准方程为（或整理为）。
14.解：
(1) 椭圆的焦点为、，故焦点在轴上，。设椭圆标准方程为（），满足。
将点代入椭圆方程，得：
化简得，将代入，解得，。因此椭圆的标准方程为。
(2) 设点的坐标为，垂足的坐标为，点的坐标为。
由，得向量关系：，因此，，即，。
由于点在椭圆上，将，代入椭圆方程，得：
化简得。因此点的轨迹方程为，轨迹是圆心在坐标原点、半径为5的圆。
15.解：
(1) 由椭圆的两焦点、，得，。
根据题意，得，即（）。
由椭圆的性质，得。因此椭圆的标准方程为。
(2) 设，由椭圆定义，得。
在中，，由余弦定理：
代入、、，得：
化简解得。
的面积，代入、、，得：
因此的面积为。