重点强化练(四) 导数的几何意义及其应用
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2024·福建厦门一模] 已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2025·湖南永州模拟] 函数f(x)=x2+ln x的图象在点(1,1)处的切线方程是 ( )
A.3x-y-2=0
B.2x-y-2=0
C.3x+y-2=0
D.2x+y-2=0
3.[2024·四川宜宾三模] 若曲线y=ex+a的一条切线方程是y=x-1,则a= ( )
A.-2 B.1
C.-1 D.e
4.已知函数f(x)=xex+1,过点P(2,1)可作曲线y=f(x)的切线的条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.[2024·河北邢台一模] 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下:在方程F(x,y)=0中,把y看成x的函数y=y(x),则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0,在等式两边同时对x求导,然后解出y'(x)即可.例如:求由方程x2+y2=1(y<0)所确定的隐函数的导数y',将方程x2+y2=1(y<0)的两边同时对x求导,则2x+2y·y'=0(y是x的函数,需要用复合函数的求导法则求导),得y'=-(y<0).利用隐函数求导方法可求得曲线xy+ln y=2在点(2,1)处的切线方程为 ( )
A.x-3y+1=0
B.x+3y-5=0
C.3x-y-5=0
D.2x+3y-7=0
6.已知函数f(x)=若f(x)≥kx恒成立,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,5]
C.(0,5] D.[0,5]
7.已知m>0,n>0,直线y=x+m(m为常数)与曲线y=ln x-n+4(n为常数)相切,则+的最小值是 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
8.[2025·山东新高考联合质检联考] 若过点(1,m)可以作函数y=(x+1)ex的图象的三条切线,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-4e-2,0)
B.(-6e-3,0)
C.(-6e-3,2e)
D.(e,2e)
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m,f(m))处的切线为lm,则 ( )
A.lm的斜率的最小值为-2
B.lm的斜率的最小值为-3
C.l0的方程为y=1
D.l-1的方程为y=9x+6
10.已知直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1A.k的取值范围是(e,+∞)
B.存在k∈(0,+∞),使A为OB的中点
C.y1+y2>2
D.存在k∈(0,+∞),使两条切线互相垂直
11.[2024·长沙一模] 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为x1的点处作f(x)的图象的切线,切线与x轴交点的横坐标为x2,用x2代替x1重复上面的过程得到x3,一直进行下去,得到数列{xn},叫作牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6,an=ln,且a1=1,xn>3,数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ( )
A.xn+1=xn- B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是等比数列 D.S2025=22025-1
三、填空题:本题共3小题.
12.[2025·江苏无锡模拟] 曲线y=在点M(-π,0)处的切线方程为 .
13.[2025·广东深圳中学模拟] 若直线y=kx+b(k,b为常数)与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切,则b= .
14.已知A,B分别是曲线y=ln x-和直线y=2x上的点,则|AB|的最小值为 .
四、解答题:本题共3小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2025·武汉模拟] 已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x.
(1)求f'(1)并写出f(x)的表达式;
(2)记g(x)=[f(x)+x2+x]+a,若曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线也是曲线y=g(x)的切线,求a的值.
16.已知函数f(x)=2xln x-+x-1.
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若曲线y=f(x)在点A处的切线为l1,函数g(x)=ex-e-x的图象在点B处的切线为l2,l1∥l2,求直线AB的方程.
17.已知函数f(x)=ln x,g(x)=2ex.
(1)若直线y=kx+b为曲线y=g(x)的一条切线,求出b与k的函数关系式;
(2)当m>1时,过点(m,f(m))的曲线y=f(x)的切线l也与曲线y=g(x)相切,试求直线l的条数.重点强化练(四)
1.C [解析] 由y'=3x2-1,得y'|x=0=-1,即直线l的斜率为-1,根据倾斜角与斜率关系及其范围知,l的倾斜角为.故选C.
2.A [解析] 由f(x)=x2+ln x,得f'(x)=2x+,所以f'(1)=2+1=3,所以f(x)=x2+ln x的图象在点(1,1)处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
3.A [解析] 由y=ex+a,得y'=ex,设切点坐标为(t,et+a),由et=1,得t=0,∴切点坐标为(0,1+a),代入y=x-1,得1+a=-1,即a=-2.
4.B [解析] 由f(x)=xex+1,得f'(x)=(x+1)ex.设切点坐标为(x0,x0+1),则切线方程为y-x0-1=(x0+1)(x-x0),把(2,1)代入可得-x0=(x0+1)(2-x0),即-2x0-2=0,因为Δ=12>0,所以该方程有2个不同的实数解,故切线有2条.
5.B [解析] 由给定定义得,将xy+ln y=2的两边同时对x求导,可得y+xy'+×y'=0,将(2,1)代入,得1+2y'+y'=0,解得y'=-,故切线斜率为-,则切线方程为y-1=-(x-2),即x+3y-5=0.故选B.
6.D [解析] 设直线y=mx与y=x2+5x(x≥0)的图象相切于点P(x0,y0)(x0≥0),y'=2x+5,则m=2x0+5,所以切线方程为y=(2x0+5)x,又切线过P(x0,y0),所以+5x0=(2x0+5)x0,解得x0=0,所以P(0,0),m=5.作出y=f(x)的图象及直线y=5x,如图,由图象可知,当0≤k≤5时,f(x)≥kx恒成立.
7.D [解析] 因为y=ln x-n+4,所以y'=,令=,可得x=e,结合题设,将x=e代入,得·e+m=ln e-n+4,即m+n=4,则+=·=≥×(2+2)=1,当且仅当m=n=2时,等号成立,故+的最小值是1.
8.B [解析] 依题意,设切点坐标为(t,(t+1)et),由y=(x+1)ex,得y'=(x+2)ex,则函数y=(x+1)ex的图象在点(t,(t+1)et)处的切线方程为y-(t+1)et=(t+2)et(x-t),由切线过点(1,m),得m=(t+1)et+(t+2)et(1-t)=(-t2+3)et,令g(t)=(-t2+3)et,依题意,直线y=m与函数y=g(t)的图象有三个交点,g'(t)=(-t2-2t+3)et=-(t+3)(t-1)et,当t<-3或t>1时,g'(t)<0,当-30,所以函数g(t)在(-∞,-3),(1,+∞)上单调递减,在(-3,1)上单调递增.当t=-3时,函数g(t)取得极小值g(-3)=-6e-3,当t=1时,函数g(t)取得极大值g(1)=2e,当x→-∞时,g(x)<0且g(x)→0,当x→+∞时,f(x)→-∞,因此当-6e-39.BCD [解析] 因为f'(x)=3x2-6x=3(x-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3,故A错误,B正确.因为f'(0)=0,f(0)=1,所以l0的方程为y=1,故C正确.因为f'(-1)=9,f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6,故D正确.故选BCD.
10.ABC [解析] 在同一坐标系中作出曲线y=ex与直线y=kx(k>0),如图所示.当直线y=kx(k>0)与曲线y=ex相切时,设切点坐标为(a,ea),因为y'=ex,所以k==ea,解得a=1,k=e,因为直线y=kx(k>0)交曲线y=ex于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以有k>e,故A正确;当k从e开始增大时,观察图象可知从|OB|<2|OA|变化到|OB|>2|OA|,故必存在一个k,使得|OB|=2|OA|,即A为OB的中点,故B正确;由题得02=2,故C正确;k1=>0,k2=>0,故k1k2≠-1,故D错误.故选ABC.
11.ACD [解析] f'(x)=2x-1,所以f(x)的图象在点(xn,f(xn))处的切线方程为y-f(xn)=f'(xn)(x-xn),令y=0,得xn+1=xn-=xn-=,故A正确;==,故ln=2ln,即an+1=2an,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故B错误,C正确;S2025==22025-1,故D正确.故选ACD.
12.x-πy+π=0 [解析] y'=,可得曲线在点M(-π,0)处的切线斜率k==,所以曲线在点M(-π,0)处的切线方程为y=(x+π),即x-πy+π=0.
13.-2ln 2 [解析] 设直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象的切点分别为P1(x1,),P2(x2,-2),令f(x)=ex-1,g(x)=ex-2,因为f'(x)=ex-1,g'(x)=ex,所以曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1),整理得y=x+(1-x1),曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2),整理得y=x+(1-x2)-2.
因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线,所以
由①可得x1-1=x2,代入②得-x2=(1-x2)-2,整理得=2,所以x2=ln 2,代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2.
14. [解析] 设直线y=2x+c与曲线y=ln x-相切,切点坐标为(t>0),由y=ln x-,求导得y'=+,由+=2,即2t2-t-1=0,得t=1,因此切点坐标为(1,-1),所以|AB|的最小值为=.
15.解:(1)由f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+,
所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,则f(x)=-x2-x+2ln x.
(2)g(x)=[f(x)+x2+x]+a=ln x+a,求导可得g'(x)=.由y=ex+2x得y'=ex+2,故曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得y=3x+1.令g'(x)==3,解得x=,将其代入切线方程y=3x+1,可得y=2,又g=ln+a,所以ln+a=2,解得a=2+ln 3.
16.解:(1)f(1)=0-+1-1=-,f'(x)=2ln x+2-x2+1=2ln x-x2+3,则f'(1)=2,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y+=2(x-1),即y=2x-.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),令h(x)=2ln x-x2+3,则h'(x)=-2x=.当00;当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)=2ln x-x2+3在x=1时取得最大值2,即f'(x)≤2.
g'(x)=ex+e-x≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,所以g'(x)的最小值为2.因为l1∥l2,所以f'(x1)=g'(x2)=2,得x1=1,x2=0,所以A,B(0,0),所以直线AB的方程为y-0=(x-0),即y=-x.
17.解:(1)设切点为(x0,y0),则y0=2,g'(x)=2ex,则切线方程为y-2=2(x-x0),整理可得y=2x-2x0+2,可得k=2,b=-2x0+2,则x0=ln,可得b=k,故b与k的函数关系式为b=k.
(2)f'(x)=,则过点(m,f(m))的曲线y=f(x)的切线方程为y-ln m=(x-m),整理可得y=x+ln m-1.
设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1,2),则有y-2=2(x-x1),
所以2=,即x1=-ln(2m),所以可得y=++,结合方程y=x+ln m-1,可得+=ln m-1,整理可得ln m=1+.
画出y=ln x与y=1+(x>1)的图象,如图所示,当x>1时,两图象只有一个交点,所以ln m=1+在(1,+∞)上只有一个解,即直线l只有一条.(共32张PPT)
重点强化练（四） 导数的几何意义
及其应用
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2024·福建厦门一模]已知直线与曲线 在原点处相切，
则 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，即直线的斜率为 ，根据
倾斜角与斜率关系及其范围知,的倾斜角为 .故选C.
√
2.[2025·湖南永州模拟]函数的图象在点 处的切
线方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得 ，所以
，
所以的图象在点 处的切线
方程是，即 .
√
3.[2024·四川宜宾三模]若曲线的一条切线方程是 ，
则 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] 由，得，设切点坐标为 ，由
，得，
切点坐标为，代入 ，得，即 ．
√
4.已知函数，过点可作曲线 的切线的
条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由，得 ．
设切点坐标为，
则切线方程为 ，
把代入可得，即 ，
因为 ，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条．
√
5.[2024·河北邢台一模]如果方程能确定是 的函数，那么
称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程
中，把看成的函数，则方程可看成关于 的恒
等式，在等式两边同时对求导，然后解出 即
可．例如：求由方程所确定的隐函数的导数 ，
将方程的两边同时对求导，则
（是 的函数，需要用复合函数的求导法则求导），得
．利用隐函数求导方法可求得曲线 在点
处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由给定定义得，将的两边同时对 求导，可得
，
将代入，得 ，解得，故切线斜率为，
则切线方程为 ，即 .故选B.
√
6.已知函数若恒成立，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设直线与 的
图象相切于点， ，
则 ，所以切线方程为，
又切线过 ，所以，
解得 ，所以 ,.
作出的图象及直线 ，如图，由图象可知，
当时， 恒成立.
7.已知，，直线（ 为常数）与曲线
（为常数）相切，则 的最小值是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] 因为，所以，令，可得 ，结
合题设，将代入，得，即 ，
则 ，当且仅
当时，等号成立，故 的最小值是1.
√
8.[2025·山东新高考联合质检联考]若过点 可以作函数
的图象的三条切线，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意，设切点坐标为，由 ，得
，
则函数的图象在点 处的切线方程为
，
由切线过点 ，得 ，
令，依题意，直线与函数 的图象有
三个交点，
√
，当 或时，
，当时，，所以函数
在,上单调递减，在上单调递增.
当 时，函数取得极小值，当时，
函数 取得极大值，
当 时，且，当 时， ，
因此当时，直线 与函数的图象有
三个交点，所以实数的取值范围是 .故选B.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.已知函数的图象在点处的切线为 ，
则( )
A.的斜率的最小值为 B.的斜率的最小值为
C.的方程为 D.的方程为
√
√
√
[解析] 因为，所以 的斜率
的最小值为，故A错误，B正确.
因为,，所以 的方程为，故C正确.
因为,，所以 的方程为，
即，故D正确.故选 .
10.已知直线交曲线于, 两点,其
中,为坐标原点,过,分别作曲线 的切线,斜率分别为
, ,则( )
A.的取值范围是
B.存在,使为 的中点
C.
D.存在 ,使两条切线互相垂直
√
√
√
[解析] 在同一坐标系中作出曲线 与直线
,如图所示.
当直线 与曲线相切时,
设切点坐标为,因为 ,所以,
解得, ，
因为直线交曲线于, 两点,
所以有,故A正确;
当从 开始增大时,观察图象可知从变化到,
故必存在一个 , 使得,即为的中点，故B正确;
由题得 ，
所以,
故C正确;
, ,故,
故D错误.故选 .
11.[2024·长沙一模]英国著名物理学家牛顿用“作
切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为 的
点处作的图象的切线，切线与 轴交点的横
A. B.数列 是递减数列
C.数列是等比数列 D.
坐标为，用代替重复上面的过程得到 ，一直进行下去，得到数
列 ，叫作牛顿数列.若
函数,，且 ,
，数列的前项和为 ，则下列说法正确的是( )
√
√
√
[解析] ，所以 的图象在点
处的切线方程为
，令 ，得
，故A正确；
，故，即 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确；
，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2025·江苏无锡模拟] 曲线在点 处的切线方程为
_______________．
[解析] ，可得曲线在点 处的切线斜率
，
所以曲线在点 处的切线方程为，
即 ．
13.[2025·广东深圳中学模拟] 若直线（, 为常数）与函
数和的图象都相切，则 _______．
[解析] 设直线与函数和 的图象的切点
分别为,,
令， ，因为,，
所以曲线在点 处的切线方程为，
整理得 ，
曲线在点处的切线方程为 ，
整理得.
因为直线 是两函数图象的公切线，所以
由①可得，代入②得 ，整理得
，所以，代入②得 .
14.已知,分别是曲线和直线上的点，则 的
最小值为_ ___．
[解析] 设直线与曲线 相切，切点坐标为
，由，求导得 ，
由，即，得，因此切点坐标为 ，
所以的最小值为 .
四、解答题：本题共3小题，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.[2025·武汉模拟] 已知 .
（1）求并写出 的表达式；
解：由 ，求导可得
，
所以，解得 ，则
.
（2）记，若曲线在点
处的切线也是曲线的切线，求 的值.
解：，求导可得 .
由得，故曲线在点 处的切线斜
率，所以曲线在点 处的切线方程为
，化简可得.
令，解得 ，将其代入切线方程，
可得，又 ，所以，解得 .
16.已知函数 .
（1）求曲线在 处的切线方程；
解： ，
，则 ，
所以曲线在处的切线方程为 ，即
.
（2）若曲线在点处的切线为，函数 的
图象在点处的切线为，，求直线 的方程.
解：设,，令 ，则
.
当时，；当 时，，所以
在上单调递增，在 上单调递减，
所以在时取得最大值2，即 .
，当且仅当 时，等号成立，
所以的最小值为2.
因为，所以 ，得,，
所以,，所以直线 的方程为
，即 .
17.已知函数， ．
（1）若直线为曲线的一条切线，求出与 的函
数关系式；
解：设切点为，则， ，
则切线方程为，
整理可得 ，可得，
，则 ，可得，
故与的函数关系式为 ．
（2）当时，过点的曲线的切线 也与曲线
相切，试求直线 的条数．
解：，则过点的曲线 的切线方程为
，整理可得 ．
设直线与曲线相切于点 ，则有
，所以，即，
所以可得 ，结合方程，
可得 ，整理可得 ．
画出与 的图象，
如图所示，当 时，两图象只有一个交点，
所以在 上只有一个解，
即直线 只有一条.
1.C 2.A 3.A 4.B 5.B 6.D 7.D 8.B
9.BCD 10.ABC 11.ACD 12.x-πy+π=0 13.-2ln 2 14.
15.(1)f'(1)=-1, f(x)=-x2-x+2ln x (2)2+ln 3 16.(1)y=2x- (2)y=-x
17.(1) b=k (2)一条
