重点强化练(六) 三角函数的图象与性质
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2025·四川绵阳中学模拟] y=lg(tan x-1)的定义域为 ( )
A.
B.
C.
D.
2.函数y=sin的图象的一个对称中心的是 ( )
A. B.(0,0)
C. D.
3.把函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再把所得图象的横坐标缩短为原来的一半,得到g(x)的图象,则g(x)= ( )
A.cos 4x B. -cos x
C. -cos 4x D. -sin x
4.[2025·衡水中学月考] 下列函数中在上单调递增,周期为π,且为奇函数的是 ( )
A.y=cos B.y=sin 2x
C.y=tan x D.y=sin
5.[2025·内蒙古呼和浩特质检] 当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与y=2sin的交点个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.6
6.已知函数f(x)=sin x+acos x,且f(x)=f,则函数g(x)=asin x+cos x的图象的一条对称轴方程可以为 ( )
A.x= B.x= C.x= D.x=π
7.[2024·广州二模] 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后所得曲线关于y轴对称,则θ的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
8.[2024·河南南阳模拟] 若函数f(x)=cos(ωx+φ)的图象关于点中心对称,且x=-是f(x)的极值点,f(x)在区间内有唯一的极大值点,则ω的最大值为 ( )
A.8 B.7 C. D.
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024·湖南邵阳二联] 已知函数f(x)=sin 3x+cos 3x+,则下列结论正确的有 ( )
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在区间上单调递减
10.[2025·武汉调研] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,则 ( )
A.φ=
B.ω=2
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)在上的取值范围为[-2,1]
11.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点A(0,1)和B(x0,-2)(x0>0),且满足|AB|min=,则下列结论正确的是 ( )
A.φ=
B.ω=
C.当x∈时,函数f(x)的取值范围为[0,1]
D.函数y=x-f(x)有三个零点
三、填空题:本题共3小题.
12.已知函数f(x)=sin+|x-2|的图象关于直线x=2对称,则φ可以为 .(写出一个符合条件的φ值即可)
13.[2024·安徽芜湖二模] 已知偶函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于点中心对称,且在区间上单调,则ω= .
14.[2024·江西重点中学盟校二联] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象在y轴上的截距为,在y轴右侧的第一个零点为,当x∈时,若方程f(x)=a恰有三个不同的根,分别记为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为 . 重点强化练(六)
1.A [解析] 令y=lg t,t=tan x-1,函数t=tan x-1的定义域为,函数y=lg t的定义域为t>0,则tan x-1>0,即,所以y=lg(tan x-1)的定义域为,故选A.
2.D [解析] 令sin=0,则2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z,当k=1时,x=,所以其中一个对称中心为,故选D.
3.A [解析] f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin=cos 2x的图象,再把所得图象的横坐标缩短为原来的一半,得到g(x)=cos 4x的图象,故选A.
4.A [解析] 对于选项A,因为y=cos=-sin 2x,所以其为奇函数,其最小正周期T==π,若x∈,则2x∈,且y=sin x在上单调递减,则y=sin 2x在上单调递减,所以y=-sin 2x在上单调递增,故A正确;对于选项B,由选项A可知y=sin 2x在上单调递减,故B错误;对于选项C,y=tan x在x=处无意义,故C错误;对于选项D,y=sin=cos 2x,若x∈,则2x∈,因为y=cos x在上单调递减,所以y=cos 2x在上单调递减,故D错误.故选A.
5.C [解析] 当x=0时,y=2sin=,令2x+=,得x=,此时y=2sin=2,令2x+=π,得x=,此时y=2sin=0,令2x+=,得x=,此时y=2sin=-2,令2x+=2π,得x=,此时y=2sin=0,当x=π时,y=2sin=2sin=,函数y=2sin的周期T==π.结合周期,利用五点法作出y=cos x和y=2sin在[0,2π]上的图象,由图知,共有4个交点.故选C.
6.B [解析] 由题设有f(x)=f,且可知f(x)=g,所以f=g,故g=g,所以g(x)的图象的一条对称轴方程为x==-.又g(x)的周期为2π,所以其图象的一条对称轴方程可以为x=-+2π=.故选B.
7.A [解析] 由f=1,得sin=,结合图象可知ω+φ=+2kπ,k∈Z.由f=0,结合图象可知ω+φ=π+2kπ,k∈Z,所以ω=2,φ=-+2kπ,k∈Z,而|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位长度后,得到y=sin的图象,则-2θ-=-kπ,k∈Z,因此θ=-+,k∈Z,而θ>0,所以当k=1时,θ取得最小值.故选A.
8.C [解析] 由函数f(x)的图象关于点中心对称,且x=-是f(x)的极值点,可得
(k1,k2∈Z),即(k,k'∈Z),其中k=k1-k2,k'=k1+k2=2k1-k,k,k',k1,k2∈Z.因为|φ|≤,当k'=-1时,φ=-,k=2k1+1,k1∈Z,当k'=0时,φ=,k=2k1,k1∈Z.因为f(x)在区间内有唯一的极大值点,所以-0=≤2T=,解得0<ω≤10,即0<≤10,所以-9.ACD [解析] f(x)=sin 3x+cos 3x+=2sin+.对于A, f(x)的最小正周期为,故A正确;对于B, f=2sin+=,故B错误;对于C,f=2sin+=2+为函数最大值,故C正确;对于D,若 x∈,则3x+∈,故f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选ACD.
10.BC [解析] 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可知A=2,又因为f(0)=2sin(ω×0+φ)=1,即sin φ=,φ∈(0,2π),所以结合函数的图象可得φ=,故A错误;f=2sin=0,即sin=0,结合函数图象可得ω+=π,所以ω=2,故B正确;f(x)=2sin,当x=时,f=2sin=2sin=-2,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;当x∈时,2x+∈,所以sin∈,即f(x)=2sin∈[-2,],故D错误.故选BC.
11.AD [解析] 对于A选项,把点A(0,1)的坐标代入得2sin φ=1,则sin φ=,因为|φ|<,所以φ=,A正确;对于B选项,B(x0,-2)(x0>0)为函数图象的最低点,|AB|min=,故=,解得x0=2(负值舍去),则T<212.-(答案不唯一) [解析] 函数y=|x-2|的图象关于直线x=2对称,则只需y=sin的图象关于直线x=2对称即可,所以+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z),令k=0,可得φ=-.
13. [解析] 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数,所以φ=kπ+,k∈Z,即f(x)=cos ωx或f(x)=-cos ωx.又f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于点中心对称,所以cosω=0,即ω=kπ+,k∈Z,所以ω=3k+,k∈Z.因为f(x)在上单调,所以T≥,即≥,所以0<ω≤4,所以当k=0时,ω=,符合条件.
14. [解析] 将(0,)代入f(x)=2sin(ωx+φ)得sin φ=,又0≤φ≤,所以φ=.因为在y轴右侧的第一个零点为,所以结合题意可得ω×+=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin.令2x+=t,由x∈可得t∈,依题可知方程2sin t=a,t∈恰有三个不同的根,设其分别为t1,t2,t3,且ti=2xi+(i=1,2,3),画出y=a与y=2sin t在上的图象,如图.由图易知t1,t2关于直线t=对称,则t1+t2=π.由图知t3∈,则t1+t2+t3∈,又t1+t2+t3=2(x1+x2+x3)+,所以≤2(x1+x2+x3)+<,解得≤x1+x2+x3<,故x1+x2+x3的取值范围为.(共32张PPT)
重点强化练（六） 三角函数的图象
与性质
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2025·四川绵阳中学模拟] 的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 令，,
函数 的定义域为，
函数的定义域为 ，
则，即 ，
所以的定义域为 ,
故选A.
2.函数 的图象的一个对称中心的是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则 ,，
即 ,,
当时，，所以其中一个对称中心为 ，故选D.
√
3.把函数的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象
的横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
再把所得图象的横坐标缩短为原来的一半，
得到 的图象,故选A.
√
4.[2025·衡水中学月考]下列函数中在上单调递增，周期为 ，
且为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于选项A，因为 ，
所以其为奇函数，其最小正周期 ，
若，则 ，且在上单调递减，
则在 上单调递减，
所以在 ]上单调递增，故A正确；
对于选项B，由选项A可知 在上单调递减，故B错误；
，
若，则 ，
因为在上单调递减，
所以在 上单调递减，故D错误.故选A.
5.[2025·内蒙古呼和浩特质检]当时，曲线 与
的交点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
√
，得 ，此时，
令 ，得，此时 ，
当 时， ，
函数的周期 .
结合周期，利用五点法作出 和
在 上的图象，由图知，
共有4个交点.故选C.
6.已知函数，且 ，则函数
的图象的一条对称轴方程可以为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题设有，且可知 ,
所以，故 ，
所以的图象的一条对称轴方程为.
又 的周期为 ，
所以其图象的一条对称轴方程可以为 .故选B.
7.[2024·广州二模]已知函数
的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移 个单
位长度后所得曲线关于轴对称，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
结合图象可知 , .
由，
结合图象可知 ,，
所以, , ，
而，所以 ,所以.
的图象，
则 ,，
因此 , ,
而，所以当时， 取得最小值 .故选A.
8.[2024·河南南阳模拟]若函数
的图象关于点中心对称，且是的极值点， 在
区间内有唯一的极大值点，则 的最大值为( )
A.8 B.7 C. D.
√
[解析] 由函数的图象关于点中心对称，且是 的
极值点，可得 ，即
，其中 ,，,,,.
因为，当 时，,,，
当时，,, .
因 为在区间 内有唯一的极大值点，所以
，解得，即 ，所以.
当时，,，此时 ，此时有两个
极大值点，舍去；
当时，, ，此时，此时有
两个极大值点，舍去；
当 时，,，此时，此时 有一个
极大值点.
所以 的最大值为 .故选C.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2024·湖南邵阳二联]已知函数 ，则
下列结论正确的有( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于点 对称
C.的图象关于直线 对称
D.在区间 上单调递减
√
√
√
[解析] .
对于A,的最小正周期为 ,故A正确；
对于B, ,故B错误；
对于C, 为函数最大值，故C正确；
对于D,若,则,故在区间 上单调
递减，故D正确.故选 .
10.[2025·武汉调研]已知函数
的部分图象如图所示，
则( )
A.
B.
C.的图象关于直线 对称
D.在上的取值范围为
√
√
[解析] 由函数 的部分图象可
知，
又因为 ，
即, ,
所以结合函数的图象可得,故A错误；
，即 ,
结合函数图象可得 ,所以 ,故B正确；
，
所以的图象关于直线 对称，故C正确；
当时， ，
所以 ，
即 ，故D错误.故选 .
11.[2025·湖北黄冈调研]已知函数
的图象过点 和，且满足
，则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C.当时，函数的取值范围为
D.函数 有三个零点
√
√
[解析] 对于A选项，把点 的坐标代入得,则，
因为 ，所以 ，A正确；
对于B选项， 为函数图象的最低点，
，故 ，解得（负值舍去），
则，其中 ，故 ，
又 ,即 ，
由，得 ，解得 ，B错误；
对于C选项，,
当 时，，故 ,
故 ，C错误；
对于D选项，画出与 的函数
图象，如图，两函数图象有三个交点，
故有三个零点，D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.已知函数的图象关于直线 对称，
则 可以为_ __________________.（写出一个符合条件的 值即可）
（答案不唯一）
[解析] 函数的图象关于直线 对称，
则只需的图象关于直线 对称即可，
所以，所以，
令 ，可得 .
13.[2024·安徽芜湖二模] 已知偶函数 的图
象关于点中心对称，且在区间上单调，则 __．
[解析] 因为函数 为偶函数，
所以，，即或
又的图象关于点 中心对称，
所以，即,，所以,.
因为 在上单调，所以，即，所以 ，
所以当时， ，符合条件.
14.[2024·江西重点中学盟校二联] 已知函数
的图象在轴上的截距为 ，在轴右侧的第一个
零点为，当时，若方程 恰有三个不同的根，
分别记为,,，则 的取值范围为_________.
[解析] 将 代入
得 ，
又，所以.
因为在 轴右侧的第一个零点为 ，所以
结合题意可得 ，解得 ，所以 .
令 ，由 可得 ，
依题可知方程， 恰有三个不同的根，
设其分别为,, ，且 ，
画出与在 上的图象，如图.
由图易知, 关于直线对称，则 .
由图知 ，则 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
故 的取值范围为 .
1.A 2.D 3.A 4.A 5. C 6.B 7.A 8.C
9.ACD 10.BC 11. AD
12.（答案不唯一） 13. 14.
