重点强化练(九) 等差数列与等比数列
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为 ( )
A.2 B.4
C. D.6
2.[2024·广西桂林模拟] 等差数列{an}的前三项中最大的一项是1,公差d满足log2(-d)=1,则a5= ( )
A.-6 B.-7
C.-8 D.-9
3.[2025·辽宁三校联考] 在等比数列{an}中,记其前n项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则的值为 ( )
A.2 B.17
C.2或8 D.2或17
4.[2025·德州二中质检] 已知点P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,Sn是等差数列{an}的前n项和,若向量=a3+a16,则S18= ( )
A.1 B.100
C.50 D.9
5.[2025·山东齐鲁名校天一联考] 已知数列{an}满足a1=1,点(n,an+an+1)在函数y=kx+1的图象上,其中k为常数(k≠0),且a1,a2,a4成等比数列,则k的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,则“数列{Sn}为递增数列”是“a3>a2>a1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.[2025·衡水调研] 已知等差数列{an}的公差小于0,其前n项和为Sn,若a2=,S8=44,则Sn的最大值为 ( )
A.45 B.52 C.60 D.90
8.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,Sn=(2Sn+1)Sn+1,则= ( )
A.- B.-
C.-2 D.-
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2025·湖北部分学校一模] 在等比数列{an}中,a1a2=2,a3=4,则 ( )
A.{an}的公比为
B.{an}的公比为2
C.a3+a5=20
D.数列为递增数列
10.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列说法中正确的是 ( )
A.若d>0,则数列{Sn}有最小项
B.若数列{Sn}有最小项,则d>0
C.若数列{Sn}是递减数列,则对任意的n∈N*,均有Sn<0
D.若对任意的n∈N*,均有Sn<0,则数列{Sn}是递减数列
11.[2024·安徽皖江名校联盟一模] 已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则 ( )
A.an=n+1
B.{an}的前n项和为
C.{(-1)nan}的前100项和为100
D.{|an-5|}的前30项和为357
三、填空题:本题共3小题.
12.[2024·荆州三模] 若实数0,x,y,6成等差数列,-,a,b,c,-成等比数列,则= .
13.等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=t·2n-1-1,则t= .
14.[2024·云南大理模拟] 已知递增的等差数列{an}的公差为d,从中抽取部分项,,,…,构成等比数列,其中k1=2,k2=5,k3=11,若集合M=中有且仅有3个元素,则d的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=0,S12=6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
16.[2025·贵阳七校联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n.
(1)求证:{an+1}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
17.[2025·福建百校联考] 设Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,2an+1-an=,a1=,数列{bn}是公比为-的等比数列,8S2=9T2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)比较Sn和Tn的大小.
18.[2025·沈阳模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,数列{bn}满足b1=8,bn=64bn+1.
(1)证明:{an}是等差数列.
(2)是否存在常数a(a>0且a≠1),b,使得对一切正整数n都有an=logabn+b成立 若存在,求出a,b的值;若不存在,说明理由.
19.已知等差数列{an}满足a3=5,且a5-2a2=3.数列{bn}中,b1=3且3bn-bn+1=0.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)若ai=bj,则称ai(或bj)是{an},{bn}的公共项.
①直接写出数列{an},{bn}的前4个公共项;
②在数列{an}的前100项中,将数列{an}与{bn}的公共项去掉,求剩下所有项的和.重点强化练(九)
1.B [解析] 根据等比数列的性质可得a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2,又a1=1,a1a7==4,∴a7=4.故选B.
2.B [解析] 由log2(-d)=1,得d=-2,所以等差数列{an}是递减数列,因为{an}的前三项中最大的一项是1,所以a1=1,所以an=1+(n-1)×(-2)=-2n+3,所以a5=-2×5+3=-7.故选B.
3.D [解析] 设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.当q=1时,==2;当q=-2时,===q4+1=17.所以的值为2或17.故选D.
4.D [解析] 由题意知P是△ABC的边BC所在直线上任意一点,即P,B,C共线,则由=a3+a16,可得a3+a16=1,故S18===9.故选D.
5.A [解析] 因为点(n,an+an+1)在函数y=kx+1的图象上,所以an+an+1=kn+1,即an+1=kn+1-an,又a1=1,所以a2=k+1-a1=k,a3=2k+1-a2=k+1,a4=3k+1-a3=2k,因为a1,a2,a4成等比数列,所以k2=1×2k,解得k=2或k=0(舍去).故选A.
6.D [解析] 设等比数列{an}的公比为q,由a3>a2>a1,得a1q2>a1q>a1,则a1<0,00,q>1.由数列{Sn}为递增数列,得an+1=Sn+1-Sn>0,即 n∈N*,a1qn>0,因此a1>0,q>0,所以“数列{Sn}为递增数列”是“a3>a2>a1”的既不充分也不必要条件.故选D.
7.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d(d<0),由a2=,得a2a7=a2+a7+13①,由S8==44,得a1+a8=11②,由①②得,a2a7=24,又a1+a8=a2+a7=11,所以由且d<0,得a2=8,a7=3,所以d===-1,a1=9,所以Sn=9n-=-n2+n,又因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,Sn最大,最大值为45.故选A.
8.B [解析] ∵Sn=(2Sn+1)Sn+1,∴Sn=Sn+1+2Sn·Sn+1,即-=2,又a1=1,∴==1,∴是以1为首项,2为公差的等差数列,∴=2n-1,∴Sn=,∴S11=,a5=S5-S4=-=-,∴=-×21=-.故选B.
9.BC [解析] 设等比数列{an}的公比为q,依题意得解得所以an=2n-1,故a3+a5=22+24=20,故B,C正确,A错误;对于D,log2=1-n,则数列为递减数列,故D错误.故选BC.
10.ABD [解析] 由题意得Sn=na1+d=n2+n,d≠0.设f(x)=x2+x,x∈R,对于A,由d>0,得函数f(x)的图象开口向上,f(x)有最小值,又n∈N*,(n,Sn)为f(x)图象上离散的点,故Sn有最小值,故A正确;对于B,由题意得,d≠0,假设d<0,则函数f(x)的图象开口向下,则当n→+∞时,Sn→-∞,则Sn无最小值,与已知数列{Sn}有最小项矛盾,假设不成立,所以若数列{Sn}有最小项,则d>0,故B正确;对于C,例如数列{an}:1,-2,-5,-8,…,其通项公式为an=-3n+4,则Sn+1-Sn=an+1=-3n+1<0对任意n∈N*恒成立,故{Sn}是递减数列,但S1=1>0,不满足Sn<0,故C错误;对于D,由对任意的n∈N*,均有Sn<0,得a1=S1<0,且Sn=n2+n<0对任意的n∈N*恒成立,且d≠0,故d<0,所以Sn+1-Sn=an+1=a1+nd<0,从而{Sn}是递减数列,故D正确.故选ABD.
11.AD [解析] 由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,得当n=1时,a1=2,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,所以an=n+1(n≥2),显然当n=1时,a1=2满足an=n+1,故an=n+1,故A正确;由等差数列求和公式知{an}的前n项和为=,故B错误;令bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),{bn}的前100项和为-2+3-4+5-6+…+99-100+101=1×50=50,故C错误;令cn=|an-5|=|n-4|,则{|an-5|}的前30项和为c1+c2+…+c30=3+2+1+0+1+2+…+26=6+=357,故D正确.故选AD.
12.-8 [解析] 实数0,x,y,6成等差数列,则等差数列的公差为y-x==2.-,a,b,c,-成等比数列,则b2=×=,因为等比数列的奇数项同号,所以b<0,所以b=-,则=-8.
13.2 [解析] 设等比数列的公比为q,当q=1时,Sn=na1,不符合题意;当q≠1时,则Sn==-·qn+,且Sn=t·2n-1-1=t·2n-1,则t+(-1)=0,解得t=2.
14. [解析] 设等比数列,,,…,的公比为q,因为k1=2,k2=5,k3=11,所以=a2·a11,所以=(a1+d)·(a1+10d),即a1=2d,其中d>0,所以=a2=3d,=a5=6d,=a11=12d,所以公比q=2.因为an=a1+(n-1)d,即an=(n+1)d,所以=(kn+1)d.又因为=·qn-1=3d·2n-1,所以(kn+1)d=3d·2n-1,即kn+1=3×2n-1,所以=,所以-=-=<0,所以是递减数列,由题意得≥且<,解得d∈.
15.解:(1)设数列{an}的公差为d,∵S12=6,∴a6+a7=1,又∵a6=0,∴a7=1,
∴公差d=1,∴a1=-5,
∴an=-5+(n-1)×1=n-6.
(2)由(1)知Sn==,当n≤5时,Tn=-Sn=;当n≥6时,Tn=Sn-2S5=+30=.
综上,Tn=
16.解:(1)证明:当n=1时,S1=a1=2a1-1,解得a1=1.因为Sn=2an-n①,所以Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2②,①-②得an=2an-2an-1-1,
整理得an=2an-1+1,所以an+1=2an-1+2=2(an-1+1),即=2(n≥2),又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1,所以Sn=2+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn=(22+23+24+…+2n+1)-[3+4+5+…+(n+2)]=-=2n+2--4.
17.解:(1)令n=1,则2a2-a1=,所以a2=,所以S2=a1+a2=,
所以T2=S2=b1=,解得b1=,所以bn=-5.
由2an+1-an=,可知2n+1an+1-2nan=,所以{2nan}为等差数列,
所以2nan=+=,故an=.
(2)当n≥2时,an-an-1=-an,累加可得,an-a1=+…+-Sn+a1=--Sn+,所以Sn=2-.Tn=×=2-2.当n是奇数时,Sn<21,所以{c2k}是递增数列,所以c2k≥c2=×=>1,所以2-T2k>2-S2k,即2-Tn>2-Sn,所以Sn>Tn.综上,当n是奇数时,SnTn.
18.解:(1)证明:因为数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,所以当n=1时,a1=S1=3+5=8,当n≥2时,Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),所以an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2,又a1=8也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=6n+2.
因为an+1-an=6(n+1)+2-6n-2=6,所以{an}是等差数列.
(2)因为bn=64bn+1,所以=,
所以数列{bn}是以8为首项,为公比的等比数列,所以bn=8·=29-6n,所以logabn=loga29-6n=(9-6n)loga2.要使对一切正整数n都有an=logabn+b成立,则6n+2=(9-6n)loga2+b恒成立,即6n+2=-6nloga2+9loga2+b恒成立,
所以解得
故当a=,b=11时,对一切正整数n都有an=logabn+b成立.
19.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则有解得
因此an=1+2(n-1)=2n-1.
由3bn-bn+1=0,得bn+1=3bn,而b1=3,则数列{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以bn=3×3n-1=3n.
(2)①由(1)知,an=2n-1,bn=3n,
则a2=b1=3,a5=b2=9,a14=b3=27,a41=b4=81,所以数列{an},{bn}的前4个公共项依次为3,9,27,81.
②a100=199,而b5=243>a100,因此在数列{an}的前100项中,数列{an}与{bn}的公共项只有3,9,27,81这4项,
所以剩下所有项的和为×100-(3+9+27+81)=10 000-120=9880.(共37张PPT)
重点强化练（九） 等差数列与等比
数列
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.已知等比数列满足,，则 的值为
( )
A.2 B.4 C. D.6
[解析] 根据等比数列的性质可得， ，即
，解得，
又，， .故选B.
√
2.[2024·广西桂林模拟]等差数列 的前三项中最大的一项是1，公
差满足，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，所以等差数列 是递减数列，
因为的前三项中最大的一项是1，所以 ，所以
，所以 .故
选B.
√
3.[2025·辽宁三校联考]在等比数列中，记其前项和为 ，已知
，则 的值为( )
A.2 B.17 C.2或8 D.2或17
[解析] 设等比数列的公比为 ，由等比数列的通项公式可得
，整理得，解得或 .
当时，；
当 时，.所以 的值为2或17.
故选D.
√
4.[2025·德州二中质检]已知点是的边 所在直线上任意一
点，是等差数列的前项和，若向量 ，则
( )
A.1 B.100 C.50 D.9
[解析] 由题意知是的边所在直线上任意一点，即,, 共
线，则由，可得 ，故
.故选D.
√
5.[2025·山东齐鲁名校天一联考]已知数列满足 ，点
在函数的图象上，其中为常数 ，且
,,成等比数列，则 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为点在函数 的图象上，所以
，即，
又 ，所以， ，
，
因为,,成等比数列，所以 ，解得或 （舍去）.
故选A.
√
6.设等比数列的前项和为，则“数列 为递增数列”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 设等比数列的公比为，由 ，得
，则,或,.
由数列 为递增数列，得，即， ，因此
,，所以“数列为递增数列”是“ ”的既不
充分也不必要条件.故选D.
√
7.[2025·衡水调研]已知等差数列的公差小于0，其前项和为 ，
若，，则 的最大值为( )
A.45 B.52 C.60 D.90
√
[解析] 设等差数列的公差为，由 ，得
，由，得 ，
由①②得，，
又 ，所以由且，
得, ，所以， ，所以
，
又因为，所以当 或时， 最大，最大值为45.故选A.
8.设是数列的前项和，且， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，即
，
又，， 是以1为首项，2为公差的等差数列，
，， ，，
.故选B.
√
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2025·湖北部分学校一模]在等比数列中，, ，则
( )
A.的公比为 B. 的公比为2
C. D.数列 为递增数列
√
√
[解析] 设等比数列的公比为，依题意得解得
所以,故 ，故B，C正确，A错误；
对于D，，则数列 为递减数列，故D错误.故
选 .
10.设是公差为的无穷等差数列的前 项和，则下列说
法中正确的是( )
A.若，则数列 有最小项
B.若数列有最小项，则
C.若数列是递减数列，则对任意的，均有
D.若对任意的,均有，则数列 是递减数列
√
√
√
[解析] 由题意得, .
设，，对于A，由，得函数 的
图象开口向上，有最小值，又，为 图象上离散
的点，故有最小值，故A正确；
对于B，由题意得， ，假设，则函数的图象开口向下，
则当 时, ，则无最小值，
与已知数列 有最小项矛盾，假设不成立，所以
若数列有最小项，则 ，故B正确；
对于C，例如数列,,,, ，其通项公式为 ，
则对任意恒成立，故 是递
减数列，但，不满足 ，故C错误；
对于D，由对任意的，均有，得 ，且
对任意的恒成立，且 ，故
，所以，从而 是递减数列，
故D正确.故选 .
11.[2024·安徽皖江名校联盟一模]已知数列 满足
，则( )
A. B.的前项和为
C.的前100项和为100 D. 的前30项和为357
√
√
[解析] 由，得当时， ，
当时， ，
两式相减可得 ，
所以，显然当时，满足 ，故，故A正确；
由等差数列求和公式知的前 项和为，故B错误；
令 ， 的前100项和为
，故C错误；
令，则 的前30项和为
，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2024·荆州三模] 若实数0,,,6成等差数列，,,,, 成等比
数列，则 ____.
[解析] 实数0,, ,6成等差数列，则等差数列的公差为
,,,, 成等比数列，则，
因为等比数列的奇数项同号，所以 ，所以，则 .
13.等比数列的前项和为，若，则 ___.
2
[解析] 设等比数列的公比为，当时， ，不符合题意；
当时，则 ，且
，则，解得 .
14.[2024·云南大理模拟] 已知递增的等差数列的公差为 ，从中
抽取部分项，，， ，构成等比数列，其中 ，
，，若集合 中有且仅有3个元素，
则 的取值范围为______.
[解析] 设等比数列，，， ，的公比为 ，因为
，，，所以 ，所以
，即，其中 ,
所以，，，所以公比 .
因为，即，所以 .
又因为，所以 ，即
，所以 ，
所以，所以 是递减数列，
由题意得且，解得 .
四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.已知等差数列的前项和为，， .
（1）求数列 的通项公式；
解：设数列的公差为，， ，
又， ，
公差， ，
.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）知，当 时，
；当 时，
.
综上，
16.[2025·贵阳七校联考] 已知数列的前项和为 ，且满足
.
（1）求证： 为等比数列；
证明：当时，，解得 .
因为①，所以，，
得 ，
整理得，所以 ，即
，
又，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）知，所以 ，所以
，
所以 .
17.[2025·福建百校联考] 设，分别为数列，的前 项
和，，，数列是公比为 的等比数列，
.
（1）求， 的通项公式；
解：令，则，所以，所以 ，
所以，解得，所以 .
由，可知，所以 为等
差数列，
所以，故 .
（2）比较和 的大小.
解：当时， ，累加可得，
，所以
.
当 是奇数时，；
当是偶数时，记， ， ，
则，所以 是递增数列，
所以，所以 ，即
，所以.
综上，当是奇数时，；当 是偶数时， .
18.[2025·沈阳模拟] 已知数列的前项和为 ，数列
满足， .
（1）证明： 是等差数列.
证明：因为数列的前项和为，所以当
时，，当时， ，
所以 ，
又也满足上式，所以数列的通项公式为 .
因为，所以 是等差数列.
（2）是否存在常数且，，使得对一切正整数 都有
成立？若存在，求出， 的值；若不存在，说明理由.
解：因为，所以 ，
所以数列是以8为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以
要使对一切正整数 都有成立，
则 恒成立，即
恒成立，
所以解得 故当,时，
对一切正整数都有 成立.
19.已知等差数列满足，且.数列 中，
且 .
（1）求数列， 的通项公式.
解：设等差数列的公差为，则有 解
得 因此 .
由，得，而，则数列 是以3为首
项，3为公比的等比数列，所以 .
（2）若，则称（或）是， 的公共项.
①直接写出数列， 的前4个公共项；
解：由（1）知，， ，
则，,, ，所以数
列， 的前4个公共项依次为3,9,27,81.
②在数列的前100项中，将数列与 的公共项去掉，求剩
下所有项的和.
解：，而，因此在数列 的前100项中，
数列与 的公共项只有3,9,27,81这4项，
所以剩下所有项的和为
.
1.B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.A 8.B 9.BC 10.ABD 11.AD
12.-8 13.2 14. 15.(1)an=n-6 (2)Tn=
(2)Tn=2n+2--4
17.(1)an=bn=-5(2)当n是奇数时,SnTn.
18.(1)略 (2)存在，a=,b=11
19.(1)an=2n-1，bn=3n (2)①3,9,27,81 ②9880
