重点强化练(七) 三角恒等变换
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2025·安徽部分学校联考] sin2-sin2= ( )
A. B.
C.- D.-
2.[2024·山东枣庄三调] 已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos= ( )
A.0 B.
C. D.
3.[2025·福建泉州质检] 若sin θ+cos θ=2,则tan θ= ( )
A.- B. -
C. D.
4.[2024·重庆八中模拟] 的值为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·太原三模] 若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则cos(α+β)= ( )
A. B.
C. D.
6.[2025·四川绵阳联考] 已知sin4-cos4=,θ∈(0,π),则+cos θ= ( )
A.- B. -
C. - D. -
7.[2024·江西南昌二模] 已知2coscos-cos 3x=,则sin= ( )
A. B.- C. D.-
8.[2024·吉林三模] 已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,则tan β的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.下列等式成立的是 ( )
A.sin 63°cos 18°-cos 63°sin 18°=
B.sin 15°cos 15°=
C.sin2-cos2=
D.=
10.已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,则下列选项中正确的是 ( )
A.tan(α+β)=
B.=
C.tan(α-β)=-
D.α+2β=
11.下列式子中正确的是 ( )
A.cos αsin β=[sin(α-β)-sin(α+β)]
B.sin θ-sin φ=2cossin
C.tan α+tan β=tan(α+β)+tan αtan βtan(α+β)
D.-2cos(α+β)=
三、填空题:本题共3小题.
12.[2024·河南部分学校联考] 若α∈,且cos α+sin α=4sin αcos α,则sin α= .
13.[2024·广西南宁模拟] 已知0<α<<β<π,cos β=-,sin(α+β)=,则tan α= .
14.[2024·江苏南京一模] 已知α,β∈,且sin α-sin β=-,cos α-cos β=,
则tan α+tan β= . 重点强化练(七)
1.D [解析] 由题意可得sin2-sin2=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos=-.故选D.
2.D [解析] 因为P,即P,即角α的终边经过点P,
所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.故选D.
3.C [解析] 方法一(特殊法):由题知sin θ=,cos θ=满足条件,所以tan θ=.
方法二:由题得sin θ+cos θ=1,所以sin=1,所以θ+=2kπ+,k∈Z,所以θ=2kπ+,k∈Z,所以tan θ=tan=tan=,k∈Z.
方法三:由题得sin θ=2-cos θ,所以(2-cos θ)2+cos2θ=1,所以4cos2θ-4cos θ+3=0,即(2cos θ-)2=0,所以cos θ=,sin θ=2-cos θ=,所以tan θ=.
4.A [解析] ===1+=,故选A.
5.D [解析] 因为α∈,所以2α∈,又sin 2α=>0,所以2α∈,可得α∈,所以cos 2α=-=-.又因为β∈,所以β-α∈,又sin(β-α)=>0,所以可得β-α∈,所以cos(β-α)=-=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=
cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=×-×=.故选D.
6.A [解析] 因为sin4-cos4=,θ∈(0,π),所以=,θ∈(0,π),所以 sin2-cos2=-cos θ=,θ∈(0,π),即cos θ=-,θ∈(0,π),所以sin θ==,所以+cos θ=+cos θ=
+=-.故选A.
7.D [解析] 由题知2coscos-cos=,化简得coscos+sinsin=cos=cos=,令t=x+,则x=t-,cos t=,所以sin=sin=sin=cos 2t=
2cos2t-1=2×-1=-.故选D.
8.A [解析] ∵α,β为锐角,且cos(α+β)==cos αcos β-sin αsin β,∴两边同时除以cos β,得cos α-sin αtan β=,∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β.∵α为锐角,∴tan α>0,∴tan β====≤=,当且仅当3tan α=,即tan α=时取等号,∴tan β的最大值为.故选A.
9.AD [解析] 对于A选项,sin 63°cos 18°-cos 63°sin 18°=sin(63°-18°)=sin 45°=,所以A正确;对于B选项,sin 15°cos 15°=×2sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B不正确;对于C选项,sin2-cos2=-=-cos=-,所以C不正确;对于D选项,==tan(45°+15°)=tan 60°=,所以D正确.故选AD.
10.AD [解析] tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,且0<α<β<,所以tan α=,tan β
=.tan(α+β)===,故A选项正确;===,故B选项错误;tan(α-β)===-,故C选项错误;因为0<α<β<,tan(α+β)=,所以0<α+β<,则0<α+2β<π,又tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===1,所以α+2β=,故D选项正确.故选AD.
11.BD [解析] 对于A,[sin(α-β)-sin(α+β)]=(sin αcos β-sin βcos α-sin αcos β-sin βcos α)=-cos αsin β,故A错误;对于B,2cos·sin=2cossin=
2
=
2coscossincos-
2sinsin·sincos-
2coscoscossin+
2sinsincossin=
cos2sin θ-sin2·sin φ-
cos2sin φ+sin θsin2=sin θ-sin φ,故B正确;对于C,若α=β=,则tan α+tan β=tan+tan=2,tan(α+β)+tan αtan βtan(α+β)=tan+tantantan=-4,2≠-4,故C错误;对于D,-2cos(α+β)=
-2cos αcos β+2sin αsin β=2cos αcos β+-2cos αcos β+
2sin αsin β=+2sin αsin β==
=,故D正确.故选BD.
12. [解析] 由cos α+sin α=4sin αcos α,得2sin=2sin 2α,即sin=sin 2α,由α∈,得α+∈,2α∈,因此α+=2α,解得α=,所以sin α=.
13. [解析] 由题意,sin β==,且<α+β<,故cos(α+β)=-=-,故sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-
cos(α+β)sin β=×-×=,故cos α==,所以tan α==.
14. [解析] 由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β,所以sin α+cos α=sin β+cos β,所以sin=sin,因为α,β∈,所以α+∈,β+∈,又α≠β,所以α++β+=π,故α+β=,所以sin α-sin β=sin α-cos α=-,两边平方后得sin2α-
2sin αcos α+cos2α=,故sin αcos α=,所以tan α+tan β=tan α+=+==.(共27张PPT)
重点强化练（七） 三角恒等变换
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2025·安徽部分学校联考] ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 .故选D.
√
2.[2024·山东枣庄三调]已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非
负半轴重合，终边经过点，则 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 因为，即，
即角 的终边经过点，所以， ，
所以 .故选D.
√
3.[2025·福建泉州质检]若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一（特殊法）由题知, 满足条件，
所以 .
√
方法二：由题得，
所以 ，所以,，
所以, ,
所以， .
方法三：由题得 ，
所以，
所以 ，即，
所以, ，
所以 .
4.[2024·重庆八中模拟] 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选A.
√
5.[2024·太原三模]若,，且 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以，又 ，所以，可得,所以 .
又因为，所以，
又 ，所以可得,
所以 ,
所以 .故选D.
6.[2025·四川绵阳联考]已知, ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为, ，
所以, ，
所以 ,，
即， ,所以 ，
所以
.故选A.
7.[2024·江西南昌二模]已知 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，
化简得，
令，则，，
所以 .故选D.
8.[2024·吉林三模]已知 , 为锐角，且，则
的最大值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] , 为锐角，且
， 两边同时除以 ，得 ,
为锐角， ,
，
当且仅当，即时取等号，
的最大值为． 故选A.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A选项，
，所以A正确；
对于B选项， ，
所以B不正确；
对于C选项， ，
所以C不正确；
对于D选项，
，所以D正确.故选 .
10.已知，且 , 是方程
的两根，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] , 是方程 的两根，且
，所以 ,
，故A选项正确；
√
√
，故B选项错误；
，故C选项错误；
因为，，所以 ，
则 ,
又 ，
所以，故D选项正确.故选 .
11.下列式子中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 对于A，
，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，若，则，
，，故C错误；
对于D，
，故D正确．故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2024·河南部分学校联考] 若 ，且
，则 __.
[解析] 由，得 ，
即 ，
由，得 , ，
因此 ，解得，所以 .
13.[2024·广西南宁模拟] 已知 , ,
，则 _ __．
[解析] 由题意，，且 ，
故，
故，
故，所以 .
14.[2024·江苏南京一模] 已知 ,，且 ,
，则 __．
[解析] 由题可知 ，
所以 ,所以 ，
因为 ,，所以,,
又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
两边平方后得，故 ,
所以 .
1.D 2.D 3.C 4.A 5. D 6.A 7.D 8.A
9.AD 10.AD 11. BD
12. 13. 14.
