重点强化练(十) 数列递推与数列求和
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2025·衡水二调] 已知数列{an}满足an+1=2-,a1=-1,则a4= ( )
A.3 B.
C. D.
2.[2024·四川内江模拟] 若数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,则S8= ( )
A.342 B.341
C.170 D.172
3.数列{an}满足an=,则数列的前n项和为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2025·河南七校联考] 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,a2=3,an+an+2=an+1,则S2024的值为 ( )
A.0 B.3
C.4 D.5
5.[2024·茂名一模] 已知Tn为各项均为正数的数列{an}的前n项的乘积,且a1=2,=,则a5= ( )
A.16 B.32
C.64 D.128
6.[2024·武汉模拟] 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.比如取正整数m=8,根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1.递推关系如下:数列{an}满足a1=m,an+1=若a7=1,则m所有可能的取值集合是 ( )
A.{3,8,12,64} B.{1,10,12,20}
C.{4,5,20,32} D.{1,8,10,64}
7.[2025·南通模拟] 定义:已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有-=λ成立,则称此数列为“λ&k”数列.若数列{an}是“&2”数列,则数列{an}的通项公式an= ( )
A.3×4n-2 B.
C.4×3n-2 D.
8.[2025·重庆乌江调研] 若数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=1,数列{bn}是公差为6,首项为1的等差数列,则数列{anbn}前5项和的最小值为 ( )
A. B.
C. D.65
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024·安徽江淮十校联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=则下列判断正确的是 ( )
A.a10=-11
B.当n为奇数时,an=-n-1
C.当n为偶数时,an=n+1
D.数列的前n项和等于-
10.[2025·山东齐鲁名校天一联考] 如图,有一列曲线P0,P1,P2,…,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pn+1(n=0,1,2,3,…)是对Pn进行如下操作得到的:将Pn的每条边三等分,以每条边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉,记Sn为曲线Pn所围成图形的面积,则 ( )
A.P3的边数为128
B.S2=
C.Pn的边数为3×4n
D.Sn=-×
11.[2025·福建百校联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,(3n+2)Sn+1+(3n-1)Sn-1=(6n+1)Sn(n∈N*,且n≥2),若a1=,a2=,则下列说法正确的是 ( )
A.a5=
B.数列为等差数列
C.数列中的最小项为12
D.数列的前2n项和T2n=18n2+12n
三、填空题:本题共3小题.
12.已知an=n+1,则数列的前n项和Sn= .
13.已知数列{an}中a1=1,a2=,且满足4an+1=4an-an-1(n∈N*,n≥2),则an= .
14.已知数列{an}满足an+1=记{an}的前n项和为Sn,若a1=1,则S50= ;若a1=,k∈N*,则S3k+1= .
四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024·太原三模] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且{Sn+1}也是等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an·log2an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
16.[2025·湖南衡阳一中模拟] 设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=1-an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Tn=++…+,求Tn.
17.[2025·湖南长郡中学模拟] 已知数列{an}中,a1=1,且an≠0,Sn为数列{an}的前n项和,+=an(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和.
18.[2025·八省联考] 已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求{an}的通项公式;
(3)令bn=,证明:bn
19.若各项均为正数的无穷数列{an}同时满足下列两个性质:①存在M>0,使得an(1)若an=2n-1,bn=.
(i)判断数列{an},{bn}是否具有性质P,并说明理由;
(ii)记Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,判断数列{Sn}是否具有性质P,并说明理由.
(2)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),01.C [解析] 因为an+1=2-,所以当n=1时,a2=2-=3;当n=2时,a3=2-=;当n=3时,a4=2-=.故选C.
2.C [解析] 根据题意有a1+a2=21,a3+a4=23,a5+a6=25,a7+a8=27,所以S8=2+8+32+128=170.故选C.
3.B [解析] 因为an===,所以=
=4.设数列的前n项和为Tn,则Tn=4=4=.故选B.
4.D [解析] 由a1=2,a2=3,an+an+2=an+1,可得a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3,…,所以数列{an}是周期为6的数列,其中a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2024=S337×6+2=a1+a2=5.故选D.
5.B [解析] 由=,得=,于是==,则=,两边取对数得nlg an+1=(n+1)lg an,因此=,则数列是常数列,则==lg 2,即lg an=
nlg 2=lg 2n,所以an=2n,所以a5=32.故选B.
6.D [解析] 因为an+1=
且a7=1,所以a6=2,则a5=4,则a4=8或a4=1.当a4=8时,则a3=16,得a2=32,a1=64或a2=5,a1=10.当a4=1时,则a3=2,则a2=4,a1=8或a1=1,所以m所有可能的取值集合是{1,8,10,64}.故选D.
7.B [解析] ∵数列{an}是“&2”数列,∴λ=,k=2,∴-=,而Sn+1-Sn=an+1,易知an>0,∴Sn+1>Sn,∴->0,∴-=(Sn+1-Sn,∴(-)2=(-)(+),即-=(+),即=2,∴Sn+1=4Sn,∴Sn=4n-1,∴an=4n-1-4n-2=3×4n-2,n≥2,又a1=1,∴an=故选B.
8.A [解析] 因为数列{bn}是公差为6,首项为1的等差数列,所以b1=1,b2=7,b3=13,b4=19,b5=25.数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=1,设公比为q,易知q>0,则a1=,a2=,a4=q,a5=q2,所以数列{anbn}的前5项和为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=++13+19q+25q2.设f(q)=++13+19q+25q2(q>0),求导可得f'(q)=-+19+50q=
=
,易得,当q>时,f'(q)>0,f(q)单调递增,当09.BCD [解析] 由Sn=
可得a1=S1=-2,a2=3,当n为奇数且n≥3时,an=Sn-Sn-1=--=-n-1,其中a1=-2也符合上式,所以当n为奇数时,an=-n-1,所以B正确;当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=-=n+1,所以a10=11,所以A错误,C正确;anan+1=-(n+1)(n+2),所以=-=-,所以数列的前n项和为-=-+=-,所以D正确.故选BCD.
10.BCD [解析] 依题意,设P0的边长为a,则a2=1,边数是3;根据图形规律,P1的边长为,边数为P0边数的4倍,即3×4;P2的边长为,边数为3×42;以此类推,Pn的边长为,边数为3×4n.由上分析知C正确;P3的边数为3×43=192,A错误;由图形规律知曲线Pn所围图形的面积Sn等于曲线Pn-1所围图形的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积,而每一条边增加的小等边三角形的面积为×,则Sn=Sn-1+(3×4n-1)××,整理得Sn-Sn-1=×,则数列{Sn-Sn-1}是等比数列,又S0=1,则Sn=S0+(S1-S0)+(S2-S1)+(S3-S2)+…+(Sn-Sn-1)=1+=-×,D正确;S2=-×=,B正确.故选BCD.
11.ABD [解析] 依题意(3n+2)(Sn+an+1)+(3n-1)(Sn-an)=(6n+1)Sn,∴(3n+2)an+1=(3n-1)an(n≥2),∴(3n-1)an=…=5a2=1(n≥2),∴an=(n≥2),当n=1时a1=也满足上式,∴an=,∴a5=,=3n-1,∴A,B正确;∵===(3n-1)++6,令t=3n-1,当t>3时,y=t++6单调递增,所以<<<…,又=,=>,∴数列中的最小项为,∴C错误;=(-1)n(3n-1)(3n+2)=(-1)n9n2+(-1)n(3n-2),∴T2n=9[-12+22-32+42-…-(2n-1)2+(2n)2]+[-1+4-7+10-…-(6n-5)+(6n-2)]=9[1+2+3+4+…+(2n-1)+2n]+3n=+3n=18n2+12n,∴D正确.故选ABD.
12.2- [解析] 由已知得,=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得,Sn=+-=+-,所以Sn=2-.
13. [解析] 由题意可得2an+1-an=(2an-an-1)(n≥2),又2a2-a1=,所以{2an+1-an}是首项为,公比为的等比数列,所以2an+1-an=,则2n+1an+1-2nan=1,又2a1=2,所以{2nan}是首项为2,公差为1的等差数列,则2nan=n+1,则an=.
14.99 -+6k [解析] 因为数列{an}满足an+1=所以若a1=1,则a2=a1+1=1+1=2,a3=a2+1=2+1=3,a4==1,a5=a4+1=1+1=2,a6=a5+1=2+1=3,可以发现数列{an}是周期为3的周期数列,a1+a2+a3=1+2+3=6,所以S50=16(a1+a2+a3)+a1+a2=16×6+1+2=99.当03,a5==+1<3,a6=a5+1=+2<3,a7=+3>3,…,a3k-1=+1,a3k=+2,a3k+1=+3,….因为015.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,
由{Sn+1}是等比数列,得(S2+1)2=(S1+1)(S3+1),
∴(q+2)2=2×(q2+q+2),解得q=2或q=0(舍去),∴an=a1qn-1=2n-1.
(2)由(1)得an=2n-1,∴bn=an·log2an+1=n·2n-1,∴Tn=b1+b2+…+bn=1×20+2×2+3×22+…+n·2n-1,∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,
两式相减得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=-1+(1-n)·2n,∴Tn=(n-1)·2n+1.
16.解:(1)因为数列{an}的前n项和Sn=1-an,所以当n≥2时,可得Sn-1=1-an-1,两式相减得an=an-1-an,
即2an=an-1,所以=(n≥2).
令n=1,可得S1=1-a1=a1,解得a1=,所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以{an}的通项公式为an=·=.
(2)由(1)知an=,所以Sn=1-,所以==1-2·+=1-+,则Tn=++…+=(1+1+…+1)-+=
+-·.
17.解:(1)根据题意知an=Sn-Sn-1,n≥2①,又+=an≠0②,
所以由①②,可得-=1,n≥2,所以可得{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,
则=1+n-1=n,所以Sn=n2,
所以an=Sn-Sn-1=2n-1,n≥2,当n=1时,a1=1也满足该式,
所以an=2n-1.
(2)由(1)可知an=2n-1,
所以cn===.
设{cn}的前n项和为Tn,则当n为偶数时,Tn===-;
当n为奇数时,Tn===-.
所以Tn=
18.解:(1)证明:由an+1=,得==·+,所以1-=-·=,
又1-=,所以数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1)得1-=×=,所以an==.
(3)证明:bn==·====1-.
令f(x)=3·-2,x∈[1,+∞),因为f(x)=3·-2在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=3×-2=>0,所以数列是递减数列,从而数列{bn}是递增数列,且bn<1,
故bn19.解:(1)(i)因为an=2n-1,所以当n→+∞时,an→+∞,即不存在M>0,使得an所以数列{an}不具有性质P.
因为bn=<1,数列{bn}为递减数列,
所以数列{bn}具有性质P.
(ii)数列{Sn}具有性质P.
Sn=1×+3×+…+,
Sn=1×+3×+…+,
两式作差得Sn=1×+2×+2×+…+2×-,即Sn=-+-=-,所以Sn=1-<1,所以数列{Sn}满足条件①.
因为anbn=(2n-1)>0,所以Sn(2)证明:X=0,1,…,n,n∈N*,X为奇数的概率为cn,设X为偶数的概率为dn,则cn+dn=1=[(1-p)+p]n=p0(1-p)n+p1(1-p)n-1+p2(1-p)n-2+…+pn(1-p)0①,
[(1-p)-p]n=(-p)0(1-p)n+(-p)1(1-p)n-1+(-p)2(1-p)n-2+…+(-p)n(1-p)0②,
=cn,即cn=.
又0故数列{cn}具有性质P.(共47张PPT)
重点强化练（十） 数列递推与数列
求和
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2025·衡水二调]已知数列满足， ，则
( )
A.3 B. C. D.
[解析] 因为，所以当时， ；当
时，；当时， .故选C.
√
2.[2024·四川内江模拟]若数列的前项和为 ，且
，则 ( )
A.342 B.341 C.170 D.172
[解析] 根据题意有,, ,
，所以 .故选C.
√
3.数列满足，则数列的前 项和为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以
.
设数列的前项和为 ，则
.故选B.
√
4.[2025·河南七校联考]若数列的前项和为，且满足 ，
，，则 的值为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
[解析] 由,，，可得 ,
,， ,
,， ，
所以数列 是周期为6的数列，其中 ，
所以 .故选D.
√
5.[2024·茂名一模]已知为各项均为正数的数列的前 项的乘积，
且,，则 ( )
A.16 B.32 C.64 D.128
[解析] 由，得，于是 ，则
，两边取对数得 ，因此
，则数列是常数列，
则 ，即，所以，
所以 .故选B.
√
6.[2024·武汉模拟]任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上
1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次
步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史上著名的“冰雹
猜想”.比如取正整数 ，根据上述运算法则得出
.递推关系如下：数列满足 ,
若，则 所有可能的取值集合是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为
且，所以，则，则或.
当 时，则，得，或，.
当 时，则，则，或，
所以 所有可能的取值集合是 .故选D.
7.[2025·南通模拟]定义：已知数列的首项，前项和为 ，
设 与是常数，若对一切正整数，均有 成立，
则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列 的
通项公式 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 数列是“”数列，, ，
，
而，易知 ,,，
，
，
即,即,
, ，
,，
又 ， 故选B.
8.[2025·重庆乌江调研]若数列 是各项均为正数的等比数列，
，数列是公差为6，首项为1的等差数列，则数列 前
5项和的最小值为( )
A. B. C. D.65
√
[解析] 因为数列是公差为6，首项为1的等差数列，所以 ,
,,,.
数列 是各项均为正数的等比数列，，设公比为，
易知,则,, ,，
所以数列 的前5项和为
.
设 ，求导可得
，
易得，当时，， 单调递增，
当时，，单调递减，故当时，
取得最小值 .故选A.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2024·安徽江淮十校联考]已知数列的前项和为 ，且
则下列判断正确的是( )
A.
B.当为奇数时，
C.当为偶数时，
D.数列的前项和等于
√
√
√
[解析] 由 可得，，
当为奇数且 时，，
其中 也符合上式，所以当为奇数时，，
所以B正确；
当 为偶数时，，所以 ，
所以A错误，C正确；
，所以
，所以数列的前 项和
为 ，
所以D正确.故选 .
10.[2025·山东齐鲁名校天一联考]如图，有一列曲线,,, ，已
知所围成的图形是面积为1的等边三角形， 是
对进行如下操作得到的：将 的每条边三等分，以每条边中间部
分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记
为曲线 所围成图形的面积，则( )
A.的边数为128 B.
C.的边数为 D.
√
√
√
[解析] 依题意，设的边长为，则 ，边数是3；根据图形
规律，的边长为，边数为边数的4倍，即；的边长为 ，
边数为；以此类推，的边长为，边数为 .
由上分析知C正确；
的边数为，A错误；
由图形规律知曲线 所围图形的
面积等于曲线 所围图形的面积
加上每一条边增加的小等边三角形的面积，
，则数列是等比数列，
又 ，则 ，
D正确；
，B正确.故选 .
11.[2025·福建百校联考]已知数列的前项和为 ，
，且 ，若
， ，则下列说法正确的是( )
A.
B.数列 为等差数列
C.数列 中的最小项为12
D.数列的前项和
√
√
√
[解析] 依题意
，
，
， ，
当时也满足上式，，， ，
，B正确；
，
令，当时， 单调递增，
，又，， 数列 中的最小项为， 错误；
，
，
正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.已知，则数列的前项和 ________.
[解析] 由已知得，，则 ，
，
两式相减得， ，
所以 .
13.已知数列中， ，且满足
，则 ____.
[解析] 由题意可得 ，又
，所以是首项为，公比为 的等比数列，
所以，则，又 ，所以
是首项为2，公差为1的等差数列，则 ，则
.
14.已知数列满足记的前项和为 ，
若，则____；若,，则 ____________
___.
99
[解析] 因为数列满足所以若 ，则
,， ，
, ，
可以发现数列是周期为3的周期数列， ，所以 .
当时，,, ，
,,, ，
,,, .
因为 ，所以， 则以三个为一组循环，且
，则 .
四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.[2024·太原三模] 已知等比数列的前项和为， ,且
也是等比数列.
（1）求 的通项公式；
解：设等比数列的公比为 ，
由是等比数列，得 ，
,解得或 （舍去），
.
（2）若，求数列的前项和 .
解：由（1）得， ，
,
，
两式相减得
， .
16.[2025·湖南衡阳一中模拟] 设为数列的前 项和，且
.
（1）求数列 的通项公式；
解：因为数列的前项和，所以当 时，可得
，两式相减得 ，
即，所以 .
令，可得，解得，所以数列 是首项
为，公比为的等比数列，
所以 的通项公式为 .
（2）记，求 .
解：由（1）知，所以 ，所以
，
则
.
17.[2025·湖南长郡中学模拟] 已知数列中，，且,
为数列的前项和， .
（1）求数列 的通项公式；
解：根据题意知, ，又
，
所以由①②，可得,，
所以可得{ }是以 为首项，1为公差的等差数列，
则，所以 ，
所以,，当时， 也满足该式，
所以 .
（2）若，求数列的前 项和.
解：由（1）可知 ，
所以 .
设的前项和为，则当 为偶数时，
；
.
所以
证明:由an+1=,得==·+,
所以1 = · =,
又1 =,所以数列是首项为,公比为的等比数列.
18.[2025·八省联考] 已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
（2）求{an}的通项公式;
解：由(1)得1 =×=,所以an==.
证明：bn==·====1 .
令f(x)=3· 2,x∈[1,+∞),因为f(x)=3· 2在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=3× 2=>0,
所以数列是递减数列,从而数列{bn}是递增数列,且bn<1,故bn(3)令bn=,证明:bn19.若各项均为正数的无穷数列 同时满足下列两个性质：①存在
，使得,； 为递增数列或递减数列，则称
数列具有性质 .
（1）若, .
（ⅰ）判断数列,是否具有性质 ，并说明理由；
解：因为，所以当 时， ，即不存在
，使得 恒成立，所以数列不具有性质 .
因为，数列为递减数列，所以数列具有性质 .
（ⅱ）记，判断数列 是否具有性质
，并说明理由.
解：数列具有性质 .
，
，
两式作差得 ，
即，所以 ,
所以数列 满足条件①.
因为,所以,所以 为递增数列，
满足条件②.
综上，数列具有性质 .
（2）已知离散型随机变量服从二项分布,，记 为
奇数的概率为，证明：数列具有性质 .
证明：,1, ,,，为奇数的概率为,设 为偶数的概率
为，则 ，
，
，即 .
又，所以，故随着 的增大而增大，且
.故数列具有性质 .
1.C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A
9.BCD 10.BCD 11.ABD 12. 2- 13. 14. 99 -+6k
15.(1)an=2n-1 (2)Tn=(n-1)·2n+1 16.(1)an=
17.(1)an=2n-1 (2){cn}的前n项和Tn=
18.(1)略 (3)略
19.(1)(i)数列{an}不具有性质P.数列{bn}具有性质P.理由略.
(ii)数列{Sn}具有性质P.理由略. (2)略