重点强化练(十三) 隐圆问题
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离为,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,3)
B.(-1,1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)∪(1,3)
2.[2024·广东佛山二模] 已知P是过O(0,0),M1(-1,3),M2(-3,-1)三点的圆上的动点,则|PO|的最大值为 ( )
A. B.2
C.5 D.20
3.[2024·北京人大附中三模] 已知A(-1,0),B(1,0),若点P满足PA⊥PB,则点P到直线l:m(x-)+n(y-1)=0的距离的最大值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.[2024·北京平谷区一模] 设点A(1,0),动直线l:x+ay+2a-1=0,作AM⊥l于点M,则点M到坐标原点O的距离的最小值为 ( )
A.1 B.+1
C.-1 D.
5.[2024·山西运城盐湖区一模] 直线l1:mx-y+3m=0与直线l2:x+my-3=0相交于点P(x0,y0),则的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.∪
6.已知点P(-3,0)在动直线mx+ny-(m+3n)=0上的投影为点M,若点N,则|MN|的最大值为 ( )
A.1 B.
C.2 D.
7.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
8.已知正方形ABCD的边长为2,点M在以C为圆心,1为半径的圆上,则2|MB|+|MD|的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024·山西阳泉三模] 已知圆C:x2+y2=1,A(4,a),B(4,-a),a>0,若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB,则正实数a的取值可以是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
10.[2024·丹东一模] 已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=9,直线l:kx-y+1=0与C交于A,B两点,点M为弦AB的中点,点P(0,3),O为坐标原点,则 ( )
A.|AB|的最小值为2
B.|OM|的最小值为-1
C.△OCM的面积的最大值为
D.·的最大值为9
11.[2024·厦门双十中学月考] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(3,0),点P满足=,点P的轨迹为曲线C,则下列结论正确的是 ( )
A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0
B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点
C.x轴被曲线C截得的弦长为4
D.△ABP的面积的最大值为2
三、填空题:本题共3小题.
12.已知O为原点,A(2,0),B(-1,0),若|MA|=|MO|,则|MB|的最大值为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,P(2,2),Q(-4,0)为两个定点,动点M在直线x=-1上,动点N满足|NO|2+|NQ|2=16,则|+|的最小值为 .
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 若点P为圆A:(x-1)2+y2=4上的一个动点,点Q为圆B:(x-3)2+(y-4)2=1上的一个动点,点C(-3,0),则|PC|+|PQ|+|PB|的最小值为 . 重点强化练(十三)
1.D [解析] 原问题可转化为圆(x-a)2+(y-a)2=8和圆x2+y2=2相交,两圆的圆心距d==|a|,由2-<|a|<2+,解得1<|a|<3,即a∈(-3,-1)∪(1,3).故选D.
2.B [解析] 依题意,=(-1,3),=(-3,-1),则·=-1×(-3)+3×(-1)=0,因此线段M1M2是圆的直径,且|M1M2|=2,而点P是该圆上的点,所以|PO|的最大值为2.故选B.
3.C [解析] 由PA⊥PB可得点P的轨迹是以线段AB为直径的圆,则圆心为(0,0),半径为1,又直线l:m(x-)+n(y-1)=0过定点(,1),故所求距离的最大值为+1=3.故选C.
4.C [解析] 由AM⊥l,可得直线AM的方程为y=a(x-1),由
消去a,整理可得(x-1)2+(y+1)2=1,所以点M的轨迹是以C(1,-1)为圆心,半径r=1的圆,因此|MO|min=|CO|-r=-1=-1.故选C.
5.B [解析] 直线l1的方程可化为m(x+3)-y=0,所以直线l1过定点A(-3,0),易知直线l2过定点B(3,0).因为m×1+(-1)×m=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,又=(x0+3,y0),=(x0-3,y0),所以·=-9+=0,所以+=9,又点(-3,0)不在直线l2上,所以点P的轨迹是曲线x2+y2=9(x≠-3).设=k,可得kx0-y0-5k=0,由题意可知,直线kx-y-5k=0与曲线x2+y2=9(x≠-3)有公共点,且圆x2+y2=9的圆心为原点,半径为3,所以≤3,解得-≤k≤.当x0=-3,y0=0时,=0;当x0=3,y0=0时,=0.因此,的取值范围是.故选B.
6.D [解析] 由mx+ny-(m+3n)=0得m(x-1)+n(y-3)=0,所以动直线过定点Q(1,3),所以动点M在以PQ为直径的圆上,所以圆的半径为=,圆心的坐标为,所以点N到圆心的距离为=3,所以|MN|的最大值为3+=.故选D.
7.D [解析] 设点M的坐标为(x,y),点A(x0,y0),则解得∵点A(x0,y0)的坐标满足(x0+1)2+=4,∴(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,即+=1,故点M的轨迹方程为+=1.故选D.
8.D [解析] 依题意,以C为坐标原点,直线CB,CD分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,则B(2,0),D(0,2),取点E.设M'(x,y),当|M'D|=2|M'E|时,
=2,化简整理得x2+y2=1,即点M'的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,而点M在以C为圆心,1为半径的圆上,因此|MD|=2|ME|,显然点B在圆C:x2+y2=1外,则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME|=2(|MB|+|ME|)≥2|BE|,当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号,而|BE|==,所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|=.故选D.
9.BD [解析] 若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB,则以AB为直径的圆与圆C相内切或外切.由A(4,a),B(4,-a),得以AB为直径的圆的圆心为(4,0),半径为a>0,则有=1+a或=|1-a|,所以a=3或a=5,故选BD.
10.BCD [解析] 圆C:(x-2)2+(y-1)2=9的圆心为C(2,1),半径r=3,直线l:kx-y+1=0过定点Q(0,1),因为(0-2)2+(1-1)2=4<9,所以点Q(0,1)在圆C内,所以直线l与圆C一定相交,当点Q为弦AB的中点时,|AB|取得最小值,此时直线l的斜率不存在,而直线l的斜率一定存在,所以|AB|>2=2=2,故A错误;因为点M为弦AB的中点,所以CM⊥AB,即CM⊥MQ,所以点M的轨迹是以CQ为直径的圆(去除点(0,1)),圆心为N(1,1),半径为1,所以其轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0),因为(0-1)2+(0-1)2=2>1,所以点O在圆N外,所以|OM|的最小值为-1=-1,故B正确;|OC|==,要使△OCM的面积取得最大值,只需点M到直线OC的距离最大,直线OC的方程为y=x,即x-2y=0,圆心N(1,1)到直线OC的距离d==,所以点M到直线OC的距离的最大值为+1,所以△OCM的面积的最大值为××=,故C正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(k2+1)x2-4x-5=0,则x1+x2=,故y1+y2=k(x1+x2)+2=,所以点M的坐标为,则·=(0,-3)·=6·=6,当k=0时,·=6,当k>0时,·<6,当k<0时,·=6=6≤6=9,当且仅当-k=,即k=-1时取等号,综上所述,·的最大值为9,故D正确.故选BCD.
11.ACD [解析] 对于A,设P(x,y),因为=,所以=2,化简得x2+y2-10x+17=0,故A正确;对于B,因为曲线C:x2+y2-10x+17=0的圆心为(5,0),半径为2,圆心(5,0)到直线3x+4y=0的距离d=3>2,所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点,故B错误;对于C,曲线C的圆心在x轴上,所以x轴被曲线C截得的弦即为直径,所以x轴被曲线C截得的弦长为4,故C正确;对于D,因为A(1,0),B(3,0),所以|AB|=2,故S△ABP=·|AB|·|yP|=|yP|,而曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0,所以yP∈[-2,2],即S△ABP的最大值为2,故D正确.故选ACD.
12.2+1 [解析] 设M(x,y),由|MA|=|MO|,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,所以点M的轨迹是圆心为C(-2,0),半径r=2的圆,又|BC|=1,所以|MB|max=|BC|+r=1+2.
13.5 [解析] ∵|NO|2+|NQ|2=16,∴点N在以OQ为直径的圆上,不妨设N(2cos θ-2,2sin θ),M(-1,m),则=(-3,m-2),=(2cos θ-4,2sin θ-2),∴+=(2cos θ-7,2sin θ+m-4),∴|+|2=(2cos θ-7)2+(2sin θ+m-4)2=m2-8m+69+4[(m-4)sin θ-7cos θ]=(m-4)2+53+4sin(θ-φ),令=t,sin(θ-φ)=a,则t≥7,-1≤a≤1,∴|+|2=t2+4+4at.令f(t)=t2+4+4at=(t+2a)2+4-4a2,t≥7,-1≤a≤1,则f(t)在[7,+∞)上单调递增,故当t=7时,f(t)取得最小值53+28a,再令g(a)=53+28a,-1≤a≤1,显然g(a)在[-1,1]上单调递增,故当a=-1时,g(a)取得最小值53-28=25.综上,当t=7,a=-1时,|+|2取得最小值25,故|+|的最小值为5.
14.9 [解析] 由P为圆A:(x-1)2+y2=4上的一个动点,得A(1,0),|AP|=2,由Q为圆B:(x-3)2+(y-4)2=1上的一个动点,得B(3,4),|BQ|=1,又|AO|=1(O为坐标原点),|AC|=4,所以==,所以△ACP∽△APO,于是|PC|=2|PO|.当P,Q,B三点共线且|PQ|<|PB|时,|PQ|+|PB|取得最小值,即|PQ|+|PB|≥2|PB|-1,所以|PC|+|PQ|+|PB|≥2|PO|+2|PB|-1≥2|OB|-1=2-1=9,当且仅当P在线段OB上时等号成立.(共29张PPT)
重点强化练（十三） 隐圆问题
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.若圆上总存在两个点到原点的距离为 ，
则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 原问题可转化为圆和圆
相交，两圆的圆心距 ，
由，解得 ，
即 .故选D.
√
2.[2024·广东佛山二模]已知是过，， 三
点的圆上的动点，则 的最大值为( )
A. B. C.5 D.20
[解析] 依题意，, ，
则，
因此线段 是圆的直径，且，
而点是该圆上的点，所以 的最大值为 .故选B.
√
3.[2024·北京人大附中三模]已知,，若点 满足
，则点到直线 的距离的最大值
为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由可得点的轨迹是以线段 为直径的圆，
则圆心为，半径为1，又直线 过
定点，故所求距离的最大值为 .故选C.
√
4.[2024·北京平谷区一模]设点 ，动直线
，作于点，则点到坐标原点 的距
离的最小值为( )
A.1 B. C. D.
[解析] 由，可得直线的方程为 ，
由 消去，整理可得，
所以点 的轨迹是以为圆心，半径 的圆，
因此 .故选C.
√
5.[2024·山西运城盐湖区一模]直线 与直线
相交于点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线的方程可化为，
所以直线 过定点，易知直线过定点.
因为 ，所以，即，
√
又, ,所以,
所以,又点 不在直线上,
所以点的轨迹是曲线.
设 ，可得，由题意可知，
直线 与曲线有公共点，且圆
的圆心为原点,半径为3,所以,解得.
当， 时，；当，时，.
因此， 的取值范围是 .故选B.
6.已知点在动直线上的投影为点 ，
若点，则 的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 由得 ，
所以动直线过定点，所以动点在以 为直径的圆上，
所以圆的半径为,圆心的坐标为，
所以点 到圆心的距离为，
所以 的最大值为 .故选D.
√
7.已知线段的端点的坐标是，端点在圆
上运动，则线段的中点 的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设点的坐标为，点，
则 解得
点的坐标满足 ，
，即，
故点 的轨迹方程为 .故选D.
8.已知正方形的边长为2,点在以 为圆心,1为半径的圆上,则
的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意,以为坐标原点,
直线, 分别为,轴建立平面直角坐标系,
如图,则 , ,取点.
√
设 ,当 时, ,
化简整理得,
即点的轨迹是以 为圆心,1为半径的圆,
而点在以 为圆心,1为半径的圆上,
因此,显然点在圆 外,
则,
当且仅当为线段与圆 的交点时取等号,而,所以 的最小值为. 故选D.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2024·山西阳泉三模]已知圆,, ，
,若圆上仅存在一点使，则正实数 的取值可以是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 若圆上仅存在一点使，则以为直径的圆与圆
相内切或外切.由,，得以 为直径的圆的圆心为
，半径为，则有 或
，所以或，故选 .
√
√
10.[2024·丹东一模]已知圆 ，直线
与交于,两点，点为弦的中点，点 ，
为坐标原点，则( )
A.的最小值为
B.的最小值为
C.的面积的最大值为
D. 的最大值为9
√
√
√
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
直线过定点，
因为 ，
所以点在圆内，所以直线与圆一定相交，
当点为弦 的中点时，取得最小值，
此时直线的斜率不存在，而直线 的斜率一定存在，
所以 ，故A错误；
因为点为弦的中点，所以，即，
所以点 的轨迹是以为直径的圆（去除点），
圆心为 ，半径为1，
所以其轨迹方程为 ，
因为，所以点在圆外，
所以 的最小值为 ，故B正确；
，要使的面积取得最大值，
只需点 到直线的距离最大，
直线的方程为，即 ，
圆心到直线的距离，
所以点到直线 的距离的最大值为，
所以 的面积的最大值为，故C正确；
设, ，由
得，则 ，
故，
所以点 的坐标为 ，
则 ，
当时，，当时，，当 时，
，
当且仅当，即时取等号，
综上所述， 的最大值为9，故D正确.故选 .
11.[2024·厦门双十中学月考]古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面
内到两个定点,的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.后来人
们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直
角坐标系中,点,,点满足,点 的轨迹为曲线
,则下列结论正确的是( )
A.曲线的方程为
B.直线与曲线 有公共点
C.轴被曲线截得的弦长为
D.的面积的最大值为
√
√
√
[解析] 对于A,设,因为,所以 ,
化简得 ,故A正确;
对于B,因为曲线的圆心为,
半径为,圆心 到直线的距离,
所以直线与曲线 没有公共点,故B错误;
对于C,曲线的圆心在轴上,所以轴被曲线 截得的弦即为直径,
所以轴被曲线截得的弦长为 ,故C正确;
对于D, 因为,,所以,
故 ,
而曲线的方程为,
所以 ,即的最大值为,故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.已知为原点，，，若，则 的
最大值为_________.
[解析] 设,由 ,得,
即,所以点 的轨迹是圆心为,
半径的圆,又 ,所以 .
13.在平面直角坐标系中，，为两个定点，动点
在直线上，动点满足，则 的
最小值为___.
5
[解析] ， 点在以 为直径的圆上，
不妨设，，
则 ， ，
，
，
令，，
则， , .
令,, ,
则在上单调递增,故当时,取得最小值 ,
再令,,显然在 上单调递增,
故当时，取得最小值.
综上，当 ，时，取得最小值25，
故 的最小值为5.
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 若点为圆 上的一个动
点，点为圆上的一个动点，点 ，
则 的最小值为___.
9
[解析] 由为圆上的一个动点,得 ,,
由为圆 上的一个动点,得,,
又（为坐标原点）, ，
所以，所以，于是
当,, 三点共线且时， 取得最小值，
即，所以 ，
当且仅当在线段 上时等号成立.
1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.D 8.D
9.BD 10.BCD 11.ACD
12. 13.5 14.9
