重点强化练(十六) 直线与圆锥曲线、圆与圆锥曲线
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.过点Q(1,4)且斜率为1的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,若|AB|=2,则p的值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.7
2.[2024·广州模拟] 已知椭圆E:+=1,点A(x0,0),B(-x0,0),且x0>0,则“E上存在点G使AG⊥BG”是“以AB为直径的圆与椭圆E存在公共点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±6x
C.y=±x D.y=±x
4.[2024·南通二调] 设抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于点A,过A的直线与C在第一象限的交点为M,N,且|FM|=3|FN|,则直线MN的斜率为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2025·漳州模拟] 已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB(O为坐标原点)的面积为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.6
6.[2025·河北五校联考] 已知抛物线x2=4y,P为直线y=-1上一点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B,则·的值为 ( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,如图,用于加热水和水壶中食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线经过抛物线的反射后,集中于它的焦点.已知一束平行于x轴的入射光线与抛物线y2=2px(p>0)的交点为A(4,4),则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 ( )
A. B. C. D.
8.[2025·广州模拟] 已知点A,B是椭圆+=1上不关于长轴对称的两点,且A,B两点到点M(m,0)的距离相等,则实数m的取值范围为 ( )
A. B.(-1,1)
C. D.(-2,2)
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024·茂名二模] 已知双曲线C:4x2-y2=1,直线l:y=kx+1(k>0),则下列说法正确的是 ( )
A.若k=2,则l与C有且只有一个公共点
B.若k=2,则l与C有且只有一个公共点
C.若l与C有两个公共点,则2D.若l与C没有公共点,则k>2
10.已知O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,抛物线C的焦点为F,则下列选项正确的是 ( )
A.|AB|=8
B.OA⊥OB
C.+=1
D.线段AB的中点到x轴的距离为2
11.[2025·福建福州模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与圆M:x2+(y-8)2=4相切,P为C上的动点,N是圆M上的动点,过P作l的垂线,垂足为Q,C的焦点为F,则下列结论正确的是 ( )
A.点F的坐标为(2,0)
B.|PN|+|PQ|的最小值为2-2
C.存在两个点P,使得|PM|=|PQ|
D.若△PFQ为正三角形,则圆M与直线PQ相离
三、填空题:本题共3小题.
12.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,线段AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是 .
13.[2024·北京海淀区二模] 已知双曲线C:-y2=1,则C的离心率为 ;以C的一个焦点为圆心,且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为 .(写出一个即可)
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c.点M为双曲线C与圆E:x2+y2-x+c2=0的交点,直线OM(O为坐标原点)交双曲线C于另一点T,且∠MF1T∈,则= ,双曲线C的离心率的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,且离心率为.
(1)求双曲线C的标准方程和焦点坐标;
(2)设双曲线C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,求|AB|的值.
16.[2024·青岛二模] 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B,C两点,E的右顶点为A,若AB∥CF1,求直线l的方程.
17.[2025·八省联考] 已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C的方程;
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
18.[2024·辽宁部分学校三模] 设抛物线C的方程为y2=4x,M为直线l:x=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B(点A在第一象限).
(1)当点M的坐标为时,求过M,A,B三点的圆的方程.
(2)求证:直线AB恒过定点.
(3)当m变化时,直线l上是否存在点M,使△MAB为直角三角形 若存在,求出有几个这样的点M;若不存在,请说明理由.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C相交于A,B两点,△AOB面积的最小值为(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fn(n∈N*):点F1的坐标为(p,0),直线AFn,BFn与C的另一个交点分别为An,Bn,直线AnBn与x轴的交点为Fn+1,设点Fn的横坐标为xn.
(1)求p的值.
(2)求数列{xn}的通项公式.
(3)数列{xn}中,是否存在连续的三项(按原顺序)构成等差数列 若存在,指出所有这样的连续三项;若不存在,请说明理由.重点强化练(十六)
1.D [解析] 由题得直线方程为y=x+3,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2py+6p=0,令Δ>0,则p>6,所以y1+y2=2p,y1·y2=6p,由|AB|=,得2=×,可得p=7.故选D.
2.A [解析] 若AG⊥BG,则G在以AB为直径的圆上且不与A,B中任意一点重合,故充分性成立;当x0=2时,以AB为直径的圆与椭圆E的 公共点为A,B,E上不存在点G使AG⊥BG,故必要性不成立.故选A.
3.A [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×(2×1+1)=6,=2.因为A,B两点均在双曲线C上,所以所以-=0,则===2×=6,即=,故双曲线C的渐近线方程是y=±x.故选A.
4.A [解析] 根据题意可得,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则A(-1,0).设直线MN的方程为y=k(x+1),k>0,由可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=(2k2-4)2-4k2·k2=-16(k-1)(k+1)>0,解得-10,所以k=.故选A.
5.B [解析] 如图,双曲线C:x2-y2=4,即-=1为等轴双曲线,两条渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形.设点M(m,n),则m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线x+y=0的距离为,则四边形OAMB的面积为·==2.故选B.
6.A [解析] 如图,设A,B,由y=x2求导得y'=x,则直线PA的方程为y=(x-x1)+,即y=x-,同理可得直线PB的方程为y=x-,联立直线PA与直线PB的方程,可得P,由点P在直线y=-1上,得=-1,即x1x2=-4,故·=·=--=--
=0.故选A.
7.C [解析] 因为点A(4,4)在抛物线上,所以16=8p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦点为F(1,0).如图,设反射光线与抛物线的另一个交点为B.因为反射光线经过点A(4,4)及焦点F(1,0),所以kAB=kAF==,所以反射光线所在直线AB的方程为y=(x-1).由
解得或所以B.由两点间的距离公式可得|AB|=
=.故选C.
8.B [解析] 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点为G(x0,y0),则两式相减得+=0,所以=-,所以=-,所以=-.因为M(m,0),|MA|=|MB|,所以MG⊥AB,当x0=0时,可得m=0,当x0≠0时,可得=,所以x0=4m,因为-49.ABD [解析] 因为双曲线的方程为4x2-y2=1,所以其渐近线方程为y=±2x,又因为直线l:y=kx+1过定点(0,1), 所以若k=2,则l与C有且只有一个公共点,故A正确;由
消去y得(4-k2)x2-2kx-2=0,当k=2时,4-k2≠0,且Δ=(-2k)2+8(4-k2)=0,所以l与C相切,所以若k=2,则l与C有且只有一个公共点,故B正确;若l与C有两个公共点,则解得2解得k>2,故D正确.故选ABD.
10.AC [解析] 由抛物线C:x2=4y,可得焦点为F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,由消去x整理得y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1.对于A,由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;对于B,由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2=2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;对于C,由y2-6y+1=0,解得y=3±2,不妨令y1=3+2,y2=3-2,由抛物线的定义可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;对于D,线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误.故选AC.
11.ABC [解析] 对于A,由圆M:x2+(y-8)2=4,得圆心为M(0,8),半径r=2,因为准线l:x=-与圆M:x2+(y-8)2=4相切,所以=r=2,可得p=4,所以F(2,0),故A正确;对于B,根据抛物线的定义知|PQ|=|PF|,可得|PN|+|PQ|=|PN|+|PF|,如图①,当M,N,P,F四点共线,且N,P在线段MF上时,|PN|+|PF|取得最小值,最小值为|FM|-r=-2=2-2,故B正确;对于C,若|PM|=|PQ|,则|PM|=|PF|,作线段MF的中垂线l1,根据题意知M(0,8),F(2,0),设B为线段MF的中点,则B(1,4),直线l1的斜率为,根据点斜式可知直线l1的方程为y-4=(x-1),与y2=8x联立,得y2-32y+120=0,则Δ=322-4×120=544>0,可知该方程有两个解,所以存在两个点P,使得|PM|=|PQ|,故C正确;对于D,如图②,设准线l与x轴交于点A,根据△PFQ为正三角形,可得∠PQF=60°,则∠AQF=30°,又|FA|=4,所以|QA|=4,又圆M与y轴的交点为(0,6),(0,10),6<|QA|=4<10,所以圆M与直线PQ相交,故D错误.故选ABC.
12.y2=8x [解析] 设点A,B的横坐标分别为x1,x2,由线段AB的中点到y轴的距离是2,得=2,即x1+x2=4,由直线AB过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,得|AB|=x1++x2+=4+p=8,解得p=4,所以此抛物线的方程是y2=8x.
13. (x+)2+y2=1(或(x-)2+y2=1) [解析] 双曲线C:-y2=1的离心率为=.双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即x-2y=0,故焦点(-,0)与(,0)到渐近线x-2y=0的距离均为=1,则以C的一个焦点为圆心,且与双曲线C的渐近线相切的圆的方程为(x+)2+y2=1或(x-)2+y2=1.
14.3 [解析] 由题意知点M在双曲线C的右支上,F1(-c,0),F2(c,0),
设=μ,μ>1,点M(x0,y0),则=μ2,即(x0+c)2+=μ2[(x0-c)2+],则(μ2-1)+(μ2-1)-2c(μ2+1)x0+(μ2-1)c2=0,即+-x0+c2=0,又+-x0+c2=0,所以2(μ2+1)=(μ2-1),所以μ2=9,即μ=3,所以=3.因为点M在双曲线的右支上,所以|MF1|-|MF2|=2a,又=3,所以|MF1|=3a,|MF2|=a.由对称性可得O为线段MT的中点,|F1T|=|MF2|=a.
由cos∠F1OM+cos∠F1OT=+
=0,得c2=5a2-|OM|2,在△MF1T中,|MT|2=a2+9a2-2×a×3a×cos∠MF1T=10a2-6a2cos∠MF1T,所以c2=5a2-=
,由∠MF1T∈,得cos∠MF1T∈,故∈,所以的最小值为,故双曲线C的离心率的最小值为.
15.解:(1)因为双曲线C的虚轴长为2,离心率为,所以2b=2,=,
又c2=a2+b2,所以a2=3,b2=1,c2=4,所以双曲线C的标准方程为-y2=1,左、右焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0).
(2)由(1)知F(2,0),易得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0,所以xA+xB=,xAxB=,
因为线段AB的中点的横坐标为3,所以xA+xB==6,
解得k2=1,所以xAxB=,则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=62-4×=6,
则|AB|==
=2.
16.解:(1)由题意得
可得所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)设C(x1,y1),B(x2,y2),因为AB∥CF1,所以|CF1|∶|AB|=|F1F2|∶|F2A|=2∶1,所以y1=-2y2①.
设直线l的方程为x=my+1,由得(3m2+4)y2+6my-9=0,则把①式代入上式,得得=,
解得m=±,所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.
17.解:(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,又因为椭圆C的离心率为,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以C的方程为+=1.
(2)证明:由M0(1,4),F1(-1,0)得直线F1M0的斜率为2,线段F1M0的中点坐标为(0,2),所以线段F1M0的垂直平分线的方程为y=-x+2.
由得x2-2x+1=0,解得x=1,故y=,所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
(3)方法一:设M(x0,y0),当y0=0时,线段F1M的垂直平分线的方程为x=,若线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,则=±2,解得x0=5或-3.
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线的方程为y=-+=-x+.
由得3x2+4=12,即x2-x+-12=0.因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
所以Δ=-4=0,即-36-=0,即+(2-14)+-18-32x0-15=0,
即+(2-14)+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0,可得+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0,即(++2x0+1)(+-2x0-15)=0.因为++2x0+1=(x0+1)2+>0,所以+-2x0-15=0.又点(5,0),(-3,0)的坐标也满足上式,故点M的轨迹为圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
方法二:设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点P,
则当点P不是椭圆C长轴的端点时,如图,线段F1M的垂直平分线l即为椭圆C在点P处的切线,
也为∠F1PM的平分线,
设线段F1M的中点为E,作∠F1PF2的平分线PH,根据椭圆的光学性质得PH⊥l,所以
∠F1PE+∠F1PH=90°,则∠F2PH+∠EPM=90°,
故∠F2PF1+∠F1PM=180°,
所以M,P,F2三点共线,所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4,
所以点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆(除去点(5,0),(-3,0)).
当点P是椭圆C长轴的端点时,点M为(5,0)或(-3,0),满足|MF2|=4.
综上,点M的轨迹为圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16.
18.解:(1)如图,当点M的坐标为时,设过点M的切线方程为y-=k(x+1)(k≠0),
与y2=4x联立,得y-=k,整理得y2-y+k+=0(*),
令Δ=1-4·=0,解得k=-2或k=,分别代入(*)得y=-1或y=4,故A(4,4),B,
故直线MA的方程为y=x+2,直线MB的方程为y=-2x-.
由kMA·kMB=-1,得直线MA与直线MB互相垂直,则过M,A,B三点的圆的直径为线段AB.
设该圆上任意一点P的坐标为(x,y),则=(x-4,y-4),=,所以·=(x-4)+(y-4)(y+1)=0,
从而过M,A,B三点的圆的一般方程为x2+y2-x-3y-3=0.
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),
设切线MA的方程为y-y1=t(x-x1),与y2=4x联立,得y2-y-tx1+y1=0,则1-4·(-tx1+y1)=0,所以t=,故切线MA的方程为y-y1=(x-x1),
即y1y=2(x+x1),同理可得切线MB的方程为y2y=2(x+x2),
又切线MA,MB都过点M(x0,y0),所以y1y0=2(x0+x1),y2y0=2(x0+x2),即点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标均满足方程y0y=2(x0+x),
故直线AB的方程为y0y=2(x0+x).
又M为直线l:x=-m(m>0)上任意一点,
故直线AB的方程为y0y=2(x-m),从而直线AB恒过定点(m,0).
(3)由(2)知y1,y2是方程y0y=2的两实根,故
又x1=,x2=,x0=-m,
所以·=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=4m2+m-4m-=(m-1)(+4m).
①当m=1时,·=0,直线l上任意一点M均满足MA⊥MB,即△MAB为直角三角形;
②当0,即△MAB不可能为直角三角形;
③当m>1时,·>0,∠AMB<,只需考虑y0≠0时的情况,
因为kAB===,kMA==,所以kAB·kMA=·,
若kAB·kMA=-1,
则·=-1,整理得(x0+2)=-4,
又因为x0=-m,所以(m-2)=4,
方程(m-2)=4有解的充要条件是m>2,经验证,当m>2,y0<0时,有MA⊥AB(MB⊥AB的情况同理),
即当m>2时,直线l上存在两个点M,使△MAB为直角三角形.
综上所述,当m=1时,直线l上存在无数个M,使△MAB为直角三角形;
当m>2时,直线l上存在两个点M,使△MAB为直角三角形;
当019.解:(1)如图,设直线AB:x=ty+,
由得y2-2pty-p2=0,
则Δ=(-2pt)2+4p2>0,
yAyB=-p2,yA+yB=2pt.
由题可知S△AOB=|OF||yA-yB|==
=≥,
因为△AOB面积的最小值为,且p>0,所以=,即p=1.
(2)设An(xan,yan),Bn(xbn,ybn),A(xa,ya),B(xb,yb),当直线AAn的斜率不存在时,直线AAn的方程为x=xa,当直线AAn的斜率存在时,
由题可知=2xan,=2xa,两式作差可得(yan+ya)(yan-ya)=2(xan-xa),即=,
所以==,
所以直线AAn的方程为y-ya=(x-xa),整理得(yan+ya)y=2x+yanya,当直线AAn的斜率不存在时,直线AAn的方程满足上式.
同理得直线BBn的方程为(ybn+yb)y=2x+ybnyb.
令y=0,可得易知直线AB的方程为(ya+yb)y=2x+yayb,
因为直线AB过焦点F,所以有yayb=-1,直线AnBn的方程为(yan+ybn)y=2x+yanybn,
令y=0,可得-2xn+1=yanybn,
由可知(-2xn)2=yanybnyayb,因为yayb=-1,-2xn+1=yanybn,所以xn+1=2,
两边取对数可得log2xn+1=2log2xn+1,即log2xn+1+1=2(log2xn+1),
由题可知x1=1,所以数列{log2xn+1}是以log2x1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以log2xn+1=2n-1,
故xn=.
(3)不存在,理由如下:
假设存在,则一定有2xn+1=xn+xn+2,
因为xn=,所以=+=(+),
化简得1=+,显然>0,>1,所以+>1,所以1=+在n∈N*上无解,故不存在连续的三项(按原顺序)构成等差数列.(共61张PPT)
重点强化练（十六） 直线与圆锥曲
线、圆与圆锥曲线
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.过点且斜率为1的直线交抛物线于, 两点，
若，则 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.7
[解析] 由题得直线方程为，设, ，
由得，
令，则 ，所以,，
由 ，
得，可得 .故选D.
√
2.[2024·广州模拟]已知椭圆，点， ，
且，则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆
存在公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，则在以为直径的圆上且不与， 中任意一
点重合，故充分性成立；
当时，以为直径的圆与椭圆 的公共点为，，上不存
在点使 ，故必要性不成立.故选A.
√
3.已知双曲线与直线 相交于
，两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线 的渐近线方程
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设，，则 ，
，.
因为， 两点均在双曲线上，所以
所以 ，
则，即，
故双曲线 的渐近线方程是 故选A.
4.[2024·南通二调]设抛物线的焦点为，的准线与 轴交
于点，过的直线与在第一象限的交点为，，且 ，
则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意可得，抛物线 的焦点为，准线方程
为，则 .
设直线的方程为, ，
由可得 ，
则 ，
解得，故.
设,, ，则,.
如图，过， 分别作准线的垂线，垂足分别为, ，
由抛物线的定义知， ，
又，所以 ，
即，得 ，
所以，
又 ，所以,，所以 ，
又，所以 .故选A.
5.[2025·漳州模拟]已知双曲线，点为上一点，过
分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为,，则四边形
（ 为坐标原点）的面积为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
√
[解析] 如图，双曲线 ，即
为等轴双曲线，两条渐近线的
夹角为 ，则四边形为矩形.
设点 ，则，
点到渐近线 的距离为，
点到渐近线 的距离为，
则四边形 的面积为 .故选B.
6.[2025·河北五校联考]已知抛物线，为直线 上一点，
过作抛物线的两条切线，切点分别为,，则 的值为( )
A.0 B.1 C. D.
√
[解析] 如图，设,，
由 求导得，则直线 的方程为
，即 ，
同理可得直线的方程为，
联立直线 与直线的方程，可得，
由点 在直线上，得，即 ，
故
.故选A.
7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，如图，用于加热
水和水壶中食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛
物线对称轴的光线经过抛物线的反射后，集中于它的焦点.已知一束
平行于轴的入射光线与抛物线的交点为 ，则
反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为点在抛物线上，所以 ，解得，所以
抛物线的方程为 ，则焦点为 .
如图，设反射光线与抛物线的另一个交点为.
因为反射光线经过点 及焦点，
所以 ，
所以反射光线所在直线的方程为 .
由 解得 或所以 .
由两点间的距离公式可得 .故选C.
8.[2025·广州模拟]已知点，是椭圆 上不关于长轴对称
的两点，且，两点到点的距离相等，则实数 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设, ，线段的中点为
，则
两式相减得 ，
所以 ，
所以，所以 .
因为，，所以，
当时，可得 ,
当 时，可得，所以，
因为 且，
所以且 ，
所以且.
综上，实数 的取值范围为 .故选B.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2024·茂名二模]已知双曲线 ，直线
，则下列说法正确的是( )
A.若，则与 有且只有一个公共点
B.若，则与 有且只有一个公共点
C.若与有两个公共点，则
D.若与没有公共点，则
√
√
√
[解析] 因为双曲线的方程为 ，所以其渐近线方程为
，又因为直线过定点，所以若，则
与有且只有一个公共点，故A正确；
由 消去得，当时，
，且，所以与相切，所以若
，则 与 有且只有一个公共点，故B正确；
若与 有两个公共点，则
解得或 ，故C错误；
若与没有公共点，则 解得，
故D正确.
故选 .
10.已知为坐标原点，直线与抛物线相交于 ，
两点，抛物线的焦点为 ，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.线段的中点到 轴的距离为2
√
√
[解析] 由抛物线，可得焦点为，则直线 过
抛物线的焦点，由消去整理得 ，显然
，设,，可得, .
对于A，由抛物线的定义可得 ，所以A正确；
对于B，由 ，所以与不垂直，所以B错误；
对于C，由 ，解得，不妨令, ，由抛物线的定义可得, ，则，所以C正确；
对于D，线段 的中点到轴的距离为，所以D错误.
故选 .
11.[2025·福建福州模拟]已知抛物线的准线 与圆
相切，为上的动点，是圆上的动点，过
作的垂线，垂足为，的焦点为 ，则下列结论正确的是( )
A.点的坐标为
B.的最小值为
C.存在两个点，使得
D.若为正三角形，则圆与直线 相离
√
√
√
[解析] 对于A，由圆 ，得圆心为，半径
，因为准线与圆 相切，所以
，可得，所以 ，故A正确；
对于B，根据抛物线的定义知 ，可得
，如图①，当，，
， 四点共线，且，在线段上时，
取得最小值，最小值为
，故B正确；
对于C，若，则 ，作线段的中垂线，根
据题意知 ，，设为线段的中点，则 ，直线
的斜率为，根据点斜式可知直线 的方程为，与
联立，得 ，则
，可知该方程有两个解，所以存在两个点 ，使得 ，
故C正确；
对于D，如图②，设准线与轴交于点，
根据 为正三角形，可得 ，
则 ，又，所以，
又圆与 轴的交点为， ，
，所以圆与直线 相
交，故D错误.
故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于， 两点，
若线段的长是8，线段的中点到 轴的距离是2，则此抛物线的
方程是________.
[解析] 设点,的横坐标分别为,，
由线段的中点到 轴的距离是2，得，即，
由直线 过抛物线的焦点，
得 ，解得，
所以此抛物线的方程是 .
13.[2024·北京海淀区二模] 已知双曲线，则 的离心率
为_ __；以的一个焦点为圆心，且与双曲线 的渐近线相切的圆的
方程为_________________________________________.（写出一个即
可）
（或）
[解析] 双曲线的离心率为 .
双曲线的一条渐近线的方程为，即，
故焦点与 到渐近线的距离均为，
则以 的一个焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为
或 .
14.已知双曲线的左、右焦点分别为, ，
且.点为双曲线与圆 的交点，
直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且 ，
则___，双曲线 的离心率的最小值为_ ___.
3
[解析] 由题意知点在双曲线的右支上，, ，
设 ,，点，则 ，
即 ，
则 ，
即，
又 ，所以，
所以,即，所以 .
因为点在双曲线的右支上，所以，
又 ,所以,.
由对称性可得为线段 的中点， .
由 ，得
，在 中，
，所以 ，
由，得 ，
故，所以的最小值为 ，
故双曲线的离心率的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.已知双曲线 的虚轴长为2,且离心率为 .
（1）求双曲线 的标准方程和焦点坐标；
解：因为双曲线的虚轴长为2,离心率为，所以， ,
又，所以，,，
所以双曲线 的标准方程为，左、右焦点的坐标分别为
, .
（2）设双曲线的右焦点为，过的直线交于, 两点，若线段
的中点的横坐标为3，求 的值.
解：由（1）知，易得直线的斜率存在，
设直线 的方程为,, ，
由得 ，
所以, ，
因为线段的中点的横坐标为3，所以 ，
解得，所以 ，
则 ，
则 .
16.[2024·青岛二模] 已知椭圆 的左、右焦
点分别为,，离心率为，椭圆 上的点到右焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由题意得 可得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，的右顶点为 ，
若，求直线 的方程.
解：设,，
因为 ，所以，
所以 .
设直线的方程为，
由 得，
则
把①式代入上式，得得 ，
解得，
所以直线的方程为 或 .
17.[2025·八省联考] 已知椭圆C的离心率为左、右焦点分别为
F1(-1,0)，F2(1,0).
(1)求C的方程;
解：因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,
又因为椭圆C的离心率为,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,
所以C的方程为+=1.
（2）已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
证明:由M0(1,4)，F1(-1,0)得直线F1M0的斜率为2,
线段F1M0的中点坐标为(0,2),
所以线段F1M0的垂直平分线的方程为y=-x+2.
由得x2-2x+1=0，解得x=1，故y=,
所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
（3）设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个
公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
解：方法一:设M(x0,y0),
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线的方程为x=,
若线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，
则=±2，解得x0=5或-3.
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线的方程为
y=-+=-x+.
由
得3x2+4=12,
即x2-x+-12=0.
因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
所以Δ=-4=0,
即-36-=0,即+(2-14)+-18-32x0-15=0,
即+(2-14)+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0,
可得+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0,
即(++2x0+1)(+-2x0-15)=0.
因为++2x0+1=(x0+1)2+>0,
所以+-2x0-15=0.
又点(5,0),(-3,0)的坐标也满足上式,
故点M的轨迹为圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
方法二:设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点P,
则当点P不是椭圆C长轴的端点时，如图,
线段F1M的垂直平分线l即为椭圆C在点
P处的切线,也为∠F1PM的平分线,
设线段F1M的中点为E,作∠F1PF2的平分线PH,
根据椭圆的光学性质得PH⊥l,所以∠F1PE+∠F1PH=90°,
则∠F2PH+∠EPM=90°,
故∠F2PF1+∠F1PM=180°,
所以M,P,F2三点共线,所以|MF2|=|MP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=4,
所以点M的轨迹是以F2为圆心,4为半径的圆(除去点(5,0),(-3,0)).
当点P是椭圆C长轴的端点时,点M为(5,0)或(-3,0),满足|MF2|=4.
综上,点M的轨迹为圆,该圆的方程为(x-1)2+y2=16.
18.[2024·辽宁部分学校三模] 设抛物线的方程为， 为直
线上任意一点，过点作抛物线 的两条切线
，，切点分别为，（点 在第一象限）.
（1）当点的坐标为时，求过，， 三点的圆的方程.
解：如图，当点的坐标为 时，设过点
的切线方程为 ，
与联立，得 ，整理得
，
令，解得 或，分别代入（*）得
或 ，故， ，
故直线的方程为，直线 的方程为 .
由得直线与直线 互相垂
直,则过，， 三点的圆的直径为线段 .
设该圆上任意一点的坐标为 ，
则， ，
所以 ，
从而过，， 三点的圆的一般方程为
（圆的标准方程为 ）.
（2）求证：直线 恒过定点.
证明：设， ，设切线的方程为，
与 联立，得，
则，所以 ，
故切线的方程为 ，即，
同理可得切线的方程为 ，
又切线，都过点，
所以 ，，
即点, 的坐标均满足方程 ，
故直线的方程为 .
又为直线上任意一点，
故直线 的方程为，从而直线恒过定点 .
（3）当变化时，直线上是否存在点，使 为直角三角形
若存在，求出有几个这样的点 ；若不存在，请说明理由.
解：由(2)知,是方程 的两实根，故
又，， ，
所以 .
①当时，，直线上任意一点均满足 ，
即 为直角三角形；
②当时，，，即 不可能为
直角三角形；
③当时，，，只需考虑 时的情况，
因为， ，
所以 ，
若 ，则，整理得 ，
又因为，所以 ，
方程有解的充要条件是，
经验证，当 ，时，有（ 的情况同理），
即当时，直线上存在两个点，使 为直角三角形.
综上所述，当时，直线上存在无数个，使 为直角三
角形；当时，直线上存在两个点，使 为直角三角形；
当或时，直线上不存在点，使 为直角
三角形.
19.已知抛物线的焦点为，过点的直线与 相
交于，两点，面积的最小值为（ 为坐标原点）.按照如下
方式依次构造点点的坐标为，直线， 与
的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为 ，设点
的横坐标为 .
（1）求 的值.
解：如图，设直线 ，
由得 ，
则 ，
， .
由题可知
,
因为面积的最小值为，且，所以,即 .
（2）求数列 的通项公式.
解：设,，,，
当直线 的斜率不存在时，直线的方程为,
当直线 的斜率存在时，由题可知， ，
两式作差可得，即 ，
所以 ，
所以直线的方程为 ，
整理得，
当直线的斜率不存在时，直线 的方程满足上式.
同理得直线的方程为 .
令,可得
易知直线 的方程为 ，
因为直线过焦点，所以有,直线 的方程为
，
令，可得 ，
由可知，
因为 ，，所以 ，
两边取对数可得 ，
即 ，
由题可知，所以数列{是以 为首项，
2为公比的等比数列，所以 ，故 .
（3）数列 中，是否存在连续的三项（按原顺序）构成等差数列？
若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
解：不存在，理由如下:
假设存在，则一定有 ,
因为 ，
所以 ，
化简得，显然, ,
所以，所以在 上无解，
故不存在连续的三项（按原顺序）构成等差数列.
基础热身
1.D 2.A 3.A 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.ABD 10.AC 11.ABC
12.y2=8x 13. (x+)2+y2=1(或(x-)2+y2=1) 14.3
15.(1)双曲线C的标准方程为-y2=1,左、右焦点的坐标分别为(-2,0),(2,0) (2)|AB|=2
综合提升
16. (1) +=1 (2) x+y-1=0或x-y-1=0 17.(1) +=1 (2) 略 (3) (x-1)2+y2=16
能力拓展
18.(1)圆的一般方程为x2+y2-x-3y-3=0 (2) 略
(3)当m=1时,直线l上存在无数个M,使△MAB为直角三角形;当m>2时,直线l上存在两个点M,
使△MAB为直角三角形;当019.(1) p=1 (2)xn=(3)不存在,理由略
