重点强化练(十七) 随机变量及其分布
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用X表示甲的得分,则X=3表示 ( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
2.已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)= ( )
A. B.
C. D.
3.[2025·广东上进联考] 已知事件A,B互斥,且P(A)=P(B)=0.5,事件M满足P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.7,则P(M)= ( )
A.0.25 B.0.35
C.0.4 D.0.75
4.[2025·江西九江模拟] 已知某地区某次数学考试共有8000名考生参与,且数学成绩X近似服从正态分布N(95,σ2),若成绩在80分以下的有1500人,则可以估计P(95≤X≤110)= ( )
A. B. C. D.
5.一个盒中有除颜色外完全相同的10个球,其中红球7个,黄球3个,随机抽取两个球,则至少有一个黄球的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.[2024·江苏苏锡常镇四市联考] 水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛,规则如下:每局两人比赛,另一人担任裁判,每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.若第一局甲担任裁判,则第三局甲还担任裁判的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.在某对抗赛中,甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目,根据以往甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析,在对抗挑战中甲挑战成功的概率是,乙挑战成功的概率是,甲、乙均未挑战成功的概率是,则在甲挑战成功的条件下,乙挑战成功的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5(例如01001),其中ak(k=1,2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a1+a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时,下列说法正确的是 ( )
A.P(X=1)=
B.E(X)=
C.D(X)=
D.五位二进制数10100与10001出现的概率相同
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.某平台的评分规则是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值(一星2分,二星4分,三星6分,四星8分,五星10分),用得分总和除以评分的用户人数即为得分.某爱国影片的得分是7.4分,截至2021年10月24日,共计有437 181人参与评分,评分表如图.根据实时数据,该片的票房为53.1亿元,按照平均票价50元来计算,大约有1亿人次观看了此片.假设参与评分的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是 ( )
A.m的值是32%
B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星
C.若以频率当作概率,记事件A为“评价是一星”,事件B为“评价不高于二星”,则P(B|A)=
D.若从已作出评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
10.已知随机变量X和Y的分布列如下,其中a≠0且a≠1,X与Y的取值互不影响,则 ( )
X -1 0 1
P
Y 0 1 2
P
A.存在a,使得P(X=1,Y=0)=
B.E(Y)-E(X)≥1
C.若Y服从二项分布,则a=3-2
D.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
11.[2024·山东聊城三模] 某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8,现从生产流水线上随机抽取5件,其中优秀产品的件数为X,另一随机变量Y~N(4,1),则 ( )
A.D(2X+1)=1.6
B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y)
C.P(X≤4)>P(Y≥4)
D.P(X=k)随k的增大先增大后减小
三、填空题:本题共3小题.
12.设随机变量X的可能取值为-1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=-1,2,3),若E(X)=3,则a+b= .
13.[2024·天津卷] 现有A,B,C,D,E五个活动,甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A活动的概率为 ;已知乙选了A活动,则他选到B活动的概率为 .
14.[2024·湖南衡阳二模] 现有A,B两个盒子,其中A盒装有3个黑球和3个白球,B盒装有3个黑球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球,若2个球同色,则甲胜,并将取出的2个球全部放入A盒中,若2个球异色,则乙胜,并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后,B盒中恰有7个球的概率是 .
四、解答题:本题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕,为了保证奥运赛事的顺利组织和运行以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作,每项比赛都需要若干名志愿者参加服务,每名志愿者可服务多个项目.现有100米、200米、400米、800米、1500米、5000米6个项目.
(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务,求汤姆在选择200米服务的条件下选择1500米服务的概率.
(2)为了调查志愿者参加服务的情况,从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名,其中6名参加5000米服务,4名参加800米服务.现从这10名志愿者中再选3名做进一步调查,将其中参加800米服务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.
16.中国数学奥林匹克(CMO)竞赛由中国数学会主办,是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员,组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛,预赛成绩合格者可进入决赛.
(1)根据预赛成绩统计,学生预赛的成绩X~N(70,225),成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛,试估计进入决赛的人数(结果取整数).
(2)决赛试题共设置了10个题目,其中单选题6个,每题10分,每题有1个正确选项,答对得10分,答错得0分;多选题4个,每题15分,每题有多个正确选项,全部选对得15分,部分选对得5分,有选错的得0分.假设甲同学进入了决赛,且在决赛中每个单选题答对的概率均为,每个多选题得15分、5分、0分的概率均分别为,,.求甲同学决赛成绩Y的数学期望.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.955,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
17.某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成学生垃圾分类的习惯,组织了知识竞赛活动,现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛,决赛的规则如下:
决赛一共五轮,在每一轮中,两位学生各回答一次题目,累计答对题目数量多者胜;若五轮答满,分数持平,则并列为冠军;若在答满5轮前,其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量,则不需再答题,即可决出冠军.譬如:第3轮结束时,双方答对题目数量比为3∶0,则不需再答第4,5轮了.
设高一年级的学生代表甲答对每道比赛题目的概率均是,高二年级的学生代表乙答对每道比赛题目的概率均是,每轮答题比赛中,答对与否互不影响.
(1)在一次赛前训练中,学生代表甲答了3轮题,且每次答题互不影响,记X为答对题目的数量,求X的分布列及数学期望;
(2)求在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率.
18.[2024·浙江五校协作体联考] 已知某军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号,假设该军某月生产的坦克总数为N,随机缴获该月生产的n辆(n
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想,用=估计总体的均值,因此,得≈,故可用Y=2-1作为N的估计值.乙同学对此提出异议,认为这种方法可能出现Y(1)当N=5,n=3时,求条件概率P(Y(2)为了避免甲同学方法的缺陷,乙同学提出直接用M作为N的估计值,当N=8,n=4时,求随机变量M的分布列和均值E(M);
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值,但直观上可以发现E(M)与N存在明确的大小关系,因此乙同学的方法也存在缺陷,请判断E(M)与N的大小关系,并给出证明.
19.某学校文学社举办了诗词大会,在选拔赛阶段,共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙,第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目,选手从中随机抽取2个题目,主持人说出诗词的上句,若选手正确回答出下句则得10分,若不能正确回答出下句则得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个,求该选手在第一轮得分的数学期望.
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛,每一次由四个团队中的一个回答问题,无论答题对错,该团队回答后由其他团队抢答下一问题,且其他团体有相同的机会抢到下一问题.记第n次回答的是甲的概率是Pn,若P1=1.
①求P3和P4;
②证明:数列为等比数列,并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.重点强化练(十七)
1.D [解析] 由题意知,甲得3分有两种情况:甲赢一局输两局,甲得分为3分;甲、乙平局三次,甲得分为3分.所以X=3表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D.
2.A [解析] 由分布列的性质可知a++5a+=1,解得a=,由Y=2X+1知,Y≥5等价于X≥2,由表可知P(X≥2)=+=.故选A.
3.D [解析] 根据题意,由全概率公式可得P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.8+0.5×0.7=0.75.故选D.
4.B [解析] 依题意得P(X<80)==,故P(95≤X≤110)=P(80≤X≤95)=P(X≤95)-P(X<80)=-=.故选B.
5.D [解析] 记抽取黄球的个数为X,则X服从超几何分布,其分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=.故选D.
6.C [解析] 由于甲、乙、丙三人的水平相当,所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是.若第二局是乙担任裁判,则第三局甲或丙担任裁判的概率都是,若第二局是丙担任裁判,则第三局甲或乙担任裁判的概率都是.由全概率公式可知,若第一局甲担任裁判,则第三局甲还担任裁判的概率P=×+×=.故选C.
7.B [解析] 记甲挑战成功为事件A,乙挑战成功为事件B,则P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=1-=,由概率加法公式知P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),可得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=,则在甲挑战成功的条件下,乙挑战成功的概率为P(B|A)===.
8.D [解析] 由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出现的次数.由二项分布的定义可得X~B,故P(X=1)=××=,故A错误;因为X~B,所以E(X)=5×=,故B错误;D(X)=5××=,故C错误;五位二进制数10100与10001出现的概率均为×=,故D正确.故选D.
9.AD [解析] 对于A选项,参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则24.0%+32.9%+m+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确;对于B选项,随机抽取100名观众,可能有100×24.0%=24(人)评价五星,但不是一定的,故B错误;对于C选项,因为A∩B=A,所以P(B|A)=1,故C错误;对于D选项,根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件,故D正确.故选AD.
10.CD [解析] 由已知得且又a≠0且a≠1,所以011.CD [解析] 由题意知X~B(5,0.8),则E(X)=5×0.8=4,D(X)=5×0.8×0.2=0.8,所以D(2X+1)=4×0.8=3.2,故选项A错误;Y~N(4,1),则E(Y)=4,D(Y)=1,又E(X)=4,D(X)=0.8,所以E(X)=E(Y),D(X)P(Y≥4),故选项C正确;X~B(5,0.8),则P(X=k)=·0.8k·0.25-k,令即
解得3.8≤k≤4.8,又k∈Z,所以当X=4时概率最大,易知P(X=0)P(X=5),即P(X=k)随k的增大先增大后减小,故D选项正确.故选CD.
12. [解析] 由题意可得
解得所以a+b=.
13. [解析] 方法一:甲从五个活动中选三个的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中甲选到A活动的可能情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种,故甲选到A活动的概率P==.乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE共6种可能情况,其中选到B活动有ABC,ABD,ABE共3种可能情况,故已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为=.
方法二:甲选到A活动的概率为=.设M=“乙选到A活动”,N=“乙选到B活动”,则已知乙选了A活动,他选到B活动的概率为P(N|M)===.
14. [解析] 若两次取球后,B盒中恰有7个球,则两次取球均为乙获胜.若第一次取球甲取到黑球,乙取到白球,其概率为×=,则第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球,B盒中有4个黑球和2个白球,第二次取到一个白球一个黑球的概率为×+×=,此时B盒中恰有7个球的概率为×=;若第一次取球甲取到白球,乙取到黑球,其概率为×=,则第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球,B盒中有3个黑球和3个白球,第二次取到一个白球一个黑球的概率为×+×=,此时B盒中恰有7个球的概率为×=.所以B盒中恰有7个球的概率为+=.
15.解:(1)设“汤姆的选择中有200米服务”为事件A,“汤姆的选择中有1500米服务”为事件B,
则P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)===.
(2)X的取值可能为0,1,2,3,
且P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
16.解:(1)由于X~N(70,225),故μ=70,σ=15,故μ+σ=85,所以P(X>85)=≈,
故估计进入决赛的人数为600×≈95.
(2)甲同学每个单选题的得分Y1的数学期望E(Y1)=10×+0×=6(分),
甲同学每个多选题的得分Y2的数学期望E(Y2)=15×+5×+0×=6(分),因此甲同学决赛成绩Y的数学期望E(Y)=6E(Y1)+4E(Y2)=6×6+4×6=60(分).
17.解:(1)由题可得X~B,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=2.
(2)将“在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A,“在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题,学生代表乙答对0道题”记为事件A1,
“在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题,学生代表乙答对1道题”记为事件A2,则A1,A2互斥,且A=A1∪A2.
又P(A1)=××××=,
P(A2)=××××+××××××=,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)==.因此在第4轮结束时,学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为.
18.解:(1)由N=5,n=3知,当M=5时,缴获的3辆坦克的编号中,最大编号为5,另外2辆坦克的编号有种可能,故P(M=5)==.
由Y<5,得2-1<5,解得<3,故总编号和小于9,则除最大编号5外,另外2个编号只能是1,2,
故P(Y因此P(Y==.
(2)由于N=8,则M的可能取值为4,5,6,7,8,且P(M=4)==,
P(M=5)===,
P(M=6)===,
P(M=7)===,
P(M=8)===,
故M的分布列为
M 4 5 6 7 8
P
故E(M)=4×+5×+6×+7×+8×=.
(3)直观上可判断E(M)证明如下:E(M)=nP(M=n)+(n+1)P(M=n+1)+…+NP(M=N)19.解:(1)设该选手答对的题目个数为X,该选手在第一轮的得分为Y,则Y=10X.易知X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,故X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)=×0+×1+×2=,∴E(Y)=10E(X)=12.
(2)①由题意可知,第一次是甲回答,第二次甲不回答,∴P2=0,则P3=,P4=×=.
②证明:由第n次回答的是甲的概率为Pn得,当n≥2时,第n-1次回答的是甲的概率为Pn-1,第n-1次回答的不是甲的概率为1-Pn-1,则Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)×=(1-Pn-1),
即Pn-=-,
又P1-=,∴是以为首项,-为公比的等比数列,
则Pn=×+,
∴P8=×+<×+=P7,
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.(共53张PPT)
重点强化练（十七） 随机变量及其
分布
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三
局.用表示甲的得分，则 表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
√
[解析] 由题意知，甲得3分有两种情况：甲赢一局输两局，甲得分为
3分；甲、乙平局三次，甲得分为3分.
所以 表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选D.
2.已知离散型随机变量 的分布列如下表：
0 1 2 3
若离散型随机变量，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由分布列的性质可知,解得 ，
由知，等价于 ，由表可知
.故选A.
√
3.[2025·广东上进联考]已知事件,互斥，且 ,事
件满足,，则 ( )
A.0.25 B.0.35 C.0.4 D.0.75
[解析] 根据题意，由全概率公式可得
.
故选D.
√
4.[2025·江西九江模拟]已知某地区某次数学考试共有8000名考生参
与，且数学成绩近似服从正态分布 ，若成绩在80分以下
的有1500人，则可以估计 ( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得 ，故
.故选B.
√
5.一个盒中有除颜色外完全相同的10个球，其中红球7个，黄球3个，
随机抽取两个球，则至少有一个黄球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记抽取黄球的个数为，则 服从超几何分布，其分布列为
，，1，2，
所以 .故选D.
√
6.[2024·江苏苏锡常镇四市联考]水平相当的甲、乙、丙三人举行羽
毛球比赛，规则如下：每局两人比赛，另一人担任裁判，每局比赛
结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.若第一局甲担任裁判，则第
三局甲还担任裁判的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由于甲、乙、丙三人的水平相当，所以第二局乙或丙担任裁
判的概率都是 .
若第二局是乙担任裁判，则第三局甲或丙担任裁判的率都是 ，
若第二局是丙担任裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概
率都是 .
由全概率公式可知，若第一局甲担任裁判，则第三局甲还担
任裁判的概率 .故选C.
7.在某对抗赛中，甲、乙两人同时挑战100秒记忆力项目，根据以往
甲、乙两人同场对抗挑战该项目的记录统计分析，在对抗挑战中甲
挑战成功的概率是，乙挑战成功的概率是 ，甲、乙均未挑战成功
的概率是 ，则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记甲挑战成功为事件，乙挑战成功为事件 ，则
，， ，
由概率加法公式知 ，可得
，
则在甲挑战成功的条件下，乙挑战成功的概率为
.
8.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数
（例如01001），其中出现0的概率为 ，
出现1的概率为，记 ，则当程序运行一次
时，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.五位二进制数10100与10001出现的概率相同
√
[解析] 由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，5，且 的取值表示
1出现的次数.
由二项分布的定义可得 ，故
，故A错误；
因为 ，所以，故B错误；
，故C错误；
五位二进制数10100与10001出现的概率均为 ，故D
正确.故选D.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.某平台的评分规则是将用户评价的一到五星转化为 的分值
（一星2分，二星4分，三星6分，四星8分，五星10分），用得分总
和除以评分的用户人数即为得分.某爱国影片的得分是7.4分，截至
2021年10月24日，共计有437 181人参与评分，评分表如图.根据实时
数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1
亿人次观看了此片.假设参与评分的观众中有 的评价不低于二
星，则下列说法正确的是( )
A.的值是
B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C.若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件 为“评价不高
于二星”，则
D.若从已作出评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”
与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
√
√
[解析] 对于A选项，参与评价的观众中有 的评价不低于二星，
则，所以 ，故A正确；
对于B选项，随机抽取100名观众，可能有 （人）
评价五星，但不是一定的，故B错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，故C错误；
对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，
事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，
故D正确.故选 .
10.已知随机变量和的分布列如下，其中且,与 的取值互不影响，
则( )
0 1
0 1 2
A.存在，使得
B.
C.若服从二项分布，则
D.
√
√
[解析] 由已知得且又且 ,所以.
对于A，因为， 的取值互不影响，所以
，若 ，则
，所以 ，不符合条件，故A错误；
对于B，， ，
，故B错误；
，得，
由，可得 ，故C正确；
对于D，， ，
， ，
，所以 ，
又，所以 ，故
D正确.故选 .
11.[2024·山东聊城三模]某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为 ，
现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为 ，另一随
机变量 ，则( )
A.
B.,
C.
D.随 的增大先增大后减小
√
√
[解析] 由题意知，则 ,
，所以 ，故选
项A错误；
，则,，又 ,
，所以, ，故选项B错误；
，又
，所以 ，故选项C正确；
，则 ，令
即
解得 ，
又，所以当时概率最大，易知
，
即随的增大先增大后减小，故D选项正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.设随机变量的可能取值为 ,2,3，,
若，则 ___.
[解析] 由题意可得
解得所以 .
13.[2024·天津卷] 现有,,,, 五个活动，甲、乙都要选择三个活
动参加.甲选到活动的概率为___；已知乙选了活动，则他选到 活
动的概率为__.
[解析] 方法一：甲从五个活动中选三个的可能情况有, ,
,,,,,,,,共10种，其中甲选到 活动
的可能情况有,,,,,，共6种，故甲选到 活
动的概率.
乙选了活动有,,,,, 共6种可能情况，
其中选到活动有,, 共3种可能情况，故
已知乙选了活动，他选到活动的概率为 .
方法二：甲选到活动的概率为.
设“乙选到活动”， “乙选到活动”，
则已知乙选了活动，他选到 活动的概率为 .
14.[2024·湖南衡阳二模] 现有,两个盒子，其中 盒装有3个黑球和
3个白球， 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲
从盒、乙从 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将
取出的2个球全部放入 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2
个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后， 盒中恰有7个球
的概率是____.
[解析] 若两次取球后， 盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜.
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为 ，则第一次
取球后盒中有2个黑球和3个白球， 盒中有4个黑球和2个白球，第
二次取到一个白球一个黑球的概率为，此时 盒中
恰有7个球的概率为 ；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，
则第一次取球后 盒中有3个黑球和2个白球， 盒中有3个黑球和3个
白球，第二次取到一个白球一个黑球的概率为，
此时盒中恰有7个球的概率为 .
所以盒中恰有7个球的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了
保证奥运赛事的顺利组织和运行以及做好文化交流、信息咨询、观
众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，
每名志愿者可服务多个项目.现有100米、200米、400米、800米、
1500米、5000米6个项目.
（1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在
选择200米服务的条件下选择1500米服务的概率.
解：设“汤姆的选择中有200米服务”为事件 ，“汤姆的选择中有1500
米服务”为事件 ，
则，，所以 .
（2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者
中抽取了10名，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这
10名志愿者中再选3名做进一步调查，将其中参加800米服务的人数
记作，求随机变量 的分布列和数学期望.
解： 的取值可能为0，1，2，3，
且 ， ，
， .
所以 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
16.中国数学奥林匹克 竞赛由中国数学会主办，是全国中学生
级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛
队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可
进入决赛.
（1）根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩 ，成绩超过
85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决
赛的人数（结果取整数）.
附：若，则 ,
， .
解：由于，故,，故 ，
所以 ，
故估计进入决赛的人数为 .
（2）决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6个，每题10分，每
题有1个正确选项，答对得10分，答错得0分；多选题4个，每题15分，
每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错的
得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中每个单选题答对的概率均
为，每个多选题得15分、5分、0分的概率均分别为,, .求甲同学决
赛成绩 的数学期望.
解：甲同学每个单选题的得分 的数学期望
（分），
甲同学每个多选题的得分 的数学期望
（分），
因此甲同学决赛成绩 的数学期望
（分）.
17.某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成学生垃圾分
类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位
学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对
题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；若在答
满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答
对的题目数量，则不需再答题，即可决出冠军.譬如：第3轮结束时，
双方答对题目数量比为 ，则不需再答第4，5轮了.
设高一年级的学生代表甲答对每道比赛题目的概率均是 ，高二年级
的学生代表乙答对每道比赛题目的概率均是 ，每轮答题比赛中，答
对与否互不影响.
（1）在一次赛前训练中，学生代表甲答了3轮题，且每次答题互不
影响，记为答对题目的数量，求 的分布列及数学期望；
解：由题可得， 的可能取值为0，1，2，3，
则， ，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率.
解：将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事
件 ，
“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题，学生代表乙答对0道
题”记为事件 ，
“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题，学生代表乙答对1道题”记
为事件，则，互斥，且 .
，
所以 .
因此在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为 .
18.[2024·浙江五校协作体联考] 已知某军的每辆坦克上都有一个按
生产顺序从1开始的连续编号，假设该军某月生产的坦克总数为 ，
随机缴获该月生产的辆坦克的编号为，， ， ，记
,, , ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统
计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数 .
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用 估计
总体的均值，因此，得 ，故可用
作为 的估计值.乙同学对此提出异议，认为这种方法可
能出现的无意义结果.例如，当，时，若 ，
，，则，此时 .
（1）当，时，求条件概率 ；
解：由，知，当 时，缴获的3辆坦克的编号中，最
大编号为5，另外2辆坦克的编号有种可能，故 .
由，得，解得 ，故总编号和小于9，则除最大
编号5外，另外2个编号只能是1，2，
故且 ，
因此 .
（2）为了避免甲同学方法的缺陷，乙同学提出直接用作为 的估
计值，当，时，求随机变量的分布列和均值 ；
解：由于，则的可能取值为4,5,6,7,8，且 ，
， ，
， ，
故 的分布列为
4 5 6 7 8
故 .
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现
与 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷，请
判断与 的大小关系，并给出证明.
解：直观上可判断 .
证明如下：
.
19.某学校文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第
一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接
龙的题目，选手从中随机抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若
选手正确回答出下句则得10分，若不能正确回答出下句则得0分.
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮
得分的数学期望.
解：设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为 ，则
.
易知 的所有可能取值为0,1,2，则 ，
，，
故 的分布列为
0 1 2
， .
（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每
一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后
由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢到下一问题.
记第次回答的是甲的概率是，若 .
①求和 ；
解：由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答， ，则
, .
②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次
回答的是甲的可能性的大小.
证明：由第次回答的是甲的概率为得，当时，第 次回
答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为 ，
则 ，
即 ，
又，是以为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.
1.D 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D
9.AD 10.CD 11.CD 12. 13. 14.
15.(1) (2)分布列略，E(X)=.
16.(1)95 (2)E(Y)=60(分)
17.(1)分布列略，E(X)=2. (2)
18.(1) (2)， E(M)19.(1) (2)①P3=,P4=略