重点强化练(十五) 焦点弦
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.[2024·重庆七校三诊] 已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,该抛物线上一点P到直线y=-1的距离为4,则|PF|= ( )
A.3 B.4
C. D.
2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若|AB|=,则直线l的斜率为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||= ( )
A. B.2
C. D.3
4.[2024·广东佛山模拟] 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上且在第一象限,若直线AF的倾斜角为,则|AF|= ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.[2024·长沙模拟] 已知点A为双曲线-y2=1的左顶点,点B和点C均在双曲线的左支上,若△ABC是等腰直角三角形,则△ABC的面积是 ( )
A.4 B.
C. D.
6.已知点F是抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= ( )
A.2 B.2
C.3 D.4
7.[2025·湖南雅礼中学月考] 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l与C相交于M,N两点,则2|MF|+|NF|的最小值为 ( )
A. B.4
C. D.3
8.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,在抛物线C上存在四个点P,M,Q,N,若弦PQ与弦MN的交点恰好为点F,且PQ⊥MN,则+= ( )
A. B.1
C. D.2
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2025·广西南宁模拟] 椭圆C:+=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,直线AF1与椭圆C的另一个交点为B,若∠F1AF2=,则 ( )
A.椭圆C的焦距为2
B.△ABF2的周长为8
C.椭圆C的离心率为
D.△BF1F2的面积为
10.[2024·广东深圳模拟] 设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是 ( )
A.|PF1|+|PF2|=5
B.离心率e=
C.△PF1F2面积的最大值为12
D.以线段F1F2为直径的圆与圆(x-4)2+(y-3)2=4外切
11.[2024·重庆一中模拟] 已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线与C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的有 ( )
A.存在弦AB,使得弦AB中点的坐标为
B.当AB⊥OF时,|OA|·|OB|=5
C.弦AB的中点到准线的距离小于(|OA|+|OB|)
D.当直线AB的斜率k∈(0,2)时,|OA|·|OB|>
三、填空题:本题共3小题.
12.[2024·哈尔滨二模] 椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),若△ABF2的面积是4,则|y1-y2|= .
13.已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆E:+=1(a>b>0)于P,A两点,过OP的中点Q作x轴的垂线,垂足为C,直线AC交椭圆于另一点B,直线PA,PB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,则= ;若k1k2=-,则E的离心率为 .
14.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(2,0)的直线l交C于A,B两点,直线AF,BF分别交C于M,N(异于A,B),则|AM|+|BN|的最小值为 . 重点强化练(十五)
1.C [解析] 由抛物线C:y=4x2可得x2=y,其准线方程为y=-,因为抛物线上一点P到直线y=-1的距离为4,所以点P到直线y=-的距离为4-=,由抛物线的定义知|PF|=.故选C.
2.B [解析] 如图,依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1(m>0),由得y2-4my-4=0,所以yA+yB=4m,所以|AB|=xA+xB+p=m(yA+yB)+2+2=4m2+4=,可得m=,所以直线l的斜率为.故选B.
3.C [解析] 设A(2,y0),B(x1,y1),因为F(1,0),所以=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(x1-1,y1),得又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以点A的坐标为(2,±1),所以||==.故选C.
4.C [解析] 抛物线及其准线如图所示,过点A作AB垂直于准线,垂足为点B,过焦点F作FE垂直于AB,垂足为点E,由题意可知p=2,∠AFx=∠FAE=,根据抛物线的定义知|AF|=|AB|=|AE|+|EB|,在Rt△AFE中,|AE|=|AF|·cos=|AF|,又|BE|=p=2,所以|AF|=|AB|=|AF|+2,解得|AF|=4.故选C.
5.C [解析] 由题意得A(-2,0),点B和点C均在双曲线的左支上,若△ABC是等腰直角三角形,则由双曲线的对称性可得A为直角顶点,设B(x1,y1)(x1<0),由对称性得C(x1,-y1),则|y1|=|x1|-2=-x1-2,又-=1,所以x1=-,y1=±,则|BC|=,所以S△ABC=××=.故选C.
6.C [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由y2=2x,得p=1,所以F,准线方程为x=-.因为++=0,所以F为△ABC的重心,所以=,所以x1+x2+x3=,所以||+||+||=x1++x2++x3+=x1+x2+x3+=+=3,故选C.
7.A [解析] 由抛物线C的方程为x2=4y知,焦点F的坐标为(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y整理得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,故y1y2=·=1,又|MF|=y1+=y1+1,|NF|=y2+=y2+1,所以2|MF|+|NF|=2(y1+1)+(y2+1)=2y1+y2+≥2+=,当且仅当y1=,y2=2时等号成立,故2|MF|+|NF|的最小值为.故选A.
8.B [解析] 由抛物线C:y2=x得2p=1,则p=,则F,不妨设直线PQ的倾斜角为θ,P,M在第一象限内,则由|PF|cos θ+p=|PF|,p-|QF|cos θ=|QF|得|PF|=,|QF|=,所以|MF|==,|NF|==,得|PQ|=|PF|+|QF|=+=,|MN|=|MF|+|NF|=,所以+==1.故选B.
9.ABD [解析] 如图,由题意可知,∠F1AF2=,|AF1|=|AF2|=a,故△AF1F2为等边三角形,则a=2c,b=c,又a2-b2=m2+1-m2=1,所以c=1,b=,a=2,所以椭圆C的焦距为2c=2,A正确;由椭圆的定义可知,△ABF2的周长为4a=8,B正确;椭圆C的离心率e==,C错误;设|BF1|=x,则|BF2|=4-x,又∠BF1F2=,所以由余弦定理可得(4-x)2=4+x2-4xcos∠BF1F2,解得x=,所以=|BF1||F2F1|sin=××2×=,D正确.故选ABD.
10.BCD [解析] 由椭圆C:+=1,得a=5,b=4,c=3,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;由椭圆离心率公式可得e==,故B正确;|F1F2|=2c=6,设点P到x轴的距离为h,显然hmax=b=4,则△PF1F2面积的最大值为|F1F2|·b=×6×4=12,故C正确;线段F1F2的中点为(0,0),则以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9,其圆心为(0,0),半径r=3,又圆(x-4)2+(y-3)2=4的圆心为(4,3),半径R=2,所以两圆的圆心距d==5=r+R,即两圆外切,故D正确.故选BCD.
11.BC [解析] 由题意知,焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设A,B.对于A,由抛物线的二级结论可知y1y2=-p2=-4①.若存在弦AB,使得弦AB中点的坐标为,则解得或
都不满足①式,故A错误.对于B,当AB⊥OF时,解得
或由对称性不妨取A(1,2),B(1,-2),则|OA|=|OB|=,所以|OA|·|OB|=5,故B正确.对于C,设弦AB的中点为E,过A,B,E分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,如图,则|EQ|=(|AM|+|BN|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,又|AB|<|OA|+|OB|,所以|EQ|<(|OA|+|OB|),故C正确.对于D,设直线AB的方程为y=k(x-1),k∈(0,2).由消去x整理得ky2-4y-4k=0,则Δ=16+16k2>0,y1+y2=,y1y2=-4,所以|OA|·|OB|=·=
=
=
=
=.因为k∈(0,2),所以k2∈(0,4),所以|OA|·|OB|>,故D错误.故选BC.
12. [解析] 由题意知F1(-,0),F2(,0),则|F1F2|=2,因为=|y1-y2|·|F1F2|=4,所以|y1-y2|===.
13. [解析] 设P(x0,y0),则Q,C,A(-x0,-y0),则k1=,k3=kAC==·,∴=.设B(x1,y1),则则=-,可得·=-,故k3k2=-,结合k1k2=-,k3=k1,可得k1k2=-,∴=,∴=,∴e=.
14.9 [解析] 如图,不妨设A(n2,2n)(n>0),直线AB:x=my+2,由得y2-4my-8=0,所以yA·yB=-8,则B.设直线AM:x=ty+1,由得y2-4ty-4=0,所以yA·yM=-4,则M,同理可得N,所以|AM|=+n2+p=+n2+2,|BN|=++p=++2,则|AM|+|BN|=+n2+2+++2=++4≥2+4=9,当且仅当n=时取等号.(共28张PPT)
重点强化练（十五） 焦点弦
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.[2024·重庆七校三诊]已知抛物线的焦点为 ，该抛物线
上一点到直线的距离为4，则 ( )
A.3 B.4 C. D.
[解析] 由抛物线可得，其准线方程为 ，
因为抛物线上一点到直线的距离为4，
所以点 到直线的距离为 ，
由抛物线的定义知 .故选C.
√
2.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交
于,两点，若，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，依题意知，设直线 的方程为
，由
得，所以，
所以
，可得，所以直线的斜率为 .故选B.
√
3.已知椭圆的右焦点为，直线，点 ，
线段交于点，若，则 ( )
A. B.2 C. D.3
[解析] 设，，因为，所以 ，
，由，即 ，
得又点在椭圆上，所以，
解得 ，所以点的坐标为，
所以 .故选C.
√
4.[2024·广东佛山模拟]设为抛物线的焦点，点在 上且
在第一象限，若直线的倾斜角为，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 抛物线及其准线如图所示，
过点作 垂直于准线，垂足为点，
过焦点作 垂直于，垂足为点，
由题意可知 , ，
根据抛物线的定义知，
在 中，，
又 ，所以，解得 . 故选C.
5.[2024·长沙模拟]已知点为双曲线的左顶点，点和点
均在双曲线的左支上，若是等腰直角三角形，则 的面
积是( )
A.4 B. C. D.
[解析] 由题意得，点和点 均在双曲线的左支上，
若是等腰直角三角形，则由双曲线的对称性可得 为直角顶点，
设，由对称性得 ，
则,又,所以, ，
则，所以 .故选C.
√
6.已知点是抛物线的焦点，，， 为抛物线上三点，若
，则 ( )
A.2 B. C.3 D.
[解析] 设,,，
由，得 ，所以，准线方程为.
因为，所以 为的重心，所以，所以，所以 ，故选C.
√
7.[2025·湖南雅礼中学月考]已知抛物线的焦点为 ，过点
的直线与相交于，两点，则 的最小值为( )
A. B.4 C. D.3
√
[解析] 由抛物线的方程为知，焦点的坐标为 ，
设直线的方程为,,，
由消去 整理得，
则, ，故，
又 ，，
所以 ，当且仅当,时等号成立，
故的最小值为 .故选A.
8.已知抛物线的焦点为，在抛物线上存在四个点 ，
，，，若弦与弦的交点恰好为点，且 ，则
( )
A. B.1 C. D.2
√
[解析] 由抛物线得，则，则 ，
不妨设直线的倾斜角为，， 在第一象限内，
则由，得 ，
，所以 ，
，
得 ，
，所以 .故选B.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.[2025·广西南宁模拟]椭圆 的左、右焦点
分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为 ，若
，则( )
A.椭圆的焦距为2 B. 的周长为8
C.椭圆的离心率为 D.的面积为
√
√
√
[解析] 如图，由题意可知， ，
，故 为等边三角形，
则， ，
又，所以 ，
，，所以椭圆的焦距为 ， A正确；
由椭圆的定义可知，的周长为，B正确；
椭圆 的离心率，C错误；
设,则 ,又 ,
所以由余弦定理可得
，解得 ，
所以
，D正确.故选 .
10.[2024·广东深圳模拟]设椭圆 的左、右焦点分别为
，，是 上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B.离心率
C. 面积的最大值为12
D.以线段为直径的圆与圆 外切
√
√
√
[解析] 由椭圆，得,, ，
由椭圆的定义可知， ，故A错误；
由椭圆离心率公式可得，故B正确；
，设点到轴的距离为 ，显然，
则 面积的最大值为，故C正确；
线段的中点为 ,则以线段为直径的圆的方程为，
其圆心为 ,半径,又圆的圆心为，
半径 ，所以两圆的圆心距 ，
即两圆外切，故D正确.故选 .
11.[2024·重庆一中模拟]已知抛物线，过其焦点 的直线与
交于,两点， 为坐标原点，则下列说法正确的有( )
A.存在弦，使得弦中点的坐标为
B.当时，
C.弦的中点到准线的距离小于
D.当直线的斜率时，
√
√
[解析] 由题意知,焦点为,
准线方程为,设 ,．
对于A，由抛物线的二级结论可知．
若存在弦，使得弦中点的坐标为，
则 解得或 都不满足①式，故A错误．
对于B，当时， 解得 或
由对称性不妨取, ，则，
所以 ，故B正确．
对于C，设弦的中点为，过,, 分别作准线的垂线，
垂足分别为,, ，如图，则
，又，
所以 ，故C正确．
对于D，设直线的方程为 ,.
由消去 整理得,则 ，
, ,所以
．
因为 ,所以,所以 ,故D错误.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2024·哈尔滨二模] 椭圆的左、右焦点分别为， ，
过焦点的直线交椭圆于，两点，设， ，若
的面积是4，则 _ ___.
[解析] 由题意知,,则 ,因为
,所以 .
13.已知过坐标原点 且异于坐标轴的直线交椭圆
于,两点，过的中点作 轴的垂线，
垂足为，直线交椭圆于另一点，直线,, 的斜率分别为
,,，则___；若，则 的离心率为___.
[解析] 设，则,,，
则 ,,.
设，则 则，
可得，故 ，
结合,,可得,,, .
14.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点 的
直线交于，两点，直线，分别交于，（异于， ），
则 的最小值为___.
9
[解析] 如图，不妨设 ，直线，
由 得，
所以 ，则.
设直线 ，
由得 ，
所以，则 ，同理可得 ，
所以 ，
，
则，
当且仅当 时取等号.
1.C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.B
9.ABD 10.BCD 11.BC
12. 13. 14.9
