重点强化练(十四) 焦点三角形与离心率
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.已知P是椭圆+=1在第一象限内的点,若以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积为1,则点P的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限内的交点,若|F1F2|=|F1A|,则下列选项正确的是 ( )
A.双曲线C1的渐近线方程为y=±8x
B.椭圆C2的离心率为
C.椭圆C2的方程为+=1
D.△AF1F2的面积为8
3.椭圆E:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,G为E上一点,则当△GF1F2的面积最大时,∠F1GF2= ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·东北三省三校四模] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,I为△PF1F2的内心,记△PF1I,△PF2I,△IF1F2的面积分别为S1,S2,S3,且满足S1=S2+,则双曲线的离心率是 ( )
A. B.
C.2 D.3
5.已知曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2为等边三角形,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
7.[2024·江西九江三模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上,△AF1F2的面积为2,则C的方程为 ( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
8.[2024·浙江Z20联盟三联] 设O为原点,F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在C上且满足|OP|=a,cos∠F1PF2=,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知椭圆Γ:+=1(a>0,b>0,a≠b)过点(1,1),其右顶点为A,上顶点为B,则以下说法正确的是 ( )
A.设c是半焦距,则有c2
B.原点O到直线AB的距离为1
C.椭圆Γ和曲线x2+y2+xy=没有交点
D.三角形OAB面积的取值范围是[1,+∞)
10.[2024·昆明模拟] 已知F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,M是左支上一点,且在x轴上方,过F2作∠F1MF2的平分线的垂线,垂足为N,O是坐标原点,则下列说法正确的是 ( )
A.若∠MF1F2=,则直线MN的斜率为-
B.若∠MF1F2=,则·=2
C.若∠MF1F2=α,则|ON|=1
D.若∠MF1F2=α,则|ON|=cos α
11.设F1,F2分别为椭圆E:+=1的左、右焦点,P(x0,y0)为E上一点且在第一象限,I(x1,y1)为△F1PF2的内心,且△F1PF2的内切圆半径为1,则 ( )
A.|IP|= B.x0=
C.x1=2 D.·=-
三、填空题:本题共3小题.
12.已知椭圆+=1(20>k>0)的焦距为8,过椭圆的一个焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则|AB|= .
13.[2024·湖南九校二联] 已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1,椭圆的短轴长与长轴长之比大于,则双曲线离心率的取值范围为 .
14.设F为椭圆C:+=1的右焦点,不垂直于x轴且不过点F的直线l与C交于M,N两点,在△MFN中,若∠MFN的外角平分线与直线MN交于点P,则点P的横坐标为 . 重点强化练(十四)
1.B [解析] 设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由题知c=1,所以=×2c×y0=y0,又=1,所以y0=1,将其代入+=1,可得x0=,所以P,故选B.
2.D [解析] 对于A,双曲线C1:x2-=1的渐近线方程为y=±2x,故A错误;对于B,由题意得F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,故|F1A|=6,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2,故|F2A|=4,设椭圆方程为+=1,则|F1A|+|F2A|=2a,即2a=6+4=10,解得a=5,又c=3,所以椭圆C2的离心率为=,故B错误;对于C,b2=a2-c2=25-9=16,故椭圆C2的方程为+=1,故C错误;对于D,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF1F2===,
故sin∠AF1F2==,所以△AF1F2的面积为
|AF1||F1F2|sin∠AF1F2=8,故D正确.故选D.
3.A [解析] 由题意知,F1(-,0),F2(,0),设G(x0,y0),则=×2×|y0|,由|y0|≤1得,|y0|=1时△GF1F2的面积最大,此时G(0,±1),tan∠F1GO==(O为坐标原点),
故∠F1GO=,所以∠F1GF2=2∠F1GO=.故选A.
4.D [解析] 设△PF1F2的内切圆半径为r,则S1=|PF1|r,S2=|PF2|r,S3=|F1F2|r,所以S1-S2=|PF1|r-|PF2|r=r(|PF1|-|PF2|)=ar,又S3=cr,S1-S2=,所以ar=cr,即c=3a,所以e=3,故选D.
5.C [解析] 由3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)=0,得x=或x=3.当e=时,曲线为椭圆.当椭圆的焦点在x轴上时,04,则=,可得m=,符合题意.当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则=9,可得m=-32,符合题意.综上,m有3个不同的取值.故选C.
6.A [解析] 椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则直线AB:x=-c,由
消去x得|y|=,则|AB|=.由△ABF2为等边三角形,得|F1F2|=|AB|,即2c=·,即2ac=b2=(a2-c2),整理得e2+2e-=0,又07.D [解析] ∵O为线段F1F2的中点(O为坐标原点),B为线段AF1的中点,∴OB∥AF2,又OB⊥x轴,∴AF2⊥x轴.在Rt△AF1F2中,∠AF1F2=,设|AF2|=t,则|AF1|=2t,|F1F2|=t.
∵△AF1F2的面积为2,∴×t×t=2,∴t=2,∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,即a=3,2c=|F1F2|=t=2,即c=,∴b2=a2-c2=6,则C的方程为+=1.故选D.
8.B [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义知|m-n|=2a①.在△F1PF2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2,所以4c2=m2+n2-mn②.延长PO至点Q,使|OQ|=|OP|,连接F1Q,F2Q,则四边形PF1QF2为平行四边形,且|PQ|=2×a=3a.在△PF1F2中,由余弦定理知4c2=m2+n2-2mn·cos∠F1PF2,在△PF1Q中,由余弦定理知9a2=m2+n2-2mncos∠PF1Q,因为∠F1PF2+∠PF1Q=π,所以cos∠F1PF2+cos∠PF1Q=0,可知2(m2+n2)=9a2+4c2,所以m2+n2=③.由①③得mn=a2+c2④,把③④代入②得4c2=-,化简得20c2=30a2,所以20a2+20b2=30a2,所以a=b,所以渐近线方程为x±y=0.故选B.
9.BC [解析] 因为椭圆Γ:+=1(a>0,b>0,a≠b)过点(1,1),所以+=1,且A(a,0),B(0,b).对于A,当b=3时,a=<2,但是c==>2,故A错误.对于B,直线AB的方程是+-1=0,则原点O到直线AB的距离为==1,故B正确.对于C,由x2+y2+xy=得,=(1-y2)≥0,从而有y2≤1,同理x2≤1,显然曲线x2+y2+xy=在直线x=±1,y=±1所围成的矩形内,椭圆Γ:+=1(a>0,b>0,a≠b)在直线x=±a,y=±b所围成的矩形内,由+=1得a>1,b>1,显然椭圆Γ和曲线x2+y2+xy=没有交点,故C正确.对于D,因为a≠b,所以+>,从而三角形OAB的面积S=>1,故D错误.故选BC.
10.AC [解析] 如图①,当∠MF1F2=时,MF1⊥F1F2,又F1(-,0),F2(,0),所以M(-,2),|F1F2|=2,则|MF2|==4,故∠F1MF2=,∠MF2F1=,又NM平分∠F1MF2,所以∠NMF2=,进而可得直线MN的斜率为-,故A正确.因为⊥,所以·==4,故B错误.如图②,延长F2N,MF1交于点H,由于NM平分∠F1MF2,⊥,所以△MNH≌△MNF2,故N是HF2的中点,|HM|=|F2M|,由双曲线的定义可得|F2M|-|F1M|=2,即|HM|-|F1M|=|HF1|=2,又O是F1F2的中点,所以|ON|=|HF1|=1,故C正确,D错误.故选AC.
11.ABD [解析] 如图所示,设△F1PF2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为A,B,C.对于A,由椭圆的方程+=1知a=5,b=4,c=3,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,易知|AF1|+|BF2|=|F1F2|=6,所以|PA|=|PB|=2,所以|IP|==,故A正确;对于B,=++=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)×1=(2a+2c)×1,又因为=×6×y0=×(10+6)×1,所以y0=,又因为P(x0,y0)为椭圆上一点且在第一象限,所以+=1,可得x0=,故B正确;对于C,|PF1|=a+x0=5+,所以|AF1|=|PF1|-|PA|=3+,所以|AF1|=|CF1|=3+,而|OF1|=3,所以I(,1),故C错误;对于D,·=×=-,故D正确.故选ABD.
12. [解析] 由题意可知2c=8,得c=4,所以k=20-16=4,所以椭圆方程为+=1,椭圆的右焦点为(4,0),当x=4时,+=1,得|y|=,所以|AB|=2|y|=.
13. [解析] 依题意,<=<1,双曲线的离心率e===.设t=,则t∈,设f(t)=,t∈,由复合函数的单调性可得,函数f(t)在区间上单调递增,故14.4 [解析] 如图所示,因为椭圆方程为+=1,所以a=2,b=,c=1,所以椭圆的右焦点是F(1,0),离心率e==.设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠x2,由椭圆的第二定义得e==,所以|MF|=2-x1,|NF|=2-x2,设P(m,n),由外角平分线定理得=,即=,化简得(x1-x2)(m-4)=0,可得m=4,所以点P的横坐标为4.(共33张PPT)
重点强化练（十四） 焦点三角形与
离心率
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.已知是椭圆在第一象限内的点，若以点及焦点,
为顶点的三角形的面积为1，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，由题知 ，
所以，又，所以 ，
将其代入，可得，所以 ，故选B.
√
2.如图，，是双曲线与椭圆的公共焦点，点
是，在第一象限内的交点，若 ，则下列选项正确
的是( )
A.双曲线的渐近线方程为
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程为
D.的面积为
√
[解析] 对于A，双曲线 的渐近
线方程为 ，故A错误；
对于B，由题意得,， ，
故，由双曲线的定义得 ，
故，设椭圆方程为 ，
则，即，解得，
又 ，所以椭圆的离心率为，故B错误；
对于C， ，
故椭圆的方程为 ，故C错误；
对于D，在 中，由余弦定理得
，
故，
所以 的面积为 ,故D正确.故选D.
3.椭圆的左、右焦点分别为,,为 上一点，则当
的面积最大时， ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，,，
设 ，则，
由得，时 的面积最大，
此时，（ 为坐标原点），
故，所以 .故选A.
√
4.[2024·东北三省三校四模]已知双曲线 的左、
右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，为 的内心，
记，，的面积分别为，， ，且满足
，则双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.3
√
[解析] 设的内切圆半径为，
则 ，， ，
所以，
又 , ,所以,即,所以 ,故选D.
5.已知曲线的离心率为方程 的根，则
满足条件的 的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由，得或 .
当时，曲线为椭圆.
当椭圆的焦点在轴上时, ,则,可得,符合题意；
当椭圆的焦点在 轴上时,,则,可得,符合题意.
当 时,曲线为双曲线,则,则,可得,符合题意.
综上, 有3个不同的取值.故选C.
6.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过
且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若 为等边三角形，
则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 椭圆的左、右焦点分别为
,,则直线,
由 消去得,则.
由 为等边三角形，得，即，
即 ，整理得，
又，所以 .故选A.
7.[2024·江西九江三模]已知椭圆 的左、右
焦点分别为,,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点 .若
线段的中点在轴上,的面积为,则 的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 为线段的中点（为坐标原点）,为线段 的中点,
,又轴,轴.
在中, ,设,则,
的面积为 , ,，
,即,,
即,,则 的方程为 .故选D.
8.[2024·浙江Z20联盟三联]设为原点，, 分别为双曲线
的左、右焦点，点在 上且满足
， ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设,，由双曲线的定义知 .
在中，由余弦定理得 ，
所以.
延长至点，使 ，连接，，
则四边形为平行四边形，且 .
在中，由余弦定理知 ，
在中，由余弦定理知 ，
因为 ，所以 ，
可知，所以 .
由①③得，
把③④代入②得 ，化简得，
所以，所以 ，
所以渐近线方程为 .故选B.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.已知椭圆过点 ，其右顶点为
，上顶点为 ，则以下说法正确的是( )
A.设是半焦距，则有
B.原点到直线 的距离为1
C.椭圆 和曲线 没有交点
D.三角形面积的取值范围是
√
√
[解析] 因为椭圆过点 ，
所以，且，.
对于A，当时， ，
但是，故A错误.
对于B,直线 的方程是，
则原点到直线的距离为 ，故B正确.
对于C,由得, ,从而有,
同理,显然曲线在直线 ,所围成
的矩形内，椭圆 在直线,
所围成的矩形内，由得, ，
显然椭圆 和曲线 没有交点，故C正确.
对于D，因为，所以，
从而三角形的面积 ，故D错误.故选 .
10.[2024·昆明模拟]已知,分别是双曲线 的左、右焦
点，是左支上一点，且在轴上方，过作 的平分线的垂
线，垂足为, 是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.若，则直线的斜率为
B.若，则
C.若 ，则
D.若 ，则
√
√
[解析] 如图①，当 时，，
又, ，所以，
，则 ,
故,，又平分，所以 ,
进而可得直线的斜率为，故A正确.
因为 ，所以, 故B错误.
如图②,延长,交于点 ,由于平分, ，
所以,
故是 的中点， ,
由双曲线的定义可得 ，
即，
又是 的中点,所以 ,故C正确,D错误.故选 .
11.设，分别为椭圆的左、右焦点，为
上一点且在第一象限，为的内心，且 的内切
圆半径为1，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 如图所示，设的内切圆与 ，
，的切点分别为，， .
对于A，由椭圆的方程知
,, ，
由椭圆的定义可得 ，
易知 ，所以，
所以，故A正确；
对于B，
，
又因为，
所以 ，又因为 为椭圆上一点且在第一象限，
所以，可得 ，故B正确；
对于C， ，
所以，
所以 ，
而，所以 ，故C错误；
对于D， ，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.已知椭圆 的焦距为8，过椭圆的一个焦点
作垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，则 _ ___.
[解析] 由题意可知，得，所以 ，
所以椭圆方程为，椭圆的右焦点为，
当 时，，得，所以 .
13.[2024·湖南九校二联] 已知椭圆 与双曲线
，椭圆的短轴长与长轴长之比大于 ，则双曲线离心率的
取值范围为_ ________.
[解析] 依题意， ,
双曲线的离心率.
设，则 ，设,，
由复合函数的单调性可得，函数 在区间上单调递增，
故，即 ，
故双曲线离心率的取值范围为 .
14.设为椭圆的右焦点，不垂直于轴且不过点 的直
线与交于，两点，在中，若 的外角平分线与直线
交于点，则点 的横坐标为___.
4
[解析] 如图所示，因为椭圆方程为 ，
所以,,,
所以椭圆的右焦点是 ，离心率.
设,, , 由椭圆的第二定义得 ，
所以,，
设 ，由外角平分线定理得，即 ，
化简得，可得，所以点 的横坐标为4.
1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.A 7.D 8.B
9.BC 10.AC 11.ABD
12. 13. 14.4