第八单元 解析几何
第49讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)0° (2)0°≤α<180° (3)正切值 tan α (4)
2.(1)(x2-x1,y2-y1) (1,k)
(2)①90° ②
3.y-y0=k(x-x0) y=kx+b
= +=1
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
【对点演练】
1.- 120° (1,-)(答案不唯一) [解析] 由题意知直线l的斜率k==-,即tan θ=-,则倾斜角θ=120°,直线l的一个方向向量为(1,-).
2.5 [解析] 因为kAB==,kBC==,所以=,解得m=5.
3.(-1,-2) [解析] 因为y+2=k(x+1),即y-(-2)=k[x-(-1)],所以该直线恒过点(-1,-2).
4.3x-2y=0或x+y-5=0 [解析] 当在两坐标轴上的截距为零时,直线方程为3x-2y=0;当在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.
5.②④ [解析] 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,①中说法正确;若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°,②中说法错误;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),③中说法正确;当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,④中说法错误.故填②④.
6.[-,0)∪ [解析] 当α∈时,k=tan α∈;当α∈时,k=tan α∈[-,0).综上可得k∈[-,0)∪.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据题图可知>α2>α3>0,α1为钝角,即得k2>k3>0,k1<0,进而得解.
AD [解析] 由题图知,>α2>α3>0,α1为钝角,故k2>k3>0,k1<0.故选AD.
变式题 (1)(-∞,-1]∪
(2)
[解析] (1)由题得直线ax+y-1=0的斜率为-a,且过定点P(0,1),由图可得,要使直线与线段AB总有公共点,需满足-a≥kPA或-a≤kPB.∵kPA=1,kPB=-,∴-a≥1或-a≤-,∴a≤-1或a≥.故a的取值范围为(-∞,-1]∪.
(2)直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的斜率为-,易得-1≤-<0,设直线的倾斜角为 α, 0≤α<π,则-1≤tan α<0,所以≤α<π.
例2 [思路点拨] (1)分直线经过原点和直线不经过原点两种情况,由截距式求得直线方程.(2)先由中点坐标公式求出点M,N的坐标,再由两点式求得直线MN的方程.
(1)C (2)C [解析] (1)由题意,当直线经过原点时,直线的方程为x+y=0;当直线不经过原点时,设直线的方程为+=1,则+=1,解得a=,此时直线的方程为+=1,即x+4y-30=0.故选C.
(2)由题知M(2,4),N(3,2),则中位线MN所在直线的方程为=,整理得2x+y-8=0.故选C.
变式题 (1)B (2)3x+y-6=0 (3)-1或- [解析] (1)∵直线l的一个方向向量为(1,-2),∴直线l的斜率k==-2,又∵直线l过点(-3,-2),∴直线l的方程为y+2=-2(x+3),即2x+y+8=0.故选B.
(2)因为|OA|=|AB|,所以∠AOB=∠ABO,即kAB=-kOA=-3,所以直线AB的方程为y-3=-3(x-1),即3x+y-6=0.
(3)当k=0时,y=1,不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时,令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=-2-,由题意可得-2-=2k+1,解得k=-1或k=-.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0,即y=kx+1+2k,直线l不经过第三象限,∴k≤0且1+2k≥0,解得-≤k≤0,故实数k的取值范围是.
例3 [思路点拨] 利用待定系数法,设出直线的截距式方程,根据题中的条件结合基本不等式,求得直线方程.
解:(1)设直线l:+=1(a>0,b>0),因为直线l经过点P(4,1),所以+=1.因为+=1≥2=,所以ab≥16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以S△AOB=ab≥8.
所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.
(2)因为+=1,a>0,b>0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.
变式题 BCD [解析] 对于A,因为直线l的方程可化为a(x-2)=y-2,所以直线l过定点A(2,2),故A错误.对于B,因为直线l过定点A(2,2),且kPA=2,kQA=0,所以a∈[0,2],故B正确.对于C,当直线l⊥PA时,点P到直线l的距离最大,最大距离为|PA|=,故C正确.对于D,当a=-1时,直线l的方程为x+y-4=0,设点P关于直线l的对称点为P'(m,n),则解得所以P'(0,1),所以(|PM|+|QM|)min=|P'Q|=,故D正确.故选BCD.第八单元 解析几何
第49讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.C [解析] 由题意可得直线方程为x=-1,所以直线的倾斜角为,故选C.
2.C [解析] 因为直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,所以该直线的斜率-<0,该直线在y轴上的截距->0,则a>0,b<0.故选C.
3.D [解析] 方法一:因为直线l的一个方向向量为n=(2,-1),所以直线l的斜率k==-,又直线l经过点A(1,0),所以直线l的方程为y-0=-(x-1),即x+2y-1=0,故选D.
方法二:设P(x,y)是直线l上的任意一点(不同于A),则=(x-1,y),因为直线l的一个方向向量为n=(2,-1),所以-(x-1)-2y=0,故直线l的方程为x+2y-1=0.
4.B [解析] 当α=β=时,tan α,tan β不存在,充分性不成立;若tan α=tan β,则α=β,必要性成立.故“α=β”是“tan α=tan β”的必要不充分条件.故选B.
5.ABC [解析] 当直线l经过原点时,其斜率k==2,故直线l的方程为y=2x,即2x-y=0;当直线l不过原点时,设直线l的方程为x-y=m或x+y=n,把点A的坐标代入可得1-2=m,1+2=n,即m=-1,n=3,故直线l的方程为x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.
6.(-∞,1] ∪
[解析] 因为直线l经过A(2,1),B(1, m2)两点,所以直线l的斜率k==1-m2≤1,所以l的斜率的取值范围为(-∞,1].设其倾斜角为α,α∈[0,π),则tan α≤1,所以其倾斜角的取值范围为∪.
7.1或-1 [解析] 令x=0,得y=k;令y=0,得x=-2k.所以所围成的三角形的面积S==k2=1,所以k=1或k=-1.
8.A [解析] 由题意知,直线y=(x-2)与x轴的交点为(2,0),其斜率为,倾斜角为60°,所以将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的倾斜角为120°,所以所求直线的斜率为-,所以所求直线的方程为y=-(x-2),即x+y-2=0.故选A.
9.D [解析] 直线l:y=k(x-2)+1经过定点P(2,1),∵kPA==-2,kPB==,直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,∴-2≤k≤,故选D.
10.ABD [解析] 直线l:x+y-3+m(2x-y)=0,令得∴直线l过定点(1,2),故A正确;若直线l过原点(0,0),则有-3=0,显然不成立,所以无论m取何值,直线l都不经过原点,故B正确;当m=时,直线l的方程为2x+y-3=0,令x=0,则y=6,即直线l与y轴交于它的正半轴,故C错误;当m=0时,直线l的方程为x+y-3=0,则直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是(3,0),(0,3),所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是×3×3=,故D正确.故选ABD.
11.BC [解析] 设直线AB的倾斜角为α,直线AC的倾斜角为β,因为直线AC的斜率为2,所以tan β=2,则<β<.依题意有α-β=或β-α=.当α-β=时,tan(α-β)==tan,即=1,解得tan α=-3,即直线AB的斜率为-3,C选项中的直线斜率符合;当β-α=时,tan(β-α)==tan,即=1,解得tan α=,即直线AB的斜率为,B选项中的直线斜率符合.故选BC.
12.x-y+2=0 [解析] 设△ABC的重心为G,垂心为H,则由重心坐标公式得xG==-,yG==,所以G.易知△ABC的边AC上的高所在直线的方程为x=0,直线BC:y=x+4,又A(2,0),所以△ABC的边BC上的高所在直线的方程为y=-x+2.由可得H(0,2).故直线GH的方程为y-2=x,即x-y+2=0.
13.x+2y-4=0 [解析] 由kx-y+1-2k=0,得k(x-2)+(1-y)=0,∴直线l恒过定点P(2,1).根据题意设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b),+=1,又+=1≥2,即ab≥8,当且仅当a=4,b=2时取等号,∴S△AOB=ab≥4,故当△AOB的面积最小时,直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.
14.A [解析] 方法一:由题知tan∠NAO=,∠MNO=45°,∠AON=∠MNO-∠NAO,由两角差的正切公式得tan∠AON=tan(∠MNO-∠NAO)==
=.故选A.
方法二:设直线与y轴的交点为B,过O作OC⊥AB于C,过N作ND⊥OA于D.因为点N在直线y=x+3上且在第二象限内,所以设N(-415.BD [解析] 直线倾斜角的取值范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin α+ycos α+1=1≠0,所以直线必不过原点,所以B正确;当α=时,直线的斜率不存在,所以C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和两坐标轴围成的三角形的面积S=·=≥1,所以D正确.故选BD.第八单元 解析几何
第49讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课标要求】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .
(2)范围:倾斜角α的取值范围是 ,即[0,π).
(3)直线的斜率定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .
(4)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= .
2.直线的方向向量与法向量
(1)直线方向向量的几种形式
条件 直线l的方向向量的表示
P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上两个不同点 =
直线l的斜率为k
(2)直线的方向向量与斜率的关系
一般地,已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则
①当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为 ;
②当u≠0时,直线l的斜率k= ,倾斜角θ满足tan θ= .
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含直线x=x0
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面内所有直线都适用
常用结论
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:
α 0° 30° 45° 60° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 1 k>0 不存在 k<0
2.特殊位置的直线方程
(1)经过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b;
(2)经过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a;
(3)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量为v=(A,B),一个方向向量为a=(-B,A).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,3),则直线l的斜率k= ,倾斜角θ= ,一个方向向量为 .
2.[教材改编] 已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m= .
3.[教材改编] 直线y+2=k(x+1)恒过点 .
题组二 常错题
◆索引:对截距概念理解有误;对倾斜角和斜率的关系掌握不牢;斜率的取值范围掌握不牢.
4.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
5.下列说法中错误的是 .(填序号)
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角;
②若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为90°;
③直线的倾斜角的取值范围是[0,π);
④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α.
6.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈∪,则k的取值范围是 .
直线的倾斜角和斜率
例1 (多选题)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列选项正确的是 ( )
A.k1B.k3C.α1<α3<α2
D.α3<α2<α1
总结反思
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.
(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,此时直线垂直于x轴.
(3)每条直线都有倾斜角,但不一定存在斜率.
变式题 (1)若直线ax+y-1=0与A(2,3),B(-3,2)两点的连线总有公共点,则实数a的取值范围是 .
(2)直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是 .
求直线的方程
例2 (1)过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线方程为 ( )
A.x-y=0
B.x+4y-30=0
C.x+y=0或x+4y-30=0
D.x+y=0或x-4y-30=0
(2)已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为 ( )
A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0
C.2x+y-8=0 D.2x-y+8=0
总结反思
(1)求直线的方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.
(2)在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).
(3)最后结果写成一般式或斜截式.
变式题 (1)若直线l过点(-3,-2),且l的一个方向向量为(1,-2),则直线l的方程为 ( )
A.2x+y-8=0
B.2x+y+8=0
C.2x-y+8=0
D.2x-y-6=0
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知△AOB为等腰三角形,|OA|=|AB|,A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为 .
(3)已知直线l:kx-y+1+2k=0,若直线l在两坐标轴上的截距相等,则k的值为 ;若直线l不经过第三象限,则实数k的取值范围是 .
直线方程的综合应用
例3 如图,O为坐标原点,过点P(4,1)作直线l,分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
总结反思
(1)求参数的值或范围,注意点在直线上,则点的坐标满足直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
(2)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值.
(3)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.
变式题 (多选题)已知点P(3,4),Q(5,2),直线l:ax-y-2a+2=0(a∈R),则下列说法中正确的有 ( )
A.直线l过定点(1,2)
B.若直线l与线段PQ有交点,则a∈[0,2]
C.点P到直线l的最大距离为
D.若a=-1,M为直线l上一点,则|PM|+|QM|的最小值为第八单元 解析几何
第49讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(时间:45分钟)
1.直线x=-tan的倾斜角是 ( )
A.0 B.
C. D.
2.若直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,则 ( )
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.a>0,b<0
D.a>0,b>0
3.已知直线l的一个方向向量为n=(2,-1),且直线l经过点A(1,0),则直线l的方程为 ( )
A.x-y-1=0
B.x+y-1=0
C.x-2y-1=0
D.x+2y-1=0
4.直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则“α=β”是“tan α=tan β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选题)若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为 ( )
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
C.2x-y=0
D.x-y-1=0
6.若直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点,则直线l的斜率的取值范围为 ,其倾斜角的取值范围为 .
7.已知直线y=x+k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,则实数k的值为 .
8.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的方程是 ( )
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y+2=0
D.x-y-2=0
9.已知点A(1,3),B(-2,-1),若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是 ( )
A.k≥
B.k≤-2
C.k≥或k≤-2
D.-2≤k≤
10.(多选题)已知直线l:x+y-3+m(2x-y)=0,其中m为实常数,则下列说法正确的是 ( )
A.直线l过定点
B.无论m取何值,直线l都不经过原点
C.当m>0时,直线l与y轴交于它的负半轴
D.当m=0时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积是
11.(多选题)已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中,且直线AC:2x-y+1=0,则直线AB的方程可能为 ( )
A.x+3y+1=0
B.x-3y+1=0
C.3x+y+1=0
D.3x-y+1=0
12.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为 .
13.直线l:kx-y+1-2k=0分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,则当△AOB的面积最小时,直线l的方程为 .
14.如图,直线y=x+3交x轴于点A,将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点M,N恰好落在直线y=x+3上,若点N在第二象限内,则tan∠AON的值为 ( )
A. B.
C. D.
15.(多选题)已知直线xsin α+ycos α+1=0(α∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.直线的倾斜角是π-α
B.无论α如何变化,直线都不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和两坐标轴围成的三角形的面积不小于1(共71张PPT)
第49讲 直线的倾斜角与斜率、直线
的方程
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位
置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的
过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式
（点斜式、两点式及一般式）.
◆ 知识聚焦 ◆
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角定义:在平面直角坐标系中，当直线与 轴相交时,
我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角 叫作
直线的倾斜角.特别地,当直线与 轴平行或重合时,我们规定它的倾
斜角为___.
（2）范围：倾斜角 的取值范围是______________,即 .
（3）直线的斜率定义:一条直线的倾斜角 的________叫作
这条直线的斜率,该直线的斜率 ______.
（4）过两点的直线的斜率公式：过两点 ,
的直线的斜率公式为 _ _____.
正切值
2.直线的方向向量与法向量
（1）直线方向向量的几种形式
条件
______
（2）直线的方向向量与斜率的关系
一般地，已知为直线 的一个方向向量，则
①当时，直线 的斜率不存在，倾斜角为____；
②当时，直线的斜率_ _，倾斜角 满足 __.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 __________________
斜截式 ___________
两点式 _ ____________
截距式 __________ 不含垂直于坐标轴和过原点
的直线
一般式 ________________________ _______________ 平面内所有直线都适用
常用结论
1.直线的倾斜角 和斜率之间的对应关系:
0 1 不存在
2.特殊位置的直线方程
（1）经过点且平行于轴的直线方程为 ；
（2）经过点且平行于轴的直线方程为 ；
（3）过原点且斜率为的直线方程为 .
3.直线的一个法向量为 ，一
个方向向量为 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知直线经过点与,则直线 的斜
率______，倾斜角 ______，一个方向向量为_______________
__________.
（答案不唯一）
[解析] 由题意知直线的斜率,即 ,
则倾斜角，直线的一个方向向量为 .
2.［教材改编］ 已知，， 三点在同一条直线
上，则 ___.
5
[解析] 因为，，
所以 ，解得 .
3.［教材改编］ 直线 恒过点_________.
[解析] 因为，即 ，
所以该直线恒过点 .
题组二 常错题
◆ 索引：对截距概念理解有误；对倾斜角和斜率的关系掌握不牢;
斜率的取值范围掌握不牢.
4.过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________
______________.
或
[解析] 当在两坐标轴上的截距为零时,直线方程为 ;
当在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为,
则 ,解得,所以直线方程为 .
5.下列说法中错误的是______.（填序号）
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角；
②若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 ；
③直线的倾斜角的取值范围是 ；
④若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 .
②④
[解析] 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,①中说法正确；
若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为 ,②中说法错误；
直线的倾斜角的取值范围是 ,③中说法正确；
当直线的倾斜角为 时,直线的斜率不存在,④中说法错误.故填②④.
6.若直线的斜率为,倾斜角为 ,且，则 的取值
范围是_ ________________.
[解析] 当时,;
当 时,.
综上可得 .
探究点一 直线的倾斜角和斜率
例1 （多选题）如图,直线,,的斜率分别为 ,
,,倾斜角分别为,, ,则下列选项正确的是
( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］ 根据题图可知， 为钝角，即得
， ，进而得解.
√
√
[解析] 由题图知,,为钝角,故, .故
选 .
[总结反思]
（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率的取值
范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函
数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角 的取值范围.
（2）注意倾斜角的取值范围是,若直线的斜率不存在,则直线的
倾斜角为,此时直线垂直于轴.
（3）每条直线都有倾斜角，但不一定存在斜率.
变式题（1）若直线与, 两点的连线总有
公共点，则实数 的取值范围是_ _________________.
[解析] 由题得直线的斜率为 ，
且过定点 ，由图可得，要使直线与线段
总有公共点，需满足 或
,， 或 ，
或.故的取值范围为 .
（2）直线 的倾斜角的取值范围是____
___.
[解析] 直线的斜率为 ，
易得，设直线的倾斜角为 ， ，
则，所以 .
探究点二 求直线的方程
例2（1）过点且在轴上的截距是在 轴上的截距的4倍的直
线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
［思路点拨］分直线经过原点和直线不经过原点两种情况，由截距
式求得直线方程.
√
[解析] 由题意,当直线经过原点时,直线的方程为 ;
当直线不经过原点时,设直线的方程为,则,
解得 ,此时直线的方程为,即 .故选C.
（2）已知的三个顶点为,,,为 的中点,
为的中点,则中位线 所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］先由中点坐标公式求出点， 的坐标，
再由两点式求得直线 的方程.
[解析] 由题知,,则中位线 所在直线的方程为
,整理得 .故选C.
√
[总结反思]
（1）求直线的方程一般有以下两种方法:
①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.
②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定
的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.
（2）在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用
条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用
（若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判
断截距是否为零）.
（3）最后结果写成一般式或斜截式.
变式题（1）若直线过点，且的一个方向向量为 ，
则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线的一个方向向量为，
直线 的斜率，又 直线过点，
直线 的方程为，即 .故选B.
√
（2）在平面直角坐标系中，已知 为等腰三角形，
，，点在轴的正半轴上，则直线 的方程为
_________________.
[解析] 因为，所以 ，即，
所以直线的方程为 ，即 .
（3）已知直线，若直线 在两坐标轴上的截
距相等，则的值为_________ ；若直线不经过第三象限，则实数
的取值范围是________ .
或
[解析] 当时，，不符合直线 在两坐标轴上的截距相等.
当时，令，得，令，得 ，
由题意可得，解得或.
直线 的方程为，即,
直线 不经过第三象限，且，解得，
故实数 的取值范围是 .
探究点三 直线方程的综合应用
例3 如图，为坐标原点，过点作直线，分别交轴、 轴的
正半轴于点， .
（1）当的面积最小时，求直线 的方程；
解：设直线，因为直线 经过点，
所以 .因为 ，所以 ，
当且仅当，时等号成立，所以 ．
所以当，时，的面积最小，
此时直线 的方程为，即 .
［思路点拨］ 利用待定系数法，设出直线的截
距式方程，根据题中的条件结合基本不等式，
求得直线方程．
（2）当取最小值时，求直线 的方
程.
解：因为，，，
所以 ，
当且仅当，时等号成立，
所以当 取最小值时，直线的方程为 .
[总结反思]
（1）求参数的值或范围，注意点在直线上，则点的坐标满足直线的方
程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
（2）求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用
基本不等式（或函数）求解最值.
（3）求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中, 的关
系,将问题转化为关于（或 ）的函数,借助函数的性质解决问题.
变式题 （多选题）已知点,,
直线 ,则下列说法中正确的有 ( )
A.直线过定点
B.若直线与线段有交点,则
C.点到直线的最大距离为
D.若,为直线上一点,则的最小值为
√
√
√
[解析] 对于A,因为直线 的方程可化为,
所以直线过定点 ,故A错误.
对于B,因为直线过定点,
且 , ,所以 ,故B正确.
对于C,当直线时,点到直线 的距离最大,
最大距离为,故C正确.
对于D,当时,直线 的方程为，
设点关于直线 的对称点为 ,
则解得所以 ,
所以 ,故D正确.故选 .
【备选理由】例1考查直线的倾斜角和斜率；
例1 ［配例1使用］
（1）直线,与 轴围成的三角形是等腰三角形,
写出满足条件的 的两个可能取值:_ _______________________.
和（答案不唯一）
[解析] 设直线,的倾斜角分别为 , ,则, .
当围成的等腰三角形底边在轴上时, ,
则;
当围成的等腰三角形底边在直线 上时, ,
或 , ,
则,
整理得 ,解得;
当围成的等腰三角形底边在直线上时, ,
则.
所以的可能取值为 ,,, .
（2）已知，，若直线 上存在点
，使得，则 的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由变形可得，
故直线 恒过定点，若直线上存在点，
使得 ，则直线与线段 有交点即可.
当直线过点时，其斜率为，对应的倾斜角为；
当直线 过点时，其斜率为，对应的倾斜角为.
故直线 的倾斜角的取值范围为 .故选A.
例2 ［配例2使用］ （多选题）已知直线 的一个方向向量为
，且经过点 ，则下列结论中正确的是( )
A.的倾斜角为 B.在轴上的截距等于
C.与直线垂直 D.与直线 平行
√
√
【备选理由】例2考查求直线方程的问题；
[解析] 因为直线的一个方向向量为，
所以直线 的斜率，设直线的倾斜角为，
则 ，所以，所以A错误；
因为直线经过点，
所以直线 的方程为，令，
得，所以在 轴 上的截距为，所以B错误；
因为直线 的斜率为，直线的斜率为，
，所以 与直线 垂直，所以C正确；
因为直线的斜率为，直线的斜率也为 ，
且两直线在两坐标轴上的截距不相等，故两直线平行，所以D正确.
故选 .
例3 ［补充使用］ [2022·新高考全国Ⅱ卷] 图①是中国古代建筑中的
举架结构，,,, 是桁，相邻桁的水平距离
称为步，垂直距离称为举，图②是某古代建筑屋顶截
面的示意图，其中, , ,是举，,,
, 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
,,,.
已知,, 成公差为0.1的等差数列，
且直线的斜率为，则 ( )
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
√
【备选理由】例3考查与直线斜率有关的实际问题.
[解析] 设,则, ,
,.由题意知，点的坐标为 ,
即，所以,所以 ,故选D.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.直线 的倾斜角是( )
A.0 B. C. D.
[解析] 由题意可得直线方程为，
所以直线的倾斜角为 ，故选C.
√
2.若直线 经过第一、二、四象限,则( )
A., B., C., D.,
[解析] 因为直线 经过第一、二、四象限,所以该直线
的斜率,该直线在轴上的截距,则, .故选C.
√
3.已知直线的一个方向向量为，且直线经过点 ，
则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：因为直线的一个方向向量为 ，所以直线
的斜率，又直线经过点，所以直线 的方程为
，即 ，故选D.
方法二：设是直线上的任意一点（不同于 ），则
，因为直线的一个方向向量为 ，所以
，故直线的方程为 .
√
4.直线，的倾斜角分别为 ， ，则“ ”是“ ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时， ， 不存在，充分性不成立；
若 ，则 ，必要性成立.
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
√
5.（多选题）若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相
等，则直线 的方程可能为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当直线经过原点时，其斜率，
故直线 的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线 的方程为或，
把点的坐标代入可得 ，，即，，
故直线的方程为 或.故选 .
√
√
√
6.若直线经过，两点，则直线 的斜率的取值范围为
________，其倾斜角的取值范围为_ ____________.
[解析] 因为直线经过，两点，
所以直线 的斜率，
所以的斜率的取值范围为 .
设其倾斜角为 ，，则 ，
所以其倾斜角的取值范围为 .
7.已知直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,则实数
的值为_______.
1或
[解析] 令,得;令,得 .
所以所围成的三角形的面积,
所以或 .
◆ 综合提升 ◆
8.将直线绕点按逆时针方向旋转 后所得直线
的方程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知，直线与轴的交点为 ，
其斜率为，倾斜角为 ，所以将直线绕点 按
逆时针方向旋转 后所得直线的倾斜角为 ，
所以所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为 ，
即 .故选A.
√
9.已知点，，若直线与线段 相
交，则 的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.
[解析] 直线经过定点 ，
，，
直线 与线段相交， ，故选D.
√
10.（多选题）已知直线，其中 为实
常数，则下列说法正确的是( )
A.直线 过定点
B.无论取何值，直线 都不经过原点
C.当时，直线与 轴交于它的负半轴
D.当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
√
√
√
[解析] 直线，
令 得 直线过定点，故A正确；
若直线过原点 ，则有，显然不成立，
所以无论取何值，直线 都不经过原点，故B正确；
当时，直线的方程为，
令 ，则，即直线与轴交于它的正半轴，故C错误；
当 时，直线的方程为，则直线与轴、 轴的
交点坐标分别是，，所以直线 与两坐标轴围成的三角形
的面积是，故D正确.故选 .
11.（多选题）已知正方形在平面直角坐标系 中，且直线
，则直线 的方程可能为( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 设直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，
因为直线的斜率为2，所以，则.
依题意有 或.
当时， ，即，
解得，即直线的斜率为 ，C选项中的直线斜率符合；
当时， ，即，
解得,即直线的斜率为 ,B选项中的直线斜率符合.故选 .
12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次
位于同一条直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知
的顶点，， ，则其欧拉线方程为_______
________.
[解析] 设的重心为，垂心为 ，则由重心坐标公式得
,，所以.
易知 的边上的高所在直线的方程为,直线，
又 ，所以的边上的高所在直线的方程为 .
由可得.
故直线的方程为 ，即 .
13.直线分别交轴、轴的正半轴于， 两
点，为坐标原点，则当的面积最小时，直线 的方程为_____
_________.
[解析] 由,
得, 直线 恒过定点.
根据题意设直线的方程为 ，
则,,,又,即 ,
当且仅当,时取等号,,
故当 的面积最小时,直线的方程为,即 .
◆ 能力拓展 ◆
14.如图，直线交轴于点 ，将一块等腰直角三角形纸板
的直角顶点置于原点，另两个顶点，恰好落在直线
上，若点在第二象限内，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题知 ,
， ，
由两角差的正切公式得
.故选A.
方法二：设直线与轴的交点为,
过作于,过 作于.
因为点在直线 上且在第二象限内，
所以设，则 ,，
又，，即 ，，所以.
在 中,由三角形的面积公式得 ,
所以.
在中， ， ，
所以，得.
在 中， ，
即 ，可得，
所以, ，则 .故选A.
15.（多选题）已知直线 ,则下列说法
正确的是( )
A.直线的倾斜角是
B.无论 如何变化,直线都不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和两坐标轴围成的三角形的面积不
小于1
√
√
[解析] 直线倾斜角的取值范围为,而 ,所以A不正确;
当时, ,
所以直线必不过原点,所以B正确;
当 时,直线的斜率不存在,所以C不正确;
当直线和两坐标轴都相交时,它和两坐标轴围成的三角形的面积
,所以D正确.故选 .
【知识聚焦】
1.(1)0° (2)0°≤α<180° (3)正切值 tan α (4) 2.(1)(x2-x1,y2-y1) (1,k) (2)①90° ②
3.y-y0=k(x-x0) y=kx+b = +=1 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
【对点演练】
1.- 120° (1,-)(答案不唯一) 2.5 3.(-1,-2) 4.3x-2y=0或x+y-5=0 5.②④ 6.[-,0)∪
课堂考点探究
例1 AD 变式题 (1)(-∞,-1]∪ (2) 例2 (1)C (2)C 变式题 (1)B (2)3x+y-6=0
(3)-1或- 例3 (1)x+4y-8=0 (2)x+2y-6=0 变式题 BCD
教师备用习题
例1(1) 和（答案不唯一） (2)A 例2 CD 例3 D
基础热身
1.C 2.C 3.D 4.B 5.ABC 6.(-∞,1] ∪ 7.1或-1
综合提升
8.A 9.D 10.ABD 11.BC 12. x-y+2=0 13. x+2y-4=0
能力拓展
14.A 15.BD
