第51讲 圆的方程
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) r
x2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(3)(x0-a)2+(y0-b)2【对点演练】
1.(1,2) 1 [解析] 由x2+y2-2x-4y+4=0,得(x-1)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(1,2),半径为1.
2.(x-1)2+(y-1)2=2 x2+y2-2x-2y=0 [解析] ∵P(1,1)为圆心,且圆P经过原点,∴半径r==,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,化为一般方程,可得x2+y2-2x-2y=0.
3.(x+3)2+(y+2)2=25 [解析] 方法一:设圆心C的坐标为(a,b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0①.因为A,B是圆上两点,所以|CA|=|CB|,根据两点间的距离公式,有=
,即a-3b-3=0②.由①②可得a=-3,b=-2,所以圆心C的坐标是(-3,-2),圆的半径r=|AC|==5,所以所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
方法二:如图,设线段AB的中点为D.由A,B两点的坐标分别为(1,1),(2,-2),可得点D的坐标为,直线AB的斜率kAB==-3,因此线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=,即x-3y-3=0.由垂径定理可知,圆心C也在线段AB的垂直平分线上,由解得
所以圆心C的坐标是(-3,-2),圆的半径r=|AC|==5,所以所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
4.(-3,-2)∪(2,+∞) [解析] 由题意得解得-32,故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞).
5.(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4 [解析] 由题意知圆心的坐标为(2,-2)或(-2,2),所以圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4.
6.-4 [解析] 因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.因为y∈[-1,1],所以当y=-1时,x2+4y取得最小值-4.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:根据圆心M在直线2x+y-1=0上,设出圆心M的坐标,利用圆上的点到圆心的距离相等构造关于点M的坐标的方程求解;思路二:利用圆心在弦的垂直平分线上求解.(2)选其中的三点,利用待定系数法即可求出圆的方程.
(1)(x-1)2+(y+1)2=5 (2)x2+y2-4x-6y=0 [解析] (1)方法一:∵点M在直线2x+y-1=0上,∴可设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到点(3,0),(0,1)的距离相等,∴=,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,∴M(1,-1),☉M的半径R==,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二:由题可知,M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线y=3x-4与直线2x+y-1=0的交点,即M(1,-1),则☉M的半径R=,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)若选(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把这三点的坐标分别代入可得解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.同理,若选(0,0),(4,0),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.若选(0,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-y=0.若选(4,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-x-2y-=0.所以满足条件的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
变式题 (1)x2+y2-2x-4y=0
(2)(x-1)2+(y+2)2=2
[解析] (1)方法一:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),因为圆C过点O(0,0),A(2,0),B(0,4),所以解得所以圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y=0.
方法二:已知圆C过点O(0,0),A(2,0),B(0,4),则AB为圆C的直径,故圆心C的坐标为(1,2),圆C的半径r==,故圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5,即x2+y2-2x-4y=0.
(2)∵点A(2,-1)在直线x+y=1上,∴圆与直线x+y=1相切于点A,设圆心为S,则kSA=1,∴直线SA的方程为y+1=x-2,即y=x-3,与y=-2x联立,解得x=1,y=-2,即圆心为S(1,-2),∴半径r==,故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
例2 [思路点拨] 根据的几何意义,结合图形可求得的最值,由此判断A,B;根据x2+y2的几何意义求其最值,即可判断C;利用三角换元,结合正弦函数的性质求x+y的最大值,即可判断D.
ABD [解析] 由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,设圆心为C,作出圆C如图所示.表示点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则=1,解得k=0或k=,所以∈,所以=,=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=,所以x2+y2的最大值为6+2,故C错误;因为x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,所以可设x=2+cos θ,y=1+sin θ,则x+y=2+cos θ+1+sin θ=3+sin,所以x+y的最大值为3+,故D正确.故选ABD.
变式题 解:将方程x2+y2-8x-6y+21=0变形可得(x-4)2+(y-3)2=4,则点(x,y)是以点C(4,3)为圆心,2为半径的圆上任意一点.
(1)根据题意,当x≠3时,p=的几何意义为圆上任意一点与点(3,-1)连线的斜率.设Q(3,-1),过点Q的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,则点C到切线的距离d==2,解得k=,故p的取值范围为∪.
(2)由s=2x-y,得2x-y-s=0,该方程表示一条直线,易知当直线与圆相切时,s取得最大值和最小值.当直线与圆相切时,=2,解得s=5-2或s=5+2,则s的最小值为5-2,最大值为5+2.
(3)w=x2+y2-10x+2y+26=(x-5)2+(y+1)2,设t=,则t的几何意义为圆C上任意一点与点(5,-1)间的距离,设N(5,-1),则|CN|=,则有-2≤t≤+2,所以21-4≤w≤21+4,故w的取值范围为[21-4,21+4].
例3 [思路点拨] (1)思路一:设P(3+cos θ,4+sin θ),根据题中条件及辅助角公式可得m的最大值;思路二:根据圆心C到原点O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到原点O的距离的最大值为6,再由∠APB=90°,可得|OP|=m,可得m≤6,从而得到答案.(2)先求出向量的坐标表示,再利用向量数量积的坐标公式及圆的方程求解.
(1)B (2)12 [解析] (1)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),∵点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上,∴可设∵∠APB=90°,∴·=0,可得(x0+m)(x0-m)+=0,∴m2=+=26+6cos θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ),∴4≤m≤6,∴m的最大值为6.故选B.
方法二:设O为坐标原点,连接OP,OC,在Rt△APB中,原点O为斜边的中点,|AB|=2m(m>0),∴m=|OP|≤|OC|+r(r为圆C的半径),又C(3,4),r=1,∴|OP|≤6,即m≤6.故选B.
(2)由题意知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,又点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程x2+(y-3)2=1,易知2≤y≤4,故当y=4时,·取得最大值,最大值为6×4-12=12.
变式题 B [解析] 方法一:易得|PA|2+|PB|2=4,可得≤=2,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.故选B.
方法二:当P与A或B重合时,|PA|+|PB|=2;当P不与A和B重合时,易得|PA|2+|PB|2=4,设∠PAB=θ,|PA|=2cos θ,|PB|=2sin θ,则|PA|+|PB|=2cos θ+2sin θ=2sin,所以(|PA|+|PB|)max=2.故选B.
例4 [思路点拨] (1)设动点P的坐标为(x1,y1),根据已知条件建立方程,化简求解;(2)利用相关点法求解.
解:(1)设动点P的坐标为(x1,y1),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|,所以=·,
整理得+=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以=2,即(x-x0,y-y0)=2(6-x,-y),解得又点A在轨迹C上运动,所以(3x-12)2+(3y)2=2,化简得y2+(x-4)2=,所以点Q的轨迹方程为y2+(x-4)2=.
变式题 (1)BCD [解析] 设P(x,y),由条件可得=2,即x2+y2-8x=0,所以C的方程为(x-4)2+y2=16,故A错误;由对称性可知存在D(12,0),E(6,0)满足条件,故B正确;·=(-4-x,-y)·(-x,-y)=x2+4x+y2=12x,·=(2-x,-y)·(-x,-y)=x2-2x+y2=6x,||==4,||==2 ,所以=,即cos∠APO=cos∠BPO,所以∠APO=∠BPO,故C正确;连接BQ,则kBQ=-3,所以线段BQ的垂直平分线l的斜率k=,BQ的中点坐标为(1,3),则线段BQ的垂直平分线l的方程为y-3=(x-1),即x-3y+8=0,圆C的圆心(4,0)到直线l的距离d=<4,所以直线l与圆C相交,故在C上存在点M,使得|MQ|=|MB|,故D正确.故选BCD.
(2)解:①设线段AP的中点为M(x,y),
由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
②设线段PQ的中点为N(x,y),连接BN,在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,OP,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.第51讲 圆的方程
1.C [解析] 将圆x2+y2+4x-6y-3=0的方程化成标准形式,得(x+2)2+(y-3)2=16,∴圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心为(-2,3),半径为4.故选C.
2.D [解析] 由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0,b>0,r>0),则即解得所以圆C的方程为(x+)2+(y-)2=2.故选D.
3.A [解析] 方法一:因为方程x2+8x+y2-6y+m=0表示圆,所以64+36-4m>0,得m<25.令y=0,得x2+8x+m=0,则Δ=64-4m≥0,得m≤16,令x=0,得y2-6y+m=0,则Δ'=36-4m≥0,得m≤9,所以m≤9.故选A.
方法二:将圆的方程化成标准方程,即为(x+4)2+(y-3)2=25-m,则圆心为(-4,3),半径为,由题知解得m≤9.故选A.
4.D [解析] 设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则可得
则△ABC外接圆的方程为x2+(y-1)2=4.故选D.
5.C [解析] 方法一:方程x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9.设x-y=t,即x-y-t=0,则当直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9相切时,t取得最大值或最小值,此时=3,解得t=1+3或t=1-3,所以x-y的最大值为1+3.故选C.
方法二:方程x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=9,由圆的参数方程可设(θ为参数),所以x-y=1+3(cos θ-sin θ)=1+3cos≤1+3,当θ=-时,等号成立.故选C.
6.(3,5) [解析] 由方程(x-1)2+(y-2)2=5-a表示圆,得5-a>0,所以a<5,又过点P(0,1)可作圆(x-1)2+(y-2)2=5-a的两条切线,所以点P(0,1)在圆外,所以(0-1)2+(1-2)2>5-a,解得a>3.所以a的取值范围是(3,5).
7.3 [解析] 因为|PO|=1,所以P是单位圆上的点,又A(t,4),其中t∈R,所以A是直线y=4上的点,由图可知,|PA|的最小值为4-1=3.
8.A [解析] 因为直线l是圆的一条对称轴,所以圆的圆心必定在直线l上,将圆的一般方程化为标准方程,即为(x-1)2+(y-1)2=2,圆心为(1,1),将圆心坐标代入直线l的方程,得a+b=1,则ab≤==,当且仅当a=b=时取等号,故ab的最大值为.故选A.
9.D [解析] 由题意可知,圆C:x2+y2=1的圆心为C(0,0),半径r=1,且a>0.由PA⊥PB,可知点P的轨迹是以线段AB的中点M(4,0)为圆心,半径R=a的圆,又点P在圆C:x2+y2=1上,可知圆C与圆M有且仅有一个公共点,则|CM|=r+R或|CM|=|r-R|,即4=1+a或4=|1-a|,解得a=3或a=5.故选D.
10.ABD [解析] 圆心Ck的坐标为(k,k),圆心Ck始终在直线y=x上,所以A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,因为Δ1=36-40=-4<0,所以2k2-6k+5=0无实数根,所以B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,因为Δ2=16-8=8>0,所以该方程有两个不相等实根,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,所以C错误;由圆Ck的半径为2,得圆Ck的面积为4π,所以D正确.故选ABD.
11.BC [解析] 设点P(x,y),依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25.对于A,25=[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]≥(x+2)2(x-2)2=(x2-4)2,当且仅当y=0时取等号,解不等式(x2-4)2≤25,得-3≤x≤3,即点P的横坐标的取值范围是[-3,3],故A错误;对于B,[(x2+y2+4)+4x][(x2+y2+4)-4x]=25,则x2+y2+4=,因为0≤x2≤9,所以|OP|==∈[1,3],故B正确;对于C,△PMN的面积S=|PM||PN|sin∠MPN≤|PM||PN|=,当且仅当∠MPN=90°时取等号,当∠MPN=90°时,点P在以线段MN为直径的圆x2+y2=4上,由解得所以△PMN的面积的最大值为,故C正确;对于D,点(3,0)在动点P的轨迹上,当点P为此点时,|PM|+|PN|=5+1=6,故D错误.故选BC.
12.10 2 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,其中弧MN为圆拱桥部分,O为圆拱所在圆的圆心,则|MN|=16,设圆拱所在圆的半径为r,则|OF|=r-4.连接ON,在Rt△OFN中,|OF|2+|FN|2=|ON|2,即(r-4)2+=r2,解得r=10,所以圆拱所在圆的方程为x2+y2=100.设图中矩形ABDC为船的截面,则|AB|=12,设B(6,y)(y>0),将点B的坐标代入圆的方程得36+y2=100,可得y=8,所以船要通过拱桥,船体的高度不能超过8-6=2(m).
13.[10,30] [解析] 令ω=|3x-4y+8|+|3x-4y+12|=5=5(d1+d2),其中d1,d2分别表示圆O:x2+y2=1上任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+8=0和l2:3x-4y+12=0的距离.因为圆心O到直线l1:3x-4y+8=0和l2:3x-4y+12=0的距离分别为h1==,h2==,所以-1≤d1≤+1且-1≤d2≤+1,即≤d1≤且≤d2≤,所以10≤5(d1+d2)≤30,即|3x-4y+8|+|3x-4y+12|的取值范围是[10,30].
14.3 [解析] 曲线x4+y2=2的参数方程为(θ为参数),该曲线是关于原点(0,0)中心对称的图形,所以曲线x4+y2=2上的点(x,y)到原点的距离d为直径的一半,而d===
=
,当cos θ=时,d取得取大值,所以所求直径为3.
15.解:(1)设M(x,y),由|MA|=|MB|,即|MA|2=2|MB|2,得(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],化简可得x2+y2-12x+4=0,即为点M的轨迹方程,它表示圆心为(6,0),半径为4的圆.
(2)设P(x1,y1),则+-12x1+4=0,设Q(t,0)(t≠0),则===,要使为定值,则=,解得t=0(舍去)或t=,所以==,故存在定点Q,使得为定值.
16.A [解析] 设等边三角形ABC的边长为a,则其面积S=a2=9,可得a=6.以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.由M为△ABC的内心,得M在OC上,且OM=OC,则A(-3,0),B(3,0),C(0,3),M(0,),由于|MN|=1,则点N在以M为圆心,1为半径的圆上.设N(x,y),则x2+(y-)2=1,即x2+y2-2y+2=0,且-1≤y≤1+,又=(-3-x,-y),=(3-x,-y),所以·=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2y-11≥2×(-1)-11=-5-2.故选A.
17.1 4 [解析] 由已知可得(x0-1)2+=3,则-≤x0-1≤,得1-≤x0≤1+,且有=-+2x0+2,所以|PA|·|PB|===2·≤·(1+x0+3-x0)=4,当且仅当1+x0=3-x0,即x0=1时取等号.因为|PA|2=6+6x0,|PB|2=6-2x0,所以|PA|2+3|PB|2=24.设|PA|=2cos θ,|PB|=2sin θ,其中0<θ<,则|PA|+|PB|=2cos θ+2sin θ=4sin,因为0<θ<,所以<θ+<,当θ+=,即θ=时,|PA|+|PB|取得最大值4,此时|PA|2=6+6x0=24cos2=18,可得x0=2,符合题意.第51讲 圆的方程
【课标要求】 1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能够根据不同的情境,建立圆的方程.
1.圆的定义及方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (r>0) 圆心为 , 半径为
一般方程 (D2+E2-4F>0) 圆心为,半 径为
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:
(1)|MC|>r M在圆外,即 M在圆外;
(2)|MC|=r M在圆上,即 M在圆上;
(3)|MC|常用结论
1.常见圆的方程的设法:
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0
过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0
圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0
圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0
2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
4.圆心在任一弦的垂直平分线上.
5.圆心到圆上任一点的距离等于半径.
6.平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆.
题组一 常识题
1.[教材改编] 圆x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为 ,半径为 .
2.[教材改编] 圆心为P(1,1)且过原点的圆的标准方程是 ,一般方程为 .
3.[教材改编] 已知圆心为C的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,且圆心C在直线l:x-y+1=0上,则此圆的标准方程为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视方程表示圆的条件;对圆心位置可能的情况考虑不全;忽略圆的方程中变量的取值范围.
4.已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为 .
5.半径为2,圆心的横、纵坐标互为相反数且与x轴、y轴都相切的圆的方程为 .
6.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2+4y的最小值为 .
求圆的方程
例1 (1)[2022·全国甲卷] 设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
(2)[2022·全国乙卷] 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
总结反思
求圆的方程有两种方法:
(1)几何法:通过研究圆的性质,直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径),从而得到方程.常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直于切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆的圆心三点共线.
(2)待定系数法:①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程;②利用条件列出关于a,b,r(或D,E,F)的方程组;③解出a,b,r(或D,E,F),代入标准方程(或一般方程).选择方程的形式的关键:若已知圆上三点,则选用圆的一般方程;若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程.
变式题 (1)[2024·临汾二模] 已知圆C过点O(0,0),A(2,0),B(0,4),则圆C的一般方程为 .
(2)圆心在直线y=-2x上,经过点A(2,-1)且与直线x+y=1相切的圆的标准方程为 .
与圆有关的最值问题
角度1 借助几何性质求最值
例2 (多选题)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是 ( )
A.的最大值为
B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+1
D.x+y的最大值为3+
总结反思
借助几何性质求最值的三种情况:
①形如μ=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
变式题 设实数x,y满足方程x2+y2-8x-6y+21=0.
(1)当x≠3时,求p=的取值范围;
(2)求s=2x-y的最大值与最小值;
(3)求w=x2+y2-10x+2y+26的取值范围.
角度2 建立函数关系式求最值
例3 (1)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为 ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
(2)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为 .
总结反思
建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标表达式的函数关系式,然后根据关系式的特征选用适当的方法(如参数法、配方法、不等式法)求最值.
变式题 若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为 ( )
A.2 B.2
C.4 D.4
与圆有关的轨迹问题
例4 已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
总结反思
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;
(2)定义法,根据圆、直线等定义列出方程;
(3)几何法,利用圆的几何性质列出方程;
(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列出方程.
变式题 (1)(多选题)在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,0),B(2,0),点P满足=2,设点P的轨迹为C,则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为(x-4)2+y2=9
B.在x轴上存在异于A,B的两个定点D,E,使得=2
C.当A,B,P三点不共线时,∠APO=∠BPO
D.若点Q(0,6),则在C上存在点M,使得|MQ|=|MB|
(2)已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
①求线段AP中点的轨迹方程;
②若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
第51讲 圆的方程
(时间:45分钟)
1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为 ( )
A.(4,-6),16
B.(2,-3),4
C.(-2,3),4
D.(2,-3),16
2.[2024·山东聊城三模] 已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切,且圆心在第二象限,则圆C的方程为 ( )
A.(x+)2+(y-)2=
B.(x-)2+(y+)2=2
C.(x-)2+(y+)2=
D.(x+)2+(y-)2=2
3.[2024·北京昌平区一模] 若圆x2+8x+y2-6y+m=0与x轴、y轴均有公共点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,9] B.(-∞,16]
C.[9,25) D.[16,25)
4.已知A(-,0),B(,0),C(0,3),则△ABC外接圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+y2=2
B.(x-1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=2
D.x2+(y-1)2=4
5.[2023·全国乙卷] 已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( )
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
6.[2024·南宁二模] 若过点P(0,1)可作圆(x-1)2+(y-2)2=5-a的两条切线,则a的取值范围是 .
7.已知点O(0,0),点P满足|PO|=1.若点A(t,4),其中t∈R,则|PA|的最小值为 .
8.已知直线l:ax+by=1是圆x2+y2-2x-2y=0的一条对称轴,则ab的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
9.[2024·济南二模] 已知圆C:x2+y2=1,点A(4,a),B(4,-a),若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB,则正实数a的值为 ( )
A.2或4 B.2或3
C.4或5 D.3或5
10.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.不论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
11.(多选题)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中,M(-2,0),N(2,0),动点P满足|PM|·|PN|=5,则下列结论正确的是 ( )
A.点P的横坐标的取值范围是[-,]
B.|OP|的取值范围是[1,3]
C.△PMN的面积的最大值为
D.|PM|+|PN|的取值范围是[2,5]
12.某圆拱桥的水面宽度为16 m,拱高是4 m,则圆拱所在圆的半径为 m.一艘船的船体形似长方体,宽为12 m,若该船要通过拱桥,则船体的高度不能超过 m(假设船的底部在水面上).
13.若P(x,y)是圆O:x2+y2=1上任意一点,则|3x-4y+8|+|3x-4y+12|的取值范围是 .
14.[2024·北京101中学模拟] 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线x4+y2=2围成的平面区域的直径为 .
15.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=|MB|.
(1)求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
(2)设动点M的轨迹为C,对C上任意一点P,在x轴上是否存在一个与O (O为坐标原点)不重合的定点Q,使得为定值 若存在,求出该定点和定值;若不存在,说明理由.
16.已知等边三角形ABC的面积为9,且△ABC的内心为M,若平面内的点N满足|MN|=1,则·的最小值为 ( )
A.-5-2 B.-5-4
C.-6-2 D.-6-4
17.已知A(-2,0),B(2,0),P(x0,y0)是圆C:(x-1)2+y2=3上的动点,当|PA|·|PB|最大时,x0= ;|PA|+|PB|的最大值为 . (共98张PPT)
第51讲 圆的方程
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并
掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能够根据不同的情境，建立圆的方程.
◆ 知识聚焦 ◆
1.圆的定义及方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准 方程 圆心为_______，半径为___
一般 方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点与圆 之间存在着
下列关系：
（1）在圆外，即_________________________ 在
圆外；
（2）在圆上，即_________________________ 在
圆上；
（3）在圆内，即_________________________ 在
圆内.
常用结论
1.常见圆的方程的设法：
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点
过原点
2.以, 为直径的两端点的圆的方程是
.
3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
4.圆心在任一弦的垂直平分线上.
5.圆心到圆上任一点的距离等于半径.
6.平面内到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是圆.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 圆 的圆心坐标为______,
半径为___.
1
[解析] 由,
得 ,所以圆心坐标为 ,半径为1.
2.［教材改编］ 圆心为 且过原点的圆的标准方程是_________
________________,一般方程为_____________________.
[解析] 为圆心，且圆经过原点， 半径，
所求圆的标准方程为 ，
化为一般方程，可得 .
3.［教材改编］ 已知圆心为的圆经过， 两点，且圆
心在直线 上，则此圆的标准方程为______________
_________.
[解析] 方法一：设圆心的坐标为.
因为圆心 在直线上，所以.
因为， 是圆上两点，所以，根据两点间的距离公式，
有 ,即.
由①②可得 ，，所以圆心的坐标是 ，
圆的半径 ，
所以所求圆的标准方程是 .
方法二：如图，设线段的中点为.
由， 两点的坐标分别为，，
可得点 的坐标为，
直线 的斜率，
因此线段的垂直平分线 的方程是,即.
由垂径定理可知，圆心 也在线段 的垂直平分线上，
由解得 所以圆心的坐标是 ，
圆的半径 ，
所以所求圆的标准方程是 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视方程表示圆的条件;对圆心位置可能的情况考虑不全;
忽略圆的方程中变量的取值范围.
4.已知点在圆外，则实数 的取
值范围为__________________.
[解析] 由题意得
解得 或,故实数的取值范围为 .
5.半径为2,圆心的横、纵坐标互为相反数且与轴、 轴都相切的圆的
方程为_____________________________________________.
或
[解析] 由题意知圆心的坐标为或 ,
所以圆的方程为或 .
6.已知点为圆上的动点,则 的最小值为____.
[解析] 因为点为圆 上的动点,
所以.
因为 ,所以当时,取得最小值 .
探究点一 求圆的方程
例1（1）[2022·全国甲卷] 设点在直线上，点
和均在上，则 的方程为______________________.
［思路点拨］思路一：根据圆心在直线 上,设出圆心
的坐标,利用圆上的点到圆心的距离相等构造关于点 的坐标的方
程求解;
[解析] 方法一： 点在直线上，
可设点 为，又点和均在上，
点到点， 的距离相等，
，
即，解得，
， 的半径，
的方程为 .
[解析] 方法二：由题可知，是以和 为端点的线段的
垂直平分线与直线的交点，即，
则 的半径,故的方程为 .
［思路点拨］思路二：利用圆心在弦的垂直平分线上求解.
（2）[2022·全国乙卷] 过四点，，， 中的三点
的一个圆的方程为
______________________________________________________________________________________________________________________.
［思路点拨］选其中的三点,利用待定系数法即可求出圆的方程.
[解析] 若选,, 三点，
设圆的方程为 ，
把这三点的坐标分别代入可得
解得
所以圆的方程为.
同理，若选,, 三点，
则圆的方程为.
若选,, 三点，
则圆的方程为.
若选,, 三点，
则圆的方程为 .
所以满足条件的圆的方程为 .
[总结反思]
求圆的方程有两种方法:
（1）几何法:通过研究圆的性质,直线和圆、圆和圆的位置关系,进而
求得圆的基本量（圆心、半径），从而得到方程.常用到的圆的三个
性质:①圆心在过切点且垂直于切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂
线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆的圆心三点共线.
（2）待定系数法:①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般
方程;②利用条件列出关于,,（或,,）的方程组;③解出,,
（或,, ）,代入标准方程（或一般方程）.选择方程的形式的关键:
若已知圆上三点,则选用圆的一般方程;若已知条件与圆心及半径有关,
则选用圆的标准方程.
变式题（1）[2024·临汾二模] 已知圆过点,, ，则
圆 的一般方程为_____________________.
[解析] 方法一：设圆 的一般方程为
，
因为圆 过点,,,
所以解得
所以圆 的一般方程为 .
方法二：已知圆过点,,，则为圆 的直径，
故圆心的坐标为，圆的半径 ，
故圆的方程为，即 .
（2）圆心在直线上，经过点且与直线 相
切的圆的标准方程为______________________.
[解析] 点在直线上，
圆与直线 相切于点，设圆心为，则,
直线的方程为 ，即，
与联立，解得, ，即圆心为，
半径 ,
故所求圆的标准方程为 .
探究点二 与圆有关的最值问题
角度1 借助几何性质求最值
例2 （多选题）已知实数，满足方程 ，
则下列说法正确的是( )
A.的最大值为 B. 的最小值为0
C.的最大值为 D.的最大值为
［思路点拨］ 根据的几何意义，结合图形可求得 的最值，由此判
断A，B;根据 的几何意义求其最值，即可判断C；利用三角换
元，结合正弦函数的性质求 的最大值，即可判断D.
√
√
√
[解析] 由实数， 满足方程，
可得点 在圆上，
设圆心为 ，作出圆如图所示
表示点与坐标原点 连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，
则，解得或 ，所以，
所以，，故A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，
圆上的点 到坐标原点的距离的最大值为，
所以 的最大值为，
又 ，
所以的最大值为 ，故C错误；
因为 可化为 ，
所以可设 ， ，
则 ，
所以的最大值为 ，故D正确.故选 .
[总结反思]
借助几何性质求最值的三种情况:
①形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
③形如的最值问题,可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题.
变式题 设实数，满足方程 .
（1）当时，求 的取值范围;
解：将方程
变形可得，
则点是以点 为圆心，2为半径的圆上任意一点.
根据题意，当时， 的几何意义为
圆上任意一点与点连线的斜率.
设，过点的圆的切线斜率为 ，
则切线方程为，即，
则点 到切线的距离，解得，
故 的取值范围为 .
（2）求 的最大值与最小值;
解：由，得 ，该方程表示一条直线，
易知当直线与圆相切时， 取得最大值和最小值.
当直线与圆相切时，，解得或，
则的最小值为 ，最大值为 .
（3）求 的取值范围.
解： ，
设，
则的几何意义为圆 上任意一点与点间的距离，
设，则 ，则有，
所以，
故 的取值范围为 .
角度2 建立函数关系式求最值
例3（1）已知圆和两点 ，
．若圆上存在点，使得 ，则 的最
大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
［思路点拨］思路一:设 ,根据题中条件及辅助
角公式可得的最大值;
√
[解析] 方法一：设点的坐标为,
点 在圆上，
可设 ，
，可得，
，， 的最大值为6.故选B.
[解析] 方法二：设为坐标原点，连接，，
在中，原点 为斜边的中点，，
（为圆的半径），
又，，，即 .故选B.
［思路点拨］思路二:根据圆心到原点 的距离为5,
可得圆上的点到原点的距离的最大值为6,
再由 ,可得,可得 ,从而得到答案.
（2）设点是圆上的动点，定点 ，
，则 的最大值为____.
12
［思路点拨］先求出向量的坐标表示,再利用向量数量积的坐标公式
及圆的方程求解.
[解析] 由题意知， ，
所以，又点 是圆上的点，
故其坐标满足方程，故 ，
所以 .
由圆的方程，易知，
故当时， 取得最大值，最大值为 .
[总结反思]
建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标表达式
的函数关系式,然后根据关系式的特征选用适当的方法（如参数法、
配方法、不等式法）求最值.
变式题 若点为圆上的一个动点，点， 为
两个定点，则 的最大值为( )
A.2 B. C.4 D.
√
[解析] 方法一：易得 ,
可得,
当且仅当 时取等号,所以 .故选B.
方法二：当与或重合时，；
当不与和 重合时，易得，
设 ， , ,
则 ，
所以 .故选B.
探究点三 与圆有关的轨迹问题
例4 已知定点，，动点满足 .
（1）求动点的轨迹 的方程；
［思路点拨］设动点的坐标为 ,根据已知条件建立方程,
化简求解;
解：设动点的坐标为，因为， ，
且，所以 ，
整理得，所以动点的轨迹的方程为 .
（2）已知点，点在轨迹上运动，求线段上靠近点 的三
等分点 的轨迹方程.
［思路点拨］利用相关点法求解.
解：设点的坐标为，点的坐标为，
因为是线段 上靠近点的三等分点，所以 ，
即，解得
又点在轨迹 上运动，所以，
化简得 ，所以点的轨迹方程为 .
[总结反思]
求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
（1）直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;
（2）定义法,根据圆、直线等定义列出方程;
（3）几何法,利用圆的几何性质列出方程;
（4）代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式
列出方程.
变式题（1）（多选题）在平面直角坐标系中，已知 ，
，点满足，设点的轨迹为 ，则下列结论正确的是
( )
A.的方程为
B.在轴上存在异于，的两个定点，，使得
C.当，，三点不共线时，
D.若点，则在上存在点，使得
√
√
√
[解析] 设，由条件可得 ，
即，所以的方程为 ，故A错误；
由对称性可知存在， 满足条件，故B正确；
，
，
，
，所以 ，
即，所以 ，故C正确；
连接，则，
所以线段的垂直平分线的斜率 ，的中点坐标为，
则线段的垂直平分线 的方程为 ，
即，圆的圆心到直线的距离 ，
所以直线与圆相交，故在上存在点，
使得 ,故D正确．故选 .
（2）已知为圆上一定点,为圆内一点,, 为
圆上的动点.
①求线段 中点的轨迹方程;
解：设线段的中点为 ,
由中点坐标公式可知,点坐标为.
因为 点在圆上,所以，
故线段 中点的轨迹方程为 .
②若 ,求线段 中点的轨迹方程.
解：设线段的中点为,连接,
在中, ,设为坐标原点,连接,，
则 ,所以 ,
所以，
故线段 中点的轨迹方程为 .
【备选理由】例1是求圆的方程的相关问题;
例1 ［配例1使用］
（1）[2020·北京卷]已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点
的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
√
[解析] 设圆心为,则.
因为圆 过点，所以，
所以圆心 的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以圆心到原点 的距离的最小值为 .故选A.
（2）在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点在直线
上，，以为直径的圆与直线的另一个交点为 .若
，则圆 的半径为_____.
[解析] 方法一：连接,
以为直径的圆与直线 的另一个交点为，
，是斜边 上的中线，
又，是等腰直角三角形，
，，， .
由题意设，，，
则 ，，
， ，
，
，
可得
,，，， 圆心为，
，
，即圆 的半径为 .
方法二：由题意设，，，，
圆 的方程为 ,
由可得 ，
，，，
解得或，又，，即，
圆 的半径 .
例2 ［配例2使用］ （多选题）[2025·安徽皖南八校模拟] 已知曲线
，点为曲线 上任意一点，则
( )
A.曲线 由两个圆构成
B.的最大值为
C.的取值范围为
D.直线与曲线 有且仅有3个交点
√
√
【备选理由】例2是与圆有关的最值问题;
[解析] 对于A，由 ，得
，即 ，
即 ，
所以 或，即
或，所以曲线是以,
为圆心， 为半径的两个圆，所以A正确；
对于B，表示点 到原点 距离的平方，
故其最大值为 ，所以B错误 ；
对于C，如图所示，设过点且与
圆 相切的直线方程为，
则点 到该直线的距离，
解得 ,，则图中直线 的斜率为1，
可得直线的方程为，
点到直线 的距 离，则直线与圆相切.
设过点 且与圆相切的直线方程为 ，
则点到该直线的距离为 ，
解得,，
又表示点 与点连线的斜率，
故 的取值范围为 ，所以C正确；
对于D，由C选项可知直线与圆， 均相切，
所以直线与曲线 有且仅有2个交点，所以D错误.故选 .
例3 ［配例4使用］ 已知直线过定点 ,直线
过定点,与的交点为,则 的面积
的最大值为( )
A. B. C.5 D.10
√
【备选理由】例3考查与圆有关的轨迹问题;
[解析] 方法一:由题可知,直线过定点 ,
直线过定点.
由 消去得,
所以点 在圆上,
又, 在圆上,
且 为圆的直径,所以,
当且仅当 时取等号,所以,
所以的面积 的最大值为5.故选C.
方法二:由题可知,直线过定点 ,
直线过定点.
因为,所以点 在以线段为直径的圆上.
设点 ,则,
即 ,它表示圆心为,半径为的圆,
故当时, 的面积最大, 最大值为 .
例4 ［补充使用］ （多选题）[2024·江西宜春三模] 古希腊数学家
阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：
在平面内，已知两定点，之间的距离为（非零常数），动点
到，的距离之比为常数，且，则点 的轨迹是圆，
简称为阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知,，点
满足 ，则下列说法正确的是( )
A. 面积的最大值为12
B. 的最大值为72
C.若，则 的最小值为10
D.当点不在轴上时，始终平分
√
√
√
【备选理由】例4是与阿波罗尼斯圆有关的最值问题.
[解析] 对于A，设点，由 ，
得，化简得 ，
所以点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，
所以 面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段 的中点为 ，则，当且仅当点的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点 在圆内， ，
当且仅当，，三点共线且点在线段 上时，
，故C错误；
对于D，由 ，，得，
当点不在 轴上时，由三角形内角平定理知，
平分，故D正确.故选 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.圆 的圆心和半径分别为( )
A.，16 B.，4 C.，4 D. ，16
[解析] 将圆 的方程化成标准形式，
得，
圆 的圆心为 ，半径为4.故选C.
√
2.[2024·山东聊城三模]已知圆与两坐标轴及直线 都相
切，且圆心在第二象限，则圆 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意设所求圆的方程为
，
则 即解得
所以圆 的方程为 .故选D.
3.[2024·北京昌平区一模]若圆与轴、 轴
均有公共点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为方程 表示圆，
所以，得.
令，得 ，则，得，
令，得 ，则，得，
所以 .故选A.
方法二：将圆的方程化成标准方程，
即为，则圆心为，半径为 ，
由题知解得 .故选A.
4.已知,,，则 外接圆的方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设外接圆的方程为 ，
则可得
则外接圆的方程为 .故选D.
√
5.[2023· 全国乙卷]已知实数,满足 ,则
的最大值是( )
A. B.4 C. D.7
√
[解析] 方法一：方程 可化为
.
设，即 ，
则当直线与圆相切时，
取得最大值或最小值，此时，
解得或 ,
所以的最大值为 .故选C.
方法二：方程 可化为
，
由圆的参数方程可设 为参数 ，
所以 ，
当 时，等号成立.故选C.
6.[2024·南宁二模] 若过点可作圆
的两条切线，则 的取值范围是______.
[解析] 由方程表示圆，
得 ，所以，
又过点可作圆 的两条切线，
所以点在圆外，所以 ，
解得.所以的取值范围是 .
7.已知点，点满足.若点，其中，则
的最小值为___.
3
[解析] 因为，所以 是单位圆上的点，
又，其中，所以是直线 上的点，
由图可知，的最小值为 .
◆ 综合提升 ◆
8.已知直线是圆 的一条对称轴，
则 的最大值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 因为直线是圆的一条对称轴，所以圆的圆心必定在直线 上，
将圆的一般方程化为标准方程，即为 ，
圆心为，将圆心坐标代入直线的方程，得 ，
则，当且仅当时取等号，
故 的最大值为 .故选A.
√
9.[2024·济南二模]已知圆,点,，若圆
上有且仅有一点使，则正实数 的值为( )
A.2或4 B.2或3 C.4或5 D.3或5
[解析] 由题意可知,圆的圆心为,半径 ,且.
由,可知点的轨迹是以线段的中点 为圆心,
半径的圆,又点在圆上，
可知圆与圆 有且仅有一个公共点,
则或 ，
即或,解得或 .故选D.
√
10.（多选题）设有一组圆 ,则下列
说法正确的是( )
A.不论如何变化,圆心 始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆 有且只有一个
D.所有圆的面积均为
√
√
√
[解析] 圆心的坐标为,圆心始终在直线 上,所以A正确;
令,化简得 ,因为
,所以 无实数根,所以B正确;
由,化简得 ,
因为,所以该方程有两个不相等实根,
所以经过点 的圆有两个,所以C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为 ,所以D正确.故选 .
11.（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西
尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现
的.已知在平面直角坐标系中,,,动点 满足
,则下列结论正确的是( )
A.点的横坐标的取值范围是
B.的取值范围是
C.的面积的最大值为
D.的取值范围是
√
√
[解析] 设点,依题意得 .
对于A,
, 当且仅当时取等号,解不等式,
得 ,即点的横坐标的取值范围是 ,故A错误;
对于B, ,
则,因为 ,
所以 ,故B正确;
对于C,的面积 ,
当且仅当 时取等号,当 时,
点在以线段 为直径的圆上,
由解得
所以的面积的最大值为,故C正确;
对于D,点在动点 的轨迹上,当点为此点时,
,故D错误.故选 .
12.某圆拱桥的水面宽度为,拱高是 ，则圆拱所在圆的半径为
____.一艘船的船体形似长方体，宽为 ，若该船要通过拱桥，
则船体的高度不能超过___ （假设船的底部在水面上）.
10
2
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
其中弧为圆拱桥部分， 为圆拱所在圆的圆心，
则,设圆拱所在圆的半径为 ,则 .
连接，在中， ,
即，解得 ，
所以圆拱所在圆的方程为.
设图中矩形为船的截面，则 ，设,
将点的坐标代入圆的方程得，可得 ,
所以船要通过拱桥，船体的高度不能超过 .
13.若是圆 上任意一点，则
的取值范围是________.
[解析] 令
，其中，分别表示圆上任意一点
到直线和的距离.
因为圆心 到直线和
的距离分别为，，
所以 且，
即且 ，所以，
即 的取值范围是 .
14.[2024·北京101中学模拟] 如果把一个平面区域内两点间的距离的
最大值称为此区域的直径，那么曲线 围成的平面区域的
直径为___.
3
[解析] 曲线的参数方程为 为参数 ，
该曲线是关于原点中心对称的图形，
所以曲线 上的点到原点的距离 为直径的一半，
而
,当时，取得取大值 ，
所以所求直径为3.
15.已知,，动点满足 .
（1）求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解：设，由，即 ，
得，化简可得 ,
即为点的轨迹方程，它表示圆心为，半径为 的圆.
（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在 轴上是否存在一
个与为坐标原点不重合的定点，使得 为定值？若存在，求
出该定点和定值；若不存在，说明理由.
解：设，则，设 ，
则，
要使 为定值，则，解得（舍去）或 ，
所以,故存在定点,使得为定值 .
◆ 能力拓展 ◆
16.已知等边三角形的面积为,且的内心为 ,若平面内
的点满足,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设等边三角形的边长为 ,
则其面积,可得.
以所在直线为 轴,的垂直平分线为 轴
建立如图所示的平面直角坐标系.
由为的内心,得在 上, 且,则,,
, ,由于,则点在以为圆心,1为半径的圆上.
设 ,则, 即 ,
且,
又, ,
所以
.故选A.
17.已知，，是圆 上的
动点，当最大时，___； 的最大值为_____.
1
[解析] 由已知可得，则 ，
得，且有，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
因为 ，，所以.
设 ，，其中 ，
则 ，
因为，所以，
当，即 时，取得最大值，
此时 ，可得 ，符合题意.
【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) r x2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (3)(x0-a)2+(y0-b)2【对点演练】
1.(1,2) 1 2.(x-1)2+(y-1)2=2 x2+y2-2x-2y=0 3.(x+3)2+(y+2)2=25 4.(-3,-2)∪(2,+∞)
5.(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4 6.-4
课堂考点探究
例1(1)(x-1)2+(y+1)2=5
(2)x2+y2-4x-6y=0
变式题(1)x2+y2-2x-4y=0 (2)(x-1)2+(y+2)2=2 例2 ABD
变式题(1)∪ (2)s的最小值为5-2,最大值为5+2.
(3)[21-4,21+4] 例3(1)B (2)12 变式题 B 例4(1)x2+y2=2 (2)y2+(x-4)2=
变式题(1)BCD (2)①(x-1)2+y2=1 ②x2+y2-x-y-1=0
教师备用习题
例1(1)A (2) 例2 AC 例3 C 例4 ABD
基础热身
1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.(3,5) 7.3
综合提升
8.A 9.D 10.ABD 11.BC 12. 10 2 13.[10,30] 14.3
15.(1) 点的轨迹方程为 , 它表示圆心为，
半径为 的圆. (2) 存在定点,使得为定值 .
能力拓展
16.A 17. 1 4
