第53讲 椭圆
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c
(3)a2.-a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 坐标轴 (0,0) (-a,0)
(a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a) (0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2c
(0,1) a2-b2
3.(1)没有 一个 两个
(2)Δ>0 Δ=0 Δ<0
4.|y1-y2| |x1-x2|
【对点演练】
1.14 36 [解析] 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,由a2=100,得a=10,所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14.由c2=a2-b2=100-36=64,得c=8,所以△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=20+16=36.
2.+=1 [解析] 因为椭圆的离心率e==,所以e越大,越小,椭圆越扁;e越小,越大,椭圆越圆.椭圆9x2+y2=36即椭圆+=1,其离心率e1==,椭圆+=1的离心率e2==,因为e23.+=1 [解析] 设d是点M到直线l:x=的距离,则由题意知=,即=,整理得9x2+25y2=225,故动点M的轨迹方程为+=1.
4. [解析] 由得5x2+8x-12=0,设此方程的两实根为x1,x2,则故所得弦长为|x1-x2|=·=×
=×=.
5.线段 [解析] 由题意知|MF1|+|MF2|=12,|F1F2|=12,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段.
6.+=1或+=1
[解析] ∵椭圆C的中心在原点,其长轴长为4,焦距为2,∴a=2,c=1,∴b==.当椭圆的焦点在x轴上时,C的方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时,C的方程为+=1.
7.1 [解析] 设P(x,y),依题意得F1(-2,0),F2(2,0),则·=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4=x2+1,因为0≤x2≤9,所以1≤x2+1≤5,所以·的最小值是1.
第1课时 椭圆及其性质
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据圆与圆的位置关系,得到圆心距之间的关系,由定义可知动点轨迹为椭圆,求出方程即可.(2)思路一:根据焦点三角形的面积公式求出△PF1F2的面积,进而可得点P的横、纵坐标的平方,从而得出|OP|的值;思路二:利用椭圆的定义以及余弦定理求出|PF1||PF2|,+的值,再结合中线的向量公式以及数量积即可得解;思路三:利用椭圆的定义以及余弦定理求出+的值,然后根据三角形中线定理即可得出|OP|的值.
(1)+=1 (2)B [解析] (1)圆F1:(x+1)2+y2=1的圆心为F1(-1,0),半径r1=1,圆F2:(x-1)2+y2=25的圆心为F2(1,0),半径r2=5.设动圆C的圆心为C(x,y),半径为R,由题得|F1C|=R+1,|F2C|=5-R,∴|F1C|+|F2C|=6>|F1F2|=2,∴圆心C的轨迹是椭圆,设其标准方程为+=1(a>b>0),则2a=6,2c=2,可得a=3,c=1,∴b2=a2-c2=8,∴动圆圆心C的轨迹方程为+=1.
(2)方法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<,则=b2tan=b2tan θ.由cos∠F1PF2=cos 2θ===,可得tan θ=.由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,所以=×|F1F2|×|yP|=×2×|yP|=6×,所以=3,则=9×=,故|OP|===.故选B.
方法二:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-
2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1||PF2|=,+=21,又=(+),所以|OP|=||=|+|,即|OP|=|+|=
=×=.故选B.
方法三:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-
2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1|2+|PF2|2=21,由三角形中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=2,解得|OP|=.故选B.
变式题 (1)C (2) [解析] (1)由椭圆C:+=1,得a=3,b=2,则|MF1|+|MF2|=2a=2×3=6,则|MF1|·|MF2|≤=32=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C.
(2)由题得a=3,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),故以F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2=4,圆O的半径为2,则|F1O|=|OA|=2.因为OA∥PF2,所以==,所以|F2P|=4,又点P在椭圆C上,所以|F1P|+|F2P|=2a=6,则|F1P|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得
cos∠PF1F2==
=,故sin∠PF1F2==,
则=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=×2×4×=.
例2 [思路点拨] (1)根据离心率以及长轴长和短轴长的关系列出方程求解,结合椭圆的焦点在y轴上即可写出椭圆的标准方程;(2)由已知条件列方程组求出椭圆的长半轴长和半焦距,进而求得短半轴长,分焦点在x轴、y轴两种情况写出椭圆的标准方程;(3)设出有相同焦点的椭圆的标准方程,将已知点的坐标代入,利用待定系数法求解.
解:(1)因为椭圆的离心率是,长轴长与短轴长之差为2,所以
解得又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的标准方程为+=1.
(2)设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题得解得∴b2=a2-c2=9.若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为+=1;若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为+=1.故椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(3)设与椭圆+y2=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为+=1(λ>-1),因为椭圆经过点,所以+=1,解得λ=2或λ=-(舍去),故椭圆的标准方程为+=1.
变式题 (1)D (2)B [解析] (1)椭圆C的焦距为8,则|F1F2|=2c=8,故c=4.由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为12,得|PF1||PF2|=12,即|PF1||PF2|=24,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=64,所以(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=112,即4a2=112,所以a2=28,又c=4,则b2=a2-c2=12,则椭圆C的标准方程为+=1.故选D.
(2)由离心率e===,得=,即b2=a2.由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),因为·=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=a2代入,得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为+=1.故选B.
例3 [思路点拨] (1)思路一:设出点P的坐标,从而得到点Q的坐标,由直线AP,AQ的斜率之积为及点P在椭圆C上,可得的值,由e==即可求出离心率;思路二:设椭圆的右顶点为B,由对称性得直线BP,AQ关于y轴对称,得kAP·kBP=-,设出点P的坐标,结合A,B的坐标及P在椭圆C上即可得解.(2)根据焦点三角形的边长关系,结合余弦定理即可求解.
(1)A (2)D [解析] (1)方法一:由题意得A(-a,0),设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=,kAQ=,所以kAP·kAQ=·==.由+=1,得=,所以=,所以椭圆C的离心率e===.故选A.
方法二:设椭圆C的右顶点为B, 因为点P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP,AQ关于y轴对称, 所以kAP·kAQ=-kAP·kBP=,故kAP·kBP=-.设P(x0,y0),由题得A(-a,0),B(a,0),则kAP·kBP=·===-=e2-1=-,所以e2=,即e=.故选A.
(2)由=2可知|AF2|=2|F2B|,A,F2,B三点共线.设|F2B|=x,则|AF2|=2x,|AF1|=2a-2x,|BF1|=2a-x,|AB|=3x.在△AF1B中,由余弦定理可得(3x)2=(2a-2x)2+(2a-x)2-2(2a-2x)(2a-x)×,化简可得2a2-3ax-9x2=0,即(a-3x)(2a+3x)=0,故a=3x或2a=-3x(舍去),又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以+
=0,化简可得3c2+4ax-3a2=0,即3c2+4a×-3a2=0,故9c2=5a2,可得3c=a,所以e==.故选D.
例4 [思路点拨] (1)先求出焦点坐标,设P(m,n),求得·,再由P在椭圆上,结合n的取值范围即可求解.(2)利用椭圆的定义,结合勾股定理与基本不等式转化求解即可.
(1)[-2,1] (2)B [解析] (1)由椭圆+y2=1得a=2,b=1,故c==,可得F1(-,0),F2(,0).设P(m,n),则=(--m,-n),=(-m,-n),可得·=(--m)(-m)+n2=m2+n2-3.由P在椭圆上,得m2+4n2=4,可得m2=4-4n2(-1≤n≤1),故·=1-3n2(-1≤n≤1),则当n=0时,·取得最大值1,当n=±1时,·取得最小值-2,则·的取值范围是[-2,1].
(2)连接BF1,设|AF2|=t,则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t.
由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,故t>1,所以2a==(t-1)++3≥3+2=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号,则椭圆长轴长的最小值是3+2.故选B.
【应用演练】
1.A [解析] 由题可得e2=,又e2=e1,所以e1=,即=,解得a2=,所以a=.故选A.
2.C [解析] 因为O,A均在x轴上,且四边形OABC为平行四边形,所以OA∥BC,且B,C的纵坐标相等,则由椭圆的对称性知B,C的横坐标互为相反数.由题意得A(a,0),设B(y0>0),则C,将点B的坐标代入+=1(a>b>0)中,得=b2,则y0=b,即B,所以k=kOB==,故A不正确.因为=k,所以e===,所以当k越大时,E的离心率越小,椭圆E越圆,故B不正确.当k=时,e==,故C正确.因为a>b>0,所以k=<,故D不正确.故选C.
3.B [解析] 因为=2,所以设|AF2|=2|F2B|=2m(m>0).连接BF1,因为过F2的直线交椭圆于A,B两点,所以由椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则|BF1|=2a-m,|AF1|=2a-2m.因为·=0,所以AF1⊥AF2,则△F1AF2和△F1AB都是直角三角形.由勾股定理可得,|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,即(2a-2m)2+9m2=(2a-m)2,可得m=,所以|AF1|=,|AF2|=,又|F1F2|=2c,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以+=4c2,解得=,所以椭圆E的离心率为=.故选B.
4. [解析] 因为经过椭圆C:+=1(m>0,n>0)的右顶点(m,0)与上顶点(0,n)的直线的斜率为-,所以-=-,即=,可知椭圆C的焦点在y轴上,则C的离心率e===.
5. [解析] 设点A(x1,y1),由题意知F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x1,-y1),=(c-x1,-y1),由·=4c2,得(-c-x1,-y1)·(c-x1,-y1)=-c2+=4c2,即+=5c2,因此点A在以(0,0)为圆心,半径为c的圆上,又点A在椭圆C上,则圆x2+y2=5c2与椭圆+=1有公共点.由椭圆的几何性质知b≤c≤a,即b2≤5c2≤a2,即a2-c2≤5c2≤a2,整理得5c2≤a2≤6c2,即≤≤,所以椭圆C的离心率e∈.
6. [解析] 由题得a=5,b=4,c=3,∴△F1PF2的周长L=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.∵△F1PF2内切圆的半径r=,∴当取得最大值时,r取得最大值,显然当P为短轴端点时,取得最大值,此时=×b×2c=bc=12,则r==.第53讲 椭圆
第1课时 椭圆及其性质
1.B [解析] 根据椭圆方程可得焦点在y轴上,且c2=a2-b2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,±3).故选B.
2.A [解析] ∵椭圆的离心率为,a>1,∴=,∴a=,故选A.
3.D [解析] 因为方程+=1表示的曲线是椭圆,所以解得44.A [解析] 设M(x,y),则P'(x,0),P(x,2y),因为P在曲线C:x2+y2=16(y>0)上,所以x2+(2y)2=16(y>0),整理得点M的轨迹方程为+=1(y>0).故选A.
5.ABD [解析] 设椭圆C:+=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=9,b2=4,c2=9-4=5,故a=3,b=2,c=,所以C的焦距为2,故A正确;C的离心率为=,故B正确;△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6+2,故C错误;当点P位于椭圆C的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,最大值为×2×2=2,故D正确.故选ABD.
6.+=1(答案不唯一) [解析] 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题得c=,所以a2-b2=,取b=2,则椭圆的标准方程可以为+=1.
7. [解析] 设椭圆C的半焦距为c,由椭圆的几何性质知,|PF|max=a+c,|PF|min=a-c,依题意得a+c=2(a-c),解得a=3c,所以椭圆C的离心率e==.
8.A [解析] 连接MF,FO,由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,∴|MP|=|PF|,∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值),显然|MO|>|FO|,∴根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F,O两点为焦点的椭圆.故选A.
9.B [解析] 椭圆E:+=1的右焦点为F(1,0),设P(x,y),由|PF|=,得(x-1)2+y2=3.由
消去y得x2-8x+4=0,又-2≤x≤2,所以x=4-2,当x=4-2时,对应的y值有2个,所以E上满足|PF|=的点P有2个.故选B.
10.C [解析] 椭圆的方程为+=1,则a=3,b=2,c==.设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则由椭圆的对称性可知|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|,其中O为坐标原点,可知四边形AF1BF2为平行四边形,则|BF2|=|AF1|,可得△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当A,B为椭圆短轴的两个端点时,|AB|取得最小值,最小值为2b=4,所以△ABF2的周长为2a+|AB|≥6+4=10,故△ABF2的周长的最小值为10.故选C.
11.C [解析] 方法一:设P(x0,y0),易知B(0,b),由+=1,得=a2,则|PB|2=+(y0-b)2=+-2by0+b2=a2+-2by0+b2=--2by0+a2+b2, y0∈[-b,b].由题知,当y0=-b时,|PB|2取得最大值,所以由二次函数的图象知-≤-b,故b2≥c2,即a2-c2≥c2,所以≤,故椭圆C的离心率e∈,故选C.
方法二:P是椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点,B是椭圆C的上顶点,因为|PB|≤2b,所以以B为圆心,2b为半径的圆与椭圆至多有一个交点.由消去x可得(a2-b2)y2+2b3y+3b4-a2b2=0,令Δ=4b6-4b2(a2-b2)(3b2-a2)=0,化简整理可得(a2-2b2)2=0,可得a=b,若要满足题意,则a≤b,故e==≤,所以e∈.故选C.
12.BD [解析] 由y2+2y=x3-4x2+5x-3,得(y+1)2=x3-4x2+5x-2=(x-1)2(x-2).对于A,因为(x-2-1)2(x-2-2)≠(-x-1)2(-x-2),所以曲线W不关于直线x=-1对称,故A不正确.对于B,设点(x0,y0)在曲线W上,则+2y0=-4+5x0-3,因为(-2-y0)2+2(-2-y0)-(-4+5x0-3)=4++4y0-4-2y0--2y0=0,所以点(x0,-2-y0)在曲线W上,所以曲线W关于直线y=-1对称,故B正确.对于C,D,由(y+1)2≥0,得(x-1)2(x-2)≥0,解得x=1或x≥2,故C不正确,D正确.故选BD.
13.-1+ [解析] 由题得MF⊥x轴,不妨设点M在第一象限内,因为M在抛物线上,所以M,又M在椭圆上,所以M,所以=c且p=,所以2ac=b2=a2-c2,所以e2+2e-1=0,解得e=-1+或e=-1-(舍去),所以e=-1+.
14. [解析] 由题意知A1(-c,0),A2(a,0).设P(acos θ,bsin θ),cos θ∈(0,1),则=(acos θ+c,bsin θ),=(acos θ-a,bsin θ),∵∠A1PA2=,∴·=(acos θ+c)(acos θ-a)+b2sin2θ=0,即a2cos2θ+accos θ-a2cos θ-ac+b2-b2cos2θ=0,即c2cos2θ+(ca-a2)cos θ+b2-ac=0,即(c2cos θ+ac-b2)(cos θ-1)=0,则cos θ==或cos θ=1(舍去).令=t(t>0),则cos θ=--1,∵cos θ∈(0,1),∴0<1-t-t215.解:(1)不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),焦距为2c.在△F1PF2中,由余弦定理得cos 60°=
=
,
即=,
所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=.因为|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,所以3a2≥4(a2-c2),所以≥,所以e≥.又因为0(2)证明:由(1)可知|PF1|·|PF2|=b2,所以=|PF1|·|PF2|sin 60°=×b2×=b2,所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
16.C [解析] 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于A,由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点,故A为PF2的中点.由·=0,得PF1⊥PF2,则∠QAP=,又∠QPA=,所以△AQP是等腰直角三角形,故有化简得
所以又m2+n2=4c2,所以(a+b)2+(a-b)2=4c2,即a2+b2=2c2,又b2=a2-c2,所以2a2=3c2,所以e2=,故e=.故选C.
17. [解析] 易知O1O2与EF相交,设O1O2∩EF=D,连接O1E,O2F,由题意得解得所以|DE|=
=,|DF|==,所以2c=+=2,即c=1.设直线EF与圆锥侧面的一个交点为A(靠近点E),点A所在的母线与球O1,O2分别相切于B,C两点,其截面图如图所示,则|AB|=|AE|,|AC|=|AF|,两式相加得|AB|+|AC|=|AE|+|AF|=a-c+a+c=2a,即|BC|=2a.连接O1B,O2C,过O2作O2G⊥O1B,垂足为G,则四边形BGO2C为矩形,所以2a=|BC|=|O2G|==6,即a=3,所以椭圆的离心率为=.第53讲 椭圆
【课标要求】 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若 ,则集合P为椭圆;
(2)若 ,则集合P为线段;
(3)若 ,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
性质 范围 , ,
对称性 对称轴: 对称中心:
顶点 A1 ,A2 , B1 ,B2 A1 ,A2 , B1 ,B2
轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为
焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=
离心率 e=,e∈
a,b,c 的关系 c2=
3.直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与椭圆 公共点;相切时,直线与椭圆有 公共点;相交时,直线与椭圆有 公共点.
(2)判断直线与椭圆的位置关系时,通常将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.
当判别式 时,直线与椭圆相交;
当判别式 时,直线与椭圆相切;
当判别式 时,直线与椭圆相离.
4.直线与椭圆相交所得弦的长
设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=·|x1-x2|=或|AB|=·|y1-y2|=.
当直线的斜率不存在时,|AB|= .当直线的斜率k=0时,|AB|= .
5.直线与椭圆相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线l与椭圆C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
椭圆中几个常用的结论:
(1)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫作椭圆的焦半径,分别记作r1=,r2=.
①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;
③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小.
(2)焦点三角形:以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2为顶点的△PF1F2叫作焦点三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中:
①当r1=r2,即点P的位置为短轴端点时,θ最大;
②S=b2tan =c,当=b,即点P的位置为短轴端点时,S取到最大值,最大值为bc;
③焦点三角形的周长为2a+2c.
(3)若F1,F2为椭圆的两个焦点,弦AB过焦点F1,则△ABF2的周长为4a.
(4)AB为椭圆+=1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x0,y0)(x0y0≠0),O为原点,则kOM·kAB=-.
(5)过原点的直线交椭圆+=1(a>b>0)于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,则kPA·kPB=-.
(6)点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上,则椭圆在点P处的切线方程为+=1.
题组一 常识题
1.[教材改编] 如果椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离等于6,那么点P到另一个焦点F2的距离是 ,△PF1F2 的周长为 .
2.[教材改编] 比较椭圆9x2+y2=36与椭圆+=1的形状,椭圆 更接近于圆.
3.[教材改编] 动点M(x,y)到定点F(4,0)的距离和到定直线l:x=的距离的比值是常数,则动点M的轨迹方程为 .
4.[教材改编] 椭圆x2+4y2=16与直线y=x+1相交所得的弦长为 .
题组二 常错题
◆索引:椭圆的定义中忽视2a>|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;忽视椭圆方程中未知数的取值范围.
5.平面内一点M到两定点F1(-6,0),F2(6,0)的距离之和等于12,则点M的轨迹是 .
6.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为 .
7.若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上运动,则·的最小值是 .
第1课时 椭圆及其性质
椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知动圆C与圆F1:(x+1)2+y2=1外切,与圆F2:(x-1)2+y2=25内切,则动圆圆心C的轨迹方程为 .
(2)[2023·全国甲卷] 设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|= ( )
A. B. C. D.
总结反思
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等,难度不是很大.
变式题 (1)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12 C.9 D.6
(2)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,P为C在第二象限内的一点,以F1F2为直径的圆交PF1于点A,若OA∥PF2(O为坐标原点),则△PF1F2的面积为 .
椭圆的标准方程
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,离心率是,长轴长与短轴长之差为2.
(2)以椭圆的短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形是正三角形,且椭圆上的点到焦点的最短距离为.
(3)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点.
总结反思
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
变式题 (1)已知点P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,点F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为12,椭圆C的焦距为8,则椭圆C的标准方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)[2022·全国甲卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+y2=1
椭圆的简单几何性质
微点1 求椭圆的离心率的值或范围
例3 (1)[2022·全国甲卷] 椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·浙江温州三模] 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,C上两点A,B满足=2,cos∠AF1B=,则椭圆C的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
总结反思
求椭圆离心率的值或范围的方法
(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.
(3)构造a,c的齐次式,可以不求出a,c的具体值得出a与c的关系,从而求得e.
微点2 与椭圆有关的范围(最值)问题
例4 (1)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,点P是该椭圆上一个动点,则·的取值范围是 .
(2)[2025·杭州一模] 已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是 ( )
A.4 B.3+2
C.6 D.4+2
总结反思
利用椭圆的几何性质求范围(最值)问题的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a,b,c表示,利用a,b,c自身的范围、关系求范围.
1.[2023·新课标Ⅰ卷] 设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= ( )
A. B.
C. D.
2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点为A,直线y=kx交E于第一象限内的点B,点C在E上,O为坐标原点,四边形OABC为平行四边形.下列说法正确的是 ( )
A.k越大,E的长轴越长
B.k越大,E越扁
C.若k=,则E的离心率为
D.k的值可以为
3.[2024·陕西咸阳模拟] 设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆于A,B两点,且·=0,=2,则椭圆E的离心率为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024·杭州学军中学月考] 经过椭圆C:+=1(m>0,n>0)的右顶点与上顶点的直线的斜率为-,则C的离心率为 .
5.[2024·岳阳二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中|F1F2|=2c,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若·=4c2,则该椭圆离心率的取值范围是 .
6.已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为C的左、右焦点,P是椭圆C上的动点,则△F1PF2的内切圆半径的最大值为 . 第53讲 椭圆
第1课时 椭圆及其性质
(时间:45分钟)
1.椭圆+=1的焦点坐标为 ( )
A.(±3,0) B.(0,±3)
C.(±9,0) D.(0,±9)
2.椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则a= ( )
A. B.
C. D.2
3.已知方程+=1表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是 ( )
A.(4,6)
B.(6,8)
C.(4,8)
D.(4,6)∪(6,8)
4.[2024·新课标Ⅱ卷] 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(y>0)
B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0)
D.+=1(y>0)
5.(多选题)[2024·潍坊二模] 已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2,P为C上一点,则 ( )
A.C的焦距为2
B.C的离心率为
C.△F1PF2的周长为3+
D.△F1PF2面积的最大值为2
6.[2024·武汉模拟] 写出一个焦距为3的椭圆的标准方程: .
7.[2024·昆明模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,点P在椭圆C上,若|PF|的最大值是最小值的2倍,则椭圆C的离心率e= .
8.如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内(不包括边界)一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
9.[2025·江西南昌模拟] 已知椭圆E:+=1的右焦点为F,则E上满足|PF|=的点P有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
10.[2024·广东惠州模拟] 已知椭圆的方程为+=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为 ( )
A.8 B.6+2
C.10 D.8+2
11.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.下列关于椭圆曲线W:y2+2y=x3-4x2+5x-3的结论正确的有 ( )
A.曲线W关于直线x=-1对称
B.曲线W关于直线y=-1对称
C.曲线W上的点的横坐标的取值范围为[1,+∞)
D.曲线W上的点的横坐标的取值范围为{1}∪[2,+∞)
13.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与椭圆的一个交点为M,若MF垂直于x轴,则该椭圆的离心率为 .
14.如图,半椭圆+=1(x>0)与半椭圆+=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0.“果圆”与x轴的交点分别为A1,A2,若在“果圆”位于y轴右侧的部分上存在点P,使得∠A1PA2=,则的取值范围为 .
15.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
16.[2024·广东深圳二模] P是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,且P在第一象限内,F1,F2分别是C的左、右焦点,·=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b,则C的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
17.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球O1,球O2的半径分别为4和2,球心距|O1O2|=2,截面分别与球O1,球O2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率为 . (共107张PPT)
第53讲 椭圆
/ 第1课时 椭圆及其性质 /
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答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解
决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程
及简单几何性质.
3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.椭圆的定义
平面内与两个定点,的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨
迹叫作______.这两个定点叫作椭圆的______,两焦点间的距离叫作椭
圆的______.
集合，，其中， ，
且， 为常数：
椭圆
焦点
焦距
（1）若______，则集合 为椭圆；
（2）若______，则集合 为线段；
（3）若______，则集合 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图形 ____________________________________________________________ ______________________________________________
标准方程
性质 范围 ____________，________ _____________ ____________，________
_____________
对称性 对称轴：________对称中心：______
顶点 ________， ______， ________， ______ ________， ______，
________， ______
轴 长轴的长为____短轴 的长为____
坐标轴
续表
标准方程
性质 焦点 , ,
焦距 ____
离心率 ， ______
， ， 的关 系 ________
续表
3.直线与椭圆的位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系,从几何角度来看有三种:相离时,直线与
椭圆______公共点;相切时,直线与椭圆有______公共点;相交时,直线
与椭圆有______公共点.
没有
一个
两个
（2）判断直线与椭圆的位置关系时,通常将直线方程与椭圆方程联立,
消去（或）,转化为关于（或）的方程
（或 ）的形式.
当判别式______时,直线与椭圆相交;
当判别式______时,直线与椭圆相切;
当判别式______时,直线与椭圆相离.
4.直线与椭圆相交所得弦的长
设斜率为的直线与椭圆的两个交点为, ,
则 或
.
当直线的斜率不存在时,_________.当直线的斜率 时，
_________.
5.直线与椭圆相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
（1）根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个
一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注
意不能忽视对判别式的讨论.
（2）点差法:若直线与椭圆有两个交点, ,一般地,首先设出
,,代入椭圆方程,通过作差,构造出, ,
, ,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
椭圆中几个常用的结论：
（1）焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点或右（上）焦
点的连线叫作椭圆的焦半径，分别记作，.
①，，；
②，，；
③焦半径中长轴端点的焦半径最大和最小.
（2）焦点三角形：以椭圆上的点与两焦点, 为顶点的
叫作焦点三角形.，， ，
的面积为，则在椭圆 中：
①当，即点的位置为短轴端点时， 最大；
②，当，即点的位置为短轴端点时，
取到最大值，最大值为 ；
③焦点三角形的周长为 .
（3）若，为椭圆的两个焦点，弦过焦点，则 的周
长为 .
（4）为椭圆的不垂直于 轴的弦，
，，弦的中点为， 为原点，
则 .
（5）过原点的直线交椭圆于，两点， 是
椭圆上异于，的一点，直线, 的斜率均存在，则
.
（6）点在椭圆上，则椭圆在点 处
的切线方程为 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 如果椭圆上一点到焦点 的距离等于6,
那么点到另一个焦点的距离是____， 的周长为____.
14
36
[解析] 根据椭圆的定义得,
由,得 ,所以,故.
由 ,得，所以 的周长为
.
2.［教材改编］ 比较椭圆与椭圆 的形状，
椭圆_ __________更接近于圆.
[解析] 因为椭圆的离心率，
所以越大， 越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆.
椭圆 即椭圆，其离心率，
椭圆 的离心率，
因为，所以椭圆 更接近于圆.
3.［教材改编］ 动点到定点的距离和到定直线
的距离的比值是常数，则动点 的轨迹方程为___________.
[解析] 设是点到直线的距离，
则由题意知 ，即，
整理得，故动点 的轨迹方程为 .
4.［教材改编］ 椭圆与直线 相交所得的弦长
为_ ____.
[解析] 由得 ，
设此方程的两实根为,,则
故所得弦长为
.
题组二 常错题
◆索引：椭圆的定义中忽视 这一条件;忽视焦点的位置；
忽视椭圆方程中未知数的取值范围.
5.平面内一点到两定点,的距离之和等于12,则点
的轨迹是______.
线段
[解析] 由题意知, ,
即,所以点 的轨迹是线段.
6.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 的长轴长为4，焦距为2，
则 的方程为_ ______________________.
或
[解析] 椭圆的中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，
，，.
当椭圆的焦点在轴上时， 的方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，的方程为 .
7.若,分别是椭圆的左、右焦点,点 在椭圆上运动,则
的最小值是___.
1
[解析] 设,依题意得, ,
则 ,
因为,所以,所以 的最小值是1.
探究点一 椭圆的定义及其应用
例1（1）已知动圆与圆 外切,与圆
内切,则动圆圆心 的轨迹方程为_ __________.
［思路点拨］根据圆与圆的位置关系,得到圆心距之间的关系,
由定义可知动点轨迹为椭圆，求出方程即可.
[解析] 圆的圆心为,半径 ,
圆的圆心为,半径.
设动圆 的圆心为,半径为,由题得, ,
, 圆心 的轨迹是椭圆，
设其标准方程为,则,,
可得, ,,
动圆圆心的轨迹方程为 .
（2）[2023·全国甲卷]设为坐标原点，，为椭圆
的两个焦点，点在上，，则 ( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］思路一：根据焦点三角形的面积公式求出 的面
积，进而可得点的横、纵坐标的平方，从而得出 的值；
[解析] 方法一：设 , ，
则 .
由,可得 .
由椭圆方程可知，,, ，
所以，
所以 ，则，
故 .故选B.
［思路点拨］思路二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出,
的值，再结合中线的向量公式以及数量积即可得解；
[解析] 方法二：由题可知，①，
，
即 ②，
联立①②，可得,，
又 ，所以，
即
.故选B.
［思路点拨］思路三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出
的值，然后根据三角形中线定理即可得出 的值.
[解析] 方法三：由题可知，①，
，
即 ②，
联立①②，可得 ，由三角形中线定理可知，
，
易知 ，解得 .故选B.
[总结反思]
椭圆定义的应用主要有两个方面:一是明确平面内与两定点有关的轨
迹是否为椭圆;二是利用定义解与焦点三角形有关的问题.涉及焦点三
角形的常见问题有求焦点三角形的周长、面积等，难度不是很大.
[解析] 由椭圆,得, ,
则 ,
则,
当且仅当 时等号成立.故选C.
变式题（1）已知,是椭圆的两个焦点,点在 上,则
的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
√
（2）已知,分别为椭圆的左、右焦点，为 在第
二象限内的一点，以为直径的圆交于点，若
（为坐标原点），则 的面积为_____.
[解析] 由题得,，,,故以为直径的
圆 的方程为，圆的半径为2，则 .
因为，所以，所以，
又点在椭圆 上，所以，则.
在 中，由余弦定理得
，故 ，
则 .
探究点二 椭圆的标准方程
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，离心率是 ，长轴长与短轴长之差为2.
［思路点拨］根据离心率以及长轴长和短轴长的关系列出方程求解，
结合椭圆的焦点在 轴上即可写出椭圆的标准方程；
解：因为椭圆的离心率是 ，长轴长与短轴长之差为2，
所以 解得
又椭圆的焦点在 轴上，故椭圆的标准方程为 .
（2）以椭圆的短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形是正三角形,
且椭圆上的点到焦点的最短距离为 .
［思路点拨］由已知条件列方程组求出椭圆的长半轴长和半焦距，
进而求得短半轴长,分焦点在轴、 轴两种情况写出椭圆的标准方程；
解：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为,, ,
由题得解得.
若椭圆的焦点在 轴上,则椭圆的标准方程为;
若椭圆的焦点在 轴上,则椭圆的标准方程为.
故椭圆的标准方程为或 .
（3）与椭圆有相同的焦点，且经过点 .
［思路点拨］设出有相同焦点的椭圆的标准方程，将已知点的坐标
代入，利用待定系数法求解.
解：设与椭圆 有相同的焦点的椭圆的
标准方程为，
因为椭圆经过点 ，所以，
解得或 （舍去），故椭圆的标准方程为 .
[总结反思]
根据条件求椭圆方程的主要方法
（1）定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
（2）待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆方程中的,.当不知
焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为
,不必考虑焦点位置,用待定系数
法求出,的值即可.
变式题（1）已知点在椭圆上，点，
分别为椭圆的左、右焦点，满足， 的面积为12，
椭圆的焦距为8，则椭圆 的标准方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 椭圆的焦距为8，则，故 .
由，的面积为12，
得 ，即，
又 ，
所以 ，
即，所以，
又，则 ，
则椭圆的标准方程为 .故选D.
（2）[2022·全国甲卷]已知椭圆 的离心率
为,,分别为的左、右顶点，为的上顶点.若 ,
则 的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由离心率，得，即
由题意知,,,所以, ，
因为,所以，将 代入，
得,，故椭圆的方程为 .故选B.
√
探究点三 椭圆的简单几何性质微课13·思维
微点1 求椭圆的离心率的值或范围
例3（1）[2022·全国甲卷]椭圆 的左顶点为
，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为 ,
则 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题意得，设，则 ，
,，所以 .
由，得，所以，
所以椭圆 的离心率 .故选A.
［思路点拨］思路一：设出点的坐标，从而得到点 的坐标，
由直线，的斜率之积为及点在椭圆上，可得 的值，
由即可求出离心率；
［思路点拨］思路二：设椭圆的右顶点为 ，
由对称性得直线，关于轴对称，得，
设出点 的坐标，结合，的坐标及在椭圆 上即可得解.
[解析] 方法二：设椭圆的右顶点为,因为点，均在上，
且关于 轴对称,所以直线,关于轴对称,
所以 ，故.
设，由题得， ，
则 ,
所以，即 .故选A.
（2）[2024·浙江温州三模]已知, 分别是椭圆
的左、右焦点，上两点, 满足
，，则椭圆 的离心率是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据焦点三角形的边长关系，结合余弦定理即可求解.
√
[解析] 由可知，，， 三点共线.
设,则,, , .
在 中，由余弦定理可得
，化简可得，
即，故 或（舍去），
又 , 所以
,化简可得,即
,故 ,可得,以 .故选D.
[总结反思]
求椭圆离心率的值或范围的方法
（1）直接求出，，利用离心率公式求解.
（2）由与的关系求离心率，利用变形公式求解.
（3）构造，的齐次式，可以不求出，的具体值得出与的关系，
从而求得.
微点2 与椭圆有关的范围（最值）问题
例4（1）设，分别是椭圆的左、右焦点，点 是该椭
圆上一个动点，则 的取值范围是_______ .
［思路点拨］先求出焦点坐标，设，求得，再由
在椭圆上，结合 的取值范围即可求解．
[解析] 由椭圆得，，
故 ，可得，.
设，则 ， ，
可得.
由 在椭圆上，得，可得 ，
故，
则当时, 取得最大值1,当时,
取得最小值,则 的取值范围是 ．
（2）[2025·杭州一模]已知， 分别为椭圆
的左、右焦点，过的一条直线与 交于
，两点，且， ，则椭圆长轴长的最小值是
( )
A. B. C.6 D.
［思路点拨］利用椭圆的定义，结合勾股定理与基本不等式转化求
解即可.
√
[解析] 连接，设，则，
， .
由，可得 ，
则，故 ，
所以 ，
当且仅当，即 时取等号，
则椭圆长轴长的最小值是 .故选B.
[总结反思]
利用椭圆的几何性质求范围（最值）问题的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或
不等关系.
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系
求范围.
应用演练
1.[2023· 新课标Ⅰ卷]设椭圆， 的
离心率分别为，，若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，又，所以，即 ，
解得，所以 .故选A.
√
2.已知椭圆的右顶点为,直线交 于
第一象限内的点，点在上,为坐标原点,四边形 为平行四
边形.下列说法正确的是( )
A.越大, 的长轴越长
B.越大, 越扁
C.若,则的离心率为
D.的值可以为
√
[解析] 因为,均在轴上,且四边形 为平行四边形,所以,
且,的纵坐标相等,则由椭圆的对称性知, 的横坐标互为相反数.
由题意得,设,则 ，
将点的坐标代入中，得 ,
则,即,所以 ,故A不正确.
因为,所以,
所以当越大时, 的离心率越小,椭圆越圆,故B不正确.
当时, ,故C正确.
因为,所以 ,故D不正确.故选C.
3.[2024·陕西咸阳模拟]设，分别是椭圆
的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且 ，
，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以设 .
连接，因为过的直线交椭圆于， 两点，
所以由椭圆的定义可得，，，
则 ，.
因为，所以，
则 和都是直角三角形.
由勾股定理可得， ，
即，可得，
所以 ，，
又， ，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为 .故选B.
4.[2024·杭州学军中学月考] 经过椭圆 的
右顶点与上顶点的直线的斜率为，则 的离心率为__.
[解析] 因为经过椭圆的右顶点 与
上顶点的直线的斜率为，所以,即 ，
可知椭圆的焦点在轴上,则的离心率 .
5.[2024·岳阳二模] 已知椭圆 的左、右焦点
分别为，，其中，过的直线与椭圆交于， 两
点，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是_ _______.
[解析] 设点，由题意知, ，
则,，
由 ,得
,即,因此点在以为圆心,半径为 的圆上，
又点在椭圆上，则圆与椭圆 有公共点.
由椭圆的几何性质知，即 ，
即，整理得，即 ，
所以椭圆的离心率 .
6.已知椭圆，，分别为的左、右焦点，是椭圆
上的动点，则 的内切圆半径的最大值为__.
[解析] 由题得,,，
的周长
内切圆的半径，
当取得最大值时，取得最大值，
显然当 为短轴端点时， 取得最大值，
此时，则 .
【备选理由】例1考查椭圆的定义及其应用;
例1 ［配例1使用］ 如图，菱形架 是一种
作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾
连接而成.已知，可在带滑槽的直杆 上滑动，
另一根带滑槽的直杆 的长度为4，且一端记为
3
，另一端用铰链连接在处，上述两根带滑槽直杆的交点 处有一栓
子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将， 固定在桌面上，且两点之间
的距离为2，转动杆，则点到点 距离的最大值为___.
[解析] 如图，连接,, ，
因为四边形为菱形，
所以为线段 的垂直平分线，
故，所以 ，
故点的轨迹是以,为焦点的椭圆，且, ，即,，所以的最大值为 .
例2 ［配例3使用］ 已知椭圆 的左、右焦点
分别为,，过的直线与椭圆交于， 两点，若
，，则 __，椭圆的离心率为_ __.
【备选理由】例2考查椭圆离心率的求法;
[解析] 由，得 ,即
,即,所以，故 .
设，则，, ,
在中， ，
即，可得.
在 中，，
即,结合,可得,则 .
例3 ［配例3使用］ [2024·安徽皖豫名校联盟三模] 在椭圆 的4个顶
点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和
中心，则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查椭圆离心率的求法;
[解析] 根据题意，这三个点为等腰直角三角形的三个顶点，
所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个焦点”或
“两个焦点和短轴的一个端点”，
设椭圆的长半轴长为，短半轴长为 ，
半焦距为，这两种情况都满足 ，
所以，
即椭圆的离心率为 .故选C.
例4 ［配例3使用］ [2024·杭州二模] 机场为旅客
提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为
，开口直径为 .旅客使用纸杯喝水时，当
水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点及另一
条母线与底面圆周的交点时，椭圆的离心率等于
_ ____.
【备选理由】例4考查椭圆、立体几何的综合问题.
[解析] 如图，连接，，设 ,
因为,,所以 .
由题意知,在 中，由余弦定理得
， 故.
设椭圆中心为,则为的中点.作圆锥的轴截面 ,且平面.
设平面与底面直径交于,与椭圆交于, , 连接,,
设交于,易知为 的中点,,,则 .
由得 ,
,从而 .
以为坐标原点，所在直线为 轴建立
平面直角坐标系,则 .
不妨设椭圆的方程为,则 ,即,
把和点 的坐标代入椭圆的方程，可得，
则 ，故 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.椭圆 的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据椭圆方程可得焦点在 轴上,
且,
所以,故焦点坐标为 .故选B.
√
2.椭圆的离心率为,则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 椭圆的离心率为,,, ,故选A.
√
3.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为方程 表示的曲线是椭圆，
所以解得且，
所以实数 的取值范围是 .故选D.
√
4. 新课标Ⅱ卷］ 已知曲线，从 上任
意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨迹方
程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,,
因为 在曲线上,所以 ,
整理得点的轨迹方程为 .故选A.
√
5.（多选题）[2024·潍坊二模] 已知椭圆 的焦点分别
为，，为 上一点，则( )
A.的焦距为 B.的离心率为
C.的周长为 D.面积的最大值为
√
√
√
[解析] 设椭圆的长轴长为,短轴长为 ,
焦距为,则,,,故,, ,
所以的焦距为,故A正确；
的离心率为,故B正确；
的周长为 ,故C错误；
当点位于椭圆的上顶点或下顶点时, 的面积最大,
最大值为,故D正确.故选 .
6.[2024·武汉模拟] 写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：
_ _________________________.
（答案不唯一）
[解析] 设椭圆的标准方程为，由题得 ,
所以,取,则椭圆的标准方程可以为 .
7.[2024·昆明模拟] 已知椭圆的左焦点为 ，
点在椭圆上，若的最大值是最小值的2倍，则椭圆 的离心率
__.
[解析] 设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的几何性质知，
,，依题意得 ，
解得，所以椭圆的离心率 .
◆ 综合提升 ◆
8.如图，一圆形纸片的圆心为， 是圆内
（不包括边界）一定点， 是圆周上一动点，把纸
片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为 ，
设与交于点，则点 的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
√
[解析] 连接，，由题意知，是线段 的垂直平分线，
， （定值），
显然， 根据椭圆的定义可知点 的轨迹是
以， 两点为焦点的椭圆.故选A.
9.[2025·江西南昌模拟]已知椭圆的右焦点为，则 上
满足的点 有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 椭圆的右焦点为，
设 ，由，得.
由 消去得，又，
所以 ，当时，对应的值有2个，
所以上满足的点 有2个.故选B.
√
10.[2024·广东惠州模拟]已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心
的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则 的周长的
最小值为( )
A.8 B. C.10 D.
√
[解析] 椭圆的方程为,则, ,.
设椭圆的左焦点为,连接, ,则由椭圆的对称性可知,
,其中 为坐标原点,可知四边形为平行四边形,
则,可得 的周长为
，
当，为椭圆短轴的两个端点时,取得最小值,最小值为 ，
所以的周长为,
故 的周长的最小值为10.故选C.
11.设是椭圆的上顶点，若 上的任意一
点都满足，则 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：设,易知,由 ,得
,则
,.
由题知，当时， 取得最大值，
所以由二次函数的图象知,故,
即,所以 ,故椭圆的离心率 ,故选C.
方法二：是椭圆上任意一点，
是椭圆 的上顶点，因为，所以以为圆心，
为半径的圆与椭圆至多有一个交点.
由消去 可得
，令 ，
化简整理可得，可得，若要满足题意，
则 ,故，所以 .故选C.
12.（多选题）椭圆曲线 是代数几何中
一类重要的研究对象.下列关于椭圆曲线
的结论正确的有( )
A.曲线关于直线 对称
B.曲线关于直线 对称
C.曲线上的点的横坐标的取值范围为
D.曲线上的点的横坐标的取值范围为
√
√
[解析] 由 ，
得 .
对于A，因为，
所以曲线 不关于直线对称，故A不正确.
对于B,设点在曲线 上，则，因为 ，所以点在曲线上，
所以曲线关于直线 对称，故B正确.
对于C，D，由，得 ，
解得或，故C不正确，D正确.故选 .
13.已知椭圆的右焦点为，以 为焦点的抛物
线与椭圆的一个交点为，若垂直于 轴，则该
椭圆的离心率为_________.
[解析] 由题得轴，不妨设点在第一象限内，
因为 在抛物线上，所以，又在椭圆上，所以,
所以 且,所以,所以 ，
解得或（舍去），所以 .
14.如图，半椭圆与半椭圆 组成
的曲线称为“果圆”，其中，， .“果圆”与
轴的交点分别为，，若在“果圆”位于 轴右侧的部分上存在点
，使得，则 的取值范围为_ ________.
[解析] 由题意知, .设，
,则 ,
,
, ，
即 ,
即 ，
即 ，
则或 （舍去）.
令，则 ，
， ，
可得，的取值范围为 .
15.已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点, .
（1）求椭圆的离心率的取值范围;
解：不妨设椭圆的方程为,焦距为 .
在 中，由余弦定理得
,即 ,
所以 ,
所以,所以 .
因为,当且仅当 时等号成立，
所以,所以,所以.
又因为 ,所以椭圆的离心率的取值范围是 .
（2）求证： 的面积只与椭圆的短轴长有关.
证明：由（1）可知 ,
所以 ，
所以 的面积只与椭圆的短轴长有关.
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024· 广东深圳二模]是椭圆 上一点，
且在第一象限内，，分别是的左、右焦点， ，
点在的平分线上，为原点，，且，则
的离心率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设， ，
延长交于，由题意知，
为 的中点，故为的中点.
由 ，得，则，又 ，
所以 是等腰直角三角形,
故有化简得 所以
又 ,所以,即 ,
又,所以,所以 ,故 .故选C.
17.如图是数学家 用来证明一个平
面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放
两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面
与截面都相切，设图中球，球 的半径分别为4和
2，球心距，截面分别与球，球
相切于点,,是截口椭圆的焦点 ，则此椭圆的
离心率为__.
[解析] 易知与相交,设 ,连接,,
由题意得 解得
所以 , ，
所以 ,即.
设直线与圆锥侧面的一个交点为（靠近点），
点 所在的母线与球,分别相切于, 两点,其截面图如图所示，
则, ，两式相加得
，即.
连接，,过作 ，垂足为，
则四边形 为矩形，
所以，
即 ，所以椭圆的离心率为 .
【知识聚焦】
1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c (3)a(0,0) (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a) (0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a2-b2
3.(1)没有 一个 两个 (2)Δ>0 Δ=0 Δ<0 4.|y1-y2| |x1-x2|
【对点演练】
1.14 36 2.+=1 3.+=1 4. 5.线段 6.+=1或+=1 7.1
课堂考点探究
例1(1)+=1 (2)B 变式题(1)C (2) 例2(1)+=1 (2) +=1或+=1 (3)+=1
变式题(1)D (2)B 例3(1)A (2)D 例4(1)[-2,1] (2)B
【应用演练】
1.A 2.C 3.B 4. 5. 6.
教师备用习题
例1 3 例2 例3 C 例4
基础热身
1.B 2.A 3.D 4.A 5.ABD 6. +=1(答案不唯一) 7.
综合提升
8.A 9.B 10.C 11.C 12.BD 13. -1+ 14. 15.(1) (2)略
能力拓展
16.C 17.
