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第八章第54讲双曲线（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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名称	第八章第54讲双曲线（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习
格式	zip
文件大小	16.2MB
资源类型	教案
版本资源	通用版
科目	数学
更新时间	2025-09-27 16:45:35

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文档简介

第54讲　双曲线
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.距离的差的绝对值　焦点　焦距
(1)ac
3.x≥a或x≤-a　y≤-a或y≥a
(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a)
±x　±x　(1,+∞)　a2+b2　2a　2b　
【对点演练】
1.4　(0,-5),(0,5)　y=±x
[解析] 把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程,得-=1.由此可知,a=4,b=3,故c===5,则焦点坐标是(0,-5),(0,5),渐近线方程为y=±x.
2.-=1　[解析] 设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,故所求双曲线的方程为-=1.
3.(0,2)　[解析] 要使+=1表示双曲线,只需t(t-2)<0,解得04.17　[解析] 由题意知|PF1|=95.双曲线-=1的右支　[解析] 设满足题意的点为点P,由题意知|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=8,则点P在以F1,F2为焦点,且实轴长为6的双曲线的右支上.设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则a=3,c=4,故b2=c2-a2=7,所以所求点的轨迹是双曲线-=1的右支.
6.2或　[解析] 若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),则其渐近线的方程为y=±x,由题意可得=tan=,即b1=a1,可得c1=2a1,此时离心率为=2.若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),则其渐近线的方程为y=±x,由题意可得=tan=,即a2=b2,可得c2=a2,此时离心率为=.综上,所求离心率为2或.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] (1)根据双曲线方程确定c的值,从而求出|PF2|,再利用双曲线的定义求解即可.(2)思路一:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到tan∠PF1F2,结合∠POF2=2∠PF1F2即可求解tan∠POF2;思路二:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到|F1F2|,求出双曲线的方程,结合P(x0,y0)(x0>0)在双曲线及以F1F2为直径的圆上,得到x0,|y0|,进而求解.
(1)A　(2)A　[解析] (1)由x2-y2=2,得-=1,故a=,b=,c=2.∵=8|F1F2|=8×4=32,∴|PF2|=4.又|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2+|PF2|=6.故选A.
(2)方法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,故tan∠PF1F2==,所以tan∠POF2=tan 2∠PF1F2==.
方法二:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,则|F1F2|==2,则b2=10-4=6,故双曲线的方程为-=1.设P(x0,y0)(x0>0),由
可得故tan∠POF2==.故选A.
变式题　(1)C　(2)　[解析] (1)∵两定点F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,由双曲线的定义得,当|PF1|-|PF2|=±4时,动点P的轨迹为双曲线,故选C.
(2)因为e2=1+=1+=4,所以a2=1,则c=2,所以|F1F2|=4,又△AF1F2的周长为10,所以|AF1|+|AF2|=6.不妨设点A在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a=2,所以|AF1|=4,|AF2|=2,所以△AF1F2是等腰三角形.取AF2的中点B,连接BF1,则BF1⊥AF2,|BF1|==,所以=|AF2|·|F1B|=.
例2　[思路点拨] (1)根据双曲线C的焦点得到双曲线C的半焦距,结合离心率求出实半轴长,进而得到虚半轴长,写出C的方程即可.(2)设所求双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),结合点(- 5,2)在所求双曲线上,求出λ,即可得到所求双曲线的方程.
(1)-=1　(2)-=1
[解析] (1)设双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c=2.由双曲线C的离心率为,得=,解得a=,则b==,所以双曲线C的方程为-=1.
(2)双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x,设所求双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),又点(-5,2)在双曲线上,所以λ=4×(-5)2-(2)2=100-60=40,故所求双曲线的方程为-=1.
变式题　(1)B　(2)D　[解析] (1)因为圆C:x2+y2+6x+5=0的圆心为C(-3,0),半径r=2,所以c=3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由题知=2,整理得a2=b2,又a2+b2=9,所以b2+b2=9,所以b2=4,a2=5,故双曲线的方程为-=1.故选B.
(2)由题意,|PF2|=2,∵焦点到任一条渐近线的距离为b,∴b=2.在△POF2(O为原点)中,由等面积法易得点P的坐标为,故===,化简可得(a-)2=0,故a=,∴双曲线的方程为-=1.
例3　[思路点拨] (1)根据已知条件求出m的值,即可得到双曲线的渐近线方程.(2)根据双曲线方程得到渐近线方程,根据渐近线与圆相切得到圆心到渐近线的距离等于半径,列式求解即可.
(1)C　(2)　[解析] (1)由题意得=2,解得m=2,则双曲线C:-=1,故其渐近线方程为y=±2x.故选C.
(2)双曲线y2-=1(m>0)的渐近线方程为y=±,即x±my=0.圆x2+y2-4y+3=0的标准方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(0,2),半径r=1.依题意,圆心(0,2)到渐近线x±my=0的距离d==1,解得m=或m=-(舍去).
例4　[思路点拨] (1)设|AF1|=m(m>0),根据等边三角形的几何性质及双曲线的定义用m表示出2a,2c,进而求出离心率.(2)思路一:利用坐标法,设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),结合已知条件得到n2=4c2,结合点A在C上及b2=c2-a2得到关于的方程,即可得到离心率;思路二:利用几何法,根据=-,设|F2A|=2x,|F2B|=3x,根据双曲线的对称性及定义用x表示|F1B|,|F1A|,结合⊥得到x=a,在△AF1F2中利用余弦定理得到a与c的关系,即可得到离心率.
(1)A　(2)　[解析] (1)设|AF1|=m(m>0),因为△ABF2为等边三角形,AF1⊥F1F2,所以|AF2|=2m,|F1F2|=m=2c,又|AF2|-|AF1|=m=2a,所以双曲线M的离心率e====.故选A.
(2)方法一(坐标法):依题可设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),由=-,可得A,所以=,又=(c,n),所以由⊥可得c2-n2=0,即n2=4c2.因为点A在C上,所以-=1,即25-16=9,即25e2-=9,解得e2=或e2=(舍去),所以e=.
方法二(几何法):由=-可得=,设|F2A|=2x,|F2B|=3x,由对称性可得|F1B|=3x,易知点A在双曲线的右支上,根据双曲线的定义可得|F1A|=2x+2a.又|AB|=5x,⊥,所以sin∠F1AF2===,所以cos∠F1AF2=,即==,可得x=a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1AF2==,即5c2=9a2,得e=.
【应用演练】
1.D　[解析] 由题意知直线y=2x的斜率小于双曲线的渐近线y=x的斜率,所以>2,即b2>4a2,即c2-a2>4a2,即>5,所以e=>.故选D.
2.D　[解析] 由题可知四边形AF2BF1为平行四边形,则|F1B|=|F2A|=2|F1A|.易知A在y轴左侧,故|F2A|-|F1A|=2a,∴|F1A|=2a,|F2A|=4a.∵·=·=-·=-2a·4acos∠F1AF2=
-8a2cos∠F1AF2=4a2,∴cos∠F1AF2=-,则|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2=4a2+16a2-2·2a·4a·=28a2,即4c2=28a2(c为双曲线的半焦距),∴双曲线的离心率e=,故选D.
3.　[解析] 由双曲线+=1的方程可得(m+1)m<0,解得-10>m,所以双曲线+=1的焦点在y轴,且a2=m+1,b2=-m,所以e2=1+=1+,又双曲线的离心率为3,所以1+=9,解得m=-,所以a=,b=,c2=a2+b2=+=1,c=1,所以焦点坐标为(0,±1),双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±2y=0,所以焦点(0,±1)到渐近线x±2y=0的距离d==.
4.　[解析] ∵|AB|=10,∴|AF2|=5,又∵|AF1|=13,AF2⊥F1F2,∴|F1F2|==12,∴2c=12,∴c=6.∵2a=|AF1|-|AF2|=8,∴a=4,∴e==.
例5　[思路点拨] (1)根据题目所给条件得到a,c,进而得到b,即可写出双曲线C的方程;(2)设直线l的方程为y=x+m,将直线方程与双曲线方程联立,结合根与系数的关系用m表示出线段MN的中点坐标,得到线段MN的垂直平分线的方程,进而根据三角形的面积求出m即可.
解:(1)由题设得c=2,e==2,解得a=1,则b==,所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y整理得2x2-2mx-m2-3=0,则Δ=(-2m)2+8(m2+3)=12(m2+2)>0.
由根与系数的关系可知
设线段MN的中点坐标为(x0,y0),则x0==,y0=x0+m=,故线段MN的垂直平分线的方程为y-=-,即y=-x+2m.
此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2m,0),(0,2m).由题设可得 |2m|·|2m|=4,即m2=2,解得m=±,故直线l的方程为y=x±.
变式题1　(1)B　(2)ACD　[解析] (1)不妨设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),因为=3,AM⊥x轴,M在Γ上,所以M(x0,-y0),(xN-x0,yN-y0)=3(0,-2y0)=(0,-6y0),所以xN=x0,yN=-5y0,即N(x0,-5y0).设点C(x,y),又点C在双曲线Γ上,则kCB·kCA=·==
=,又∠CAB=90°,所以kBN·=,又kBN==-,kAB=,所以=2,故e==.故选B.
(2)对于A,当a=b时,因为c2=a2+b2,所以e===,故A正确;对于B,当过其右焦点F的直线l与Γ的左、右两支均相交时,|AB|的最小值为2a(此时A,B为双曲线的两顶点);当过其右焦点F的直线l与Γ的右支相交于A,B两点时,最短弦长为通径,即交点的横坐标为c,将x=c代入双曲线方程得-=1,解得y=±,此时|AB|=,由于a与b的大小关系不确定,故|AB|的最小值不一定为2a,故B错误;对于C,若满足|AB|=2a的直线l恰有一条,则由选项B可知2a<,即b2>a2,所以e===>,故C正确;对于D,若满足|AB|=2a的直线l恰有三条,则由选项B可知2a>,即b21,所以1变式题2　解:(1)由题意可得
解得故C的方程为x2-=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,可设A(xA,yA),则B(xA,-yA),则=(xA,yA),=(xA,-yA),将点A的坐标代入双曲线方程得-=1,又·=-=0,解得yA=±,此时|AB|=2|yA|=.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y整理得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0,故3-k2≠0,Δ=4k2m2+4(m2+3)(3-k2)>0,则x1+x2=,x1x2=,则·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)·+km·+m2=0,化简得3k2+3=2m2,此时Δ=6(k2+9)>0,故|AB|=|x1-x2|=·
=·
=·
=·=
·.当k=0时,|AB|=;当k≠0时,|AB|=·,∵3-k2≠0,∴k2+>2=6,故>0,
故|AB|=·>.
综上可得,|AB|的取值范围为[,+∞).第54讲　双曲线
1.B　[解析] 由双曲线C的方程知a=3,根据双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=|5-|PF2||=2a=6,解得|PF2|=-1(舍去)或|PF2|=11.故选B.
2.C　[解析] 因为双曲线C的焦点在y轴上,所以双曲线C:mx2+ny2=1的标准方程为-=1,所以a2=,b2=-,所以C的离心率e====2,则-=3,所以3m+n=0.故选C.
3.B　[解析] 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,由题意可知-·=-1,可得b=a,所以c==b=6,则b=3,因此该双曲线的虚轴长为2b=6.故选B.
4.A　[解析] 设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是一条射线,故选A.
5.AB　[解析] 方法一:对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥,故A正确;对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确;对于选项C,取x=2,y=1,满足-y2=1,此时=,故C错误;对于选项D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB.
方法二:易知点(x,y)在双曲线-y2=1上,根据双曲线上点的横坐标的范围可知|x|≥,故A正确;x2+y2表示双曲线上一点到原点的距离的平方,双曲线的实半轴长为,故x2+y2≥2,故B正确;表示双曲线上一点与原点连线的斜率,双曲线的渐近线的斜率为±=±,故-<<,故C错误;对于D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误.故选AB.
6.-=1　[解析] 双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ,又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1.
7.　[解析] 不妨取渐近线的方程为y=x,F(c,0),则直线EF的方程为y=-(x-c),由解得∴E,则线段EF的中点M的坐标为.由点M在双曲线上,得-=1,化简得c2=2a2,∴e2=2,∴e=.
8.A　[解析] 作出截面图,以AA1的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则|OA|=|OA1|=4.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则a=4,可设C1,B1(09.B　[解析] 由双曲线的定义可知|AF2|-|AF1|=2a,又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a.因为
∠F1AF2=π,所以=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×2a×4a×=2a2.由双曲线的定义可知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又|BF1|=2a+|BA|,所以|BF2|=|BA|.因为∠F1AF2=,所以∠BAF2=,所以△BAF2为等边三角形,且边长为4a,所以=|AB|2=×(4a)2=4a2,所以==.故选B.
10.B　[解析] 不妨设M在x轴上方,如图.由题可得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),M,N,P,所以kBP==,直线BP的方程为y=(x-a),令x=0,解得y=-,所以直线BP与y轴的交点为.因为kAN==-,所以直线AN的方程为y=-(x+a),令x=0,解得y=a-c,所以直线AN与y轴的交点为(0,a-c).因为直线BP与直线AN的交点在y轴上,所以a-c=-,解得c=3a,所以双曲线E的离心率e==3.故选B.
11.BD　[解析] 对于A,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则-n>m>0,故A错误;对于B,当m=-n>0时,曲线C是圆,故B正确;对于C,当m=-n=1时,满足mn<0,但曲线C的方程为x2+y2=1,曲线C是圆,故C错误;对于D,若曲线C为双曲线,则mn>0,当时,-=1表示焦点在y轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,当时,-=1表示焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±x,故D正确.故选BD.
12.ABD　[解析] 对于A,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为y=±x,要使过点F1的直线l交双曲线C于P,Q两点,交两条渐近线于M,N两点(P,M在第一象限),则满足>,所以b2>3a2,所以A正确;对于B,由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,|QF2|-|QF1|=2a,两式相减得|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|,所以△PQF2的周长为|PQ|+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|QF2|+|PF2|=(|PF1|-|QF1|)+|PF1|+|QF1|=2|PF1|,所以B正确;对于C,设PF2的中点为S,坐标原点为O,连接OS,则|OS|=|PF1|=(|PF2|+2a)=|PF2|+a,所以两圆外切,所以C错误;对于D,由且c2=a2+b2,得M(a,b),连接F2M,则F2M⊥MF1,又A2R⊥PF1,所以A2R∥F2M,连接MA2并延长,交NO的延长线于M',则M'(a,-b),A2为MM'的中点,又MN的中点为R,则RA2∥M'N,所以M'N∥RA2∥MF2,所以|OA2|=|A2F2|,即a=c-a,所以e==2,所以D正确.故选ABD.
13.　[解析] 由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点F,如图.双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,双曲线的半焦距c=2,故F(2,0),过点F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-2).由可得交点A的坐标为(3,).由可得交点B的坐标为,故该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为×2×=.
14.3　2　[解析] 设P(m,n)(m>0,n>0),则m2-=1,可得n2=3(m2-1).因为A,B分别为双曲线C:x2-=1的左、右顶点,所以A(-1,0),B(1,0),所以tan α·tan β=kPA·kPB=·==3.因为tan α>0,tan β>0,所以2tan α+tan β≥2=2,当且仅当2tan α=tan β时,等号成立,此时=,解得m=3,所以n2=3×(32-1)=24,所以n=2,所以△PAB的面积为×|AB|×yP=×2×2=2.
15.解:(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线C的方程为-=1(a>0),又实轴长为2,则2a=2,得a=1,所以双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)由过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,知该直线的斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行.设该直线的方程为y=kx+1,k≠±1,由整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,需满足Δ=4k2+8(1-k2)>0且<0,解得-116.A　[解析] 设椭圆与双曲线的焦距均为2c,则-=c2,+=c2.连接OP(O为坐标原点),因为∠F1PF2=90°,所以|OP|=|F1F2|=c,又点P在第一象限,且在直线y=x上,所以P.因为点P在椭圆C1上,所以+=1,即+=2,整理得2-4c2+c4=0,两边同时除以c4,得2·-4·+1=0,解得=
=,又01),所以+=+=2.故选A.
17.ABD　[解析] 对于A,若双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则=或,故e==2或,故A正确.对于B,设|AF1|=x,则|BF2|=x,|AF2|=x-2a,|BF1|=x+2a.在Rt△F1AB中,可得x2+(2x-2a)2=(x+2a)2,所以x=3a.在Rt△F1AF2中,可得x2+(x-2a)2=4c2,即10a2=4c2,故e=,故B正确.对于C,设圆I1与AF1,AF2,F1F2分别相切于点D,Q,T,则|AD|=|AQ|,|F1D|=|F1T|,|F2Q|=|F2T|,故|F1T|-|F2T|=|F1D|-|F2Q|=|AF1|-|AF2|=2a.设点T(x0,0),又F1(-c,0),F2(c,0),所以x0-(-c)-(c-x0)=2a,解得x0=a.连接I1T,I2T,F2I1,F2I2,易知I1T⊥F1F2,则点I1的横坐标为a,同理可得点I2的横坐标为a,故I1,T,I2三点共线,即直线I1I2的方程为x=a.设直线AB的倾斜角为2θ,O为坐标原点,则∠OF2I2=θ,∠I1F2O=-θ.在△I1F2T中,r1=(c-a)tan=(c-a),在△I2F2T中,r2=(c-a)tan θ.由a=1,b=,得c=2,且双曲线C的渐近线的斜率为±,因为A,B均在双曲线C的右支上,所以60°<2θ<120°,即30°<θ<60°,故tan θ∈,所以r1-r2=(c-a)=-tan θ∈,故C错误.对于D,2====,故|AF1|+|AF2|=4c,又|AF1|-|AF2|=2a,kAB=,所以|AF1|=a+2c,|AF2|=2c-a,∠F1F2A=120°.在△AF1F2中,由余弦定理可得(2c+a)2=(2c-a)2+4c2+2c·(2c-a),可得4c=5a,故e=,故D正确.故选ABD.第54讲　双曲线
【课标要求】　1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的　　　　,两焦点间的距离叫作双曲线的　　　　.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当　　　　　时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当　　　　　时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当　　　　　时,点P不存在.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
(续表)
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
性质范围　　　　　,y∈R 　　　　　,x∈R
对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点
顶点 A1　　　　, A2　　　 A1　　　　, A2　　　
渐近线 y=　　　 y=　　　
离心率 e=,e∈　　　
a,b,c 的关系 c2=　　　　(c>a>0,c>b>0)
实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　　　　;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　　　　;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
常用结论
双曲线的几个常用结论:
(1)与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为-=λ(λ≠0).
(2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径,异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)离心率e===.
(5)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=,其中θ=∠F1PF2.
(6)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为.
(7)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
题组一　常识题
1.[教材改编] 双曲线9y2-16x2=144的实半轴长为　　　　,焦点坐标为　　　　　　　　,渐近线方程为　　　　.
2.[教材改编] 经过点A(3,-1),且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的方程为　　　　　　　.
3.[教材改编] 已知+=1表示双曲线,则实数t的取值范围是　　　　.
题组二　常错题
◆索引:忽视双曲线上一点到焦点距离的范围;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置.
4.已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=　　　　.
5.平面内到F1(-4, 0)和F2(4, 0)的距离之差等于6的点的轨迹是　　　　　　　　.　
6.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则该双曲线的离心率为　　　　.
　双曲线的定义及其应用
例1 (1)已知F1,F2分别为双曲线x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且=8|F1F2|,则|PF1|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.2
C.2+4 D.2+2
(2)已知O为坐标原点,F1,F2分别是双曲线-=1(b>0)的左、右焦点,点P为双曲线右支上一点,且P在以F1F2为直径的圆上,若|PF1|·|PF2|=12,则tan∠POF2= (　 )
A. B.
C. D.
总结反思
与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上,便于去掉绝对值.
变式题 (1)已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),则下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是 (　 )
A.|PF1|-|PF2|=±7
B.|PF1|-|PF2|=±6
C.|PF1|-|PF2|=±4
D.|PF1|2-|PF2|2=±6
(2)已知双曲线C:-=1(a>0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10,则△AF1F2的面积为　　　　.
双曲线的标准方程
例2 (1)[2023·北京卷] 已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　　　.
(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-5,2)的双曲线的方程为　　　　.
总结反思
求双曲线方程的常用方法:(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.
(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,当焦点位置不好确定时,可将双曲线方程设为Ax2+By2=1(AB<0),根据条件确定A,B即可.特别地,①与双曲线-=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);②与双曲线-=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2变式题 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2+6x+5=0相切,且圆C的圆心是双曲线的一个焦点,则该双曲线的方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)[2023·天津卷] 双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
　双曲线的几何性质有关问题
微点1　渐近线
例3 (1) 已知双曲线C:-=1(m>0)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为(　 )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
(2)[2022·全国甲卷] 若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则m=　　　　.
总结反思
求双曲线的渐近线方程时,可以先判断焦点的位置,也可以不判断焦点的位置,把双曲线方程右边的“1”改为“0”就可以得到渐近线方程.
微点2　离心率
例4 (1)[2025·河北邢台模拟] 已知双曲线M的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与实轴垂直的直线交双曲线M于A,B两点.若△ABF2为等边三角形,则双曲线M的离心率为 (　 )
A. B.
C.2 D.+1
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　.
总结反思
求双曲线离心率的方法:
①求出a,b,c的值,根据e2===1+直接求e;
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
建立关于a,b,c的齐次方程(或不等式)时,要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等.
1.若直线y=2x与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线离心率的取值范围为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,) B.(1,]
C.[,+∞) D.(,+∞)
2.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,·=4a2,则C的离心率为 (　 )
A. B.2 C. D.
3.[2025·金华一中月考] 若双曲线+=1的离心率为3,则该双曲线的焦点到渐近线的距离为　　　　.
4.[2024·新课标Ⅰ卷] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.
　直线与双曲线的位置关系
例5 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),离心率e=2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.

总结反思
解决直线与双曲线的位置关系问题时,有时利用数形结合思想,有时利用方程思想.根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
变式题1 (1)[2024·绍兴二模] 已知点A,B,C都在双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)上,且点A,B关于原点对称,∠CAB=90°.过A作垂直于x轴的直线分别交Γ,BC于点M,N.若=3,则双曲线Γ的离心率是 (　 )
A. B.
C.2 D.2
(2)(多选题)[2024·烟台二模] 已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,过其右焦点F的直线l与Γ交于点A,B,下列结论正确的是 (　 )
A.若a=b,则e=
B.|AB|的最小值为2a
C.若满足|AB|=2a的直线l恰有一条,则e>
D.若满足|AB|=2a的直线l恰有三条,则1变式题2 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且C经过点(2,3).
(1)求C的方程;
(2)若直线l与C交于A,B两点,且·=0(点O为坐标原点),求|AB|的取值范围.

第54讲　双曲线
(时间:45分钟)
1.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.13 B.11
C.1或11 D.11或13
2.[2024·北京西城区二模] 已知双曲线C:mx2+ny2=1的焦点在y轴上,且C的离心率为2,则 (　 )
A.3m-n=0 B.m-3n=0
C.3m+n=0 D.m+3n=0
3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线相互垂直,焦距为12,则该双曲线的虚轴长为 (　 )
A.6 B.6
C.9 D.12
4.已知x,y满足-=4,则动点M(x,y)的轨迹是 (　 )
A.一条射线 B.一条直线
C.椭圆 D.双曲线的一支
5.(多选题)[2024·南京二模] 若实数x,y满足-y2=1,则 (　 )
A.|x|≥
B.x2+y2≥2
C.<
D.|x-y|≤
6.[2024·济南三模] 已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为　　　　　　　　.
7.[2024·南京一模] 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过F作一条渐近线的垂线,垂足为E.若线段EF的中点在C上,则C的离心率为　　　　.
8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,如图所示,它的最小半径为4米,上口半径为米,下口半径为米,高为24米,则该双曲线的离心率为 (　 )
A.2 B.
C. D.2
9.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与双曲线的右支交于点B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=,则= (　 )
A.1 B. C. D.
10.[2024·武汉模拟] 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,其左、右顶点分别为A,B,过F且与x轴垂直的直线交双曲线E于M,N两点,设线段MF的中点为P,若直线BP与直线AN的交点在y轴上,则双曲线E的离心率为 (　 )
A.2 B.3
C. D.
11.(多选题)已知曲线C的方程为-=1,则下列说法正确的是 (　 )
A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则m>-n>0
B.曲线C可能是圆
C.若mn<0,则曲线C一定是双曲线
D.若曲线C为双曲线,则其渐近线方程为y=±x
12.(多选题)[2024·安徽芜湖模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,其左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,过点F1的直线l交双曲线C于P,Q两点,交两条渐近线于M,N两点(P,M在第一象限),MN的中点为R,则下列说法正确的是 (　 )
A.若直线l的斜率为,则b2>3a2
B.△PQF2的周长为2|PF1|
C.以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆相交
D.若点M恰为以F1F2为直径的圆与渐近线的一个交点,且A2R⊥PF1,则e=2
13.过双曲线-y2=1的一个焦点作倾斜角为60°的直线,则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是　　　　.
14.[2024·湖北七市模拟] 已知双曲线C:x2-=1的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上且位于第一象限,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则tan α·tan β=　　　　;当2tan α+tan β取到最小值时,△PAB的面积为　　　　.
15.已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线的斜率k的取值范围.
16.[2024·长郡中学二模] 设椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:-=1(a2>0,b2>0)有相同的焦距,它们的离心率分别为e1,e2,椭圆C1的焦点为F1,F2,C1,C2在第一象限的交点为P,若点P在直线y=x上,且∠F1PF2=90°,则+的值为 (　 )
A.2 B.3
C. D.
17.(多选题)[2025·安徽江淮十校一模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限.△AF1F2的内心为I1,△BF1F2的内心为I2,直线AI1与x轴的交点为P,记△AF1F2的内切圆的半径为r1,△BF1F2的内切圆的半径为r2,则下列说法正确的有 (　 )
A.若双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为2或
B.若AF1⊥AF2,且|BF1|-|AF1|=2a,则双曲线的离心率为
C.若a=1,b=,则r1-r2的取值范围是(-,)
D.若直线l的斜率为,|AI1|=2|I1P|,则双曲线的离心率为(共118张PPT)
第54讲双曲线
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
◆ 知识聚焦 ◆
1.双曲线的定义
平面内与两个定点, 的__________________等于非零常数
（小于）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的
______,两焦点间的距离叫作双曲线的______.
集合，，其中，为常数
且， .
距离的差的绝对值
焦点
焦距
（1）当______时，点的轨迹是双曲线；
（2）当______时，点的轨迹是两条射线；
（3）当______时，点不存在.
2.双曲线的标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的标准方程为
；
（2）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的标准方程为
.
3.双曲线的性质
标准方程
图形 _________________________________________________________________ ____________________________________________________
标准方程
性质范围
对称性对称轴：坐标轴.对称中心：原点顶点
或
或
续表
标准方程
性质渐近线
离心率
续表
标准方程
性质实、虚轴
续表
常用结论
双曲线的几个常用结论:
（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线系的
方程为.
（2）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，双曲线的
焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径，异支的焦点弦中最短的为实轴，
其长为 .
（4）离心率 .
（5）若是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，，分别为
双曲线的左、右焦点，则，其中 .
（6）设，，是双曲线上的三个不同的点，其中，关于原点
对称，直线，的斜率存在且不为0，则直线与的斜率之积
为 .
（7）若是双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，
则， .
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］双曲线的实半轴长为___，焦点坐
标为______________，渐近线方程为_ ________.
，
[解析] 把双曲线的方程化为标准方程，
得.
由此可知，，，故，
则焦点坐标是，，渐近线方程为 .
2.［教材改编］经过点，且对称轴为坐标轴的等轴双曲线
的方程为_ __________．
[解析] 设双曲线方程为，把点的坐标代
入，得，故所求双曲线的方程为 .
3.［教材改编］已知表示双曲线，则实数的取值范围
是______.
[解析] 要使表示双曲线，只需，
解得，所以实数的取值范围是 .
题组二常错题
◆ 索引：忽视双曲线上一点到焦点距离的范围；忽视定义中的条件
“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置.
4.已知是双曲线上一点,, 分别是双曲线的左、右焦点,
若,则 ____.
17
[解析] 由题意知,所以点在双曲线的左支上,
则有,故 .
5.平面内到和的距离之差等于6的点的轨迹是
_ _______________________.
双曲线的右支
[解析] 设满足题意的点为点 ,
由题意知,
则点在以, 为焦点,且实轴长为6的双曲线的右支上.
设该双曲线的方程为 ,半焦距为,
则,,故 ,
所以所求点的轨迹是双曲线的右支.
6.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线
的倾斜角为 ,则该双曲线的离心率为_ ______.
2或
[解析] 若双曲线的焦点在轴上,
设双曲线的方程为,
则其渐近线的方程为 ,由题意可得,
即,可得,此时离心率为 .
若双曲线的焦点在轴上,设双曲线的方程为 ,
则其渐近线的方程为,
由题意可得 ,即,可得,
此时离心率为 .综上，所求离心率为2或 .
探究点一双曲线的定义及其应用
例1（1）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在
双曲线的右支上，且，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据双曲线方程确定的值，从而求出，
再利用双曲线的定义求解即可.
[解析] 由，得，故，，
， .
又, .故选A.
√
（2）已知为坐标原点,,分别是双曲线的左、
右焦点,点为双曲线右支上一点,且在以为直径的圆上,若
,则 ( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］思路一：先根据双曲线的定义及求出
,，进而得到，结合即可求解
;
[解析] 方法一:设,,则 .
由双曲线的定义知,又,所以,.
因为在以为直径的圆上,所以,故 ,
所以 .
［思路点拨］思路二：先根据双曲线的定义及
求出，，进而得到，求出双曲线的方程，
结合在双曲线及以为直径的圆上，
得到, ，进而求解.
[解析] 方法二:设,,则 .
由双曲线的定义知,又,所以,.
因为在以为直径的圆上，所以,
则,则 ,
故双曲线的方程为.
设,由可得
故 .故选A.
[总结反思]
与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.在“焦点三角形”中，常
利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方
法，建立与的联系.注意判断点在双曲线的哪一支上，便
于去掉绝对值.
[解析] 两定点，，，由双曲线的定义
得，当时，动点的轨迹为双曲线，故选C.
变式题（1）已知平面内两定点，，则下列条件中满
足动点的轨迹为双曲线的是( )
A. B.
C. D.
√
（2）已知双曲线的离心率为2,左、右焦点分别
为,,点在双曲线上,若的周长为10,则的面积为
_____.
[解析] 因为,所以,则 ,
所以,又的周长为10,所以.
不妨设点在双曲线的右支上,由双曲线的定义得
,所以,,所以是等腰三角形.
取的中点 ,连接,则,
,所以 .
探究点二双曲线的标准方程
例2（1）[2023·北京卷] 已知双曲线的焦点为和，离心
率为，则的方程为_ __________.
［思路点拨］根据双曲线的焦点得到双曲线的半焦距，结合离心
率求出实半轴长，进而得到虚半轴长，写出的方程即可.
[解析] 设双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为,，
显然双曲线的中心为原点，焦点在轴上，其半焦距.
由双曲线的离心率为，得，解得，
则，所以双曲线的方程为 .
（2）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的
双曲线的方程为_ __________.
［思路点拨］设所求双曲线的方程为，结合点
在所求双曲线上，求出，即可得到所求双曲线的方程.
[解析] 双曲线的渐近线方程为，
设所求双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以
，故所求双曲线的方程为 .
[总结反思]
求双曲线方程的常用方法:（1）定义法:由题目条件判断出动点轨迹
是双曲线,由双曲线的定义,确定,或,从而求出,,写出双曲
线方程.
（2）待定系数法:先确定焦点在轴还是轴上,设出标准方程,再由条
件确定, 的值,即“先定型,再定量”,当焦点位置不好确定时,可将双
曲线方程设为,根据条件确定, 即可.特别地,
①与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为
;②与双曲线共焦点的双
曲线方程可设为 .
变式题（1）已知双曲线的两条渐近线均和
圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，
则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为圆的圆心为，
半径，所以.
双曲线的渐近线方程为，
即，由题知，整理得，
又，所以，所以，，
故双曲线的方程为 .故选B.
（2）[2023·天津卷]双曲线的左、右焦点分
别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，
直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意,, 焦点到任一条渐近线的距离为, .
在（为原点）中，由等面积法易得点的坐标为 ,
故，化简可得,故,
双曲线的方程为 .
√
探究点三双曲线的几何性质有关问题微课14·思维
微点1 渐近线
例3（1）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的
2倍，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据已知条件求出的值,即可得到双曲线的渐近线方程.
√
[解析] 由题意得，解得，
则双曲线，故其渐近线方程为故选C.
（2）[2022·全国甲卷] 若双曲线的渐近线与圆
相切，则 _ __.
［思路点拨］根据双曲线方程得到渐近线方程，根据渐近线与圆相
切得到圆心到渐近线的距离等于半径，列式求解即可.
[解析] 双曲线的渐近线方程为，
即.
圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径.
依题意，圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）.
[总结反思]
求双曲线的渐近线方程时，可以先判断焦点的位置，也可以不判断焦
点的位置，把双曲线方程右边的“1”改为“0”就可以得到渐近线方程.
微点2 离心率
例4（1）[2025·河北邢台模拟]已知双曲线的左、右焦点分别为 ,
，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于,两点.若为
等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
［思路点拨］设，根据等边三角形的几何性质及
双曲线的定义用表示出，，进而求出离心率.
√
[解析] 设，因为为等边三角形，
，所以，，
又，
所以双曲线的离心率 .故选A.
（2）[2023· 新课标Ⅰ卷] 已知双曲线的
左、右焦点分别为，.点在上，点在轴上，，
，则的离心率为_ ___.
［思路点拨］思路一：利用坐标法，设,, ，
结合已知条件得到,结合点在上及得到关于
的方程，即可得到离心率；
[解析] 方法一（坐标法）依题可设,, ，
由，可得，所以 ,
又，所以由可得，即 .
因为点在上，所以，即，
即，解得或（舍去），所以 .
［思路点拨］思路二：利用几何法，根据 ,
设,，根据双曲线的对称性及定义用表示
，，结合得到，
在中利用余弦定理得到与的关系，即可得到离心率.
[解析] 方法二（几何法）由可得，
设 ,，由对称性可得，
易知点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.
又， ,所以，
所以，即，可得，
所以, .
在中，由余弦定理可得，
即，得 .
[总结反思]
求双曲线离心率的方法:
①求出,,的值,根据直接求;
②列出含有,,的齐次方程（或不等式）,借助消去,然
后转化成关于的方程（或不等式）求解.
建立关于,,的齐次方程（或不等式）时,要充分利用双曲线的几何
性质、三角形的边长关系等.
应用演练
1.若直线与双曲线有公共点，则双曲
线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知直线的斜率小于双曲线的渐近线
的斜率，所以，即，即，
即，所以 .故选D.
√
2.设双曲线的左、右焦点分别为, ,
过坐标原点的直线与交于，两点， ,
,则的离心率为( )
A. B.2 C. D.
√
[解析] 由题可知四边形为平行四边形，
则
易知在轴左侧，故 , ,
,,
则,即（为双曲线的半焦距）,
双曲线的离心率 ,故选D.
3.[2025· 金华一中月考] 若双曲线的离心率为3，则该
双曲线的焦点到渐近线的距离为_ ___.
[解析] 由双曲线的方程可得，
解得，所以，所以双曲线的
焦点在轴，且,，所以，
又双曲线的离心率为3，所以，解得，所以 ,
，，，所以焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，所以焦点
到渐近线的距离 .
4.[2024· 新课标Ⅰ卷] 设双曲线的左、右
焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于，两点，若
,,则的离心率为__．
[解析] ，,又, ,
, ,
,, .
探究点四直线与双曲线的位置关系
例5 已知双曲线的一个焦点是，
离心率 .
（1）求双曲线的方程；
［思路点拨］根据题目所给条件得到,，进而得到，即可写出双
曲线的方程；
解：由题设得，，解得，则，
所以双曲线的方程为 .
（2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两个不同的点，，线段
的垂直平分线与坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
［思路点拨］设直线的方程为，将直线方程与双曲线方
程联立，结合根与系数的关系用表示出线段的中点坐标，得到
线段的垂直平分线的方程，进而根据三角形的面积求出即可.
解：设直线的方程为，， .
由消去整理得 ,
则 .
由根与系数的关系可知
设线段的中点坐标为，则，
，故线段的垂直平分线的方程为
，即 .
此直线与轴、轴的交点坐标分别为， .
由题设可得，即，
解得，故直线的方程为 .
[总结反思]
解决直线与双曲线的位置关系问题时,有时利用数形结合思想,有时利
用方程思想.根据直线的斜率与渐近线的斜率或某切线的斜率的关
系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
变式题1（1）[2024·绍兴二模]已知点，，都在双曲线
上，且点，关于原点对称，
.过作垂直于轴的直线分别交，于点， .若
，则双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.
√
[解析] 不妨设,则,因为, 轴,
在上,所以 ,,
所以 , ,即.
设点，又点在双曲线上，则
，
又,所以 ,又，
，所以，故 .故选B.
（2）（多选题）[2024·烟台二模] 已知双曲线
的离心率为，过其右焦点的直线与
交于点, ，下列结论正确的是( )
A.若，则
B.的最小值为
C.若满足的直线恰有一条，则
D.若满足的直线恰有三条，则
√
√
√
[解析] 对于A，当时，因为，
所以，故A正确；
对于B，当过其右焦点的直线与的左、右两支均相交时，
的最小值为（此时, 为双曲线的两顶点）；
当过其右焦点的直线与的右支相交于, 两点时，
最短弦长为通径，即交点的横坐标为，
将代入双曲线方程得，解得，
此时，由于与的大小关系不确定，
故的最小值不一定为，故B错误；
对于C，若满足的直线恰有一条，
则由选项B可知，即，
所以，故C正确；
对于D，若满足的直线恰有三条，
则由选项B可知，即，
所以，
又，所以，故D正确.故选 .
变式题2 已知双曲线的离心率为2，且
经过点 .
（1）求的方程；
解：由题意可得解得
故的方程为 .
（2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原
点），求的取值范围.
解：当直线的斜率不存在时，可设,则，
则,，
将点的坐标代入双曲线方程得，
又，解得，此时.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
设,，由
消去整理得，故，
,则 ,,
则，化简得，此时，
故
.
当时，；当时，，
, ，故，
故 .
综上可得，的取值范围为 .
【备选理由】例1考查双曲线的定义,并且与圆结合,需要比较强的转
化能力;
例1 ［配例1使用］已知双曲线的左、
右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交
于，两点.若的内切圆与边相切于点，且，
则的值为___.
2
[解析] 设的内切圆与边,分别相切于点, ，
则,, ，
由双曲线的定义得,
，即，
所以
，解得 .
例2 ［配例5使用］已知，分别是双曲线的左、
右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，和
的内心分别为，，则的取值范围是________.
【备选理由】例2考查直线与双曲线的位置关系，综合性较强;
[解析] 设的内切圆与边，，分别相切于点，
，，则，的横坐标相等，且，，
.
由双曲线的定义知，
即，
得，即.
记的横坐标为，则，所以，
解得，同理得的横坐标也为,则轴.
不妨设在第一象限，设直线的倾斜角为，为坐标原点，
则，.
在中，
.
因为直线与双曲线的右支交于两点，且双曲线的一条渐近线的
斜率为，则其倾斜角为，所以，
即，可得的取值范围是 .
例3 ［配例3、例4使用］ [2024·山西晋中三模] 已知双曲线
的左焦点为，过点且斜率为的直线
与的两条渐近线分别交于点,，且, 分别位于第二、三象限，
若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例3考查双曲线的几何性质,考查运算求解能力;
[解析] 设为坐标原点，由，得，
又两渐近线关于轴对称，所以 .
因为直线的斜率为，所以，
令，则 , .
在中，由正弦定理得，
则，解得，故，
所以的离心率 .故选B.
例4 ［配例4使用］已知双曲线，若过双
曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，
则此双曲线的离心率的取值范围是_ _______.
[解析] 过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右
支有两个交点，，，
又，，可得，
.又，的取值范围是 .
【备选理由】例4考查双曲线的离心率.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上
有一点，若，则 ( )
A.13 B.11 C.1或11 D.11或13
[解析] 由双曲线的方程知，根据双曲线的定义知，
，
解得（舍去）或 .故选B.
√
2.[2024·北京西城区二模]已知双曲线的焦点在轴
上，且的离心率为2，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线
的标准方程为，所以,，所以的离心率
，则，所以 .故选C.
√
3.已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距
为12，则该双曲线的虚轴长为( )
A.6 B. C. D.
[解析] 双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，可得，所以，
则，因此该双曲线的虚轴长为 .故选B.
√
4.已知,满足，则动点
的轨迹是( )
A.一条射线 B.一条直线 C.椭圆 D.双曲线的一支
[解析] 设,,由题意知 ,
故动点的轨迹是一条射线，故选A.
√
5.（多选题）[2024·南京二模] 若实数，满足，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：对于选项A,,故 ,故A正确；
对于选项B, ,故B正确；
对于选项C,取,,满足,此时 ,故C错误；
对于选项D,取,,满足,
此时 ,故D错误.故选 .
√
√
方法二：易知点在双曲线上，
根据双曲线上点的横坐标的范围可知，故A正确；
表示双曲线上一点到原点的距离的平方，
双曲线的实半轴长为,故，故B正确；
表示双曲线上一点与原点连线的斜率，
双曲线的渐近线的斜率为,故，故C错误；
对于D,取, ，满足，
此时，故D错误.故选 .
6.[2024·济南三模] 已知双曲线过点，且与双曲线
有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为
_ ___________.
[解析] 双曲线与双曲线有相同的渐近线，
故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，
解得，所以双曲线的标准方程是 .
7.[2024·南京一模] 设双曲线的一个焦
点为，过作一条渐近线的垂线，垂足为.若线段的中点在上，
则的离心率为____.
[解析] 不妨取渐近线的方程为,,则直线的方程为
,由解得，
则线段的中点的坐标为.
由点在双曲线上，得，化简得，
， .
◆ 综合提升 ◆
8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的
曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口
半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C. D.
√
[解析] 作出截面图，以的中点为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系,
则 .
设双曲线的方程为，
则，可设，，
因为，在双曲线上，所以可得则，
所以该双曲线的离心率为 .故选A.
9.已知,分别是双曲线的左、右焦点,过
的直线与双曲线的左支交于点,与双曲线的右支交于点 ,若
,,则 ( )
A.1 B. C. D.
√
[解析] 由双曲线的定义可知,
又 ,所以.
因为 ,所以
由双曲线的定义可知,所以 ,
又,所以
因为 ,所以,所以为等边三角形,
且边长为 ,所以,
所以 .故选B.
10.[2024·武汉模拟]已知双曲线的右焦点
为，其左、右顶点分别为,，过且与轴垂直的直线交双曲线
于,两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在
轴上，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C. D.
√
[解析] 不妨设在轴上方，如图.
由题可得，，，，
，，所以，
直线的方程为，
令，解得，
所以直线与轴的交点为.
因为，
所以直线的方程为，
令，解得，
所以直线与轴的交点为.
因为直线与直线的交点在轴上，
所以，解得，
所以双曲线的离心率 .故选B.
11.（多选题）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是
( )
A.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则
B.曲线可能是圆
C.若，则曲线一定是双曲线
D.若曲线为双曲线，则其渐近线方程为
√
√
[解析] 对于A，若曲线为焦点在轴上的椭圆，
则，故A错误；
对于B，当时，曲线是圆，故B正确；
对于C，当时，满足，
但曲线的方程为，曲线是圆，故C错误；
对于D，若曲线为双曲线，则，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，
其渐近线方程为，故D正确.故选 .
12.（多选题）[2024·安徽芜湖模拟] 已知双曲线
的离心率为，其左、右焦点分别为
，，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，
两点，交两条渐近线于，两点（，在第一象限），的中
点为，则下列说法正确的是( )
A.若直线的斜率为，则
B.的周长为
C.以为直径的圆与以为直径的圆相交
D.若点恰为以为直径的圆与渐近线的一个交点，且，
则
√
√
√
[解析] 对于A，双曲线的渐近线的方程为
，要使过点的直线交双曲线于，两点，交两条渐近线于，两点（，在第一象限），则满足，
所以，所以A正确；
对于B，由双曲线的定义，
可得，，
两式相减得，
所以的周长为，
所以B正确；
对于C，设的中点为，坐标原点为，连接，
则，
所以两圆外切，所以C错误；
对于D，由且，得，连接，
则，又,所以，连接并延长，
交的延长线于，则，为的中点，
又的中点为，则，所以，
所以，即，所以，
所以D正确.故选 .
13.过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直
线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是_ ___.
[解析] 由双曲线的对称性不妨设倾斜角为
的直线过右焦点，如图.
双曲线的渐近线方程为，
双曲线的半焦距，故，
过点且倾斜角为的直线方程为.
由可得交点的坐标为.
由可得交点的坐标为，
故该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形
的面积为 .
14.[2024·湖北七市模拟] 已知双曲线的左、右顶点分
别为,，点在双曲线上且位于第一象限，直线, 的倾斜角分
别为 , ，则___；当取到最小值
时，的面积为_____.
3
[解析] 设,则 ,可得.
因为,分别为双曲线的左、右顶点,所以,
，所以.
因为 ,,所以，
当且仅当时,等号成立,此时,解得，
所以，所以，
所以的面积为 .
15.已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2.
（1）求双曲线的方程；
解：由双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，
可设双曲线的方程为，又实轴长为2，
则，得，所以双曲线的方程为 .
（2）过点的直线与双曲线的左、右两支各交于一点，求该
直线的斜率的取值范围.
解：由过点的直线与双曲线的左、右两支各交于一点，
知该直线的斜率一定存在，且该直线不和双曲线的渐近线平行.
设该直线的方程为，，由
整理得，
需满足且，解得，
则该直线的斜率的取值范围为 .
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024· 长郡中学二模]设椭圆与双曲
线有相同的焦距，它们的离心率分别
为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，
若点在直线上，且，则的值为( )
A.2 B.3 C. D.
√
[解析] 设椭圆与双曲线的焦距均为,则, .
连接为坐标原点，因为，
所以，又点在第一象限，
且在直线上，所以.
因为点在椭圆上，所以，
即，整理得，
两边同时除以，得，
解得，又，所以.
因为点在双曲线上，所以，即，
同理得，所以 .故选A.
17.（多选题）[2025·安徽江淮十校一模] 已知双曲线
的左、右焦点分别为，.过的直线
交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限. 的内心
为,的内心为，直线与轴的交点为，记的内
切圆的半径为,的内切圆的半径为，则下列说法正确的有
( )
A.若双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或
B.若，且，则双曲线的离心率为
C.若,，则的取值范围是
D.若直线的斜率为,，则双曲线的离心率为
√
√
√
[解析] 对于A，若双曲线的两条渐近线的夹角为，
则或,故或，故A正确.
对于B，设，则,,.
在中，可得，所以.
在中，可得,
即，故，故B正确.
对于C，设圆与,,分别相切于点,,，
则 , , ，
故.
设点 ,又,,
所以,解得 .
连接，,,,易知，则点的横坐标为，
同理可得点的横坐标为，
故,,三点共线，即直线的方程为 .
设直线的倾斜角为,为坐标原点,则 ,.
在中，，
在中，.
由，，得，且双曲线的渐近线的斜率为，
因为，均在双曲线的右支上，所以 ,
即 ,故，所以
，故C错误.
对于D，，故，
又，，所以 ,
, .
在中，由余弦定理可得
，可得，故，故D正确.故选 .
【知识聚焦】
1.距离的差的绝对值　焦点　焦距 (1)ac 3.x≥a或x≤-a　y≤-a或y≥a
(-a,0)　(a,0)　(0,-a)　(0,a) ±x　±x　(1,+∞)　a2+b2　2a　2b　
【对点演练】
1.4　(0,-5),(0,5)　y=±x 2.-=1　3.(0,2)　4.17 5.双曲线-=1的右支　6.2或
课堂考点探究
例1(1)A　(2)A 变式题(1)C　(2) 例2(1)-=1　(2)-=1 变式题(1)B　(2)D　
例3　(1)C　(2) 例4　(1)A　(2)
【应用演练】
1.D　2.D　3.　4.
例5(1)x2-=1 (2)y=x± 变式题1(1)B　(2)ACD 变式题2(1)x2-=1 (2)[,+∞)
教师备用习题
例1 2 例2 例3 B 例4
基础热身
1.B　2.C　3.B　4.A　5. AB 6. -=1 7.
综合提升
8.A 9.B 10.B 11.BD 12. ABD 13.
14. 3　2 15.(1) x2-y2=1 (2) (-1,1)
能力拓展
16.A 17.ABD

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第八章 第54讲 双曲线（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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第八章第54讲双曲线（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习