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第55讲 抛物线
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离______的点
的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的______,直线 叫作抛物线的
_______.
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
图形 ______________________________________ ___________________________________ __________________________________ ___________________________________
标准方程
性 质 顶点 对称轴 焦点
离心率 准线方 程 ________ ______ ________ ______
1
续表
标准方程
性 质 范围
开口方 向 向右 向左 向上 向下
续表
标准方程
性 质
通径长
续表
3.直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程与抛物线的方程联
立成方程组，消元转化为关于（或）的一元二次方程
（或），其判别
式为 .
当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交
于一点.
当时，
① 直线和抛物线相交，有两个公共点；
② 直线和抛物线相切，有一个公共点；
③ 直线和抛物线相离，无公共点.
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于,
两点，则
，
同理可得 .
这里, 的求法通常使用根与系数的关系，需进行如
下变形：
，
.
常用结论
抛物线的几个常用结论：
（1）若为抛物线的焦点弦，在第一象限内，
为抛物线的焦点，的倾斜角为 ，， 两点的坐标分别为
， ，则：
； ；
③，， ；
④弦长 ,抛物线的焦点弦中通径（垂直于抛
物线对称轴的焦点弦叫作抛物线的通径）最短；
⑤（其中 为坐标原点）；
⑥以为直径的圆与准线相切，以或为直径的圆与 轴相切；
⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
（2）过抛物线的顶点 作互相垂
直的两条射线且都与抛物线相交，交点分别为，
（如图），则直线过定点 ；反之，若过点
的直线与抛物线交于两点 ，
，则必有 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 抛物线 的焦点坐标为______.
[解析] 抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为 .
2.［教材改编］ 如图所示，某桥是抛物线形拱
桥，此时水面宽为 ，经过一次暴雨后，水
位上升了，水面宽为 ，则暴雨后的水面
离桥拱顶的距离为__ .
[解析] 以拱顶为坐标原点，水平向右的方向为 轴的正方向，
竖直向上的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，
设， ，则 解得
所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 .
3.［教材改编］ 已知是抛物线的焦点，点 在抛物
线上，且，则 ___.
[解析] 抛物线的标准方程为，
则焦点为 ，准线方程为.
因为点在抛物线上，且 ，
所以，即 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视抛物线的焦点位置;忽视直线与抛物线位置关系中的
特殊情形.
4.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点 ,
则该抛物线的方程为________________.
或
[解析] 设抛物线的方程为或 ,
将的坐标代入,可得,,
故所求抛物线的方程为 或 .
5.若过点的直线与抛物线 有且只有一个公共点，
则这样的直线 共有___条.
3
[解析] ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
则当 时，直线的方程为，
满足直线与抛物线 有且只有一个公共点；
当时，直线是抛物线的切线，设直线 的方程为，
代入抛物线的方程可得 ，
由，得，故切线方程为 .
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
满足直线 与抛物线有且只有一个公共点.
综上，满足题意的直线 共有3条.
探究点一 抛物线的定义及应用
例1（1）已知抛物线的焦点为，， 是抛物线上两个不
同的点.若，则线段的中点到 轴的距离为( )
A.3 B. C.5 D.
√
［思路点拨］由抛物线的定义结合梯形性质即可求得结果.
[解析] 由题意知抛物线的准线方程为，
过点， 作准线的垂线，垂足分别为，，
根据抛物线的定义得 ，，
所以，
所以线段 的中点到准线的距离为，
所以线段的中点到 轴的距离为 .
（2）[2024·泰安二模]抛物线的焦点为，过抛物线上的点
作准线的垂线，设垂足为，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设 ,得到
的坐标，利用抛物线的定义和两点间的距离公式结合已知条件，可
得所求距离.
[解析] 抛物线的焦点为，准线方程为 .
设，，则， ，
由抛物线的定义可得.
在中， ， ，
可得 ,即，
解得或 （舍去），则 .故选A.0
[总结反思]
1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，注意转化思想的
运用.
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大或最小问题，该类问题一般情
况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距
离的转化.
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造
出“两点之间线段最短”，使问题得解.
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用
“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
3.利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中
的应用.
变式题（1）[2025·贵阳模拟]已知点是抛物线 上
一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则
( )
A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或8
[解析] 由题意得，，其中 ，
故，解得 或8.故选C.
√
（2）已知抛物线的焦点为，点在上，点 满
足（为坐标原点），且线段的垂直平分线经过点 ，
则 ( )
A. B.1 C. D.
√
[解析] 由题设知，，又，所以 .
因为线段的垂直平分线经过点，所以.
不妨设 且，则，可得，
故 ,所以,所以 .故选B.
探究点二 抛物线的标准方程
例2 分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.
（1）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点;
解：将双曲线方程化为标准方程，得 ，
故双曲线的左顶点为，所以抛物线的焦点为 ，
抛物线的开口方向向左，可设抛物线的标准方程为 ，
则，解得，所以所求抛物线的方程是 .
［思路点拨］将双曲线的方程化为标准方程，得到双曲线的左顶点，
即可得到抛物线的焦点坐标，进而求解；
（2）抛物线的焦点在轴上,直线与抛物线交于点, .
解：当焦点在 轴的正半轴上时,设抛物线的方程为，
当时，，由 ，得，
解得或 ，所以抛物线的方程为或 .
［思路点拨］分情况设出抛物线的方程，求出 的横坐标，再根据焦
半径公式代入求解；
当焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为 ，
当时，，由 ，
得，解得或 ，
所以抛物线的方程为或 .
综上可知，所求抛物线的方程为或 .
（3）点,均在抛物线上, 是坐标原点,正三角形
的面积为 .
解：根据抛物线的对称性,可知轴.
因为正三角形 的面积是,所以,故.
设与轴交于点 ,则,故可设点的坐标为,
将点 的坐标代入抛物线方程得,解得,
故所求抛物线的方程为 .
［思路点拨］由正三角形的面积结合性质得到点 的坐标，代入抛物
线方程即可求解.
[总结反思]
求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定参数.
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数.
当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为
或.
注意：参数的几何意义是焦点到准线的距离，可以利用它的几何意
义来解决问题.
变式题（1）[2023·天津卷] 过原点 的一条直线与圆
相切，交抛物线于， 两点，
若，则 的值为___.
6
[解析] 方法一：根据题意设直线的方程为, 直线与圆
相切,圆心到直线 的距离
，解得，不妨令.
由 得,,可得 .
方法二：由题得，圆心，半径,
直线与圆相切， 直线的斜率为,
不妨令,则直线的倾斜角为.
过点作 轴的垂线，垂足为，
在中，， ，可得，
又点在抛物线上， .
（2）已知抛物线，过的焦点的直线交于,
两点，交的准线于，且,，则 的方程为______
___.
[解析] 如图，记的准线与轴交于点，
过, 分别作准线的垂线，垂足分别为, ，
因为,所以,即 .
因为，所以 ，
由可知，所以 ，
又，，所以，
故 的方程为 .
探究点三 抛物线的几何性质
例3（1）（多选题）已知直线 过抛物线
的焦点，且与抛物线交于，两点，过 ，
两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为， ，则下列说法错
误的是( )
A.抛物线的方程为
B.线段的长度为
C.
D.线段的中点到轴的距离为
√
√
［思路点拨］求出抛物线的焦点坐标，可得 ，即可判断A;
联立直线与抛物线的方程，得到,的坐标，可得 ，即可判断B；
确定,的坐标，可计算，即可判断C;
求出线段 的中点的坐标，即可判断D.
[解析] 由题意，不妨设点 在第一象限内，
直线与轴的交点为，
又 经过抛物线的焦点，所以，
可得，故抛物线 的方程为，故A中说法正确.
由 可得,解得或，
可得, ,所以 ，
故B中说法错误.
易知 ，，，
可得 ，
则，即 ，故C中说法正确.
因为 ，，所以线段的中点为，
则线段的中点到 轴的距离为，故D中说法错误.故选 .
（2）已知，是抛物线上两点， 为坐标原点.若
，且的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线 的
方程为_ ______.
［思路点拨］由抛物线的性质知,两点关于 轴对称,
设出坐标，结合直线，的斜率之积为 即可求解.
[解析] 由抛物线的性质知,两点关于轴对称,
设 ，则.
由题意知， ，所以，
所以 ，即.
因为，所以，即 ，
所以直线的方程为 .
[总结反思]
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出
抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.
变式题（1）抛物线的焦点为，，为上位于 右侧
的两点，为平面内任意一点，若四边形为正方形，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 不妨设 ，
由抛物线的对称性及正方形的性质可得，
可得 ， .故选A.
√
（2）[2024·北京海淀区三模]已知抛物线的焦点为，点 在
抛物线上，垂直轴于点，若，则 的面积为
( )
A.8 B. C. D.
[解析] 因为抛物线的焦点为，准线方程为，
在抛物线上，所以，故.
不妨设 在第一象限内，则，
所以 .故选C.
√
探究点四 直线与抛物线
例4（1）已知抛物线的焦点 到准线的距离为2，
过焦点的直线与抛物线交于,两点，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.11
√
［思路点拨］思路一:先求出抛物线的方程，设直线 的方程为
，，，将直线的方程与抛物线 的方程
联立，利用根与系数的关系求出 的值，再根据抛物线的定义用
，表示出 ，结合基本不等式求解即可.
[解析] 方法一：因为抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以 ，所以抛物线的方程为，焦点为.
设直线 的方程为,,，
由消去 整理得，
则,，故 .
又， ，
所以，当且仅当, 时等号成立，
故的最小值为 .故选B.
［思路点拨］思路二:先求出抛物线的方程，设直线的方程为
， ，，将直线的方程与抛物线 的
方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的
定义得到 ，利用基本不等式求解即可.
[解析] 方法二：因为抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以 ，所以抛物线的方程为，焦点为.
设直线 的方程为,,，
由消去 整理得，
则, ，
故， ，
则，
故，
当且仅当, 时等号成立，
故的最小值为 .故选B.
（2）（多选题）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知 为坐标原点，点
在抛物线上，过点的直线交 于
， 两点，则( )
A.的准线为 B.直线与 相切
C. D.
√
√
√
［思路点拨］根据点在抛物线上，求出 ,即可判断A；
利用导数的几何意义求出抛物线在点 处的切线方程，即可判断B；
设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线 的方程,
利用根与系数的关系及两点间的距离公式即可判断C，D.
[解析] 因为点在抛物线上，所以,
所以抛物线 的方程为,其准线方程为,故A选项错误；
由,知抛物线 在点处的切线的斜率为2，
则切线方程为,恰过点 ，故B选项正确；
由题意知直线的斜率存在，设直线 的方程为,
代入并整理得,则 ,
设,,则, ,
所以
,
故C选项正确；
,故D选项正确.故选 .
[总结反思]
（1）求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦
长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以
及定义的灵活应用.
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦
点.若过抛物线的焦点（设焦点在轴的正半轴上），则可直接使用
公式，若不过焦点，则可用弦长公式.
变式题1（1）[2024·武汉九校联考]抛物线的焦点为 ，
顶点为，其上两点，满足，过点作 ，垂足为
，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 抛物线的焦点为，
设直线 的方程为,，，，
由 可得,则,.
由 ，可得，即，
即 ，可得，则直线过定点.
由，可得 的轨迹是以 为直径的圆（除去原点），
其轨迹方程为，
所以的取值范围为，即 .故选C.
（2）[2024·重庆巴蜀中学模拟] 已知抛物线的焦点为 ，
其准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于， 两点
（点位于点右方）.若为的平分线，则___；直线
的斜率为_ ____.
[解析] 如图，延长交抛物线于点 ，
连接，过点作轴于点 ，
下面先证明直线,关于轴对称.
设， ，
由抛物线焦点弦的性质可得 ，
又，则，，故
，轴对称.
又为 的平分线，所以
，所以 .
由焦半径公式得， ，
则，.
又 ，所以或，又,
所以直线 的斜率或 ，
所以直线的斜率为 .
变式题2 [2023·全国甲卷] 已知直线 与抛物线
交于，两点， .
（1）求 ；
解：设,，由
可得，所以, ，
所以
，即,又,所以 ．
（2）设为的焦点，，为上两点，，求 面
积的最小值.
解：由（1）可得，因为直线 的斜率不可能为零，
所以设直线，, ，
由可得，所以 ,
，由，得 .
因为，所以 ，
即 ，
即 ，
将,代入上式得 ，
故，所以，
由 ，解得或．
设点到直线的距离为 ，则 ，
又
，
所以 的面积
，
又或，所以当时，
的面积取到最小值 ．
【备选理由】例1主要考查抛物线的定义及应用;
例1 ［配例1使用］ （多选题）设抛物线的焦点为 ，准
线为，点为上一动点， ，则下列结论正确的有( )
A.准线的方程是
B.以线段为直径的圆与 轴相切
C. 的最小值为5
D. 的最大值为2
√
√
[解析] 对于A，抛物线的焦点为，
准线 的方程为，故A错误；
对于B，设，线段的中点为 ，则，
的坐标为，所以，
即点 到点，和轴的距离相等，
所以以线段为直径的圆与 轴相切，故B正确；
对于C，过作准线的垂线，垂足为，连接 ，
由抛物线的定义得，所以 ，
易知当，，三点共线时， 有最小值，
最小值为，所以 的最小值为5，故C正确；
对于D，连接，可得，
当，，三点共线且在线段 上时， 有最大值，
最大值为，
所以的最大值为 ，故D错误.故选 .
例2 ［配例3使用］ （多选题）已知抛物线 的焦点
为，过点的直线交抛物线于,两点，以线段为直径的圆交
轴于,两点，设线段的中点为 ，则下列说法正确的是( )
A.若抛物线上的点到点 的距离为4，则抛物线的方程为
B.以线段 为直径的圆与准线相切
C.线段长度的最小值是
D.的取值范围为
√
√
√
【备选理由】例2考查抛物线的简单性质,考查转化思想与运算求解能力;
[解析] 由题意，抛物线的焦点为 ，
准线方程为，设,.
对于A，由抛物线上的点 到点的距离为4，可得，
解得 ，所以抛物线的方程为，所以A不正确.
对于B，过点，, 分别作准线的垂线，垂足分别为,,，
则线段的中点 到准线的距离为,
根据抛物线的定义，可得 ,，
所以 ，所以，
所以以线段 为直径的圆与准线相切，所以B正确.
对于C，由抛物线的定义，可得 .
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由 可得,不妨令,，此时；
当直线 的斜率存在时，设直线的方程为，易知 ，
由消去整理得 ，
可得 ，所以
.综上可得，线段 长度的最小值是，所以C正确.
对于D，根据题意设直线 的方程为，
由消去整理得 ，
可得,则 ，
则，
点到 轴的距离 ，
所以 ，
又，所以，所以D正确.故选 .
例3 ［配例4使用］ （多选题）[2024·宁波二模] 过点 的直线
与抛物线交于,两点.抛物线在点 处的切线与直线
交于点，作交于点 ，则( )
A.直线与抛物线 有2个公共点
B.直线 恒过定点
C.点的轨迹方程是
D.的最小值为
√
√
【备选理由】例3考查直线与抛物线的位置关系；
[解析] 根据题意设直线的方程为，, ，
由消去得，则, .
对于A，抛物线在点处的切线方程为，
当 时，，即 ，
所以直线的方程为,整理得 ,
由 消去得，解得 ，
即直线与抛物线相切，A错误；
对于B，当时，直线与 轴重合，当时，
直线的方程为 ，整理得，即,
故直线恒过定点 ，B正确；
对于C，由选项B可得点在以线段为直径的圆上，
点除外，故点 的轨迹方程是 ，C正确；
对于D，，
,
则，
令, ，则，
设, ，
则，
当 时，，单调递增，
当时，， 单调递减，
所以，D错误.故选 .
例4 ［配例4使用］ （多选题）设直线与抛物线相交于 ，
两点，与圆相切于点，且
为 的中点，下列说法正确的是( )
A.当时，直线 的斜率为2
B.当时，
C.当时，符合条件的直线 有两条
D.当时，符合条件的直线 有四条
√
√
√
【备选理由】例4考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线与圆
的综合问题，综合性较强；
[解析] 设,,则
两式相减得.
当直线的斜率存在时, ，,
则,又,所以.
当 时，，故A正确.
当存在时，由,得 ,即,
故,解得,即必在直线 上.
当时，，点，直线的方程为，
直线 恰好过抛物线的焦点，
故 ，故B正确.
将代入,得,由在抛物线内部得 .
因为点在圆上,所以,
当 时，由，解得，与 矛盾，
所以斜率存在的直线不存在，
当直线的斜率不存在时,符合条件的直线 只有一条,故C错误.
当时，由，解得 ，符合，
所以斜率存在的直线有两条.
当直线 的斜率不存在时,符合条件的直线也有两条,故D正确.故选 .
例5 ［配例2、例4使用］ 已知抛物线，为 的
焦点，过点的直线与交于，两点，且抛物线在， 两点处的
切线交于点，当与轴垂直时， .
（1）求抛物线 的方程；
解：由题意知，将代入,解得,
所以当 与轴垂直时，，所以，
所以抛物线 的方程为 .
【备选理由】例5考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系；
（2）证明： .
证明：方法一，根据题意知直线的斜率存在， .
设直线的方程为，， ，
由得 ，
所以，, .
对求导，得 ，
所以 ，所以 .
直线的方程为，
又，所以直线 的方程为 ，
同理得直线的方程为 .
由得 所以 .
当时，, ,所以 .
当时， ，所以，
又 ，所以 ，
所以，即 .
综上所述， .
方法二，根据题意知直线的斜率存在， .
设直线的方程为，， ，
由得 ，
所以，, .
对求导,得 ,直线的方程为,
又，所以直线 的方程为 ，
同理得直线的方程为 .
由得 所以 .
因为 ，
，
所以 ，
又 ，
所以，故 .
例6 ［补充使用］ （多选题）[2025·福建漳州模拟] 在2024年巴黎
奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得
金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操
的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线
绕其顶点分别逆时针
旋转 ， ， 后所得三条曲线
与围成的（如图中阴影部分所示），,
为 与其中两条曲线的交点，且，分别
在第一、四象限.若 ，则( )
【备选理由】例6考查与抛物线有关的综合问题.
A.开口向上的抛物线的方程为
B.
C.直线 被花瓣在第一象限的部分所截
得的线段长度的最大值为
D.阴影部分的面积大于4
√
√
√
[解析] 对于A，由题意，抛物线的顶点在原点，
开口向右的抛物线的方程为 ，
焦点为,将其逆时针旋转 后得到的
抛物线开口向上，焦点为 ，
则其方程为，即 ，故A正确.
对于B,根据 A选项的分析,由可得或 ,
所以,可得 ,由对称性可得,故 ,故B正确.
对于C,如图,设直线 与花瓣在第一象限的边界分别交于点,,
由 可得
由 可得
即 ,
,
则 ，
当直线经过点时， ，
当直线经过坐标原点时, ,
故当直线 与花瓣在第一象限的边
界有两个交点时,,
不妨设 ，则，且 ，
故 ，
故当时，取得最大值 ，故C错误.
对于D，根据对称性，每个象限内的花瓣形状大小相同，故
可以先求 阴影部分面积的近似值.如图,连接,其中.
在抛物线 上取一点,
使过点的切线与直线 平行,连接,.
由可得切点为,
因为直线的方程为 ,所以点到直线 的距离，
所以 , 由图知,阴影部分的面积必大于 ，
故阴影部分的面积必大于，故D正确.故选 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知抛物线的焦点与双曲线 的一
个焦点重合,则 ( )
A. B.2 C. D.4
[解析] 抛物线的焦点坐标为.
双曲线 的方程为,则,,故 .
因为抛物线的焦点与双曲线 的
一个焦点重合,所以,即 .故选D.
√
2.已知为抛物线上一点，点到 的焦点的距
离为7，到轴的距离为5，则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 抛物线的准线方程为，
因为点 到的焦点的距离为7，到轴的距离为5，
所以，所以 .故选B.
√
3.方程 表示的曲线为
( )
A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线
[解析] 由题意得 ，
即动点到定点 的距离与到直线
的距离相等，且点 不在直线 上，
故方程表示的曲线为抛物线.故选A.
√
4.设是抛物线上的一点，是抛物线的焦点， 是坐标原点，
若 ，则 ( )
A.3 B.4 C. D.
[解析] 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，连接 .
因为 ，轴，所以 .
由抛物线的定义可得，所以为等边三角形，
则 .抛物线的准线方程为，
设直线交轴于点 ，则 ，
易知, ,则 .故选B.
√
5.（多选题） 新课标Ⅱ卷］ 设 为坐标原点，直线
过抛物线的焦点，且与 交于
，两点，为 的准线，则( )
A. B.
C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
√
√
[解析] 直线与轴的交点为 ，
即抛物线的焦点为，因此，A正确；
抛物线的方程为 ，由
消去化简得,可得 ,,则,
(设在第一象限， 在第四象限),所以,B错误；
因为,, ,
所以不是等腰三角形，D错误；
以 为直径的圆的圆心的横坐标为，
圆心到准线的距离为，
因此以 为直径的圆与相切，C正确.故选 .
6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 上的抛
物线的标准方程为____________________.
或
[解析] 直线与坐标轴的交点为和 ，
则所求抛物线的焦点为或.
若其焦点为 ，则其标准方程为；
若其焦点为，则其标准方程为
抛物线的标准方程为或 .
7.[2023·全国乙卷] 已知点在抛物线上，则 到
的准线的距离为__.
[解析] 由题意可得，则，
所以抛物线 的方程为，其准线方程为，
故到 的准线的距离为 .
◆ 综合提升 ◆
8.已知点在抛物线上，过点作圆
的切线，若切线长为，则点到 的准线的距离为( )
A.5 B. C.6 D.
√
[解析] 设点，由圆的方程
可知圆心为，半径.
连接，因为切线长为，所以 ，
即，解得，可得 .
由抛物线的定义可得点到的准线的距离为 .故选C.
9.已知抛物线的焦点为，过点的直线 与
抛物线交于，两点，为线段的中点，若 ，
则直线 的斜率为( )
A. B.1 C.2 D.4
√
[解析] 设，.
抛物线 的准线方程为.
因为为线段的中点，所以 ，.
由 ，解得，
则抛物线的方程为，则， ，
所以直线的斜率 .故选B.
10.[2024· 长郡中学三模]已知点为抛物线 上一
点，为上不同于点的一个动点，过作的垂线与 交于另一点
，则点 的横坐标的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为为抛物线上一点，
所以 ，解得，所以抛物线.
设， ，由题意知直线,的斜率均存在且均不为0，
由，得 ，即，
化简得 ，则关于的方程一定有解，
故 ，即，
解得或 .故选A.
11.（多选题） 九江二模］ 已知抛物线 的
焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点 满足
，则( )
A.的准线方程为
B. 周长的最小值为5
C.直线的倾斜角为
D.四边形 不可能是平行四边形
√
√
[解析] 抛物线的焦点为 ，
准线方程为，又点满足 ，
所以，即，
解得 或（舍去），所以抛物线，
则准线方程为 ，焦点为，故A错误；
过点作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义可知，
所以 的周长为
，
当且仅当，，三点共线时取等号，
所以 周长的最小值为5，故B正确；
因为，所以直线的倾斜角为 ，故C错误；
过点作的平行线，交抛物线于点，
由 解得
即，则 ，
所以四边形不可能是平行四边形，故D正确.故选 .
12.（多选题） 新课标Ⅱ卷］ 抛物线的准线为，
为上动点，过作的一条切线， 为切点，
过作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 点到准线的距离为1,
圆的半径为1，故 与相切，选项A正确.
当，，三点共线时，， ，，
则，选项B正确.
当 时，,得,当点的坐标为时， ,
，不满足；当点的坐标为 时，
,,不满足 ，选项C不正确.
设抛物线的焦点为，则，连接， ,
由抛物线的定义可得，
则满足的点在线段 的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的方程为 ,
由得 ,
因为,
所以满足的点 有且仅有2个，选项D正确.故选 .
13.设抛物线的焦点为，过点 的直线与抛
物线相交于，两点，，，则 ___.
2
[解析] 由题知直线的斜率存在，
设直线的方程为 ，，，
由 可得，
所以， ，则.
因为，,所以 ,,则
,解得或 .因为,所以 .
14.[2024·江西新余模拟] 在平面直角坐标系中，，分别为 ，
轴上的点，，则以原点为顶点且经过， 两点的抛物
线的准线斜率为_ _____.
[解析] 将所求抛物线绕原点旋转到抛物线 ,,分别对应点, ,
不妨设抛物线，， ，
， ，如图所示，
则 ， ，
即 ，
又,在 上,所以
可得 ，故，
又， , ，所以，
故将抛物线绕原点逆时针旋转 后,
,分别旋转到,轴上的点, ，
故所求抛物线对称轴的斜率为 ，
又准线与对称轴垂直，故准线的斜率为 .
15.[2024·昆明模拟] 已知抛物线的焦点为 ，
是上一点，其中，且 .
（1）求抛物线 的方程；
解：由抛物线的焦点为，是 上一点，
且，可得解得或
因为 ，所以则抛物线的方程为 .
（2）过点的直线与相交于， 两点，若
，求 的值.
解：由过点的直线与相交于，两点，
知直线 的斜率不为0，设的方程为,， .
由消去并整理得 ，
由根与系数的关系得, ,
故 ，
， ，
可得 .
因为，所以 ，
整理得 .
因为，所以，故 .
16.已知抛物线的焦点为,且 与圆
上的点的距离的最小值为4.
（1）求 ;
解：由题知点与圆 上的点
的距离的最小值为,所以 .
（2）若点在上,,是的两条切线,,是切点,求 面积的
最大值.
解：由（1）知抛物线的方程为
设, , ,由,得 ,
则切线的方程为 ,
同理得切线的方程为,且 .
因为切线,都过点 ,所以
故直线的方程为 ,即.
由得 ,则,
所以, ,
则,
点到直线 的距离 ,所以
.
因为,所以当时, 取得最大值,
最大值为 .
◆ 能力拓展 ◆
17.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入
射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为，准线为, 为坐标原点，一束平行
于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过 上的点
反射后，再经过上的另一点反射，沿射出，且经过点 ，若
直线与抛物线的准线交于点，则直线 的斜率为___；若
，且平分，则 ___.
0
2
[解析] 如图,依题意,直线 过抛物线的焦点.
设直线 的方程为,, ,
由得 ，
则， .
因为 ，所以， ,则直线的方程为,
所以直线 与抛物线的准线的交点为 ，
所以直线的斜率为0.
因为 平分，所以 ，所以.
因为 ，所以 ，即 ，
所以，可得 .
【知识聚焦】
1.相等 焦点 准线 2. 1 x=- x= y=-
y= x0+ -x0+ y0+ -y0+
【对点演练】
1.(4,0) 2. 3. 4.y2=8x或x2=y 5.3
课堂考点探究
例1(1)B (2)A 变式题(1)C (2)B 例2(1)y2=-12x (2)y2=±2x或y2=±18x (3)y2=x
变式题(1)6 (2)y2=4x 例3(1)BD (2)x= 变式题(1)A (2)C 例4(1)B (2)BCD
变式题1(1)C (2)4 ± 变式题2(1)2 (2)12-8
教师备用习题
例1 BC 例2 BCD 例3 BC 例4 ABD 例5(1) (2)略 例6 ABD
基础热身
1.D 2.B 3.A 4.B 5. AC 6. y2=16x或x2=-8y 7.
综合提升
8.C 9.B 10.A 11.BD 12.ABD 13.2 14. -
15.(1)y2=4x (2)1 16.(1)2 (2)
能力拓展
17.ABD第55讲 抛物线
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.相等 焦点 准线
2.
1 x=- x=
y=- y= x0+ -x0+
y0+ -y0+
【对点演练】
1.(4,0) [解析] 抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐标为(4,0).
2. [解析] 以拱顶为坐标原点,水平向右的方向为x轴的正方向,竖直向上的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),设A,B(2,t-1),则解得所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 m.
3. [解析] 抛物线的标准方程为x2=y,则焦点为F,准线方程为y=-.因为点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,所以y0+=2,即y0=2-=.
4.y2=8x或x2=y [解析] 设抛物线的方程为y2=kx(k≠0)或x2=my(m≠0),将P(2,4)的坐标代入,可得k=8,m=1,故所求抛物线的方程为y2=8x或x2=y.
5.3 [解析] ①当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则当k=0时,直线l的方程为y=2,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点;当k≠0时,直线l是抛物线的切线,设直线l的方程为y=kx+2,代入抛物线的方程可得k2x2+(4k-2)x+4=0,由Δ=(4k-2)2-4k2·4=0,得k=,故切线方程为y=x+2.②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点.综上,满足题意的直线l共有3条.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)由抛物线的定义结合梯形性质即可求得结果.(2)先求得抛物线的焦点坐标和准线方程,设P(m,n),得到Q的坐标,利用抛物线的定义和两点间的距离公式结合已知条件,可得所求距离.
(1)B (2)A [解析] (1)由题意知抛物线的准线方程为x=-1,过点M,N作准线的垂线,垂足分别为M',N',根据抛物线的定义得|MF|=|MM'|,|NF|=|NN'|,所以|MF|+|NF|=|MM'|+|NN'|,所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|+|NF|)=,所以线段MN的中点到y轴的距离为-1=.
(2)抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.设P(m,n),n>0,则Q(m,-1),m2=4n,由抛物线的定义可得|PF|=|PQ|=n+1.在△PQF中,∠PFQ=∠PQF=30°,∠FPQ=120°,可得|FQ|=|PQ|=(n+1),即==(n+1),解得n=或n=-1(舍去),则|PQ|=n+1=.故选A.
变式题 (1)C (2)B [解析] (1)由题意得|yA|=4,xA+=5,其中=2pxA,故2p=16,解得p=2或8.故选C.
(2)由题设知,F,又=5,所以B.因为线段AB的垂直平分线经过点F,所以|AF|=|BF|=2p.不妨设A(x0,y0)且y0>0,则|AF|=x0+=2p,可得x0=,故y0=p,所以|AB|==2p,所以=1.故选B.
例2 [思路点拨] (1)将双曲线的方程化为标准方程,得到双曲线的左顶点,即可得到抛物线的焦点坐标,进而求解;(2)分情况设出抛物线的方程,求出A的横坐标,再根据焦半径公式代入求解;(3)由正三角形的面积结合性质得到点A的坐标,代入抛物线方程即可求解.
解:(1)将双曲线方程16x2-9y2=144化为标准方程,得-=1,故双曲线的左顶点为(-3,0),所以抛物线的焦点为(-3,0),抛物线的开口方向向左,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则=3,解得p=6,所以所求抛物线的方程是y2=-12x.
(2)当焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=,由|AF|=+=5,得p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,所以抛物线的方程为y2=2x或y2=18x.
当焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的方程为y2=-2mx(m>0),当y=-3时,x=-,由|AF|=+=5,得m2-10m+9=0,解得m=1或m=9,
所以抛物线的方程为y2=-2x或y2=-18x.综上可知,所求抛物线的方程为y2=±2x或y2=±18x.
(3)根据抛物线的对称性,可知AB⊥x轴.因为正三角形OAB的面积是4,所以|AB|2=4,故|AB|=4.设AB与x轴交于点C,则|OC|=2,故可设点A的坐标为(2,2),将点A的坐标代入抛物线方程得4=4p,解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.
变式题 (1)6 (2)y2=4x [解析] (1)方法一:根据题意设直线的方程为y=kx,∵直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,∴圆心C(-2,0)到直线y=kx的距离d==,解得k=±,不妨令k=.由得P,∴|OP|==8,可得p=6.
方法二:由题得,圆心C(-2,0),半径r=,∵直线与圆相切,∴直线的斜率为±,不妨令k=,则直线的倾斜角为.过点P作x轴的垂线,垂足为A,在Rt△OPA中,∠POA=,OP=8,可得P(4,4),又点P在抛物线y2=2px(p>0)上,∴p=6.
(2)如图,记C的准线与x轴交于点M,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,因为=3,所以|PB|=3|BF|,即|PB|=3|BB1|.因为|AF|=3,所以|AA1|=3,由△PBB1∽△PAA1可知|PA|=9,所以|PF|=6,又|FM|=p,△PFM∽△PBB1,所以p=|FM|=2,故C的方程为y2=4x.
例3 [思路点拨] (1)求出抛物线的焦点坐标,可得p=2,即可判断A;联立直线与抛物线的方程,得到A,B的坐标,可得|AB|,即可判断B;确定M,N的坐标,可计算kNF·kMF,即可判断C;求出线段AB的中点的坐标,即可判断D.(2)由抛物线的性质知A,B两点关于x轴对称,设出坐标,结合直线AF,OB的斜率之积为-1即可求解.
(1)BD (2)x= [解析] (1)由题意,不妨设点A在第一象限内,直线l:x-y-=0与x轴的交点为(1,0),又l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,所以F(1,0),可得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,故A中说法正确.由可得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=,可得A(3,2),B,所以|AB|=
=,故B中说法错误.易知M(-1,2),N,F(1,0),可得kNF·kMF=×=-1,则MF⊥NF,即∠MFN=90°,故C中说法正确.因为A(3,2),B,所以线段AB的中点为,则线段AB的中点到y轴的距离为,故D中说法错误.故选BD.
(2)由抛物线的性质知A,B两点关于x轴对称,设A(x0,y0),则B(x0,-y0).由题意知AF⊥OB,F,所以kAF·kOB=·=-1,所以=x0,即2px0=x0.因为x0≠0,所以2p=x0-,即x0=,所以直线AB的方程为x=.
变式题 (1)A (2)C [解析] (1)不妨设P,由抛物线的对称性及正方形的性质可得-y0=-1,可得y0=-(2+2),∴|PF|=+1=4+2.故选A.
(2)因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,M在抛物线上,所以|MF|=xM+1=6,故xM=5.不妨设M在第一象限内,则M(5,2),所以S△MNF=×(5-0)×2=5.故选C.
例4 [思路点拨] (1)思路一:先求出抛物线C的方程,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程与抛物线C的方程联立,利用根与系数的关系求出x1x2的值,再根据抛物线的定义用x1,x2表示出2|AF|+3|BF|,结合基本不等式求解即可.思路二:先求出抛物线C的方程,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程与抛物线C的方程联立,利用根与系数的关系求出x1x2的值,再根据抛物线的定义得到+=1,利用基本不等式求解即可.(2)根据点A在抛物线C上,求出p,即可判断A;利用导数的几何意义求出抛物线C在点A处的切线方程,即可判断B;设出直线PQ的方程,联立直线PQ的方程与抛物线C的方程,利用根与系数的关系及两点间的距离公式即可判断C,D.
(1)B (2)BCD [解析] (1)方法一:因为抛物线C的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0).设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x整理得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4,故x1x2=·=1.又|AF|=x1+=x1+1,|BF|=x2+=x2+1,所以2|AF|+3|BF|=2(x1+1)+3(x2+1)=2x1+3x2+5≥2+5=2+5,当且仅当x1=,x2=时等号成立,故2|AF|+3|BF|的最小值为2+5.故选B.
方法二:因为抛物线C的焦点F到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0).设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x整理得y2-4ty-4=0,则y1+y2=4t,y1y2=-4,故x1x2=·=1,x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,则+=+==1,故2|AF|+3|BF|=(2|AF|+3|BF|)=5++≥5+2=5+2,当且仅当|AF|=1+,|BF|=1+时等号成立,故2|AF|+3|BF|的最小值为2+5.故选B.
(2)因为点A(1,1)在抛物线C上,所以2p=1,所以抛物线C的方程为x2=y,其准线方程为y=-,故A选项错误;由y'=2x,知抛物线C在点A处的切线的斜率为2,则切线方程为y=2x-1,恰过点B,故B选项正确;由题意知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx-1,代入x2=y并整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=
=
=
=
=
=>=2=|OA|2,故C选项正确;|BP|·|BQ|=
=
=
=
=1+k2>5=|BA|2,故D选项正确.故选BCD.
变式题1 (1)C (2)4 ±
[解析] (1)抛物线E:y2=3x的焦点为F,设直线AB的方程为x=my+n,n≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由可得y2-3my-3n=0,则y1+y2=3m,y1y2=-3n.由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,即n2-3n=0,可得n=3,则直线AB:x=my+3过定点P(3,0).由OC⊥AB,可得C的轨迹是以OP为直径的圆(除去原点),其轨迹方程为+y2=(x≠0),所以|CF|的取值范围为,即.故选C.
(2)如图,延长AF交抛物线E于点D,连接CD,过点A作AH⊥x轴于点H,下面先证明直线CA,CD关于x轴对称.设A,D,由抛物线焦点弦的性质可得y1y2=-p2=-4,又C(-1,0),则kCA=,kCD=,故kCA+kCD=+=+=+=-+=0,所以直线CA,CD关于x轴对称.又BF为∠AFC的平分线,所以∠AFB=∠CFB=∠CFD=60°,所以∠AFH=60°.由焦半径公式得,|AF|===4,则|AH|=2,|FH|=2.又F(1,0),所以A(3,2)或A(3,-2),又C(-1,0),所以直线l的斜率k==或k==-,所以直线l的斜率为±.
变式题2 解:(1)设A(xA,yA),B(xB,yB),由可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,
所以|AB|==
|yA-yB|=×
=4,
即2p2-p-6=0,又p>0,所以p=2.
(2)由(1)可得F(1,0),因为直线MN的斜率不可能为零,所以设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
由可得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,由Δ=16m2+16n>0,得m2+n>0.因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入上式得4m2=n2-6n+1,故4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1,由n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2.设点F到直线MN的距离为d,则d=,
又|MN|==|y1-y2|=
=
=
2|n-1|,所以△MFN的面积S=×d×|MN|=××2|n-1|=(n-1)2,又n≥3+2或n≤3-2,所以当n=3-2时,△MFN的面积取到最小值(2-2)2=12-8.第55讲 抛物线
1.D [解析] 抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标为.双曲线N的方程为-x2=1,则a2=3,b2=1,故c==2.因为抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,所以=c=2,即p=4.故选D.
2.B [解析] 抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,因为点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,所以=2,所以p=4.故选B.
3.A [解析] 由题意得=
,即动点(x,y)到定点(-1,2)的距离与到直线x+y-3=0的距离相等,且点(-1,2)不在直线x+y-3=0上,故方程表示的曲线为抛物线.故选A.
4.B [解析] 过点M作抛物线的准线的垂线,垂足为点N,连接FN.因为∠OFM=120°,MN∥x轴,所以∠FMN=60°.由抛物线的定义可得|MN|=|FM|,所以△FNM为等边三角形,则∠FNM=60°.抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设直线x=-1交x轴于点E,则∠ENF=30°,易知|EF|=2,∠FEN=90°,则|FM|=|FN|=2|EF|=4.故选B.
5.AC [解析] 直线y=-(x-1)与x轴的交点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),因此p=2,A正确;抛物线C的方程为y2=4x,由消去y化简得3x2-10x+3=0,可得x1=,x2=3,则M,N(3,-2)(设M在第一象限,N在第四象限),所以|MN|=,B错误;因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,所以△OMN不是等腰三角形,D错误;以MN为直径的圆的圆心的横坐标为=,圆心到准线l的距离为+==,因此以MN为直径的圆与l相切,C正确.故选AC.
6.y2=16x或x2=-8y [解析] 直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(4,0)和(0,-2),则所求抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).若其焦点为(4,0),则其标准方程为y2=16x;若其焦点为(0,-2),则其标准方程为x2=-8y.∴抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y.
7. [解析] 由题意可得()2=2p×1,则2p=5,所以抛物线C的方程为y2=5x,其准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-=.
8.C [解析] 设点P,由圆的方程(x-2)2+y2=1可知圆心为C(2,0),半径r=1.连接PC,因为切线长为2,所以|PC|=,即+=29,解得=20,可得P(5,yP).由抛物线的定义可得点P到M的准线的距离为5+1=6.故选C.
9.B [解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-.因为R(2,1)为线段AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.由|FA|+|FB|=x1++x2+=4+p=5,解得p=1,则抛物线C的方程为y2=2x,则x1=,x2=,所以直线l的斜率k====1.故选B.
10.A [解析] 因为A(-2,2)为抛物线C上一点,所以(-2)2=4p,解得p=1,所以抛物线C:x2=2y.设B,P,由题意知直线PA,PB的斜率均存在且均不为0,由PA⊥PB,得kPA·kPB=-1,即×=-1,化简得+(x1-2)x2+4-2x1=0,则关于x2的方程一定有解,故Δ=(x1-2)2-4(4-2x1)≥0,即+4x1-12≥0,解得x1≤-6或x1≥2.故选A.
11.BD [解析] 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-,又点M(2,)满足|MF|=2|OF|,所以=2×,即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-(舍去),所以抛物线C:y2=4x,则准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A错误;过点P作准线x=-1的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以△PMF的周长为|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥3+2=5,当且仅当M,P,H三点共线时取等号,所以△PMF周长的最小值为5,故B正确;因为kMF==,所以直线MF的倾斜角为,故C错误;过点M作OF的平行线,交抛物线于点P,由解得即P,则|MP|=2-=≠|OF|,所以四边形OPMF不可能是平行四边形,故D正确.故选BD.
12.ABD [解析] 点A(0,4)到准线l:x=-1的距离为1,圆A的半径为1,故l与☉A相切,选项A正确.当P,A,B三点共线时,A(0,4),P(4,4),|PA|=4,则|PQ|==,选项B正确.当|PB|=2时,xP=1,得yP=±2,当点P的坐标为(1,2)时,B(-1,2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB;当点P的坐标为(1,-2)时,B(-1,-2),|AB|=|AP|=,不满足PA⊥AB,选项C不正确.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,由抛物线的定义可得|PB|=|PF|,则满足|PA|=|PB|=|PF|的点P在线段AF的垂直平分线上,易知线段AF的垂直平分线的方程为y=x+,由得y2-16y+30=0,因为Δ=(-16)2-4×30=136>0,所以满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个,选项D正确.故选ABD.
13.2 [解析] 由题知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由
可得x2-2pkx-6p=0,所以x1+x2=2pk,x1x2=-6p,则y1y2==9.因为|AF|=2,|BF|=10,所以y1=2-,y2=10-,则×=9,解得p=2或p=22.因为2->0,所以p=2.
14.- [解析] 将所求抛物线绕原点旋转到抛物线C,A,B分别对应点A1,B1,不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),|OB1|=2a,|OA1|=a,∠B1Ox=θ,∠B1Oy=φ,如图所示,则B1(2acos θ,2asin θ),A1,即A1(asin θ,-acos θ),又A1,B1在C上,所以可得tan3θ=,故tan θ=,又φ+θ=,φ,θ∈,所以tan φ=,故将抛物线C绕原点逆时针旋转φ后,A1,B1分别旋转到x,y轴上的点A,B,故所求抛物线对称轴的斜率为tan φ=,又准线与对称轴垂直,故准线的斜率为-.
15.解:(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,且|MF|=10,可得解得或因为x0>6,所以则抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点,知直线l的斜率不为0,设l的方程为x=my+a,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去x并整理得y2-4my-4a=0,由根与系数的关系得y1+y2=4m,y1y2=-4a,故|PQ|==
4,|NP|=
|y1|,|NQ|=|y2|,
可得|NP|·|NQ|=(1+m2)|y1y2|=4a(1+m2).因为|NP|·|NQ|=|PQ|,所以4a(1+m2)=4,整理得(a-1)(am2+m2+a)=0.
因为am2+m2+a>0,所以a-1=0,故a=1.
16.解:(1)由题知点F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为+3=4,所以p=2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y=x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由y=x2,得y'=x,
则切线PA的方程为y=x1(x-x1)+y1=x1x-=x1x-y1,同理得切线PB的方程为y=x2x-y2,且++8y0+15=0.
因为切线PA,PB都过点P(x0,y0),
所以故直线AB的方程为y0=x0x-y,即y=x0x-y0.由得x2-2x0x+4y0=0,则Δ=4-16y0>0,所以x1+x2=2x0,x1x2=4y0,则|AB|=·=·,点P到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d=|-4y0|·=(-4y0=(--12y0-15.
因为y0∈[-5,-3],所以当y0=-5时,S△PAB取得最大值,最大值为20.
17.0 2 [解析] 如图,依题意,直线AB过抛物线C的焦点F.设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-2pmy-p2=0,则y1y2=-p2,x1x2==.因为y1=2,所以A,B,则直线OA的方程为y=px,所以直线OA与抛物线C的准线l的交点为D,所以直线BD的斜率为0.因为PB平分∠ABQ,所以∠ABP=∠PBQ=∠APB,所以|AB|=|PA|.因为|PA|=2|BD|,所以|AB|=2|DB|,即x1+x2+p=2|x2-xD|,所以++p=2,可得p=2.第55讲 抛物线
【课标要求】 1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.
3.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 .
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
性 质 顶点 O(0,0)
对称轴 直线y=0 直线x=0
焦点 F F F F
离心率 e=
准线 方程
范围 x≥0,y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中 P(x0, y0)) |PF|= |PF|= |PF|= |PF|=
通径长 2p
3.直线和抛物线的位置关系
(1)将直线的方程y=kx+m与抛物线的方程y2=2px(p>0)联立成方程组,消元转化为关于x(或y)的一元二次方程k2x2+2(km-p)x+m2=0(或ky2-2py+2pm=0),其判别式为Δ.
当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点.
当k≠0时,
①Δ>0 直线和抛物线相交,有两个公共点;
②Δ=0 直线和抛物线相切,有一个公共点;
③Δ<0 直线和抛物线相离,无公共点.
(2)直线与抛物线的相交弦
设直线y=kx+m交抛物线y2=2px(p>0)于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则|P1P2|==
=|x1-x2|,同理可得|P1P2|=|y1-y2|(k≠0).
这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需进行如下变形:
|x1-x2|=,
|y1-y2|=.
常用结论
抛物线的几个常用结论:
(1)若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则:
①x1x2=;②y1y2=-p2;
③|AF|=,|BF|=,+=;
④弦长|AB|=x1+x2+p=,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫作抛物线的通径)最短;
⑤S△OAB=(其中O为坐标原点);
⑥以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(2)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB.
题组一 常识题
1.[教材改编] 抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
2.[教材改编] 如图所示,某桥是抛物线形拱桥,此时水面宽为4 m,经过一次暴雨后,水位上升了1 m,水面宽为3 m,则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 m.
3.[教材改编] 已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0= .
题组二 常错题
◆索引:忽视抛物线的焦点位置;忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形.
4.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为 .
5.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有 条.
抛物线的定义及应用
例1 (1)已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为 ( )
A.3 B.
C.5 D.
(2)[2024·泰安二模] 抛物线x2=4y的焦点为F,过抛物线上的点P作准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= ( )
A. B. C. D.
总结反思
1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,注意转化思想的运用.
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大或最小问题,该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
3.利用抛物线定义进行距离转化的同时,要注意平面几何知识在其中的应用.
变式题 (1)[2025·贵阳模拟] 已知点A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,若A到抛物线焦点的距离为5,且A到x轴的距离为4,则p= ( )
A.1或2 B.2或4
C.2或8 D.4或8
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,点B满足=5(O为坐标原点),且线段AB的垂直平分线经过点F,则= ( )
A. B.1 C. D.
抛物线的标准方程
例2 分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
(3)点A,B均在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,正三角形OAB的面积为4.
总结反思
求抛物线标准方程的方法:
①直接法:直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=my(m≠0).
注意:参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题.
变式题 (1)[2023·天津卷] 过原点O的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交抛物线y2=2px(p>0)于O,P两点,若|OP|=8,则p的值为 .
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F的直线交C于A,B两点,交C的准线于P,且=3,|AF|=3,则C的方程为 .
抛物线的几何性质
例3 (1)(多选题)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是 ( )
A.抛物线C的方程为y2=4x
B.线段AB的长度为
C.∠MFN=90°
D.线段AB的中点到y轴的距离为
(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程为 .
总结反思
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.
变式题 (1)抛物线C:y2=4x的焦点为F,P,R为C上位于F右侧的两点,Q为平面内任意一点,若四边形PFRQ为正方形,则|PF|= ( )
A.4+2 B.4-2
C.-2+2 D.2+2
(2)[2024·北京海淀区三模] 已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直y轴于点N,若|MF|=6,则△MNF的面积为 ( )
A.8 B.4 C.5 D.10
直线与抛物线
例4 (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+3|BF|的最小值为 ( )
A.+ B.2+5
C.4+10 D.11
(2)(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
总结反思
(1)求解直线与抛物线问题,一般利用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则可用弦长公式.
变式题1 (1)[2024·武汉九校联考] 抛物线E:y2=3x的焦点为F,顶点为O,其上两点A,B满足OA⊥OB,过点O作OC⊥AB,垂足为C,则|CF|的取值范围是 ( )
A.(0,3] B.
C. D.
(2)[2024·重庆巴蜀中学模拟] 已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的平分线,则|AF|= ;直线l的斜率为 .
变式题2 [2023·全国甲卷] 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,·=0,求△MFN面积的最小值.
第55讲 抛物线
(时间:45分钟)
1.已知抛物线M:x2=2py(p>0)的焦点与双曲线N:-x2=1的一个焦点重合,则p= ( )
A. B.2
C.2 D.4
2.已知M为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,则p= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.方程=|x+y-3|表示的曲线为 ( )
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.直线
4.设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|= ( )
A.3 B.4
C. D.
5.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
6.顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程为 .
7.[2023·全国乙卷] 已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
8.已知点P在抛物线M:y2=4x上,过点P作圆C:(x-2)2+y2=1的切线,若切线长为2,则点P到M的准线的距离为 ( )
A.5 B.
C.6 D.
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,R为线段AB的中点,若|FA|+|FB|=5,则直线l的斜率为 ( )
A. B.1
C.2 D.4
10.[2024·长郡中学三模] 已知点A(-2,2)为抛物线C:x2=2py上一点,P为C上不同于点A的一个动点,过P作PA的垂线与C交于另一点B,则点B的横坐标的取值范围是 ( )
A.(-∞,-6]∪[2,+∞)
B.(-∞,-2]∪[6,+∞)
C.(-∞,-6)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(6,+∞)
11.(多选题)[2024·九江二模] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,动点P在C上,若定点M(2,)满足|MF|=2|OF|,则 ( )
A.C的准线方程为x=-2
B.△PMF周长的最小值为5
C.直线MF的倾斜角为
D.四边形OPMF不可能是平行四边形
12.(多选题)[2024·新课标Ⅱ卷] 抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线, Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
13.设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A,B两点,|AF|=2,|BF|=10,则p= .
14.[2024·江西新余模拟] 在平面直角坐标系xOy中,A,B分别为x,y轴上的点,2|OA|=|OB|,则以原点为顶点且经过A,B两点的抛物线的准线斜率为 .
15.[2024·昆明模拟] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(x0,6)是C上一点,其中x0>6,且|MF|=10.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点N(a,0)(a>0)的直线l与C相交于P,Q两点,若|NP|·|NQ|=|PQ|,求a的值.
16.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上的点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
17.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,一束平行于x轴的光线l1从点P(x0,2)(点P在抛物线C内)射入,经过C上的点A反射后,再经过C上的另一点B反射,沿l2射出,且l2经过点Q,若直线OA与抛物线C的准线交于点D,则直线BD的斜率为 ;若|PA|=2|BD|,且PB平分∠ABQ,则p= .
