增分微课8 圆锥曲线中的轨迹问题
例1 A [解析] 由点M(-2,0),N(2,0),可得|MN|=4,则|PM|-|PN|=4<|MN|=4,根据双曲线的定义,可得点P的轨迹为以M,N为焦点的双曲线的右支,且2a=4,2c=4,可得a=2,c=2,则b2=c2-a2=16,所以点P的轨迹方程为-=1(x≥2).故选A.
变式题 ABC [解析] 对于A,连接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,可得点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆,A正确.对于B,当点A在圆O上时,点Q与圆心O重合,点Q的轨迹为定点,故B正确.对于C,连接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以||QO|-|QA||=||QO|-|QP||=|OP|=r.又因为点A在圆外,所以|OA|>|OP|,根据双曲线的定义,可得点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线,C正确.对于D,当点A与圆心O重合时,点Q的轨迹为圆,所以点Q的轨迹不可能为抛物线,D错误.故选ABC.
例2 (1)B (2)y2=4x(x≠0,x≠1)
[解析] (1)设动点M(x,y)(y>0),因为A(-1,0),B(1,0),直线AM与直线BM的斜率之积为2,所以·=2(y>0),化简得x2-=1(y>0).故选B.
(2)设B(x,y),因为+=,所以+=(x≠0,x≠1),化简可得y2=4x(x≠0,x≠1),故曲线E的方程为y2=4x(x≠0,x≠1).
变式题 解:设M(x,y),因为动点M到直线x=3的距离是到点(2,0)的距离的倍,所以|x-3|=,化简整理可得+=1,故动点M的轨迹方程为+=1.
例3 y=3(x-2)2+1 [解析] 设C(m,n),△ABC的重心为G(x,y),则3x=0+6+m,3y=0+0+n,即m=3x-6,n=3y.由n=m2+3,可得3y=(3x-6)2+3,化简可得y=3(x-2)2+1,故△ABC的重心G的轨迹方程为y=3(x-2)2+1.
变式题 (1)A (2)x2+y2=2(y≠0)
[解析] (1)设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),将点P的坐标代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故点M的轨迹方程是x2-4y2=1.故选A.
(2)设M(x0,y0)(y0≠0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=,可得(x-x0,y)=(0,y0),∴x-x0=0,y=y0,则x0=x,y0=,又+=1(y0≠0),∴+=1(y≠0),∴点P的轨迹方程为x2+y2=2(y≠0).
例4 ABD [解析] 对于A,依题知曲线C的轨迹方程为·|x-a|=4.∵点(0,0)在曲线C上,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2,故A正确.对于B,曲线C的方程为|x+2|·=4,令y=0,得|x2-4|=4,∴x=0或x=2,故B正确.对于C,由|x+2|·=4,得(x-2)2+y2=,∴y2=-(x-2)2,当x=时,y2=>1,∴C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D,=-(x0-2)2≤,即y0≤,故D正确.故选ABD.
变式题 ②③④ [解析] 对于①,在方程(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4中,令x=0,得cos2θ+(y-sin θ)2=4,即cos2θ+y2-2ysin θ+sin2θ=1+y2-2ysin θ=4,所以2sin θ=y-.因为0≤θ≤π,所以0≤sin θ≤1,所以0≤2sin θ≤2,所以0≤y-≤2,解得-≤y≤-1或≤y≤3,所以点A的坐标为(0,),故①错误;对于②,由题设
(α为参数),则M(2cos α+cos θ,2sin α+sin θ),所以|OM|=
=
,当α=θ时,cos(α-θ)=1,即M到原点的距离的最大值为3,故②正确;对于③,由①可知,D(0,-),C(0,3),所以|CD|=3+,故③正确;对于④,“水滴”图形是由一个半径为1的半圆、一个边长为2的等边三角形和两个全等的弓形组成的,所以白色“水滴”图形的面积S=×π×12+×22+2=π-,故④正确.故填②③④.增分微课8 圆锥曲线中的轨迹问题
类型一 求轨迹的常用方法
角度1 定义法求轨迹问题
定义法:分析题设中的几何条件,根据圆锥曲线的定义,判断轨迹是何种类型的曲线,直接求出该曲线的方程.
例1 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x≥2) B.-=1(x≤-2)
C.-=1(x≥4) D.-=1(x≤-4)
总结反思
利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,那么应对其中的变量x或y进行限制.
变式题 (多选题)已知圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一个定点,P是圆O上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列说法正确的是 ( )
A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时,点Q的轨迹是椭圆
B.点Q的轨迹可能是一个定点
C.当点A在圆O外时,点Q的轨迹是双曲线
D.点Q的轨迹可能是抛物线
角度2 直接法求轨迹问题
直接法:当题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系时,列出含动点(x,y)的横、纵坐标的解析式即可求得轨迹方程.
例2 (1)已知A(-1,0),B(1,0),在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2,则动点M的轨迹方程为 ( )
A.x2-=1(x>0) B.x2-=1(y>0)
C.-y2=1(x>0) D.-y2=1(y>0)
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B是一动点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且+=,记点B的轨迹为E,则曲线E的方程为 .
总结反思
直接法求轨迹方程,最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程,再建系设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略,求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.两种常见的题型及解题策略为:
(1)题目给出等量关系,求轨迹方程,直接代入即可得出方程.
(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程,可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.但要注意“完备性”.
变式题 在平面直角坐标系xOy中,动点M到直线x=3的距离是到点(2,0)的距离的倍,求动点M的轨迹方程.
角度3 相关点法求轨迹问题
相关点法:如果动点M(x,y)依赖于另一动点N(a,b),而点N(a,b)又在某已知曲线上,那么可先列出关于x,y,a,b的方程组,用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线的方程便得动点M的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫作相关点法.
例3 已知△ABC的两个顶点为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线y=x2+3上运动,则△ABC的重心G的轨迹方程为 .
总结反思
利用相关点法求轨迹方程的基本步骤:
(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x0,y0).
(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程.
变式题 (1)设P为双曲线-y2=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1
(2)已知动点M在椭圆C:+y2=1上(除去长轴端点),过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=,则点P的轨迹方程为 .
类型二 坐标系内图形与性质研究
例4 (多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则 ( )
A.a=-2
B.点(2,0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤
总结反思
对于坐标系中的曲线,可通过观察其顶点、对称性、变化趋势等去分析其性质.如果曲线对应的图形不明确,那么可以结合曲线对应的方程,通过分析方程中的x,y的取值范围,曲线与坐标轴的交点坐标,用-x,-y代替x,y研究对称特点等等,从而确定曲线的形状及曲线的性质.
变式题 已知集合P={(x,y)|(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4,0≤θ≤π}.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论,其中正确的有 .(填序号)
①“水滴”图形与y轴相交,最高点记为A,则点A的坐标为(0,1);
②在集合P中任取一点M,则M到原点的距离的最大值为3;
③阴影部分与y轴相交,最高点和最低点分别为C,D,则|CD|=3+;
④白色“水滴”图形的面积是π-.增分微练8 圆锥曲线中的轨迹问题
1.D [解析] 设P(x,y),如图,连接CP,由线段MN的中点为P,得CP⊥MN,即CP⊥AP,所以·=0.因为A(-3,-4),C(3,4),所以=(x+3,y+4),=(x-3,y-4),所以(x+3)(x-3)+(y+4)(y-4)=0,即x2+y2=25,所以点P的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C内的部分.故选D.
2.D [解析] 设点M(x,y),则直线AM的斜率为,直线BM的斜率为,由题意知·=(x≠±3),化简得-=1(x≠±3),所以点M的轨迹方程为-=1(x≠±3).故选D.
3.B [解析] 设动点A(xA,yA)与定点B(3,0)连线的中点为P(x,y),则即因为点A在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即4x2-12x+9+4y2=1,整理得x2+y2-3x+2=0,即为所求轨迹方程.故选B.
4.D [解析] 设点M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),则|AB|==2,可得+=4.因为点A关于点B的对称点为M,所以B为线段AM的中点,所以可得将
代入+=4,可得x2+=4,即+=1,故点M的轨迹方程为+=1.故选D.
5.D [解析] 对于曲线C上的任意点(x,y),点(-x,-y)也在曲线C上,选项A中结论正确;由x2+2xy+5y2=1得(x+y)2+4y2=1,所以4y2≤1,所以|y|≤,选项B中结论正确;由(x+y)2+4y2=1,可设x+y=cos θ,2y=sin θ,所以x+2y=cos θ+sin θ=sin(θ+φ),其中tan φ=2,所以|x+2y|≤,选项C中结论正确;令x=1,则2y+5y2=0,则点在曲线C上,但点与原点之间的距离大于1,选项D中结论不正确.故选D.
6.D [解析] 设点P的坐标为(x,y),因为A(2,0),B(0,6),动点P满足=λ+μ,所以(x,y)=λ(2,0)+μ(0,6),得x=2λ,y=6μ.因为|λ|+|μ|=1,所以+=1,即点P的轨迹方程为+=1.当x≥0,y≥0时,方程为3x+y-6=0;当x≥0,y<0时,方程为3x-y-6=0;当x<0,y≥0时,方程为3x-y+6=0;当x<0,y<0时,方程为3x+y+6=0.所以点P的轨迹如图所示,且kAB=kCD=-3,kBC=kAD=3,AC⊥BD,所以点P的轨迹为菱形,所以A,C错误.原点O到直线AB的距离d=<2,所以B错误.点P的轨迹所围成的图形的面积为4××2×6=24,所以D正确.故选D.
7.C [解析] 由题意可得=2,设P(x,y),则=4,化简得x2+y2-12x+20=0,即(x-6)2+y2=16,故“完美曲线”表示圆心为(6,0),半径r=4的圆.对于①,y=3ln 3∈[-4,4],故直线y=3ln 3与“完美曲线”有交点;对于②,联立y2=3x与x2+y2-12x+20=0,可得x2-9x+20=0,解得x=4或x=5,故曲线y2=3x与“完美曲线”有交点;对于③,圆心(6,0)到直线8y-x+6=0的距离d==0,故直线与圆相交,即直线8y-x+6=0与“完美曲线”有交点;对于④,(x-2)2+(y-)2=2表示圆心为(2,),半径R=的圆,则两圆的圆心距为=∈[4-,4+],故两圆相交,即圆(x-2)2+(y-)2=2与“完美曲线”有交点.故选C.
8.A [解析] 由·=0,可得QP⊥PB,由=λ,可知点P在∠BQA的平分线上.圆x2+y2=1的圆心为原点O,半径r=1.如图,当Q在y轴右侧时,延长BP交AQ于点C,连接OP,因为∠PQB=∠PQC且PQ⊥BC,所以|QB|=|QC|,且P为BC的中点.又O为AB的中点,所以OP∥AC,且|OP|=|AC|,所以|QA|-|QB|=|QA|-|QC|=|AC|=2|OP|=2<|AB|=4,同理得Q在y轴左侧的情况,故点Q在以A,B为焦点的双曲线上.设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),可知c=2,即a2+b2=c2=4.由2a=||QA|-|QB||=2,得a=1,故b2=3,双曲线的方程为x2-=1.故选A.
9.D [解析] 对于A,结合曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2),将(-x,-y)代入,方程不变,故曲线C关于原点对称,A错误;对于B,令y=0,则(x2)2=9x2,解得x=±3或x=0,令x=±1,则(1+y2)2=9(1-y2),解得y2=<1,令x=±2,则(4+y2)2=9(4-y2),解得y2=<2,故曲线C经过的整点只有(0,0),(3,0),(-3,0),B错误;对于C,直线y=kx与曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)必有公共点(0,0),因此若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则只有一个解x=0,即x4(1+k2)2=9x2(1-k2)只有一个解x=0,即当x≠0时,x4(1+k2)2=9x2(1-k2)无解,故1-k2≤0,解得k≤-1或k≥1,故实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞),C错误;对于D,由(x2+y2)2=9(x2-y2),可得x2+y2=≤9,当且仅当y=0时取等号,则曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d=≤3,D正确.故选D.
10. ABD [解析] 对于A选项,原图中的圆环不可解开,则无法无损伤地变为一个圆,即A选项无法无损伤地得到题干中的绳结;对于D选项,为三个圆环,不是一根绳,即D选项无法无损伤地得到题干中的绳结;对于B,C选项,把选项C中下方的部分向上翻,就可以无损伤地得到题干中的绳结,选项B无法无损伤地得到题干中的绳结.故选ABD.
11.ABD [解析] 对于A,若α=0,则曲线C:x2=1,即x=±1,C为两条直线,故A正确.对于B,若C为圆,则cos α=-sin α>0,由cos α=-sin α,α∈,可得tan α=-1,则α=-,此时曲线C:x2+y2=,即C为圆,故B正确.对于C,若C为椭圆,则cos α>0,-sin α>0,且cos α≠-sin α,所以α∈∪.x2cos α-y2sin α=1可化为+=1,若>,即tan α<-1,即α∈,则椭圆C的离心率e===,当α∈时,y=单调递减,故C错误.对于D,当α∈时,cos α≥0,若C为双曲线,则sin αcos α>0,即可得α∈.x2cos α-y2sin α=1可化为-=1,故双曲线C的离心率e===,当α∈时,y=单调递减,故D正确.故选ABD.
12.+=1(x≠±1) [解析] 因为点M的坐标为(-1,2),且+=0,所以N(1,-2).设P(x,y),则kMP=,kNP=,且x≠±1.由题意得·=-,整理可得动点P的轨迹方程为+=1(x≠±1).
13.x2+y2-2x-3=0 [解析] 设M(x,y),由|MA|2+|MO|2=10得(x-2)2+(y-0)2+x2+y2=10,化简得x2+y2-2x-3=0,即点M的轨迹方程是x2+y2-2x-3=0.
14.5 [解析] 设P(x,y),当y≥2时,|PF|+y-2=6,所以=8-y,化简得x2=60-20y,y∈[2,3],即y=-x2+3,y∈[2,3];当y<2时,|PF|+2-y=6,所以=4+y,整理得x2=4y+12,y∈[-3,2),即y=x2-3,y∈[-3,2).作出曲线C与直线x=-5,如图,点T在直线x=-5上.连接TF.对于曲线C上任意一点P,|PF|+|PT|≥|TF|,当且仅当P是线段TF与曲线C的交点时取等号.因为|TF|=≥5,所以|PF|+|PT|≥|TF|≥5,当且仅当t=-2,即点T的坐标为(-5,-2)时,m(t)取得最小值5.
15.16 [解析] 设Q(x,y),由||PQ||=4,可得|x-1|+|y-1|=4.当x≥1,y≥1时,方程化为x+y=6;当x≥1,y<1时,方程化为x-y=4;当x<1,y≥1时,方程化为x-y=-4;当x<1,y<1时,方程化为x+y=-2.如图,动点Q的轨迹是边长为4的正方形,其长度为4×4=16.增分微练8 圆锥曲线中的轨迹问题
(时间:45分钟)
1.[2024·贵阳三模] 过点A(-3,-4)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9相交于不同的两点M,N,则线段MN的中点P的轨迹是 ( )
A.一个半径为10的圆的一部分
B.一个焦距为10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段
D.一个半径为5的圆的一部分
2.设A,B两点的坐标分别为(-3,0),(3,0),直线AM与BM相交于点M,且它们的斜率之积为,则点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1(x≠±3)
B.-=1(x≠±3)
C.+=1(x≠±3)
D.-=1(x≠±3)
3.动点A在圆x2+y2=1上移动,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 ( )
A.x2+y2+3x+2=0
B.x2+y2-3x+2=0
C.x2+y2+3y+2=0
D.x2+y2-3y+2=0
4.[2024·重庆北碚区模拟] 长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.若坐标满足方程x2+2xy+5y2=1的点(x,y)的轨迹为曲线C,则以下结论不正确的是 ( )
A.曲线C关于原点对称
B.|y|≤
C.|x+2y|≤
D.曲线C上的点与原点之间的距离的最大值为1
6.[2024·济南模拟] 在平面直角坐标系xOy中,已知A(2,0),B(0,6),动点P满足=λ+μ,且|λ|+|μ|=1,则下列说法正确的是 ( )
A.点P的轨迹为圆
B.点P到原点的最短距离为2
C.点P的轨迹是一个正方形
D.点P的轨迹所围成的图形的面积为24
7.对于平面上的动点P,若A(x1,y1),B(x2,y2),PA,PB的长度之比为t(t不为0),则称点P运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A(-2,0),B(4,0),t=2,给出下列四条曲线,则与“完美曲线”有交点的有 ( )
①y=3ln 3;②y2=3x;③8y-x+6=0;④(x-2)2+(y-)2=2.
A.2条 B.3条
C.4条 D.1条
8.[2024·山东青岛一模] 已知A(-2,0),B(2,0),设点P是圆x2+y2=1上的点,若动点Q满足·=0,=λ,则点Q的轨迹方程为 ( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.+y2=1 D.+=1
9.如图,已知曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是 ( )
A.曲线C不关于原点对称
B.曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]
D.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
10. .(多选题)[2025·八省联考] 下面四个绳结中,不能无损伤地变为图中的绳结的有 ( )
A B C D
11.(多选题)[2024·哈尔滨九中模拟] 已知曲线C:x2cos α-y2sin α=1,其中α∈,则 ( )
A.存在α,使得C为两条直线
B.存在α,使得C为圆
C.若C为椭圆,则α越大,C的离心率越大
D.若C为双曲线,则α越大,C的离心率越小
12.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(-1,2),且+=0,动点P与M,N连线的斜率之积为-,则动点P的轨迹方程为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),若点M满足|MA|2+|MO|2=10,则点M的轨迹方程是 .
14.已知曲线C是平面内到定点F(0,-2)与到定直线l:y=2的距离之和等于6的点的轨迹,若点P在C上,对于给定的点T(-5,t),用m(t)表示|PF|+|PT|的最小值,则m(t)的最小值为 .
15.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇,是一种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系xOy内,对于任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的“曼哈顿距离”为||AB||=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P(1,1),若点Q满足||PQ||=4,则动点Q的轨迹的长度为 . (共63张PPT)
增分微课8 圆锥曲线中的轨迹问题
类型一
类型二
作业手册
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答案核查【作】
类型一 求轨迹的常用方法
角度1 定义法求轨迹问题
定义法:分析题设中的几何条件,根据圆锥曲线的定义,判断轨迹
是何种类型的曲线,直接求出该曲线的方程.
例1 已知点，，动点 满足条件
，则动点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由点，，
可得 ，则，
根据双曲线的定义，可得点 的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
且， ，可得，，则，
所以点 的轨迹方程为 .故选A.
√
[总结反思]
利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双
曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,那么应对其中的变量或进行限制.
变式题 （多选题）已知圆的半径为定长,是圆 所在平面内一个
定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点 .
当点 在圆上运动时,下列说法正确的是( )
A.当点在圆内（不与圆心重合）时,点 的轨迹是椭圆
B.点 的轨迹可能是一个定点
C.当点在圆外时,点 的轨迹是双曲线
D.点 的轨迹可能是抛物线
√
√
√
[解析] 对于A,连接,,由已知得 ,
所以.
又因为点 在圆内,所以,根据椭圆的定义,可
得点的轨迹是以,为焦点, 为长轴长的椭圆,A正确.
对于B,当点在圆上时,点与圆心重合,点 的轨迹为定点,故B正确.
对于C,连接,,由已知得 ,所以
.又因为点 在圆外,所以,根据双曲线的定义,
可得点的轨迹是以,为焦点, 为实轴长的双曲线,C正确.
对于D,当点与圆心重合时,点 的轨迹为圆,
所以点的轨迹不可能为抛物线,D错误.故选 .
角度2 直接法求轨迹问题
直接法:当题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几
何知识推出等量关系时,列出含动点 的横、纵坐标的解析式即可
求得轨迹方程.
例2（1）已知，，在轴上方的动点满足直线 的
斜率与直线的斜率之积为2，则动点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设动点，
因为，，直线 与直线的斜率之积为2，
所以 ，化简得 .故选B.
√
（2）在平面直角坐标系中,已知点,是一动点,直线, ,
的斜率分别为,,,且,记点的轨迹为,则曲线 的
方程为_____________________.
[解析] 设,因为,所以 ,
化简可得,故曲线 的方程为 .
[总结反思]
直接法求轨迹方程,最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数
方程,再建系设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可
以省略,求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.
两种常见的题型及解题策略为:
（1）题目给出等量关系,求轨迹方程,直接代入即可得出方程.
（2）题中未明确给出等量关系,求轨迹方程,可利用已知条件寻找等
量关系,得出方程.但要注意“完备性”.
变式题 在平面直角坐标系中,动点到直线 的距离是到点
的距离的倍，求动点 的轨迹方程.
解：设,因为动点到直线的距离是到点 的距离的
倍,所以,化简整理可得 ,
故动点的轨迹方程为 .
角度3 相关点法求轨迹问题
相关点法:如果动点依赖于另一动点,而点
又在某已知曲线上,那么可先列出关于,,,的方程组,用, 表示出
,,把,代入已知曲线的方程便得动点 的轨迹方程,这种求轨迹的
方法叫作相关点法.
[解析] 设,的重心为,
则 ,,即,.
由 ,可得,化简可得,
故的重心 的轨迹方程为 .
例3 已知的两个顶点为,,顶点在曲线
上运动,则的重心 的轨迹方程为_________________.
[总结反思]
利用相关点法求轨迹方程的基本步骤:
（1）设点:设被动点坐标为,主动点坐标为.
（2）求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式
（3）代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求
被动点的轨迹方程.
[解析] 设,由为线段的中点,得,
将点 的坐标代入双曲线方程,得,
即,故点 的轨迹方程是 .故选A.
变式题（1）设为双曲线上的动点,为坐标原点, 为线
段的中点,则点 的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
√
（2）已知动点在椭圆上（除去长轴端点）,过作
轴的垂线,垂足为,点满足,则点 的轨迹方程为______
_____________.
[解析] 设,由题意可得,
设,由点 满足,可得,
, ,则,,
又，,
点的轨迹方程为 .
类型二 坐标系内图形与性质研究
例4 （多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷] 造型 可以
看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点 ，
且上的点满足横坐标大于，到点 的距离
与到定直线 的距离之积为4，则
( )
A.
B.点在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在上时，
√
√
√
[解析] 对于A，依题知曲线 的轨迹方程为
点在曲线 上，,
又, ,故A正确.
对于B，曲线的方程为 ,
令，得,或 ,故B正确.
对于C，由 ,
得, ,
当时，,
在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.
对于D，,
即 ,故D正确.故选 .
[总结反思]
对于坐标系中的曲线，可通过观察其顶点、对称性、变化趋势等去分
析其性质.如果曲线对应的图形不明确，那么可以结合曲线对应的方程，
通过分析方程中的,的取值范围，曲线与坐标轴的交点坐标，用,
代替,研究对称特点等等，从而确定曲线的形状及曲线的性质.
变式题 已知集合
，
}.由集合 中所有的点组成的图形如图中
阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给
出下列结论，其中正确的有________.（填序号）
②③④
①“水滴”图形与轴相交，最高点记为，则点的坐标为 ；
②在集合中任取一点，则 到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别为， ，则
；
④白色“水滴”图形的面积是 .
[解析] 对于①，在方程
中，令 ，得 ，
即
，所以.
因为 ，所以，所以 ，
所以，解得 或 ，
所以点的坐标为 ，故①错误 ；
对于②，由题设 （ 为参数）,
则 ，
所以
，当 时，，
即 到原点的距离的最大值 为3，故②正确；
对于③，由①可知，，，
所以 ，故③正确；
对于④，“水滴”图形是由一个半径为1的半圆、
一个边长为2的等边三角形和两个全等的弓形
组成的，所以白色“水滴”图形的面积
，故④正确.故填②③④.
作业手册
1.[2024·贵阳三模]过点的直线 与圆
相交于不同的两点，，则线段 的中
点 的轨迹是( )
A.一个半径为10的圆的一部分 B.一个焦距为10的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段 D.一个半径为5的圆的一部分
√
[解析] 设，如图，连接，由线段 的中点
为，得，即 ，所以.
因为, ,所以,
，所以
，即，
所以点的轨迹是以为圆心,半径为5的圆在圆 内的部分.故选D.
2.设,两点的坐标分别为，，直线与相交于点 ，
且它们的斜率之积为，则点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为 ，
由题意知，化简得 ,
所以点的轨迹方程为 .故选D.
√
3.动点在圆上移动,它与定点 连线的中点的轨迹方
程是( )
A. B.
C. D.
[解析] 设动点与定点连线的中点为 ,
则即因为点在圆 上,
所以,即 ,
整理得 ，即为所求轨迹方程.故选B.
√
4.[2024·重庆北碚区模拟]长为2的线段的两个端点和分别在 轴
和轴上滑动，则点关于点的对称点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设点，，，
则 ，可得.
因为点关于点的对称点为，所以为线段 的中点，
所以可得
将 代入，可得，
即，故点 的轨迹方程为 .故选D.
5.若坐标满足方程的点的轨迹为曲线 ，则
以下结论不正确的是( )
A.曲线 关于原点对称
B.
C.
D.曲线 上的点与原点之间的距离的最大值为1
√
[解析] 对于曲线上的任意点，点也在曲线 上，
选项A中结论正确；
由得 ，所以，
所以，选项B中结论正确；
由 ，可设 ， ，
所以，其中 ，
所以，选项C中结论正确；
令，则 ，则点在曲线上，
但点 与原点之间的距离大于1，选项D中结论不正确.故选D.
6.[2024·济南模拟]在平面直角坐标系中，已知, ，动
点满足，且 ，则下列说法正确的是
( )
A.点 的轨迹为圆
B.点 到原点的最短距离为2
C.点 的轨迹是一个正方形
D.点 的轨迹所围成的图形的面积为24
√
[解析] 设点的坐标为，
因为, ，动点满足 ，
所以，得 , .
因为，所以，
即点 的轨迹方程为.
当, 时，方程为；
当, 时，方程为；
当, 时，方程为；
当, 时，方程为.
所以点 的轨迹如图所示，且 ，
, ,所以点的轨迹为菱形，
所以A，C错误.
原点 到直线的距离,所以B错误.
点 的轨迹所围成的图形的面积为
，所以D正确.故选D.
7.对于平面上的动点，若，，， 的长度之比
为不为0，则称点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若 ，
， ，给出下列四条曲线，则与“完美曲线”有交点的有
( )
；； ；
.
A.2条 B.3条 C.4条 D.1条
√
[解析] 由题意可得，设,则 ，
化简得，即 ，
故“完美曲线”表示圆心为，半径的圆.
对于①, ,故直线与“完美曲线”有交点；
对于②,联立 与，
可得，解得 或，
故曲线与“完美曲线”有交点；
对于③,圆心 到直线的距离 ，
故直线与圆相交,即直线 与“完美曲线”有交点;
对于④,表示圆心为,半径 的圆,
则两圆的圆心距为 ,
故两圆相交,即圆 与“完美曲线”有交点.故选C.
8.[2024·山东青岛一模]已知，，设点 是圆
上的点，若动点满足， ，
则点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得 ，由
，可知点在 的平分线上.
圆的圆心为原点，半径 .
如图,当在轴右侧时,延长交于点 , 连接,
因为且,所以,且为 的中点.
又为的中点，所以，且 ，
所以，
同理得 在轴左侧的情况，故点在以， 为焦点的双曲线上.
设双曲线的方程为，
可知 ,即.
由 ，得，故，
双曲线的方程为 .故选A.
9.如图，已知曲线
是双纽线，则下列结论正确的是( )
A.曲线 不关于原点对称
B.曲线 经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C.若直线与曲线只有一个交点，则实数 的取值范围为
D.曲线上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
√
[解析] 对于A,结合曲线,将 代入,
方程不变,故曲线 关于原点对称,A错误；
对于B,令,则,解得 或,
令 ，则，解得 ，
令 ，则，解得 ，
故曲线 经过的整点只有,, ，B错误；
对于C,直线与曲线 必有公共点,
因此若直线 与曲线 只有一个交点，
则只有一个解 ，
即只有一个解 ，
即当时， 无解，
故，解得或,
故实数 的取值范围为 ,C错误；
对于D，由 ，
可得 ，当且仅当时取等号，
则曲线 上任意一点到坐标原点的距离 ,
D正确.故选D.
10. (多选题)[2025·八省联考] 下面四个绳结中,
不能无损伤地变为图中的绳结的有 ( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 对于A选项,原图中的圆环不可解开,
则无法无损伤地变为一个圆,即A选项无法无损伤地得到题干中的绳结;
对于D选项,为三个圆环,不是一根绳,
即D选项无法无损伤地得到题干中的绳结;
对于B, C选项,把选项C中下方的部分向上翻,
就可以无损伤地得到题干中的绳结,
选项B无法无损伤地得到题干中的绳结.故选ABD.
11.（多选题）[2024·哈尔滨九中模拟] 已知曲线
，其中 ，则( )
A.存在 ,使得 为两条直线
B.存在 ,使得 为圆
C.若为椭圆，则 越大， 的离心率越大
D.若为双曲线，则 越大， 的离心率越小
√
√
√
[解析] 对于A，若，则曲线，
即， 为两条直线，故A正确.
对于B，若为圆，则 ,
由 ，，可得，
则 ，此时曲线，即为圆，故B正确.
对于C，若 为椭圆，则,，
且 ，所以.
可化为，
若，即，即 ，
则椭圆的离心率 ,
当 时， 单调递减，故C错误.
对于D，当时，，若为双曲线，
则 ，即可得.
可化为，
故双曲线 的离心率，
当 时，单调递减，故D正确.故选 .
12.在平面直角坐标系中,点的坐标为,且 ,动
点与,连线的斜率之积为,则动点 的轨迹方程为
_ ___________________.
[解析] 因为点的坐标为,且,所以 .
设,则,,且.由题意得 ,
整理可得动点的轨迹方程为 .
13.在平面直角坐标系中，已知点，若点 满足
，则点 的轨迹方程是____________________.
[解析] 设，由 得
，化简得 ，
即点的轨迹方程是 .
14.已知曲线是平面内到定点与到定直线 的距离之
和等于6的点的轨迹，若点在上，对于给定的点，用
表示的最小值，则 的最小值为___.
5
[解析] 设，当 时， ，
所以 ，化简得，
，即，；
当 时，，所以 ，
整理得，，即, .
作出曲线 与直 线,如图，点在直线 上.连接.
对于曲线上任意一点 ，，
当且仅当是线段 与曲线 的交点时取等号.
因为 ，
所以，当且仅当 ，
即点的坐标为时， 取得最小值5.
15.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基
所创词汇，是一种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角
坐标系内，对于任意两点， ，定义它们之间的
“曼哈顿距离”为.已知点，若点
满足，则动点 的轨迹的长度为______.
[解析] 设，由 ，可得.
当， 时，方程化为；
当， 时，方程化为；
当， 时，方程化为；
当， 时，方程化为.
如图，动点的轨迹是边长为 的正方形，
其长度为 .
类型一
例1 A 变式题 ABC 例2(1)B (2)y2=4x(x≠0,x≠1) 变式题 +=1
例3 y=3(x-2)2+1 变式题(1)A (2)x2+y2=2(y≠0)
类型二
例4 ABD 变式题 ②③④
1.D 2.D 3.B 4.D 5. D 6.D 7.C 8.A 9.D 10.ABD 11.ABD
12. +=1(x≠±1) 13. x2+y2-2x-3=0 14.5 15. 16
